REFERENCIAL_DO_LIVRO_DE_CÁLCULO_IV_(4).pdf

8/17/2019 REFERENCIAL_DO_LIVRO_DE_CÁLCULO_IV_(4).pdf

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1

Universidade de Uberaba

Graduação em Engenharia - etapa 4

Componente: Estudos Lógico-matemáticos

Referencial do livro: Cálculo IV

1 Números complexos:representações e operações

Ana Paula Arantes Lima

Jo séRic ard o Gonçalv es Manzan

And erson Osvaldo Ribeiro

REFERENCIAL DE RESPOSTAS

Atividade 1

1.1 – Respostas:

00

11

2

3 2

4 3 2

5 4

1 1

1 1

1

1

1

1

i

i i

i

i i i i i

i i i i i i

i i i i i

6 5 2

7 6

8 7 2

9 8

10 9 2

11 10

12 11 2

1

1

1

1

1

1

1

i i i i i i

i i i i i

i i i i i i

i i i i i

i i i i i i

i i i i i

i i i i i i


2/26

2

1.2 À medida que os expoentes aumentam, os resultados das potências começam ase repetir, de forma periódica, a cada quatro potências.

1.3)

4

4 1

4 2

4 3

1

1

n

n

n

n

i

i i

i

i i

Atividade 2

a) (3 5 ) ( 1 3 ) 3 1 5 3 2 2i i i i i

b) (7 3 ) (2 2 ) 7 2 3 2 5 5i i i i i

c)2(3 2 ) (5 ) 15 3 10 2 13 13i i i i i i

d) 3 2 2 4 6 4 3 2 2 8 8 6 4 3 2 2i i i i i

Atividade 3

a) 3 4z i

b)3 4 3 4 6z z i i

Observando o resultado, temos 6 2 3 2 Re( )z , conforme estava descrito naspropriedades anteriores.

c) 3 4 (3 4 ) 3 4 3 4 8z z i i i i i

O resultado mostra ser verdadeira a propriedade tal que z z resulta no dobro da

parte imaginária:

8 2 4 2 Im( )i i z

, f


3/26

3

Atividade 4

a)

3 3 33

1

i i i

i i i

b)

3 23 43 4 3 3 6 4 3 8 3 3 8 6 4 3

3 4 7 7 73 2 3 2 3 2

i i i i i i

i i i

c) Relembrando que9

i i , temos:

9 1 344 4 4 3 3 4 3 4 3 1

1 3 4 41 3 1 3 1 3

i i i i i i

i i i

Atividade 5

a) A representação dos números complexos está indicada na figura, a seguir:

Re(z)

Im(z)

1z

2z


4/26

4

b)

3

3

1 2 4

5 3

z i i

z i

c) A representação dos números complexos está indicada na figura, a seguir:

Atividade 6

a)22 3 3 2 6 4 9 6 6 5 6 12 5z w i i i i i i i ( ) ( )

2(2 3 ) ( 3 2 ) 6 4 9 6 6 6 13 13

( 3 2 ) ( 3 2 ) 9 4 13 13

z i i i i i i i i

w i i

(2 3 )( 3 2 ) 2 3 3 2 1 5z w i i i i i

1z

Re(z)

Im(z)

3z


5/26

5

2 22 3 13z

2 2( 3) 2 13w

b)

2 212 5 12 5 169 13z w i ( ) ( ) 13 13 13

z w

c)

131

13

z

w

2 20 ( 1) 1 1

z i

w

d) 2 21 5 ( 1) 5 1 25 26z w i

2 13z w

e) Os resultados dos itens anteriores, mostram que:

o módulo do produto entre dois números complexos é igual ao produto deseus módulos;

o módulo da razão entre dois números complexos é igual à razão dos seusmódulos;

o módulo da soma de dois números complexos é menor que a soma dos seusmódulos, podendo, no máximo, ser igual a essa soma dos módulos.

Atividade 7

7.1 Respostas:

a) 4 3 4z i

2 24 3 4 48 16 64 8

4 3 3

8 2

cos

4 1

8 2sen

11

6

7 78 cos

6 6z isen

b)z i

2 20 1 1 1 ( )

00

1

cos

11

1

sen

3

2


6/26

6

3 3cos

2 2z isen

c)

1

1z

i

2

1 1 1 1 11 1 1 2 2 2

i i i i z i i i

( )( ) ( )

2 21 1 1 1 2 2

2 2 4 4 4 2

1

22

22

2

cos

1

22

22

2

sen

4

2cos

2 4 4z sen

7.2 Respostas:

a)

6 2

2 2z i

2 2

6 2 6 2 82

2 2 4 4 4

632

22 cos

212

22sen

6

2

6 6z isen

cos

6 2

2 2z i

2 2

6 22

2 2

6

32

22 cos

2

12

22sen

11

6

11 112

6 6z isen

cos

b) A representação dos complexos está indicada, a seguir:


7/26

7

Atividade 8

8.1 Respostas:

a)1

7 7 2 22 2 2 2

4 4 2 2z isen i i

cos

b)2

2 2 1 34 cos 4 - -2 2 3

3 3 2 2z isen i i

c) 3

3 34 4 0 1 4

2 2z isen i i

cos ( )

Re(z)

Im(z)

z

z


8/26

8

8.2 Respostas:

a)

1 2

1 2

7 2 7 22 4 cos

4 3 4 3

29 298 cos sen12 12

z z i sen

z z i

b)

1

3

1

3

2 7 3 7 3cos

4 4 2 4 2

1cos sen

2 2 2

z i sen

z

z i

z

Atividade 9

a)

2 23 1

1 12 2

3

2 cos

1

2sen

11

6

50

3 550 550 1 31

2 2 6 6 2 2

i isen i

cos

b)

22

3 1 4 2

3

2 cos

1

2sen

5

6

9 15 15

3 512 5122 6

i isen i

cos

c)2 20 4 4 0 cos 1sen 2

4

4 256 2 2 256i isen cos


9/26

9


10/26

10





2 Equações diferenciais no contexto dasciênciasJo séRic ard o Gonçalv es Manzan

Referencial de Respostas

Atividade 1

Como ainda não foi trabalhado nenhum método de resolução, o melhor caminho é osugerido pelo próprio exercício.

As derivadas são:

(i) ' 2 y x e '' 2 y

(ii) 1 2' 2 cos2 2 2 y C x C sen x e 1 2'' 4 2 4 cos2 y C sen x C x

(iii)2 2

1 2' 2 2 x x y C e C e e

2 2

1 2'' 4 4 x x y C e C e

(iv) ' y C e '' 0 y

Analisando as funções e suas derivadas, percebemos que:


11/26

11

a função do item (iv) é a solução da equação (a), pois

dy x y x C y Cx

dx

;

a função do item (i) é a solução da equação (c), pois

' 2dy

y xdx

; a função do item (iii) é solução da equação (b), pois

2 2 2 2

1 2 1 2'' 4 4 4 4( ) x x x x y y C e C e C e C e ;

a função do item (ii) é a solução da equação (d), pois2

1 2 1 22 4 4 2 4 2 4( 2 cos2 )

d y y C sen x C sen x C sen x C x

dx

A classificação quanto à ordem é a seguinte:

a) 1ª ordem b) 2ª ordem c) 1ª ordem d) 2ª ordem

Atividade 2

a)

2( 1) 0

dy x xy

dx

é equivalente a

2 0

( 1)

dy x y

dx x

.

Assim,2

( )1

x p x

x

e ( ) 0q x

2 12 2

1ln( 1) 1

ln( 1) 2 22 2( 1) 1 x

xe e x x

2

211

C x y C y

x 2

11

1C y

x

b)

64

xdy x y x e

dx

é equivalente a

54 xdy y x edx x

. Assim,

4( ) p x

x

e5( ) xq x x e

4ln 4 xe x

5 4 4 x x y x e x e cx 5 4 42 2 x xC y x e x e x


12/26

12

c) A equação2 3

dy x y

dx

é equivalente a

2 3dy y

dx x x

. Assim,

2( ) p x

x

e

3( )q x

x

.

2 x 2 23 ln y x x C x 2 2 2 23 3 ln ( 3)C e y x x e x

Atividade 3

a) y Cx 2C

b)

2 2

2

2

1 1

1

1

1

1, 0

2 2 1

x C x C

x

x

y Ce Ce e

y Ce C

C y e

c)

1ln ln sec

cos

0 ln sec

y C x C x

C y x

Atividade 4

Substituindo os valores de L , R e V , temos a equação diferencial

11 33 44 3 4dI dI

I I dt dt

Obtendo a constante de integração, chegamos a:

3 3dt t e e

Dando sequência à resolução, temos:


13/26

13

3 3 3 3 3 344 43

t t t t t t d e I e e I e dt e I e C dt

33

3 3

4 4

3 3

t t

t t

e C I Ce

e e

Como a condição inicial implica em I (0) = 12A, então temos que:

3 0 04 4 4 3212 12

3 3 3 3Ce Ce C C

Assim, a função corrente elétrica específica para o problema de valor inicial é

34 32( )3 3

t I t e , (2) 1,36 I A e (10) 1,33 I A

Atividade 5

Usando a lei do resfriamento, de Newton,( )

m

dT k T T

dt

, verificamos que a equação

pode ser reescrita como

( 18)dT

k T

dt

, em que o problema de valor inicial écaracterizado pelo ponto (0) 67T .

( 18)

dT kdt

T

Integrando ambos os membros da equação, ficaremos com:

1 1

1

2

2

ln 18( 18)

18 18 18

18

kt C C kt kt

kt

dT kdt T kt C

T

T e T e e T C e

T C e

Como (0) 67T , isso decorre em:

0

2 267 18 49k C e C


14/26

14

Montando a expressão da temperatura em função do tempo, temos:

18 49 kt T e

Da relação (40) 42T , encontramos:

40 40 402442 18 49 24 49

49

24 1 2440 ln ln 0,017844161

49 40 49

k k k e e e

k k

Finalmente:0,01784416118 49 t T e e

Se a temperatura ambiente é de 18ºC e queremos o instante em que o café esteja auma temperatura de 2ºC acima desta, queremos determinar o valor t para T = 20ºC.Então:

0,017844161 0,017844161 0,017844161220 18 19 2 1919

20,017844161 ln 0,017844161 2,251291799

19

126,16

t t t e e e

t t

t s

Atividade 6

Pela situação apresentada em um minuto, o tanque recebe 20 litros de água e drena10 litros da solução. Assim, a cada minuto, o volume da solução aumenta 10 litros epodemos afirmar que o volume para cada instante é representado pela expressão V =400 + 10t.

Como o líquido adicionado é água pura, a taxa de entrada de sal é zero. A taxa desaída é:


15/26

15

taxa de saída =

( ) 1010 ( )

(400 10 ) min 400 10 min 40

y t g g y y t

t t t

Consequentemente,

dy

dt será dado por:

0 040 40

dy y dy y

dt t dt t

Resolvendo essa equação diferencial, temos:

1ln 4040 40

dt t t e e t

Dando sequência à resolução, temos:

(40 ) 0 (40 ) 0d

t y t y dt C dt

( )40

C y t

t

Como em y(0) = 30g, temos que:

30 1200

40 0

C C

1200( )

40

y t

t

Como V = 400 + 10t e a capacidade máxima do tanque é de 800 litros, então o instante

na qual o tanque irá transbordar é dado por 800 = 400 + 10t, em que 40t , ou seja 40minutos.

1200 1200(40) 15

40 40 80

y

O volume será de 15 gramas.

Atividade 7

a) III b) IV c) I d) II


16/26

16

Atividade 8

Atividade 9

Tabela:

n n x n y ( , )n n f x y x 1 ( , )n n n n y y f x y x

0 0 3,00 -0,30 2,70

1 0,1 2,70 -0,26 2,44

2 0,2 2,44 -0,22 2,22

3 0,3 2,22 -0,19 2,02

4 0,4 2,02 -0,16 1,86

5 0,5 1,86 -0,14 1,73

6 0,6 1,73 -0,11 1,61

7 0,7 1,61 -0,09 1,52

8 0,8 1,52 -0,07 1,45

9 0,9 1,45 -0,05 1,39

10 1 1,39 _ _

x

ydy/dx = (x+y)/2


17/26

17

Campo de direções desenhado pelo software Winplot, para soluções a partir de x = 0.

Atividade 10

a) A equação auxiliar é2 6 8 0m m , que tem as raízes m = 4 e m = 2.

Assim,4 2

1 2

x x y c e c e

b) A equação auxiliar é29 4 0m , que tem as raízes

2

3m i

.

Assim,1 2

2 2cos

3 3 y c x c sen x

c) A equação auxiliar é2 2 1 0m m , que tem as raízes

1 3

2 2m i

e

1 3

2 2m i

.

Assim,

2

1 2

3 3cos

2 2

t

y e c t c sen t

x

ydy/dx = (x-y)/2


18/26

18

d) A equação auxiliar é2 6 8 0m m , que tem a raiz m = 1. Assim, 1 2

x x y c e c xe

Atividade 11

(0,3) 24,3 81k k

O problema de valor inicial é: 4 '' 81 0 y y , (0) 0, 5 y e '(0) 0 y .

A solução geral da equação é dada por1 29 9( ) cos

2 2 y t c t c sen t

.

Usando as condições iniciais, chegamos à solução particular

1 9( ) cos

5 2 y t t

Atividade 12

a)

I) A solução para a equação auxiliar é .

A solução particular é do tipo p y Ax B

, em que

1

4 A

e 0 B .

Finalmente, a solução geral é

II) , em que 1 cos2 y x e 2 2 y sen x .

Pela equação

1 1 1 1 1cos 2 2 cos2 2 cos2 2

4 2 4 2 4 p

y x x sen x x xsen x x sen x x

,

chegamos à solução geral .

1 2cos2 2c y c x c sen x

1 2

1cos2 2

4 y c x c sen x x

1 2cos2 2c y c x c sen x

1 2

1cos2 2

4 y c x c sen x x


19/26

19

b)

I) A solução para a equação auxiliar é 1 2( ) x xc y x c e c xe .

A solução particular é do tipo2 x

p y Ae

, onde 1 A .

Finalmente, a solução geral é2

1 2( ) x x x

c y x c e c xe e

II) 1 2( ) x x

c y x c e c xe

, onde 1 x

y e e 2 x y xe .

Pela equação2 2 2(1 ) x x x p y x e xe e , chegamos à solução geral

2

1 2( ) x x x

c y x c e c xe e .

Atividade 13

A equação diferencial para a situação é

2

2 20 500 12

d Q dQQ sent

dt dt

.

A solução para a equação complementar 10 1 2( ) cos20 20

t

cQ t e c t c sen t

.

Para a solução particular, supomos( ) cos10 10 pQ t A t Bsen t desencadeando

'( ) 10 10 10 10 pQ t Asen t Bcos t e ''( ) 100 cos10 100 10 pQ t A t Bsen t .

Pelo método dos coeficientes a serem determinados, chegamos à solução particular

3 3( ) cos10 10

250 125 pQ t t sen t

e à solução geral

10 1 23 3

( ) cos20 20 cos10 10250 125

t Q t e c t c sen t t sen t .


20/26

20

De (0) 0Q e'(0) (0) (0) 0

dQQ I

dt

chegamos a1

3

250c

e2

3

500c

Finalmente, a carga no instante t é dada por:

10 3 3 3 3( ) cos20 20 cos10 10

250 500 250 125

t Q t e t sen t t sen t

e

10 1010'( ) ( ) 3cos20 50 20 60 20 1000cos20

13 131

30 10 20cos1013

t t e eQ t I t t sen t sen t t

sen t t


21/26

21





3 Cálculo vetorialAna Paula Arantes Lima

Jo séRic ard o Gonçalves Manzan

REFERENCIAL DE RESPOSTAS

Atividade 1

a) b)

c)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


22/26

22

Atividade 2

a) III b) IV c) I d) II

Atividade 3

a) 2 F x y F zi

b)3 3 28 10 F z y x zy

2 2 45 3 4 F z i xz j xy k

c) 0 F 2 4 3 3 4 5 2 2

40 12 14 3 16 21 F x z xy i y z y j xz y z k

d) ( ) 2 ( ) cos( ) xy F ye sen y sen z z 0 F

e)2 2 2

2 F

x y z

0 F

f)2 2

1 xyz x F xze x x z

2 2

xyz xyz z F xye i j yze k x z

Atividade 4

a)

1

0

1( ) ;(0 1); ( )

2r t ti tj tk t t t t dt

b)

12 3 2

0

1(2 ) 3

60t t t t t dt

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


23/26

23

c)

12

0

2( ) cos( ) cos( )

2 sen t t t t dt

Atividade 5

a)

3 3 1 2

0 0

11 2

1

t dt t dt

t

b)

3

20

1 25 5 ln(2)

1 4

t dt

t

Atividade 6

( ) 5cos( ) 5 ( ) ; 0r t t i sen t j t

2 20 0

15 15 5 ( ) ( 5 ( )) (5cos( )) 5 15 5 ( )

75 50 185,6 unidades de massa

C M y ds sen t sen t t dt sen t dt

Atividade 7

a) 00 0dt

b)

21

2

0

4 94

2 2

t t ee e dt

e

Atividade 8

32

31

1 1 921 ln3

9W t dt

t t

Atividade 9

a) 3 3 3 y x

y x

( , ) 3 x y xy (4,0) (1,2) 6


24/26

24

b) 3 2 2 22 6 3 xy xy x y

y x

2 3( , ) x y x y ( 1,0) (2, 2) 32

Atividade 10

a)

4 2

2 1(2 3 ) 0 y x dydx

b)

2 3

0 0(1 2 ) 9rsen rdrd

c)

2 2

0 0( cos( ) ( )) 0 y x xsen y dydx

Atividade 11

1 1 1

0 0 0

10 (1 ) 0

2C A xdy dt ab t dt dt ab

Atividade 12

a) R é a região anular entre os círculos2 2 1 x y e

2 2 4 x y

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 3

0 1

1 2

152

2

R R

x y z dS x y dA x y dA

x y x y

z dS r drd

b) 1 z x y , R é a região triangular limitada por 1, 0 x y x e 0 y .

1 1

0 0

33 3

24

x

R

xydS xy dA xydydx

c) A curva parametrizada é dada por

( , ) cos( ) ( )r u v u i vj sen u k

com(0 ,0 1)u v .


25/26

25

( ) cos( )r

sen u i u k u

r j

v

cos( ) ( )r r u i sen u k u v

,

1r r u v

12 2

0 0cos

4 x ydS v ududv

Atividade 13

2

24 , , 0

4

z x z z x

x y x

24 1

0 0 0 02 20 0

1 41 2

4 34 R

xdS dA dxdy

x x

Atividade 14

2 2 2 2

2 1

0 0

, 2 2 2 1

2 2

R R

R

z z n i j k F ndS x y x y dS

x y

F ndS rdrd

Atividade 15


26/26

2 2

2 2 3 3

0 1

cos 2 , cos

2 cos 2 ; 2 2 18

R

r r vi senvj uk usenvi u vj

u v

r r u vi u senvj uk u u dA u u dudv

u v

Atividade 16

a)

2 1 3

0 0 02 1 12

G

divFdV x dxdydz

b)

0 0G G

divFdV dV

c)

23 3

G G

divFdV dV a

Atividade 17

a)2

3 2 2rotF y i zj k e

2 2rotF ndS dS

b)4 6 6rotF i j yk

e

2 2

0 0

(3 6 ) (3 6 ) 14 x

R

rotF ndS y dA y dydx

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