Relações Métricas nos Triângulos - Campus Sertão · Para se calcular a altura de uma torre,...

Relações Métricas nos

TriângulosDimas Crescencio

Trigonometria

A palavra trigonometria é de origem grega,

onde:

Trigonos = Triângulo

Metrein = Mensuração

- Relação entre ângulos e distâncias;

- Origem na resolução de problemas práticos

relacionados principalmente à Navegação e à

Astronomia.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Triângulos


Triângulo é uma figura geométricaformada por três retas que seencontram duas a duas e não passampelo mesmo ponto, formando trêslados e três ângulos. Esses ângulos,tradicionalmente, são medidos numaunidade de medida, denominada graue, cada um deles tem medida entre 0°e 180°. Neste caso, com base notriângulo ao lado, afirma-se:

A

C

B

α

β

σ

α + β + σ = 180°

Classificação dos Triângulos

Quanto aos tamanhos dos lados:


EquiláteroLados com mesmo

comprimento

Isósceles2 lados iguais

EscalenoLados com

comprimentos

diferentes

Classificação dos Triângulos

Quanto a medida dos ângulos


Acutânguloângulos < 90°

Obtusângulo1 ângulo obtuso

(entre 90º e 180º)

.

Retângulo1 ângulo com 90°

Triângulo Retângulo

Razões Trigonométricas no Triângulo

Retângulo


𝑩𝑪 é a hipotenusa

𝑨𝑩 e 𝑨𝑪 são os catetos

A

C

B

Triângulo Retângulo

Teorema de Pitágoras:


A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Tangente de um ângulo


A

B

C

A’ B’ C’O

α

Considere a figura em que oângulo α mede aproximadamente26,5°. As medidas dos segmentosassinalados, em centímetros, são:OA’ = 3; OB’ = 5; OC’ = 8; AA’ =1,5; BB’ = 2,5 e CC’ = 4.Substituindo valores, podemosafirmar que as seguintes razõessão iguais:

𝑨𝑨′

𝑶𝑨′=𝑩𝑩′

𝑶𝑩′=𝑪𝑪′

𝑶𝑪′= 𝒌 = 𝟎, 𝟓

Tangente de um ângulo


A

B

C

A’ B’ C’O

β

Uma outra figura em que o ângulo β

mede 63,5° e: OA’ = 3; OB’ = 4; OC’ =

5; AA’ = 6; BB’ = 8 e CC’ = 10. Pelo

fato de os triângulo serem semelhantes:

𝑨𝑨′

𝑶𝑨′=𝑩𝑩′

𝑶𝑩′=𝑪𝑪′

𝑶𝑪′= 𝒄 = 𝟐

Com base no exposto, conclui-seque a medida da razão dos catetosnão depende da escolha de umtriângulo retângulo com ladosmaiores ou menores, mas sim damedida do ângulo (α ou β)

Seno, Cosseno e Tangente

De maneira geral, temos:


𝒕𝒈 β =𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)

𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝒔𝒆𝒏 β =𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)

𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)

𝒄𝒐𝒔 β =𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)

Ângulos Notáveis

Lembre-se !!


30° 45° 60°

Sen1

2

2

2

3

2

Cos3

2

2

2

1

2

Tg3

31 3

Ângulo Notáveis

Música para decorar a fórmula do sen, cos e tg de 30, 45° e 60º:

1, 2 ,3 3, 2, 1

Tudo sobre 2,Você põe a raíz no 3 e no 2, hey!

A tangente é diferente,Vejam só vocês, raiz de 3 sobre 3,

1, e raiz de 3 .


Praticando

Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte

procedimento ilustrado na figura: Um aparelho (de altura

desprezível) foi colocado no solo e emitiu um raio em direção

ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o

raio e o solo foi de α=60°. A seguir, o aparelho foi deslocado

4m em direção a torre, e o ângulo obtido foi de β radianos,

com tg β=3 3. A altura da torre é:

𝑎) 4 3 𝑏) 5 3

𝑐) 6 3 𝑑) 7 3

𝑒) 8 3


Praticando

Trabalhando com o triângulo menor:

𝑡𝑔𝛽 =𝑦

𝑥=3 3

1𝑦 = 3𝑥 3


Agora, vamos trabalhar com o triangulo maior:

𝑡𝑔60° =𝑦

4 + 𝑥=3𝑥 3

4 + 𝑥3

1=3𝑥 3

4 + 1→ 3. 4 + 𝑥 = 3𝑥 3

2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2

𝑦 = 3𝑥 3 = 6 3

Praticando

(Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo,

uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete

peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1

paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas

recortando-se um quadrado de acordo com o

esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete

peças, é possível representar uma grande diversidade

de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.


Praticando

Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede

2cm, então a área da figura 3, que representa uma

“casinha”, é igual a:

a) 4cm2.

b) 8cm2.

c) 12cm2.

d) 14cm2.

e) 16cm2.


PraticandoSolução:

Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram

todas as áreas serão iguais, portanto para descobrir a área

da casa basta saber a área do hexágono ou a do quadrado.

Perceba que o lado AB do hexágono é igual a metade da

diagonal do quadrado, pois ambos são formados por um

quadrado e um triângulo equilátero. Logo, a diagonal

inteira do quadrado vale o dobro, ou seja, 4cm. Assim,

sabendo-se o valor da diagonal do quadrado, pode-se

obter o valor de seus lados a partir do teorema de

Pitágoras:

𝒂² + 𝒂² = 𝟒²𝟐𝒂² = 𝟏𝟔

𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆: á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒂²𝒂² = 𝟖𝒄𝒎²


2cm

a

a

Trigonometria

Identidade Trigonométrica

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𝟐) 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =𝒃

𝒄→ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =

𝒄𝒐𝒔𝜷)

𝒔𝒆𝒏(𝜷)=

𝟏

𝒕𝒈(𝜷)

𝒔𝒆𝒏 𝜷 =𝒄

𝒂𝒄 = 𝒔𝒆𝒏 𝜷 . 𝒂

𝐜𝐨𝐬 𝜷 =𝒃

𝒂𝒃 = 𝐜𝐨𝐬 𝜷 . 𝒂

𝟏) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏

𝟑) 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =𝒂

𝒃→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =

𝟏

𝒄𝒐𝒔(𝜷)

𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜷 =𝒂

𝒄→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =

𝟏

𝒔𝒆𝒏(𝜷)

Lei do Seno


Relação matemática de proporção sobre a medida detriângulos arbitrários em um plano.

Lei do Cosseno


Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.

Praticando

(Unb – DF) Um observador, situado no ponto A,

distante 30m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo

de 30° conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da

figura, determine a altura do edifício em metros e divida

o resultado por 2.


h

Praticando

Solução:

DC=?

α= 180° - (75°+60°) = 45°

De acordo com a lei do seno:

𝑥

𝑠𝑒𝑛60°=

30

𝑠𝑒𝑛45°→ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛45° = 30. 𝑠𝑒𝑛60°

𝑥.2

2= 30.

3

2→ 𝑥 = 30.

3

2.

2

2

𝑥 = 30.6

2= 15 6


Praticando


30°

𝟏𝟓 𝟔

𝒉

AC

DDe acordo com as informações obtidas,

Calculamos a tangente de 30°:

𝑡𝑔 30° =ℎ

15 63

3=

ℎ

15. 6→ 3ℎ = 15 18

ℎ = 5 32. 2 = 15. 2𝑚

Dividindo o resultado por 2:

Solução = 15m.

Praticando

Exercício: Um engenheiro deseja construir um túnel que

passará por uma montanha. Como pode ser verificado

na figura abaixo, a distância do ponto onde ele está, até

o local onde será a entrada do túnel é de 80m e até a

saída do túnel é de 100m. Descubra o comprimento do

túnel. Dado, cos 55°= 0,573


Montanha

Entrada

80m

100m

55°Engenheiro

Saída

Praticando

Solução:

De acordo com o dados fornecidos, nota-se que a

questão pode ser resolvida aplicando a lei dos

cosseno:

𝑥 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑡ú𝑛𝑒𝑙

𝑥² = 80² + 100² − 2.80.100. cos 55°𝑥² = 7232

𝑥 = 85,05m


Praticando

(UEM - PR) Considere um paralelogramo

cujos os lados medem 3cm e 5cm e um dos

ângulos mede π/4 radiano. Se d e D são as

medidas das diagonais do paralelogramo,

então D² + d², em centímetros quadrados, é

igual a:


Praticando

Solução:

π/4 = 45°

Para calcular o comprimento da diagonal menor,

aplicaremos a lei dos cossenos:

𝑑² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45

𝑑² = 9 + 25 − 302

2𝑑² = 34 − 15 2


O cos 135° = - cos 45°

Para calcular o comprimento da diagonal maior, usamos os

mesmos procedimentos:

𝐷² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45

𝐷² = 9 + 25 − 30 −2

2

𝐷² = 34 + 15 2

𝐷² + 𝑑² = 34 + 15 2 + 34 − 15 2 = 68

Praticando


Referência Bibliográfica

DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora

Ática. 2009.


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