Relações

George Darmiton da Cunha CavalcantiCIn - UFPE

Relações Binárias

• Sejam X e Y dois conjuntos.

• Uma relação entre X e Y é um subconjunto de produto cartesiano X×Y.

• No caso de X = Y, a uma relação R X×X entre X e X chama-se relação (binária) sobre X.

• Usualmente X2 significa X×X, X3 significa X×X×X (conjunto dos ternos ordenados de elementos de X), e mais geralmente, Xn significa o conjunto das n-tuplas ordenadas de elementos de X.

• Assim, chama-se relação n-ária sobre X a qualquer subconjunto de Xn.

Exemplo

• Considerando o conjunto X = {1, 2, 3}.

O conjunto

R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}

é uma relação binária sobre X, pois é um subconjunto de X2.

Exemplo

Sendo X = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) ∈ X2: x + y ≤ 5}, tem-se que

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2),(2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} ⊆ X2

então R é uma relação binária sobre X.

Notação

Sejam X um conjunto e R uma relação binária sobre X.

– Dado um par (x, y) ∈ X2• escreve-se xRy ou (x, y)∈R• Pois (x, y) é um elemento de R.

• E escreve-se xRy ou (x, y)∉R • para designar que (x, y) não é elemento de R.

Exemplo

Sendo X = {1, 2, 3, 4} e R = {(x, y) ∈ X2: x + y ≤ 5}, tem-se que

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2),(2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} ⊆ X2

4R1 3R4(1, 1)∈R (2, 4) ∉R

Representando uma Relação

• Seja X = {x1, x2, ..., xn} um conjunto e R uma relação binária sobre X.

• Formas de representar uma relação– Através de matriz de adjacências– Através de diagrama

Representando uma Relação(Matriz de Adjacências)

• A matriz de adjacências de R é a matriz A = [aij]n×n ∈ Mn×n({0, 1}) definida por

• Note-se a importância da indexação dos elementos de X, para a construção da matriz A.

ax x R

x x Riji j

i j

=∈∉

�����1

0

se

se

,

,� �� �

Representando uma Relação(Diagrama)

• Os elementos de X são pontos do diagrama.

• Dois pontos deste diagrama xi e xj estão unidos por uma seta de xi para xj se o par (xi, xj) ∈ R.

• Esquematicamente tem-se, se (xi, xj) ∈ R

xi xj Se xi ≠ xj Se xi = xjxi

Exemplo

• Usando exemplo anterior, em que – X = {1, 2, 3, 4} – R = {(x, y) ∈ X2: x + y ≤ 5}, foi visto que – R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(4, 1)}

– A Matriz de Adjacências de R é:

Exemplo (continuação)

• R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(4, 1)}• E o diagrama de R é:

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Classificação de Relações Binárias

• Sejam X um conjunto e R uma relação binária sobre X

• Diz-se que R é uma relação

– Reflexiva• Se xRx, para qualquer x∈X

– Simétrica• Se xRy implica yRx, para quaisquer x,y∈X

– Anti-simétrica• Se xRy e yRx implica x=y, para quaisquer x,y∈X

– Transitiva• Se xRy e yRz implica xRz, para quaisquer x,y,z∈X

Relações Reflexivas

• Quais das relações abaixo são reflexivas?

1) Relação ≤ (menor ou igual) no conjunto Z.

2) Relação ⊆ numa coleção C de conjuntos.

3) Relação ⊥ (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano.

4) Relação || (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano.

5) Relação | de divisibilidade no conjunto N.� x|y se existe um z tal que xz=y.

Não

Não

Sim

Sim

Sim

Relações Simétricas

• Quais das relações abaixo são simétricas?

– Relação ≤ (menor ou igual) no conjunto Z.

– Relação ⊆ numa coleção C de conjuntos.

– Relação ⊥ (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano.

– Relação || (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano.

– Relação | de divisibilidade no conjunto N.• x|y se existe um z tal que xz=y.

Sim

Sim

Não

Não

Não

Relações Anti-simétricas

• Quais das relações abaixo são anti-simétricas?

– Relação ≤ (menor ou igual) no conjunto Z.

– Relação ⊆ numa coleção C de conjuntos.

– Relação ⊥ (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano.

– Relação || (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano.

– Relação | de divisibilidade no conjunto N.• x|y se existe um z tal que xz=y.

Não

Não

Sim

Sim

Sim

Observação

• As propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes.

• Exemplo 1– A relação R={(1,3), (3,1), (2,3)}– Não é simétrica nem anti-simétrica

• Exemplo 2– A relação R={(1,1), (2,2)}– É simétrica e anti-simétrica

Relações Transitivas

• Quais das relações abaixo são transitivas?

– Relação ≤ (menor ou igual) no conjunto Z.

– Relação ⊆ numa coleção C de conjuntos.

– Relação ⊥ (perpendicularidade) em um conjunto L de retas no plano.

– Relação || (paralelismo) em um conjunto L de retas no plano.

– Relação | de divisibilidade no conjunto N.• x|y se existe um z tal que xz=y.

Não

Não

Sim

Sim

SimNenhuma reta é paralela a si mesma. a||b e b||a, é falso que a || a

Funções

Introdução

• Funções são usadas para definir estruturas importantes, como:– Seqüências e strings

• São usadas também para estimar quanto tempo o computador resolverá um problema de um determinado tamanho.

f(x) = x+3x f(x)

Definição

• Sejam A e B dois conjuntos.

• Uma função f de A para B relaciona exatamente um elemento de B para cada elemento de A.

• Escreve-se f(a) = b– Se b é o único elemento de B assinalado pela função f

pata o elemento a de A

• Se f é uma função de A para B, escreve-se– f: A→ B

A função f mapeia de A para B

A B

a b=f(a)f

f

Definição

• Se f: A→ B– O domínio de f é A– O contradomínio de f é B

• Se f(a) = b– b é a imagem de a

• O range de f é– O conjunto de todas as imagens elementos de A

Exemplo

Azul

Amarelo

Preto

Verde

Vermelho

B

A

C

DE

f é a funçãoDomínio de f = {A,B,C,D,E}Contradomínio = {Amarelo, Azul, Preto, Verde, Vermelho}Range de f = {Amarelo, Azul, Preto, Vermelho}

Exemplo

• Em linguagens de programação o domínio e o contradomínio são freqüentemente especificadas

• Em Java– int floor(float real){...}

• Em Pascal– function floor(x: real): integer

DomínioContradomínio

Definição

• Duas funções reais com o mesmo domínio podem ser multiplicadas e\ou somadas.

• Sejam f1 e f2 funções de A em R.

• Então f1+f2 e f1f2 são, também, funções de A em Rdefinidas por:– (f1+f2)(x) = f1(x)+f2(x)– (f1f2)(x) = f1(x)f2(x)

Exemplo

f1+f2?

(f1+f2)(x) = f1(x)+f2(x) = x2+ x – x2

= x

f1f2?

(f1f2)(x) = f1(x)f2(x) = x2(x – x2) = x3 – x4

f1 e f2 funções de R em R.f1 = x2

f2 = x – x2

Funções Injetoras

• Injetoras– Imagens distintas para membros distintos do

domínio

– Uma função f é injetora se e somente se f(x)=f(y) implica que x=y do domínio de f.

Exemplo

• Determinar se a função f de {a,b,c,d} para {1,2,3,4,5} é injetora, dado que f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3.

É injetora.

a

b

c

d

1

2

3

4

5

Exemplo

• Determinar se a função f(x)=x2 com domínio nos números inteiros é injetora.

• Não é injetora, pois– f(1) = f(-1) = 1, mas 1 ≠ –1– Essa função passará a ser injetora se seu

domínio for Z+

Exemplo

• Determinar se a função f(x) = x + 1 é injetora.

• Note que x+1 ≠ y+1 sempre que x ≠ y• Assim, f é injetora.

Definições

• Dada uma função f cujos domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais, são chamadas

– Monotonicamente crescente• Se f(x)y• e x e y pertencerem ao domínio de f

• Funções monotonicamente crescente e monotonicamentedecrescente são injetoras.

Funções Sobrejetoras

• Uma função f de A para B é chamada sobrejetora se e somente se– Para todo elemento b∈B existe um elemento

a∈A de forma que f(a)=b

a

b

c

d

1

2

3

Exemplo

• A função f(x)=x2 de Z em Z é sobrejetora?

• A função f não é sobrejetora pois não existe um inteiro x com x2 = –1

Exemplo

• A função f(x)=x+1 de Z em Z é sobrejetora?

• Essa função é sobrejetora, pois– Para cada inteiro y existe um inteiro x de forma

que f(x)=y.– Note que f(x)=y se e somente se x + 1 = y– E isso acontece se e somente se x = y – 1

Bijetora

• Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

a

b

c

1

2

3

Injetora Não sobrejetora

4

a

b

c

1

2

3

d

Não injetora Sobrejetora

a

b

c

1

2

3

d

Injetora Sobrejetora

4

Exemplos de tipos de correspondências

a

b

c

1

2

3

d 4

Não injetora Não sobrejetora

a

b

c

1

2

3

4

Não é função

Exemplo

• A função identidade é da seguinte forma– iA: A→A, – Sabendo que– iA(x) = x

– A função iA é injetora e sobrejetora– Logo, ela é bijetora

Função Inversa

• Seja f uma função bijetora de A em B– f: A→B

• Sua função inversa– f -1: B→A

– Para os elementos a em A tal que f(a)=b– tem-se f -1(b) = a

Função Inversa

• Se a função f não é bijetora, não é possível definir sua inversa.

– Se f não é injetora• Algum elemento b do contradomínio é a imagem de

mais de um elemento do domínio.

– Se f não é sobrejetora• Para algum elemento b do contradomínio não existe

um elemento a no domínio de forma que f(a) = b

Função Inversa

A B

f

f -1

f -1

f

a=f-1(b) b=f(a)

Função Inversa: exemplos

• f: {a,b,c} → {1,2,3}– f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1– É inversível?– Sim, f -1(1)=c, f -1(2)=a e f -1(3)=b

• f:Z → Z, f(x)=x+1– É inversível?– Sim, f -1(y) = y –1

Função Inversa: exemplos

• f:Z → Z, f(x) = x2– É inversível?

– Não. Pois, f(-1)=f(1)=1 não é injetora

– Se uma função inversa pudesse ser definida nessas circunstâncias, ela teria que assinalar dois elementos para 1.

Composição de Funções

• Seja g uma função de A em B e f uma função de B em C.– g: A→B– f: B→C

• A composição das funções f e g é definida como– (f�g)(a) = f(g(a))

• Uma composição não pode ser definida a menos que o range de g seja um subconjunto do domínio de f.

Composição de Funções

A

a g(a) f(g(a))

B C

g f

g f

f�g

f�g

Composição de Funções: exemplo

• g:{a,b,c}→{a,b,c}– g(a)=b, g(b)=c, g(c)=a

• f:{a,b,c}→{1,2,3}– f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1

• f�g?– (f�g)(a)=f(g(a))=f(b)=2– (f�g)(b)=f(g(b))=f(c)=1– (f�g)(c)=f(g(c))=f(a)=3

• g�f?– Não é definido, pois o range de f não é um subconjunto do

domínio de g.

Composição de Funções: exemplo

• f�g?(f�g)(x)= f(g(x))=f(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7

• g�f?(g�f)(x)= g(f(x))= g(2x+3)= 3(2x+3)+2=6x+11

• f e g são funções de Z em Z– f(x) = 2x + 3– g(x) = 3x + 2

A operação de composiçãode funções não é comutativa

Composição de uma função e sua inversa

(f -1� f)(a) = f -1( f(a))=f -1(b)=a

(f � f -1)(b) = f ( f -1(b))=f -1(a)=b

f: A→B é bijetora Assim, f -1 existe e é bijetora de B→A

f -1(b)=a quando f(a)=bf(a)=b quando f -1(b)=a

f -1� f = iA e f �f -1 = iBSabendo que iA e iB são funções identidade de A e B

(f -1)-1 = f