Prof ª.: Adriana Secretariado Matemática Básica

Regra de Três Simples e Composta

1. Grandezas É tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre

outros. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas.

1.1. Proporcionalidade entre Grandezas

As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

1.1.1. Grandezas diretamente proporcionais

O aumento de uma implica no aumento da outra. A redução de uma implica na redução da outra.

Exemplo 1:

Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela:

1.1.2. Grandezas inversamente proporcionais O aumento de uma implica na redução da outra. A redução de uma implica no aumento da outra

Exemplo 2: Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.

Número de alunos escolhidos.

Números de livros para cada aluno

2 12 4 6 6 4

Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte.

Exercício 1: 1) Classifique as relações em diretamente proporcionais e inversamente proporcionais:

a) Velocidade de uma impressora e páginas impressas por minuto. b) Velocidade de uma impressora e tempo necessário para imprimir 100 páginas. c) Quantidade de Kw/h (Quilowatt-hora) consumidos e conta de energia. d) Desconto promocional e valor pago por um produto. e) Comprimento de uma peça de tecido e seu preço. f) Quantidade de cimento e área da obra. g) Quantidade de animais e água ingerida. h) Plantação de milho e espigas de milho. i) Máquinas trabalhando e dias gastos para asfaltar.

2) Escreva 3 exemplos de grandezas diretamente proporcionais e 3 exemplos de grandezas inversamente proporcionais.

2. Regra de Três

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.

Regra de Três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas. As grandezas podem ser diretas ou grandezas inversamente proporcionais.

A Regra de Três pode ser simples ou composta: Simples: envolve somente duas grandezas. Composta: envolve mais de duas grandezas.

1

2.1. Regra de três simples

Exemplo 1 (Grandezas diretamente proporcionais):

1) Se 3 garrafinhas de água mineral custa R$ 4,50. Quanto custa 7 garrafinhas? Resolução:

Garrafa ↑ Valor ↑ 3__________ 4,50 7__________ x As grandezas são diretamente proporcionais, aumentando a quantidade de garrafas aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. 3 4,50 31,5

3 7.4,50 3 31,5 10,57 3

x x x xx

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = . Assim, 7 garrafas de água custam R$ 10,50.

2) Um automóvel gasta 31 L de gasolina para percorrer 325 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 600 km? Resolução:

Gasolina ↑ Distância ↑ 31L___________325 Km x ___________ 600 Km As grandezas são diretamente proporcionais. Aumentando a quantidade de gasolina, podemos percorrer uma distância maior.

31 325 18600325 31.600 325 18600 57, 23

600 325x x x x

x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Logo, para percorrer 600 Km serão gastos 57,23L de gasolina. 3) Uma torneira despeja 30 litros de água em 6 minutos. Para encher um tanque de 1 000 litros, essa torneira levará quanto tempo? Resolução:

Água (l) ↑ Tempo↑ 30 _____________ 6 min 1000_____________ x As grandezas são diretamente proporcionais.

30 6 600030 6.1000 200

1000 30x x x

x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Assim, para encher o reservatório gastará 200 minutos. Mas, 200 minutos corresponde a 3h20min. 4) Se um relógio adianta 18 min por dia, quanto terá adiantado ao longo de 4h40min? Resolução: Sabemos que 1 dia tem 24h que tem 1440 minutos.

Adianta Tempo ou seja Adianta↓ Tempo ↓ 18 min ______ 1 dia 18 min ______ 1440 min x ______ 4h40min x _______ 280 min

18 1440 504144 18.28 3,5

280 144x x x

x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Em 4h40min o relógio adiantará 3,5 min ou 3 min e 30 s.

Exemplo 2 (Grandezas inversamente proporcionais):

1) Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Resolução:

Velocidade(Km/h) ↑ Tempo ↓ 60 _____________ 4 80 _____________ x

As grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa. 80 4 24

8 4.6 8 24 360 8

x x x xx

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

O tempo a ser gasto é 3 horas. 2) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, construiu uma casa em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Resolução:

Horas por dia↓ Prazo para término (dias) ↑ 8 ___________________ 20 5 ___________________ x

2

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para o término aumenta. As grandezas são inversamente proporcionais. 8

5 8.20 5 160 325 20

xx x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

O prazo para término da obra é de 32 dias.

Exercícios de regra de três simples: 1) Com 10 kg de soja pode fabricar 7 kg de farelo de soja. Quantos quilogramas de soja são necessários para fabricar 28 kg de farelo?

R: 40 kg 2) Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria

para percorrer o circuito à velocidade média de 140 km/h? R: 3 minutos 3) Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de quirela. Quantas sacas de 60 kg de quirela podemos obter com 1200 kg de milho? R: 14

sacas 4) Sete litros de leite dão 1,5 kg de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 kg de manteiga? R: 42 L 5) Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30

linhas em cada página? R: 320 páginas 6) Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de um queijo. Quanto pagaria por 750 g desse mesmo queijo? R: R$ 3,60 7) Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e

meio? R: 8 máquinas 8) Para construir a cobertura de um barracão, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra

fazenda e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta? R: 40 dias

9) Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia? R: 702 litros 10) Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média? R:

532 km 11) Um automóvel gasta 24 L de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km? R:15 L 12) Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4 m3 de volume? R:

33 h 20 min 13) Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias? R: 6 minutos 14) Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas? R: 9 min b) Quantos minutos atrasará em 18 dias? R: 54 min c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos? R: 15 dias

15) Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? R: 14 cm

16) Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade? R: 40 m3

17) Para transportar arroz, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 m3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? R: 20 caminhões

18) A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico? R: 110 g

19) Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1 600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1 200 km ? R: 18 cm

20) Com certa quantidade de arame pode-se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior? R: 20 m

21) Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina? R: Nota 8 22) Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 80 cm. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40

m. Qual a altura do prédio? R: 9 metros 23) Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a

sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? R: 371 cm ou 3,71 m 24) Um coqueiro projeta uma sombra de 5 m e 30 cm, enquanto que uma pessoa com 1,70 m de altura projeta uma sombra de 47 cm no

mesmo instante. Qual a altura do coqueiro? R: 19,17 m 25) Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8 400 litros, quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo

tanque? R: 7 840 litros 26) Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma

folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? (Primeiro determine a área da peça quadrada ). R: 3 600 g 27) Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos

iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área? R: 300 azulejos 28) Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em

Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius? R: 40 graus

29) O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda: a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus? R: 84 min ou 1h 24 min b) Se o relógio foi acertado às 7 horas, que horas ele estará marcando? R: 8 h 24 min

3

30) Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? R: 14 dias

31) Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede? R: 14 peças

32) Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 l de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira? R: 4 h 15 min

33) Dois carregadores levam sacos de sal do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 sacos por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 sacos por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 sacos, quantos sacos levam o outro? R: 216 sacos

34) Três máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio? R: 4 máquinas

35) Para cercar um terreno são necessários 600 m de cerca. Em seis dias foram feitos 378 m de cerca. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? R: 3,5 dias

36) Em uma fazenda o consumo semanal de silagem é de 10,5 toneladas, restam apenas 17 toneladas de silagem quantos dias os animais poderão ainda ser alimentados com esta silagem? R: 11,3 dias

37) Na alimentação de 200 bois são consumidos 2 420 kg de ração em 4 dias. Se mais 55 bois são comprados, quantos quilogramas de ração serão necessários para alimentá-los em 1 dia? R: 771,38 kg

38) Para colocar cerâmica em uma sala retangular, de 7,5 m de comprimento por 5 m e 25 cm de largura, foram usadas 158 peças de cerâmica. Quantas peças iguais seriam usadas em 123 m2 de área? R: 494 peças

2.2. Regra de três composta

Ao lado da coluna que contém a incógnita (x), colocamos uma seta para baixo ↓ (por convenção). Esta coluna serve de referência. Verifica-se para cada uma das demais grandezas, se elas são direta ou inversamente proporcionais à grandeza de referência. Exemplos:

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2 420 kg de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilogramas de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias? Resolução:

Ração↓ Dias↓ Bois ↓ 2420 __________ 8 ___________ 2 x ___________ 12 ___________ 4 2420 8 2 2420 16

. 16 116160 726012 4 48

x xx x

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Assim, serão necessários 7 260 kg de ração. 2) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de milho. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3? Resolução:

Horas ↑ Caminhões ↓ Milho ↓ 8 ___________ 20 ______________ 160 m3 5 ____________ x ______________ 125 m3

Diminuindo o número de horas de trabalho, temos que aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional. Diminuindo o volume de milho, devemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional. Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 20 160 5 20 800 20.10

25125 8 1000 8

x xx x

= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Será preciso de 25 caminhões.

3) Em 06 dias de trabalho, 12 funcionários fazem 960 bolsas. Em quantos dias 4 funcionários poderão fazer 320 bolsas? Resolução:

Tempo ↓ Funcionários ↑ Bolsas ↓ 6 _________________ 12 _______________ 960 x __________________ 4 ________________ 320 6 4 960 6 3840

. 612 320 3840

xx x

= ⇒ = ⇒ = dias

4) Em 18 dias, 12 homens trabalhando 8 horas por dia, fabricam 9 plantadeiras. Em quantos dias, 8 homens, trabalhando 6 horas por dia fabricariam 15 plantadeiras? Resolução:

4

Dias ↓ Homens ↑ Horas por dia↑ Plantadeiras ↓ 18 _________ 12 _________________ 8 ______________ 9 x _________ 8 _________________ 6 ______________ 15

A grandeza homens é inversamente proporcional a grandeza dias, porque menos homens necessitarão de mais dias. A grandeza horas por dia é inversamente proporcional a grandeza dias porque trabalhando menos horas por dia, serão necessários mais dias. A grandeza plantadeiras é diretamente proporcional a grandeza dias porque para fabricar mais máquinas, são necessários mais dias. 18 8 6 9 18 432 18.1440

. . 6012 8 15 1440 432

x xx x

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = dias

Exercícios de regra de três composta:

1) Um caminhão percorre 1 116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia? R: 2 170 km 2) Certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12 000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia essa máquina

deveria funcionar para fabricar 20 000 pregos em 20 dias? R: 2 horas 3) Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando

4 horas por dia? R: 4 dias 4) Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de tecido de 80 cm de largura. Quantos quilogramas serão precisos para

produzir 350 m de tecido com 1,2 m de largura? R: 150 kg 5) Em 30 dias, uma frota de 25 taxis consome 100 000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 taxis

consumiria 240 000 de combustível? R: 50 dias 6) Um folheto enviado pela Saneago informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um

desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados. R: 250 litros 7) Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de bota.

Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de bota por dia, com 10 horas de trabalho diário? R: 32 operários 8) Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade

dos primeiros, prepararão 800 páginas? R: 15 dias 9) Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos

dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento? R: 16 dias 10) Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua

velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? R: 4 dias 11) O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15

dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia? R: 7 kw 12) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias? R: 24 ovos 13) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos? R: 5 min 14) Com 16 máquinas de costura confeccionaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias

para confeccionar 2 160 uniformes em 24 dias? R: 12 máquinas 15) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilogramas de pão serão necessários para

alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? R: 5 kg 16) Deverá construir 170 m de muro. Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80

m de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão o restante do muro, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias? R: 9 horas 17) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas

retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias? R: 1 800 toneladas 18) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar óleo, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias.

Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h? R: 18 dias 19) Há 40 dias, uma torneira na casa de Nilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento

de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Nilson. R: 300 litros 20) Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos

dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento? R: 16 dias 21) Na alimentação de 5 vacas, durante 11 dias, são consumidos 2 420 kg de silagem. Se mais 10 vacas são compradas,

quantos dias durarão 6 945 kg de ração? R: 10,5 dias 22) Para cerca um pasto deverá ser construído 200 m de cerca paraguaia, quinze operários trabalhando oito horas por dia,

gastaram 16 dias para construir 155 m de cerca. Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo, quantas horas por dia, 10 operários terminarão a cerca em uma semana? R: 7h57min48s Bons Estudos!!!

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