Grandezas Diretamente Proporcionais

Vamos considerar a seguinte situação: paguei R$ 10,00 por 1 caderno; paguei R$ 20,00 por 2

cadernos e eu paguei R$ 30,00 por 3 cadernos.

Quando a primeira grandeza (cadernos) aumenta na razão 1 para 2, a segunda grandeza (preços)

passa de 10 para 20.

Como20

10 é equivalente a

2

1, temos a proporção:

20

10

2

1= .

Do mesmo modo, se o número de cadernos aumenta de 1 para 3, os preços também variam em

razões equivalentes, ou seja: 30

10

3

1= .

Nesse caso, dizemos que as duas grandezas (quantidade de cadernos e preços) são diretamente

proporcionais.

Assim: Duas grandezas são diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da

outra.

Grandezas Inversamente Proporcionais

A distância entre Salvador e Feira de Santana é 120 km. Um veículo pode percorrê-la com

diferentes velocidades. Examinemos a relação entre as grandezas velocidade e tempo gasto no

percurso:

Velocidade (km/h)

Tempo gasto (h)

A 30 4

B 40 3

C 60 2

D 120 1

Comparando (A) e (B), temos:

• A razão entre as velocidades: 4

3

/40

/30=

hkm

hkm

• A razão entre os tempos: 3

4

3

4=

horas

horas

Comparando (A) e (D), temos:

• A razão entre as velocidades: 4

1

/120

/30=

hkm

hkm

• A razão entre os tempos: 1

4

1

4=

hora

horas

Em qualquer desses casos, uma razão é a inversa da outra. Para obter uma proporção, invertem-se

os termos de uma das razões, ou seja:

4

3

40

30

3

4

3

4

40

30

/40

/30

=

=

=

horas

horas

e

hkm

hkm

De fato, 4 . 30 = 3 . 40

Dizemos então: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a

outra varia na razão inversa da primeira.

Regra de Três Simples

Consideremos a seguinte situação: Comprei 03 camisetas por R$ 120,00 reais. E se tivesse

comprado 05 camisetas, quanto teria gasto?

Observe que estão relacionados dois valores da grandeza camisetas com dois da grandeza preço.

Vamos organizar esses dados numa tabela:

Camisetas 3 5

Preço (R$) 120 x

Note que nessa tabela conhecemos três de seus elementos e procuramos o valor do quarto. São os

chamados problemas de regra de três simples.

As grandezas camisetas e preço são diretamente proporcionais, por isso podemos escrever:

x

120

5

3=

Com a aplicação da propriedade fundamental, temos:

2003

5.1205.1203 =⇒=⇒= xxx

Logo, a garota mostrada na figura pagaria R$ 200,00 pelas 05 camisetas.

Há um processo prático que facilita a resolução desses problemas.

Acompanhe.

1º. Problema – Carla pagou R$ 4,50 por dois cadernos. Quanto pagaria por 5?

• Organizam-se os dados do problema numa tabela ou esquema:

Cadernos preço (R$)

2 ---------------------- 4,50

5 ---------------------- x

• Verifica-se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. No 1º. Caso, colocam-se

setas num mesmo sentido, indicando esse fato; se inversamente proporcionais, setas em

sentido opostos.

Cadernos preço (R$)

↓ 2 ---------------------- 4,50 ↓

↓ 5 ---------------------- x ↓

• Como as grandezas são diretamente proporcionais, escreve-se na forma direta:

x

50,4

5

2=

• Calcula-se o valor da incógnita: 25,112

50,4.5=⇒= xx

Logo, Carla pagaria R$ 11,25 pelos 5 cadernos.

2º. Problema – Em 3 horas, numa velocidade média de 500 km por hora, um avião percorre a

distância entre duas cidades. Voando a 800 km por hora, quanto tempo gastaria para percorrer a

mesma distância?

Organizam-se os dados:

Velocidade (km/h) Tempo(h)

500 ---------------- 3

800 ---------------- x

As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Por isso, as setas estarão em

sentidos opostos:

Velocidade (km/h) Tempo(h)

↓ 500 ---------------- 3 ↑

↓ 800 ---------------- x ↑

• Escreve-se a proporção, invertendo os termos de uma das razões: 3800

500 x=

• Calcula-se x:

shxxx 30min5218

15

800

500.3=⇒=⇒=

Logo, o avião levaria 1 h 52 min 30 s para percorrer a mesma distância.

Problemas

1) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos o farão em 6 dias?

R= 25

2) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilos são necessários para

fabricar 162,5 kg de farinha?

R= 250 kg

3) Num acampamento há alimento suficiente para 48 pessoas durante um mês. Retirando-se 16

pessoas, quantos dias durará o alimento?

R= 45 dias

4) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Em quantos dias 10 pedreiros farão o serviço?

R= 150 dias

5) Reinaldo trabalhou 30 dias e recebeu R$ 150,00. Em quantos dias de trabalho ele receberá R$

200,00?

R= 40 dias

6) Um carro, com velocidade constante de 100 km/h, vai da cidade A à cidade B em 3 horas. Em

quanto tempo faria o mesmo percurso a 160 km/h?

R= 1h 52min 30s

7) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas a encheriam em 2 horas?

R= 15 torneiras

8) 120.000 torcedores acabaram de assistir a um jogo de futebol. A capacidade das seis saídas

disponíveis do estádio é de 1.000 pessoas por minuto. Calcule o tempo mínimo necessário para

que todos deixem o local.

R= 20 minutos

9) Para remover as vítimas da enchente de uma cidade, 480 homens trabalharam durante 8 dias.

Quantos fariam o mesmo trabalho em 6 dias?

R= 640 homens