Regente: Prof. Dr. CachimoAssane

Investigação Operacional

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Licenciatura em Contabilidade e Auditoria

Capítulo 4:Tema 1: Problema de Transporte

Ano lectivo: 2018/Semestre: I

Regente: Prof. Dr. Cachimo Assane (ISUTC) Investigação Operacional Ano lectivo: 2018/Semestre: I 1 / 35

O problema de transporte

� É uma classe especial de PPLs que trata de envio de uma mercadoria de origens(por exemplo, fábrica) para destinos (por exemplo, depósitos).

� O objectivo é determinar a programação de expedição que minimize o custototal de expedição e, ao mesmo tempo, satisfaça os limites de fornecimento edemanda.

� Outras aplicações do problema de transporte: controle de estoque,programação de emprego e afectação do pessoal.

� A resolução do problema de transporte é baseada no algoritmo simplex.


Definição do problema de transporte

� Há m origens e n destinos, cada um representado por um nó.

� Os arcos indicam as rotas que ligam as origens aos destinos.

� O arco (i , j), que liga a origem i ao destino j , fornece:1) o custo de transporte por unidade, cij ; 2) a quantidade enviada, xij .


Definição do problema de transporte

� A quantidade de suprimento na origem i é ai , e a demanda no destino j é bj .

� O objectivo é determinar as incógnitas xij que minimiza o custo total detransporte e, ao mesmo tempo, satisfarão todas as restrições de suprimento edemanda.


formulação do problema de transporte� A MG Auto tem três fábricas: uma em Los Angeles, uma em Detroit e outraem Nova Orleans, e

� duas centrais de distribuição (CDs): uma em Denver e outra em Miami.� As capacidades das três fábricas para o próximo trimestre são 1000, 1500 e1200 carros.

� As demandas trimestrais nas duas CDs são 2300 e 1400 carros;� As distâncias entre as fábricas e as CDs são:

� Os custos de transporte por carro nas diferentes rotas são:


Exemplo: Formulação do PPL de transporte

� A formulação do PPL da questão é dada por:Minimizar z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32

� Todas essas restrições são equações porque a oferta total das três origens éigual à demanda total dos dois destinos (3700 carros)


Exemplo: Formulação do PPL de transporte

� A tabela simplex para o PPL de transporte é:


Suposição do modelo de transporte

� Hipótese das exigências (balanceamento):Cada origem tem uma oferta fixa de unidades, em que toda essa oferta tem deser distribuída aos destinos. De forma similar, cada destino tem uma demandafixa por unidades, nas quais toda essa demanda deve ser recebida das origens.Significa que a demanda total deve ser igual à oferta total.

� Propriedade das soluções viáveis: Um problema de transporte terá soluçõesviáveis se e somente se

m∑i=1

ai =n∑

j=1bj .

� Se o problema não for balanceado, sempre pode se adicionar uma origem fictíciaou um destino fictício para estabelecer o equilíbrio.


O algoritmo para o problema de transporte

� O Algoritmo para o problema de transporte segue exactamente as mesmasetapas do método simplex.

� Porém, em vez de usar a tabela simplex normal, os cálculos são feitos a partirda estrutura especial do problema de transporte.

� Etapas do algoritmo para o problema de transporte:Ü Etapa 1: Determine uma SBV inicial e passe para etapa 2.Ü Etapa 2: Use a condição de optimalidade do método simplex para determinar

a variável que entra entre todas a variáveis não básicas. Se a condição forsatisfeita, pare. Caso contrário, passe para a etapa 3.

Ü Etapa 3: Use a condição de viabilidade do método simplex para determinara variável que sai entre todas as variáveis básicas actuais e ache a nova SBV.Volte para etapa 2.


Determinação da solução básica viável inicial

� Um problema de transporte com m origens e n destinos tem m + n equaçõesde restrição, uma para cada origem-destino.

� No entanto, como o problema é sempre equilibrado, uma dessas equações éredundante. Assim, o problema tem m + n − 1 equações de restriçõesindependentes. Significa que a SBV inicial consiste em m + n − 1 variáveisbásicas;

� A SBV inicial pode ser obtida usando um dos três métodos:1) Método do canto noroeste2) Método do menor custo3) Método de aproximação de Vogel

� Os três métodos são diferentes quanto à qualidade da SBV inicial queproduzem, no sentido de que uma SBV inicial resulta em um valor para afunção objectivo menor.

� O método do canto noroeste dá a pior SBV inicial, porém, este envolve menorquantidade de cálculos em relação aos demais.


O método do canto noroeste

O método começa na célula do canto noroeste da tabela simplex (variável x11).� Etapa 1: Aloque o máximo possível à célula selecionada e ajuste as quantidadesassociadas fornecidas e demandadas subtraindo a quantidade alocada.

� Etapa 2: Cancele a linha ou coluna com suprimento ou demanda zero paraindicar que nenhuma outra alocação (designação) será feita àquela linha oucoluna. Se uma linha e uma coluna chegam a zero simultaneamente, cancelesomente uma e deixe um suprimento (demanda) zero na linha (coluna)cancelada.

� Etapa 3: Se restar exactamente uma linha ou coluna não cancelada, pare. Casocontrário, passe para a célula à direita se uma coluna acabou de ser canceladaou para a célula abaixo se a linha foi cancelada. Volte à etapa 1.


SBV incial pelo método do canto noroesteExemplo: A SunRay Transport Campany despacha camiões de grãos provenientesde três silos para quatro moinhos. As quantidades fornecidas (em cargas decamião), a demanda (também em cargas de camião) e os custos unitários, cij ,(em centenas de $, mostrados no canto nordeste de cada célula) de transportepor camião nas diferentes rotas estão resumidas na tabela abaixo. Deseja-se aprogramação de expedição, xij , de custo mínimo entre o silo i e o moinho.


SBV incial pelo método do canto noroesteExemplo: A aplicação do método do canto noroeste ao modelo dá a SBV inicialapresentada na tabela abaixo. As setas mostram a ordem na qual as quantidadesalocadas são geradas.

� A solução inicial é: x11 = 5, x12 = 10, x22 = 5, x23 = 15, x24 = 5, x34 = 10� O custo associado da programação é: z = 5 ∗ 10+ 10 ∗ 2+ 5 ∗ 7+ 15 ∗ 9+ 5 ∗20 + 10 ∗ 18 = $520


Método do menor custo

� O método do menor custo acha uma solução inicial melhor concentrando-senas rotas mais baratas.

� O método designa o máximo possível à célula que tiver o menor custo unitário(empates são resolvidos arbitrariamente)

� Em seguida, a linha ou coluna satisfeita é cancelada e as quantidades fornecidasou demandadas são ajustadas.

� Se ambas, uma linha e uma coluna, forem satisfeitas simultaneamente, só umadelas é cancelada, semelhantemente ao método do canto noroeste.

� Em seguida, procure a célula não cancelada que tenha o menor custo unitárioe repita o processo até restar exactamente uma linha ou coluna não cancelada.


Exemplo: método do menor custo

O método do menor custo é aplicado ao exemplo anterior da seguinte forma:� Célula (1,2) tem o menor custo unitário da tabela simplex (=$ 2). O máximoque pode ser despachado por (1,2) é x12 = 15 camiões, o que satisfaz a linha1 e a coluna 2 simultaneamente. Cancelamos arbitrariamente a coluna 2 eajustamos o suprimento na linha 1 para 0.

� A célula (3,1) tem o menor custo unitário não cancelado (= $ 4). Designex31 = 5 e cancele a coluna 1 porque ela está satisfeita; após, ajuste a demandada linha 3 para 10-5=5 camiões.

� Continuando da mesma maneira, designamos sucessivamente 15 camiões àcélula (2,3), 0 camiões à célula (1,4), 5 camiões à célula (3,4) e 10 camiões àcélula (2,4).

� A solução inicial resultante está resumida na tabela abaixo. As setas mostrama ordem em que são feitas as alocações.


Exemplo: método do menor custo

� A solução inicial (que consiste em seis VB) é x12 = 15, x14 = 0, x23 = 15, x24 =10, x31 = 5, x34 = 5

� O valor da F.O associado é: z = 15∗2+0∗11+15∗9+10∗20+5∗4+5∗18 =$475;

� Note que a SBV inicial dada método do menor custo é melhor que a dada pelométodo do canto noroeste (z = $520)


Método de aproximação de Vogel (MAV)

É uma versão melhorada do método do menor custo.� Etapa 1: Para cada linha (coluna), determine uma “multa” subtraindo oelemento de menor custo unitário da linha (coluna) do próximo elemento demenor custo da mesma linha (coluna).

� Etapa 2: Identifique a linha ou coluna que tenha a maior multa. Resolva osempates arbitrariamente. Aloque o máximo possível à variável que tiver omenor custo unitário da linha ou coluna selecionada. Ajuste o fornecimento ea demanda, e cancele a linha ou coluna satisfeita. Se uma linha e um colunaforem satisfeitas simultaneamente, cancele apenas uma das duas e atribuafornecimento (demanda) zero à linha (coluna) restante.



� Etapa 3:i) Se exactamente uma linha ou coluna com zero fornecimento ou demanda

permanecer não cancelada, pare.ii) Se uma linha (coluna) com fornecimento (demanda) positivo permanecer

não cancelada, determine as variáveis básicas na linha (coluna) pelométodo do menor custo. Pare.

iii) Se todas as linhas e colunas não canceladas (restantes) tiveremfornecimento e demanda zero, determine as variáveis básicas zero pelométodo do menor custo. Pare.

iv) Caso contrário, volte à etapa 1.



O MAV é aplicado ao exemplo dos silos. A tabela abaixo calcula o primeiroconjunto de multas:

� Como a linha 3 tem a maior multa e a célula (3,1) tem o menor custo unitárionaquela linha, a quantidade 5 é designada a x31. Agora, a coluna 1 estásatisfeita e deve ser cancelada.



� Em seguida, novas multas serão recalculadas conforme a tabela abaixo:



� A partir desta tabela, designamos a quantidade 15 à célula (1,2), o que resultaem x12 = 15 e satisfaz simultaneamente a linha 1 e a coluna 2. Cancelamosarbitrariamente a coluna 2 e ajustamos o fornecimento na linha 1 para zero.

� Continuando da mesma maneira, a linha 2 produzirá a multa mais alta (=11),e designaremos x23 = 15, o que cancela a coluna 3 e deixa 10 unidades na linha2.



� Sobra apenas a coluna 4, com um fornecimento positivo de 15 unidades.Aplicando o método do menor custo a essa coluna, designamossucessivamente x14 = 0, x34 = 5, x24 = 10.

� O valor para a função objectivo associado para essa solução é:z = 15 ∗ 2 + 0 ∗ 11 + 15 ∗ 9 + 10 ∗ 20 + 5 ∗ 4 + 5 ∗ 18 = $475.

� Ocorre que essa solução tem o mesmo valor da função objectivo que o métododo menor custo.


Exercícios de aplicaçãoCompare as soluções iniciais obtidas pelos métodos do canto noroeste, do menorcusto e de Vogel para cada um dos seguintes modelos:


Teste de Optimalidade e melhoramento de solução

Após determinar a solução inicial (usando qualquer um dos três métodos), agorautilizaremos o algoritmo simplex para determinar a solução óptima do modelo.� Etapa 1: Use a condição de optimalidade do simplex para designar a variávelque entra na base (a variável não básica actual que pode melhorar a solução).Se a condição de optimalidade for satisfeita, pare. Caso contrário, passe paraa etapa 2.

� Etapa 1: Determine a variável que sai da base usando a condição de viabilidadedo simplex. Mude a base e volte à etapa 1.

� As condições de optimalidade e viabilidade não envolvem as operações em linhausadas no método simplex.

� A determinação da variável que entra na base é feita com o cálculo doscoeficientes não básicos da linha da F.O usando o método dos multiplicadores


Método dos multiplicadores

No método dos multiplicadores, associamos os multiplicadores ui e vj com a linhai e coluna j da tabela simplex de transporte.� Para cada variável básica actual xij , os multiplicadores satisfazem as seguintesequações:

cij = ui + vj , para cada variável xij básica.

� Como mostra a tabela abaixo, a solução inicial tem seis variáveis básicas, o queresulta em seis equações e sete incógnitas.


Método dos multiplicadores� Para resolver essas equações, o método dos multiplicadores recomendaestabelecer arbitrariamente qualquer ui = 0 e, então, resolver para as variáveisrestantes, como mostrado a seguir:

� Resumindo: u1 = 0, u2 = 5, u3 = 3; v1 = 10, v2 = 2, v3 = 4, v4 = 15

� Em seguida, usamos ui e vj para avaliar as variáveis não básicas, calculando

cij − ui − vj , para cada xij não básica.



Os resultados dessa avaliação são:

Variável não básica cij − ui − vjx13 c13 − u1 − v3 = 20 − 0 − 4 = 16x14 c14 − u1 − v4 = 11 − 0 − 15 = −4x21 c21 − u2 − v1 = 12 − 5 − 10 = −3x31 c31 − u3 − v1 = 4 − 3 − 10 = −9x32 c32 − u3 − v2 = 14 − 3 − 2 = 9x33 c33 − u3 − v3 = 16 − 3 − 4 = 9

� A informação acima é, na realidade, equivalente a calcular a linha da F.O. databela simplex.

Base x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34F.O. 0 0 16 -4 -3 0 0 0 -9 9 9 0

� Teste de optimalidade: Uma SBV é óptima se e somente secij − ui − vj ≥ 0 para cada xij não básica.

� Lembre-se que a variável que entra na base é a que tem o coeficiente maisnegativo na linha da F.O. Portanto, x31 é a que entra na base.



� Os cálculos precedentes costumam ser feitos directamente na tabela simplexpara o PPL de transporte, sem necessidade de escrever as equações (u, v)explicitamente;

� Para isso, começamos fazendo u1 = 0. Após, podemos calcular os valores dev de todas as colunas que tem variáveis básicas na linha 1, ou seja, v1 e v2.

� Em seguida,calculamos u2 com base na equação (u, v) da variável de básicax22. Dada u2, podemos calcular v3 e v4, e assim por diante;


Método dos multiplicadores: Variável que sai da base

� Já sabemos que x31 é a variável que entra na base, agora precisamos determinara variável que sai da base;

� Ao selecionar x31 para entrar na base, significa que queremos despacharmercadorias por essa rota porque melhor a F.O. (reduz o custo total deexpedição);

� Qual é o máximo que podemos despachar por essa nova rota?Regente: Prof. Dr. Cachimo Assane (ISUTC) Investigação Operacional Ano lectivo: 2018/Semestre: I 29 / 35

Variável que sai da base

� Se x31 = θ, então o valor máximo de θ é determinado com base em duascondições:Ü Os limites de fornecimento e os requisitos da demanda continuam satisfeitos.Ü Os despachos por todas as rotas permanecem não negativo;

� Na prática, para determinar o valor máximo de θ e a variável que sai da base,faz-se o seguinte:i) Constrói-se um circuito fechado que começa e termina na célula da

variável que entra na base (3, 1). O circuito consiste somente emsegmentos horizontais e verticais conectados (não são permitidasdiagonais). Com a excepção da célula da variável que entra na base,cada canto do circuito fechado deve coincidir com a VB.

ii) Designa-se a quantidade θ à célula da variável que entra na base (3, 1).Alterna-se entre subtrair e somar a quantidade θ nos cantos sucessivosdo circuito (é indiferente percorrer o circuito em sentido horário ou anti-horário).


Método dos multiplicadores: Variável que sai da base

� Portanto, para θ ≥ 0, os novos valores das variáveis permanecem não negativosse

x11 = 5 − θ ≥ 0x22 = 5 − θ ≥ 0x34 = 10 − θ ≥ 0


Variável que sai da base

� O valor máximo correspondente de θ é 5, o que ocorre quando ambas x11 e x22alcança o nível zero.

� Como apenas uma variável deve sair da base, podemos escolher arbitrariamentex11 ou x22. Escolhemos x11.

� A seleção de x31 (=5) para entrar na base e x11 para sair da base requer ajustaros valores das variáveis básicas nos cantos do circuito fechado.

� Observe que cada unidade despachada pela rota (3, 1) reduz o custo deexpedição em $9 (=c31 − u3 − v1). Então, o novo custo total vai reduzir em$45(= $9 ∗ 5). Assim, o novo custo é $520 − $45 = $475


Método dos multiplicadores: iteração 2

� Dada a nova solução básica, repetimos o cálculo dos multiplicadores u e vcomo mostra a tabela a seguir:

Cálculos da iteração 2

� A variável que entra na base é x14. O circuito fechado mostra que x14 = 10 eque a variável que sai da base é x24


Método dos multiplicadores: iteração 3

� A nova solução, mostrada na tabela abaixo, custa $4 ∗ 10 = $40, menos doque a precedente, o que resulta no novo custo $475 − $40 = $435.

� Os novos cij −ui −vj agora são positivos para todas as xij não básica. Portantoa solução da tabela abaixo é óptima.

Cálculos da iteração 3 (óptima)


Método dos multiplicadores: Resumo da solução óptima

Número de cargasDo silo Para o moinho (camiões)

1 2 51 4 102 2 102 3 153 1 53 4 5

Custo óptimo= $ 435

� Exercício de aplicação: Considere os modelos dados nos exercícios anteriores.A partir das SBVs iniciais obtidas, determine as soluções óptimas dos modelos.


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