Escola Secundária D. Sancho I

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____________________________ 1

Referenciais no Espaço

COORDENADAS NUM EIXO

Num eixo a posição de um ponto fica

definida por um só número.

A

0 3 x

A 3

•

02/03/2015 2

O Referencial Cartesiano no

Plano

Eixo das

Abcissas

Eixo das

Ordenadas

Origem

x

y

0

02/03/2015 3

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____________________________ 2

As Coordenadas no Plano

x

y

0

b

a

P

P (a , b)

O Ponto P tem abcissa a e ordenada b.

a e b são as coordenadas do ponto P.

No plano a posição de um ponto fica definida por um

par ordenado de números.

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Síntese

A uma dimensão A duas dimensões

Eixo Plano

A x A (a,b)

ℜ 2ℜ

AA

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z

y

x

0

Referencial Cartesiano no

Espaço

Origem

Eixo das

Abcissas

Eixo das

Ordenadas

Eixo das

Cotas

02/03/2015 6

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____________________________ 3

Os três eixos são perpendiculares dois a dois

(referencial ortogonal) e considera-se a mesma

unidade de comprimento nos três eixos

(referencial monométrico).

Referencial Cartesiano no

Espaço

z

y

x

0

02/03/2015 7

No espaço a posição de um ponto fica definida por um

terno ordenado de números.

Referencial Cartesiano no

Espaço

z

y

x

0

A

A ( 2,3,0 )

3

2

A tem:

• Abcissa 2

• Ordenada 3

• Cota 0

02/03/2015 8

Referencial Cartesiano no

Espaço

z

y

x

0

De um modo geral P (a,b,c)

abcissa

Ordenada

Cota02/03/2015 9

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____________________________ 4

Referencial Cartesiano no

Espaço

Conclusão:

Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto

dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( ).3ℜ

3{ }pontos do espaço R↔

3 {( , , ) : , , }x y z x y zℜ = ∈ℜ

02/03/2015 10

z

y

x

0

•A

3

•

-4

B

•4C A ( 3, 0, 0 )

B ( 0, -4, 0)

C ( 0, 0, 4 )

Coordenadas de Pontos nos

Eixos

A ( 3, 0, 0 )

B ( 0, -4, 0)

02/03/2015 11

PLANOS COORDENADOS

Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem

três planos, perpendiculares entre si:

- plano xOy

- plano yOz

- plano xOz

0

z

x

y

02/03/2015 12

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____________________________ 5

Os planos dividem o espaço em oito octantes.

Os octantes

0

z

x

y

1º

2º

3º

4º

5º

6º

7º

8º

02/03/2015 13

PLANO xOy

x

z

yP

Conclusão:

• Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode

ser definido por z = 0.

• O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.02/03/2015 14

Plano z = 55

Condição do Tipo z = k

Plano z = 0•

-3Plano z = -3

z

y

x

0

•

•

Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz eparalelos ao plano xOy.

02/03/2015 15

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____________________________ 6

PLANO xOz

Conclusão:

• Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o

plano pode ser definido por y = 0.

• O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy.

z

0

x

P

02/03/2015 16

Plano y = 0

Plano y = -3

Plano y = 4

4

Condição do Tipo y = k

-3•

z

y

x

•0•

Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy eparalelos ao plano xOz.

02/03/2015 17

PLANO yOz

0

z

x

y

P

Conclusão:

• Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano

pode ser definido por x = 0.

• O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.02/03/2015 18

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____________________________ 7

Plano x = 0•

Condição do Tipo x = k

Plano x = -3-3•

Plano x = 2

z

y

x

0

•2

Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox eparalelos ao plano yOz.

02/03/2015 19

Simetrias em relação a uma recta

r

P

P’

P’ é simétrico P em relação a r se:

• PP’ e r são concorrentes;

• PP’ r;

• r é a mediatriz de [ PP’ ]

⊥

02/03/2015 20

Simetrias em relação a um plano

P P’

α

P’ é simétrico do ponto P se

• PP’

• P e P’ são equidistantes de

⊥ α

02/03/2015 21

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____________________________ 8

Simetrias em relação ao plano xOyz

x

y

P

P’

P’ é simétrico de P em relação ao plano xOy

P (x,y,z) P’ (x,y,-z)02/03/2015 22

0

z

x

y

Simetrias em relação ao plano xOz

P P’

P’ é simétrico de P em relação ao plano xOz

P (x,y,z) P’ (x,-y,z)02/03/2015 23

P

P’

Simetrias em relação ao plano yOz

0

z

x

y

P’ é simétrico de P em relação ao plano yOz

P (x,y,z) P’ (-x,y,z)02/03/2015 24

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____________________________ 9

Condição do Tipo x = k e y = c

z

y

x

0

•-3

A condição

x = k e y = c

define uma

recta paralela a

Oz, ou seja,

uma recta

perpendicular

ao plano xOy.

x = k

y = c

02/03/2015 25

Condição do Tipo y = k e z = c

z

y

x

0

A condição

y = k e z = c

define uma

recta paralela a

Ox, ou seja,

uma recta

perpendicular

ao plano yOz.y = k

z = c

02/03/2015 26

Condição do Tipo x = k e z = c

z

y

x

0

A condição

x = k e z = c

define uma

recta paralela a

Oy, ou seja,

uma recta

perpendicular

ao plano xOz.

x = k

z = c

02/03/2015 27

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____________________________ 10

Fim

02/03/2015 28