Nome:Maria Cristina KesslerClaudio Gilberto de Paula

4ª aula4ª aula

Você já aprendeu como calcular um ângulo sabendo o valor da função, por exemplo, sabendo o seno do ângulo.

Pergunta:

E se o ângulo não for do 1º quadrante?

For do 2º?

Ou do 3º?

Ou mesmo do 4º quadrante?

Retomando...

Sen x = 0,5.

Acionando-se a função sen-1(x) da calculadora se pode ler no visor:

x = 30º

Para estes casos precisamos reduzir ao 1º quadrante.

Para estes casos precisamos reduzir ao 1º quadrante.

O que vem a ser isso?

Na aula anterior você deve ter percebido que diferentes ângulos podem apresentar o mesmo valor para as funções trigonométricas.

Por exemplo:

Assim...

Reduzir ao 1º Q é encontrar o ângulo do 1º Q cujas razões são iguais, em valor absoluto, às razões de ângulos maiores que 90º.

Vamos ver os seguintes casos:

sen45° = sen135° = sen225°= sen315°

Relações entre ângulos do 1º e 2º Q

Relações entre ângulos do 1º e 3º Q;

Relações entre ângulos do 1º e 4º Q;

 Usando a calculadora determine os valores de:

Dica: observe a soma destes ângulos que apresentam o mesmo valor para o seno.

Dica: observe a soma destes ângulos que apresentam o mesmo valor para o seno.

Estabeleça uma relação entre estes ângulos, situados no 1o e no 2o quadrante, que apresentam o mesmo valor para o seno.

Relações entre ângulos do 1º e 2º Q

 Utilize 4 casas decimais

O segmento verde representa o sen â

O vermelho representa o sen b̂

b̂ é um ângulo do 2º Q

Observe que os segmentos verde e vermelho são iguais,

ou seja

sen â = sen b̂

Quando isto acontece?

â é um ângulo do 1º Q

quando â + = 180°,

ou = 180º - â .

quando â + = 180°,

ou = 180º - â .

b̂

b̂

Estas considerações permitem determinar o seno de um ângulo do 2º quadrante a partir de sua relação com um ângulo do 1º quadrante.

Vejamos:

Sabendo que sen(x) = 0,6947 e que x é um ângulo do 2° quadrante, determine o ângulo x.

Precisamos descobrir qual o ângulo do 1º quadrante que apresenta este mesmo valor para o seno.

DESAFIO

O ângulo do 1º quadrante é

Agora vamos descobrir qual o ângulo do 2º quadrante que também apresenta este valor para o seno.

Lembrete: sen â = sen quando â + = 180°. Lembrete: sen â = sen quando â + = 180°.

b̂ b̂

Logo:

sen(98°) = sen( sen(98°) = sen(

sen(155°) = sen ( sen(155°) = sen ( ) =) =

sen(180°) = sen(sen(180°) = sen( ) =) =

) =) =

x =

d] Sabendo que sen x = 0,9781e

que x 2º Q então x =

a]Sabendo que sen x = 0,2079 e que x 2º Q então x =

b] Sabendo que sen x = 0,5878 e que

x 2º Q então x =

c]Sabendo que sen x = 0,2924 e

que x 2º Q então x

Virando a folha tem mais...

TUDO TRANQUILO?

Para as demais razões trigonométricas o raciocínio é semelhante desde que se observe o sinal de cada uma delas no 2º quadrante.

VEJAMOS...

Sabendo que tan x = - 0,3640 e

que x 2º Q então x =

Lembre-se: â + = 180°.

b̂

0,3640Para descobrir o ângulo do 1º Q que apresenta o mesmo valor para a tangente introduza na calculadora 0,3640.

Desconsidere o sinal pois no 1º Q todas as seis funções têm sinal positivo.

b̂

Para acionar a função tan-1.tecle INV e depois TAN

Agora que você conhece o ângulo “â” do 1º Q, determine o do 2º Q,

filme

a] Sabendo que tan x = - 0,1405 e que x 2º Q então x =

b] Sabendo que cos x = -0,9063 e que

x 2º Q então x =

c] Sabendo que tan x = - 11,4301 e

que x 2º Q então x =

d] Sabendo que cos x = - 0,2079 e

que x 2º Q então x =

AINDA NÃO ACABOU ...

Sabendo que sec x = - 1,4663 e que x 2º Q , determine x

filmeO visor mostrará o valor do ângulo x, no caso 133º.

Como a calculadora não tem esta função teremos que usar a relação:

cos x = 1/ sec x .

Introduza na calculadora o

valor 1, 4663 e tecle 1/x

Para encontrarmos o ângulo correspondente a este valor do cosseno aciona-se a tecla cos-1.Tecle INV e depois COS.

O visor mostrará o valor do cosseno.

1,4663

a] Sabendo que csc x = 2,3662 e que x 2º Q então x =

b] Sabendo que cot x = -0,1763 e que

x 2º Q então x =

c] Sabendo que sec x = - 4,8097 e

que x 2º Q então x =

Observe que determinados ângulos apresentam o mesmo valor para o seno, porém com sinais contrários.

Relações entre ângulos do 1º Q e 3º Q

Usando a calculadora determine os valores de:

Na caixa abaixo estabeleça uma relação entre estes ângulos situados no 1º Q e no 3º Q.

Dica: observe a diferença entre estes ângulos

Dica: observe a diferença entre estes ângulos

b̂

O segmento verde representa o sen â

O vermelho representa o sen b̂

Observe que os segmentos verde e vermelho são iguais em módulo porém apresentam sentidos contrários.

sen = - sen â b̂

Quando isto acontece?

Quando - â = 180°,

ou = 180º + â .

b̂

b̂

b̂ é um ângulo do 3º Q

â é um ângulo do 1º Q

A partir dessas considerações complete as sentenças abaixo:

sen = - sen â = - sen ( - 180º )b̂ b̂

cos = - cos â = - cos ( - 180º )b̂b̂

tg = tg â = tg ( - 180º)b̂b̂

cot = cot â = cot ( -180º )b̂b̂

sec = - sec â = - sec ( -180º)b̂b̂

sen(198°) = -sen ( sen(198°) = -sen (

sen(195°) = -sen ( sen(195°) = -sen ( ) =) =

sen(227°) = -sen (sen(227°) = -sen ( ) =) =

) =) =

Podemos encontrar as razões trigonométricas de ângulos do 3Q a partir das relações abaixo:

csc = - csc â = - csc ( - 180º)b̂b̂

Resolva agora as questões abaixo considerando x um ângulo do 3º Q:

a) Se cos x = - 0,8480 então x =

b) Se tan x = 2,0503 então x =

e) Se cot x = 0,1763 então x =

c) Se cos x = -0,5736 então x =

d) Se csc x = -2,3662 então x =

f) Se sec x = - 4,8097 então x =

Desconsidere o

sinal da razão

trigonométrica

para que a

calculadora

forneça o

ângulo do 1ºQ

Desconsidere o

sinal da razão

trigonométrica

para que a

calculadora

forneça o

ângulo do 1ºQ

Observe que determinados ângulos apresentam o mesmo valor para o seno, porém com sinais contrários.

Relações entre ângulos do 1º Q e 4º Q

Usando a calculadora determine os valores de:

Na caixa abaixo estabeleça uma relação entre estes ângulos situados no 1º Q e no 4º Q.

Dica: observe a SOMA destes ângulos

Dica: observe a SOMA destes ângulos

ESTÁ QUASE NO FIM!

O segmento verde representa o sen â

O vermelho representa o sen b̂

Observe que os segmentos verde e vermelho são iguais em módulo porém apresentam sentidos contrários.

sen = - sen âb̂

Quando isto acontece?

Quando + â = 360°,

ou = 360º - â .

b̂

b̂

b̂ é um ângulo do 4º Q

â é um ângulo do 1º Q

b̂â

â

Pode-se escrever também que: a) Se cos x = - 0,8480 então x =

sen = - sen â = - sen (360º - â)

cos = cos â = cos (360º - â)

tg = - tg â = -tg (360º - â)

cot = - cot â = -cot(360º - â)

sec = sec â = sec (360º - â)

csc = - csc â = - csc (360º - â)

b) Se tan x = 2,0503 então x =

c) Se cos x = -0,5736 então x =

d) Se csc x = -2,3662 então x =

e) Se cot x = 0,1763 então x =

f) Se sec x = - 4,8097 então x =

b̂

b̂

b̂

b̂

b̂

b̂

Lembre-se:

Para salvar o que escreveu você deve :

1 - Sair do modo de apresentação (clicando no botão esc );

2 – Salvar.

Registre abaixo suas dificuldades. Explicite quais os conceitos que não compreendeu bem, exercícios que não conseguiu resolver, etc.