Relações

Matemática DiscretaParte 3

• Relações (4.1)

• Álgebra de Boole (7.1)

• Introdução à Teoria dos Grafos (5.1 e 5.2)

Relações

Sumário

• Propriedades de Relações

• Fechos de Relações

• Ordens Parciais

• Relações de Equivalência

Produto Cartesiano

• Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}

• Exemplo:

‣ Sejam A={a, b} e B={c, d}

‣ A×B = {(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)}

Produto Cartesiano

• Seja um conjunto S = {1,2,3}

• Então S×S = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

‣ Podemos identificar um subconjunto de pares ordenados de S×S que satisfazem alguma relação específica?

Exemplo 1

• Seja ρ a relação de igualdade em S×S.

• A notação x ρ y significa que o par ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ.

‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.

Exemplo 1

• Seja ρ a relação de igualdade em S×S.

• A notação x ρ y significa que o par ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ.

‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.

‣ A relação ρ em S×S é {(1,1), (2,2), (3,3)}.

Relação Binária

• Dado um conjunto S, uma relação binária em S é um subconjunto de S×S.

‣ (x,y) ∈ ρ ↔ x ρ y

• Uma relação é definida explicitamente ou por uma propriedade de pertinência.

Exemplo 2

• Seja S = {1, 2, 3}

• Seja ρ uma relação em S tal que

‣ x ρ y ↔ x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ ↔ x+y é impar)

Exemplo 2

• Seja S = {1, 2, 3}

• Seja ρ uma relação em S tal que

‣ x ρ y ↔ x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ ↔ x+y é impar)

• Neste caso,

‣ ρ = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}

Relações entre Conjuntos Diferentes

• Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um subconjunto de S×T.

• Dados n conjuntos S1, S2, ... , Sn, n>2, uma relação n-ária em S1×S2×...×Sn é um subconjunto de S1×S2×...×Sn.

Tipos de Relações

• Seja ρ uma relação binária de S para T

‣ (x,y) ∈ ρ, x ∈ S e y ∈ T.

• Um para um: cada x e cada y aparecem apenas uma vez na relação.

• Um para muitos: algum x aparece mais de uma vez.

• Muitos para um: algum y aparece mais de uma vez.

• Muitos para muitos: algum x e algum y aparecem mais de uma vez.

Operações entre Relações

• Sejam duas relações ρ e σ em S×S.

• Como as relações são conjuntos, podemos definir as operações de união, interseção e complemento entre relações:

‣ x (ρ ∪ σ) y ↔ x ρ y ou x σ y

‣ x (ρ ∩ σ) y ↔ x ρ y e x σ y

‣ x ρ’ y ↔ não x ρ y

Propriedades de Relações

• Seja ρ uma relação binária em S.

• Então ρ pode ser:

‣ reflexiva

‣ simétrica

‣ transitiva

‣ anti-simétrica

Relação Reflexiva


• ρ é reflexiva se (∀x) (x ∈ S → (x,x) ∈ ρ)

• Exemplos de relações reflexivas:

‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x = y

‣ ρ em ℕ tal que x ρ y ↔ x ≤ y

Relação Simétrica


• ρ é simétrica se

‣ (∀x) (∀y) ((x, y) ∈ ρ → (y, x) ∈ ρ)

• Exemplos

‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x = y, é simétrica

‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x ≤ y, não é simétrica

Relação Transitiva


• ρ é transitiva se

‣ (∀x)(∀y)(∀z) ((x,y)∈ρ ∧ (y,z)∈ρ → (x,z)∈ρ)

• Exemplos de relações transitivas:

‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x = y


Relação Anti-Simétrica


• ρ é anti-simétrica se

‣ (∀x)(∀y) ((x,y)∈ρ ∧ (y,x)∈ρ → x=y)

• Exemplo de relação anti-simétrica:


Exemplo

• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B ↔ A ⊆ B.

• Determine as propriedades de ρ.

Exemplo



‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo.

Exemplo




‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.

Exemplo




‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.

‣ ρ é anti-simétrica, pois se A⊆B e B⊆A, então A=B.

• Uma relação pode ser simétrica e, ao mesmo tempo, anti-simétrica.

‣ Exemplo: relação de igualdade

• Uma relação pode não ser nem simétrica, nem anti-simétrica.

‣ Exemplo: ρ = {(1,2), (2,1), (1,3)} em S={1,2,3}

‣ ρ não é simétrica, pois (1,3)∈ρ, mas (3,1)∉ρ

‣ ρ não é anti-simétrica, pois (1,2)∈ρ e (2,1)∈ρ, mas 1≠2

Sumário



• Ordens Parciais


Definição InformalSe uma relação ρ em um conjunto S não tem determinada propriedade, pode ser possível estender ρ a uma relação ρ* que tenha essa propriedade, tal que ρ ⊆ ρ*.

Se ρ* é o menor conjunto com essa propriedade, então ele é o fecho de ρ em relação a essa propriedade.

Podemos procurar o fecho reflexivo, fecho simétrico ou fecho transitivo de uma relação em um dado conjunto.

Definição Formal

Uma relação binária ρ* em um conjunto S é o fecho de uma relação ρ em relação à propriedade P se:

1. ρ* tem a propriedade P;

2. ρ ⊆ ρ*;

3. ρ* é subconjunto de qualquer outra relação em S que inclua ρ (2) e tenha a propriedade P (1).

ExemploSeja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.


• Fecho reflexivo é

‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}



‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}

• Fecho em relação à simetria é

‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}



‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}

• Fecho em relação à simetria é

‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}

• Fecho transitivo é

‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1), (2,2)}

Sumário



• Ordens Parciais


Ordens Parciais

• Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada uma ordem parcial em S.

• Exemplos:

‣ x ρ y ↔ x ≤ y em ℕ

‣ A ρ B ↔ A ⊆ B em ℘(ℕ)

‣ x ρ y ↔ x divide y em ℤ+

• Se ρ é uma ordem parcial em S, então o par ordenado (S, ρ) é chamado um conjunto parcialmente ordenado.

• Notação

‣ (S, ≼) é um conjunto parcialmente ordenado.

‣ Se x ≼ y e x ≠ y, então x ≺ y (x é predecessor de y e y é sucessor de x)

‣ Se ∄ z | x ≺ z ≺ y, então x é predecessor imediato de y

Diagrama de Hasse

• Representação visual de um conjunto parcialmente ordenado (S, ≼)

‣ Cada elemento de S é um ponto (nó ou vértice) no diagrama

‣ Se x é predecessor imediato de y, então y é posicionado acima de x e os dois pontos são conectados por um segmento de reta.

Exemplo

• Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼)

‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18}

‣ x ≼ y ↔ “x divide y”

Exemplo

• Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼)

‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18}

‣ x ≼ y ↔ “x divide y”

1

2 3

6

12 18

Ordem Total

• Uma ordem total é uma ordem parcial na qual todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos.

• Exemplo:

‣ x ρ y ↔ x ≤ y em ℕ

Diagrama de Hassepara ordens totais.

Elemento Mínimo

• Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente ordenado.

• Se existe m ∈ S tal que (∀x)(m ≼ x), então m é um elemento mínimo.

• Se existir um elemento mínimo, ele é único.

• Em um diagrama de Hasse, um elemento mínimo está abaixo de todos os outros.

Elemento Minimal

• Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente ordenado.

• Se t ∈ S e (∄x)(x ≺ t), então t é um elemento minimal.

• Em um diagrama de Hasse, um elemento minimal não tem elementos abaixo dele.

• Um elemento pode ser, ao mesmo tempo, mínimo e minimal. Um elemento mínimo é sempre minimal.

Sumário



• Ordens Parciais


Relações de Equivalência

• Uma relação binária em um conjunto S que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada uma relação de equivalência em S

• Exemplos:

‣ x ρ y ↔ x+y é par

‣ x ρ y ↔ x = y

Teorema

• Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S.

• Uma partição de S determina uma relação de equivalência em S.

Partição de um Conjunto

• Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios de S, cuja união é igual a S.

• Exemplo

‣ S = {a, b, c, d, e, f, g}

‣ {{a, b}, {c, d}, {e, f, g}} é uma partição de S

• Uma relação de equivalência divide o conjunto onde ela está definida em uma partição.

• Os subconjuntos que compõem a partição são formados agrupando-se os elementos relacionados.

• Exemplo

‣ S é o conjunto dos alunos em uma sala

‣ x ρ y ↔ “x senta na mesma fila que y”

Alunos na fila 1

Alunos na fila 2

...Alunos na fila n

S

Classes de Equivalência

• Seja ρ é uma relação de equivalência em um conjunto S e x ∈ S

• Denota-se por [x] o conjunto de todos os elementos de S relacionados a x:

‣ [x] = {y | y ∈ S ∧ x ρ y}

• Esse conjunto é chamado de classe de equivalência de x.

Exemplo

• Sabemos que x ρ y ↔ “x+y é par” é um

relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes?

Exemplo



‣ [1] e [2]

Exemplo



Ímpares Pares

ℕ

‣ [1] e [2]

Congruência Módulo n

• Sejam x e y inteiros e n um inteiro positivo

‣ x ≡ y (mod n) se x-y é um múltiplo inteiro de n

• Exemplos

‣ 9 ≡ 1(mod 4), pois 9-1 é múltiplo de 4

• A relação binária “congruência módulo n” é sempre uma relação de equivalência em ℤ

• Conceito importante no projeto de arquitetura de computadores.

Resumo

Reflexiva Simétrica Anti-simétrica Transitiva

Ordem Parcial

sim não sim simPredecessores e

sucessores

Relação de Equivalência

sim sim não simDetermina uma

partição

Relações

Education

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