RELAÇÕES

1. Produto cartesianoSejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o

conjunto de todo os pares ordenados com .Notação:

2. Relação binária

Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de . Se indicamos por e indicamos por .

3. Domínio e imagem

Seja uma relação binária de A em B.Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de para os quais

existe algum y em B com .Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de para os quais

existe algum x em A com .

4. Propriedades das relações

Seja i) Reflexiva

Dizemos que é reflexiva se ou Exemplo 1:

Mostremos que as relações dadas são reflexivas.a) Seja sobre .

é reflexiva, pois .

b) Seja

é reflexiva, pois para

c) Seja sendo S plano euclidiano.

é reflexiva, pois para

1

ii) SimétricaDizemos que é simétrica se, e somente se .

Exemplo 2: Mostremos que as relações dadas são simétricas.

a) Seja sobre . é simétrica, pois .

b) Seja a relação de perpendicularidade definida por: sendo S plano euclidiano.

é simétrica, pois .

iii) Transitiva

Dizemos que é transitiva se, e somente se .

Exemplo 3: Mostremos que a relação sobre é

transitiva. é transitiva pois, .

iv) Anti-simétrica

Dizemos que é anti-simétrica se, e somente se ou

equivalente .Exemplo 4:

Mostremos que a relação sobre é anti-simétrica.

A sentença é verdadeira, pois é verdadeira.Exemplo 5: A relação sobre não é anti-simétrica.

Não é anti-simétrica pois, .

Observação: Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades

por meio dos diagramas.

2

Reflexiva: Em cada ponto do diagrama deve ter um laço.

Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas.

Transitiva: Todo par de flechas consecutivas deve existir uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.

Anti-simétrica: Não há flechas com duas pontas.

5. Relação de equivalênciaUma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e

somente se, for reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 6: A relação sobre é de equivalência

pois, valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 7: Seja . A relação definida por é de equivalência.

i )Reflexiva

A relação é reflexiva pois, ii)Simétrica

A relação é simétrica pois,

ab

c

ab

c d

a b

c d

ab

c d

3

iii) TransitivaA relação é transitiva pois,

Exemplo 8:

A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim

i )ReflexivaA relação é reflexiva pois,

ii)SimétricaA relação é simétrica pois,

iii) TransitivaA relação é transitiva pois, .

Exercícios de Aplicação 1:Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir.

1) sobre

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Anti-simétrica

2) sobrei )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Anti-simétrica

4

3) sobrei )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Anti-simétrica

4)

sobre

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Anti-simétrica

5) Seja , quais propriedades são válidas para as relação.i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

iv) Anti-simétrica

6. Classe de equivalênciaSeja uma relação de equivalência sobre A. Dado denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A

formado dos elementos x tal que Simbolicamente

5

7. Conjunto quociente

O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por

Exemplo 9: A relação sobre é de

equivalência.Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim:

, logo podemos ver que a classe , assim temos duas classes, e indicamos por:

Exemplo 10: Seja a relação de equivalência sobre

Determinemos suas classes de equivalência.

pois,

pois, e escrevemos o conjunto quociente:

8. Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A se, e somente se

1) 2) Se

3)

Exemplo 11:Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que

e , assim forma uma partição de A pois. Denominando

6

, tem-se e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e

Exemplo 12:Sejam e definida por .

a) Verifique se é uma relação de equivalência.b) Caso afirmativo dar a classe de .Deixamos a cargo do leitor a demonstração i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

a) , adicionando membro a membro e simplificando tem-se;

, logo é transitiva e portanto é uma relação de equivalência.b) Classe de = = =

Exercícios de aplicação 02:1)Sejam e definida por

.a) Verifique se é uma relação de equivalênciai )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo, dar a classe de .

7

2) Seja a relação de equivalência sobre definida por

a) Verifique se é uma relação de equivalênciai )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo dar .

3) Seja .

a) Mostre que é de

equivalência.i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo dar a classe .

4)Sejam e definida por .(lê-se 3 divide a-b)

a) Verifique se é uma relação de equivalência.i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Caso afirmativo, dar

8

5) Seja , complete o quadroRelação Reflexiva Simétrica transitiva

=

=

=

6) Seja a relação de equivalência sobre (conjunto dos números complexos)definida por

Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por

7) Seja e a relação

a) Mostre que é de equivalência.i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b)Sendo , dar a classe .

8) Em , definimos a relação de equivalência por

Descreva geometricamente

9. Relação de ordem

9

Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades:i) é reflexiva se

ii) é anti-simétrica se, e somente se iii) é transitiva se, e somente se .Notação: Se e é uma relação de ordem parcial escrevemos , lê-se “ a precede b” ou “ a antecede b”

Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que A é parcialmente ordenado.

Elementos comparáveisSe a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem

comparáveis se .

10. Ordem total

Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, , então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado.

Exemplo 13:Sejam e a relação definida por (menor ou igual é uma relação

de ordem total, denominada ordem habitual).Mostremos que é uma relação de ordem total.

i) é reflexiva, pois

ii) é anti-simétrica, pois iii) é transitiva, pois . Portanto é de ordem parcial sobre .Verifiquemos se é de ordem total;

,logo é de ordem total.

11. Limites superiores e inferiores

Seja um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja um subconjunto de .

Chamamos de limite superior de a todo elemento Chamamos de limites inferior de a todo elemento

12. Máximo e Mínimo

10

Sejam e uma relação de ordem parcial.

Se então é máximo.Se então é mínimo.

13. Supremo e Ínfimo

Seja um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja um subconjunto de .

Chama-se supremo de o mínimo do conjunto dos limites superiores de (caso exista)Chama-se ínfimo de o máximo do conjunto dos limites superiores de (caso exista).

11. Boa ordem é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo

Exemplo 12:Sejam , e a ordem habitual. Determinar

a) Limites superiores de A, LS(A)=

b) Máximo de A, Max(A)=

c) Supremo de A, Sup(A)=

d) Limites inferiores de A, LI(A)= e) Mínimo de A, não existe Min(A)f) Ínfimo de A, Inf(A)=

Exemplo 14:Sejam e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os

conjuntos indicados. ( no diagrama vê-se que )

a) Max(A)= b) Sup(A)= c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe

Exemplo 15:

a

bc

d

e

11

Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7}

d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8}

ii) B é parcialmente ordenado (justifique)

a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado.

b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade é a segunda.

c) Anti-simétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B.

é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7.

iii) B é totalmente ordenado (justifique)

Como B é pré-ordenado, devemos verificar se todos os elementos de B são comparáveis.

(V) (V) (V), logo , é totalmente ordenado.

Exercícios de aplicação 03:

12 3

4

56

78

12

1) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { }d) LI(B)={ } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é totalmente ordenado?

2)Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { }d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { }

ii) é totalmente ordenado? (justifique)

iii) O que se deve fazer para ser parcialmente ordenado

iv) é bem ordenado se todos seus subconjuntos têm mínimo. Verifique se B é bem ordenado 3)Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

12

34

6

85

7

654

321

13

Determine i) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { }d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é totalmente ordenado? (justifique)

4) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determine 1) a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { }d) LI(B)= { } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { }

2) é totalmente ordenado? (justifique)

Exercícios de aplicação 04:

54

3

2

1

14

12

3

4

56

78

0

1) Seja .a) Determinar tal que

b) Verifique se é anti-simétrica.

2) Seja e a relação dada por

a) Verifique se é uma relação de equivalênciai )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Sendo , determinar

3) Em , definimos a relação de por

a) Verifique se é de equivalência

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Descreva geometricamente

15

4) Em , definimos a relação de por

a) Verifique se é de equivalência

i )Reflexiva

ii)Simétrica

iii) Transitiva

b) Determine

c) Descreva geometricamente

5) Sejam e relação de equivalência definida por .

Determine os valores de , para que

Exercícios de aplicação 04:

16

1) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é parcialmente ordenado?

iii) é totalmente ordenado?

2) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é parcialmente ordenado?

iii) é totalmente ordenado?

1

35

6

B

2

4

1

2

5

6

34

B

17

3) Seja e

. Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é parcialmente ordenado?

iii) é totalmente ordenado

4) Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama.

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é parcialmente ordenado?

6 4 1

3

2 B

57

8

64

1 3

B

5

2

18

5) Em , considere a pré-ordem definida pelo diagrama que segue

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é parcialmente ordenado?

iii) não é boa ordem, eliminando qual

seta passa a ser boa ordem?

Seja e . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama

Determinar i) a) LS(B)= { } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { }

ii) é parcialmente ordenado?

B

a

b

c

d

e

f

1

2

34

5

6

78 9

19