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Nome: Colégio: Data:

2

m

n

1. TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja: Onde: a é a hipotenusa (maior lado); b e c são os catetos (formam o ângulo reto); h é a altura relativa à hipotenusa; m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa; n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa. 2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO No TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC são válidas as seguintes RELAÇÕES MÉTRICAS (entre as medidas mencionadas acima):

RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

2 2a b c= +

RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos.

a.h b.c=

RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa.

2b a.= 2c a.n=

RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos.

2h m.=

RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos.

a m n= +

3. EXEMPLOS RESOLVIDOS 01. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retângulo ABC a seguir: Resolução: Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01) para calcular a hipotenusa a.

2 2

2 2

2

2

a b ca 3 4a 9 16a 25a 25a 5

= +

= +

= +

===

2

2

Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções ortogonais m e n.

2

2b a.m3 5.m5.m 9

9m5

m 1,8

=

==

=

=

e

2

2c a.4 5.5.n 16

16n5

n 3,2

=

==

=

=

nn

Outra maneira de calcular as projeções m e n é utilizando a RELAÇÃO 05, veja:

a m n5 m 3,2m 5 3,2m 1,8

= += += −=

ou

a m n5 1,8 nn 5 1,8n 3,2

= += += −=

Para calcular a altura h, aplicamos a RELAÇÃO 02.

a.h b.c5.h 3.45.h 12

12h5

h 2,4

===

=

=

Outra maneira de calcular a altura h é utilizando a RELAÇÃO 04.

2

2

2

h m.nh 1,8.3,2h 5,76h 5,76h 2,4

=

=

===

Portanto a 5= ; m 1,8= ; n 3,2= e . h 2,4=

B C

c

A

b

m n

a

h a

B C

4 A

3 h

m n

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e a 02. No triâng re oulo tângul ABC a seguir, calculmediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa. Resolução: Para calcular a medida da projeção ortogonal HC do cateto AC sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO 04.

2

2h m.n12 5.HC

1445.HC 144 HC HC 28,85

=

=

= ⇒ = ⇒ =

A projeção or o catogonal d teto AC mede 28,8.

guir, 03. No triângul ABC a seo retângulo AM é a mediana relativa à hipotenusa, e AH é a altura. C ule a medida do segmento

alcHM.

Resolução:

REMA DE PITÁGORA Aplicando o TEO S (RELAÇÃO 01), obtemos a medida da hipotenusa BC .

2 2 2a b c= +

2 2

2 2 2BC AB ACBC 6 8

= +

= +

2 ⇒2

2BC 36 64BC 100

= +

=⇒ BC 100

BC 10==

Aplicando a RELAÇÃO 03, calculam ção os a proje

BH . 2b a.m= 26 10.BH=

2AB BC.BH=⇒

10.BH 36=

⇒36BH =10

BH 3,6=

Como AM é mediana, BM é metade da hipotenusa B , isto é,C BM

HM5 3,6 HM

+= + HM 1,4=

. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) num

5= . Da figura temos: BM BH= ⇒ HM 5 3,6= −

401. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputadoterreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6 2 c) 8 2 d) 4 3 e) 6 3

) 13,0 m to extre idade su na

es

EC)

02. N (UFontr

R Um-se com a

a escada dem

deperio

cor

mpriap

menoiada

tação de

epnc aarede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada

no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte inferior escorregará é: a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,6 m

03. (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA) C B

A

5 H

12

localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Umarádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de: a) 575 m b) 600 m c) 625 m d) 700 m e) 750 m

04. (FAT Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:

a) 125

m b) 513

m c) 1213

m d) 2513

m e) 6013

m

05. RS) O mpi , r rese tado na figura, stá suspe so por as rdas perp ndic res pres ao

(UF la ão p n en du co e as

eula

teto. Sabendo que essas cordas medem 12

e 65

metros,

a distância do lampião ao teto é: a) 1,69 m b) 1,3 m c) 0,6 m

d) 1 m 2

e) 613

ONDRINA) m triângulo retângulo ABC, as medidas das projeçõe dos catetos

m

06. (U.E. L Em us AB e BC sobre a

hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre

AB e BC, nessa ordem, é 12

, então m:n gua

a)

é i l a:

5 b) 2

2 c) 2

12

d) 5 e) 4

14

 I , n ulo 07. (U.F. UBERL ND A) Num triângulo ABC o â gA é reto. A altura Ah divide a hipotenusa a em dois

do

segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o

bro do cateto c, podemos afirmar que mn

:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 72 e) 5

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07C C E A C E E

C B

A

6 8

M H

A B