Relações entre conjuntos e Álgebra dos Conjuntos
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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemtica - Departamento de MatemticaMatemtica Discreta
Tpico 03 Relaes entre conjuntos e lgebra dos ConjuntosConsulta indicada: MENEZES, P. B.: Matemtica discreta para computao e informtica. Porto Alegre: Instituto de Informtica da UFRGS: Editora Sagra Luzzato, 2004. (Srie Livros Didticos n16).
RELAES ENTRE CONJUNTOSInclusoDados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A est contido em B se e somente se qualquer elemento de A for tambm elemento de B.
A B (x) (x A x B)Propriedades Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
A
AA
(Reflexividade)
(A B) (B C) A C
(Transitividade)
Incluso EstritaDados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A est estritamente contido em B se e somente se qualquer elemento de A for tambm elemento de B., mas A for diferente de B
A B (x) (x A x B) ( y B | y A)Propriedades Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
A A (A B) (B C) A C(Transitividade)1
IgualdadeDados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A e B so iguais se e somente se tiverem exatamente os mesmos elementos.
A = B (x) (x A x B)Propriedades Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
A=A
(Reflexividade)
A = B B =A
(Simetria)
(A B) (B A) A = B
(Anti-simetria)
(A = B) (B = C) A = C
(Transitividade)
LGEBRA DE CONJUNTOSConsideremos (informalmente) que uma lgebra de Conjuntos constituda de operaes definidas sobre conjuntos. Relaes e Operaes entre conjuntos no so a mesma coisa. Enquanto que as relaes so essencialmente formas de comparar conjuntos, as operaes so formas de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos j existentes. Ou seja, uma operao entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como resposta. A maioria dos assuntos que estudaremos do conhecimento de todos, mas neste estudo vamos verificar uma relao entre os conetivos lgicos e as operaes sobre conjuntos.
UnioDados dois conjuntos quaisquer A e B, a operao de unio ou reunio gera o conjunto com todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B; correspondendo noo de disjuno da Lgica Proposicional.
A B = {x | x A x B}2
Propriedades Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
A B = B A A A = A A = A A U = U
(Comutatividade) (Associatividade)
(A B)C = A (B C)
(Idempotncia) (Elemento Neutro) (Elemento Absorvente)
Demonstraes (Prova) das Propriedades:
A B = B A
(A B)C = A (B C)
A A = A
A = A
A U = U
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InterseoDados dois conjuntos quaisquer A e B, a operao de interseo ou interseco gera o conjunto com todos os elementos que so comuns ao conjunto A e ao conjunto B; correspondendo noo de conjuno da Lgica Proposicional.
A B = {x | x A x B} Exemplos:Propriedades Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
A B = B A A A = A A U = A A =
(Comutatividade) (Associatividade)
(A B) C = A (B C)
(Idempotncia) (Elemento Neutro) (Elemento Absorvente)
Demonstraes (Prova) das Propriedades: anlogas as provas das propriedades da unio!!!!
A B = B A
(A B) C = A (B C)
A A = A
A U = A
A =
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Propriedades Comuns a Unio e a interseo Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
(A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) (A B) A = A (A B) A = A(Absoro) (Absoro)
(Distributividade) (Distributividade)
Demonstraes (Prova) das Propriedades:
(A B) C = (A C) (B C)
(A B) C = (A C) (B C)
(A B) A = A
(A B) A = A
DiferenaDados dois conjuntos quaisquer A e B, a operao de diferena gera o conjunto com todos os elementos que pertencem ao conjunto A mas no pertencem ao conjunto B.
A B = {x | x A x B}Exemplos:
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Diferena SimtricaDados dois conjuntos quaisquer A e B, a operao de diferena simtrica entre A e B gera o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos. Isto , o conjunto resultante da diferena simtrica entre A e B o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e no pertencem a B, juntamente com os elementos que pertencem a B e no pertencem a A. A notao utilizada para representar este conjunto A B.
A B = { x / ( x A x B ) ( x B x A ) } = (A B) (B A)Exemplos:
Exerccio: Prova que A B = ( A B ) ( A B ).
ComplementaoDado um conjunto A qualquer, o conjunto complementar de A em relao ao Universo formado por todos os elementos do Universo que no pertencem ao conjunto A. A notao utilizada para representar este conjunto A ou A ou A ou CA.
A = {x U | x A}Exemplos:
Propriedades Sejam A e B conjuntos quaisquer. Ento so vlidas as seguintes propriedades:
A A = U A A = (A ) =A A B B A A B = A B (A B) = A B (A B) = A B(Lei de De Morgan)
(Lei de De Morgan)
Exerccio: prova a validade das propriedades acima. 6
CONJUNTO DAS PARTESSeja A um conjunto qualquer. Chamamos de Conjunto das Partes de A ou Conjunto Potncia de A, e denotamos por, P(A) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Considerando n o nmero de elementos de A, 2n ser o nmero de elementos de P(A).
P(A) = {x U | x A}Exemplos:
PRODUTO CARTESIANOO produto cartesiano de conjuntos uma operao definida na Teoria de Conjuntos que chama ateno por suas aplicaes Informtica como grficos; especificao de relaes entre conjuntos de dados; representao de regras lgicas atravs de relaes, etc. Isto porque permite definir conjuntos de natureza diferente dos originais, atravs da associao ordenada de seus elementos.
A x B = {(x, y) | x A y B} usual denotar o produto cartesiano de um conjunto com ele mesmo como um expoente. Por exemplo, A x A = A2. Exemplos:
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RELAO ENTRE LGICA E TEORIA DOS CONJUNTOSConforme j comentamos, a Lgica Proposicional fundamental no estudo da teoria dos Conjuntos. Existe uma relao direta entre os operadores lgicos e algumas operaes sobre conjuntos. Assim, terminamos com a seguinte tabela que mostra tal analogia: Idempotnciapp p pp p pq qp pq qp
AA=A AA=A AB=BA AB=BA A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A) = A A A = A A = U (A B) = A B (A B) = A B AU=A A=A A= AU=U A (A B) = A A (A B) = A
Comutatividade
Associatividade
p (q r ) ( p q ) r p (q r ) ( p q ) r
Distributividade
p (q r ) ( p q ) ( p r ) p (q r ) ( p q ) ( p r )
Negao/Complementao ~ ~ p p p ~ p f p ~ p v De Morgan~ ( p q ) ~ p ~ q ~ ( p q ) ~ p ~ q p v p pf p pf f pv vp (p q) p p (p q) p
Elemento neutro Elemento absorvente Absoro
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