Relatório 5 AMANDA

8/16/2019 Relatório 5 AMANDA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

DISCIPLINA: CONTROLE DIGITAL

PROFº DR. OTACÍLIO DA MOTA ALMEIDA

CONTROLADOR PID ADAPTATIVOAMANDA PEREIRA MONTEIRO 201266166

TERESINA, MARÇO DE 2016


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1. INTRODUÇÃO

1.1 OBJETIVO

Implementação teórica e prática do Controlador PID Adaptativo.

1.2 INTRODUÇÃO TEÓRICA

O controlador PID é um algoritmo utilizado amplamente na indústria de processos,

por se tratar de um método de controle de sistemas simples e robusto na maioria de suas

aplicações, atendendo grande parte dos requisitos necessários.

Contudo, a sintonia desses controladores muitas vezes é praticada através de

métodos de tentativa e erro que visam ajustar os parâmetros sem o auxílio de técnicas ou

teorias desenvolvidas para os controladores PID. Além disso há casos de perda de

eficiência e capacidade do controlador com a eliminação ou subtração de processos

internos do mesmo.

A característica de desempenho do controlador vai de encontro com a complexidade

e a aplicação, ou seja, se a precisão ou limites das variáveis controladas necessitarem ou

não de grande acurácia.

Nos métodos práticos de sintonia o primeiro passo na utilização dos controladores

standard1 P, PI, PD, PID tem como principal decisão a escolha dos modos a utilizar

(proporcional, derivativo, integral, ou uma combinação destes). Uma vez aquela tomada,

procede-se ao ajustamento dos vários parâmetros do controlador. O ajustamento ou

calibração do controlador (sintonização de controladores) consiste em deduzir, partindo

da resposta do sistema, quando este é sujeito a entradas específicas, determinados valores

que vão permitir o cálculo dos referidos parâmetros.

O método analítico, consiste em sintonizar os modos PID para uma aplicação

específica de modo a que determinados critérios de “performance” sejam verificados.

Este é usado sempre que a função de transferência do sistema é conhecida.


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2. RESULTADOS E DISCUSSÕES

1ª QUESTÃODemonstre que independentemente da estrutura PID digital da figura 1 e da formade discretização do controlador, uma equação característica do sistema de malha fechada e

dada por:

A(z -1 )(1-z -1 )+z -1 B(z -1 )G(z -1 ) (1)

Figura 1

Sendo G(z -1 )= g 0+g 1 z -1+g 2 z

-2

polinômio relacionado com os ganhos do controlador

PID.

A função de transferência discreta da malha de operação é descrita pela equaçãoabaixo:

Figura 1


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Para a obtenção dos parâmetros que regem o processo descrito acima, é utilizadoo Método do Estimador dos Mínimos Quadrados, implementados na prática anterior.Os mesmos são definidos conforme as equações abaixo:

A função que rege um controlador PID está descrita abaixo, para o domíniocontinuo do tempo, no qual é a soma das ações proporcional, integral e derivativa.


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Um controlador PID é composto pelas sua ação integral, diferencial e proporcional, e a

sua equação u(t) é dada como a soma de cada uma dessas ações assim como está sendo exibido

na equação abaixo:

Onde:

x(t) é a entrada do controlador;

u(t) é a entrada do processo;

K p, Ti e Td são os parâmetros de ajuste.

Fazendo a discretização, encontramos:

Com isto identificamos as variáveis g0, g1 e g2.

0 = 1

= 2

1

2 =

Quanto a composição funcional do sistema temos a figura abaixo representação dosistema com implementação PID do tipo A.

Figura 2

Para esse tipo de sistema temos a equação abaixo:

= ++

− [ ]


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Considerando que V(z)=0, encontramos a seguinte relação:

= ()∗()

−+

A próxima análise será do processo com implementação PID do tipo 2 assim como estásendo mostrado na figura abaixo:

Figura 3

A saída do sistema é caracterizada pela equação abaixo:

= −

∗ [ ⁄− ]

()− ]

Considerando que V(z)=0, encontramos a seguinte relação:

= () ⁄

−+

Como as duas relações encontradas possuem o mesmo denominador foi provado que um

sistema de malha fechada tem equação característica dada pela equação 1.

2ª QUESTÃO

Proponha um método de sintonia para o controlador PID que posicione os polos de

malha fechada do sistema.

Tomando a equação característica encontrada no tópico anterior, onde deseja emmalha fechada um comportamento tipo de segunda ordem, dos quatros polos em malhafechada, dois deverão poder ser definidos pelas especificações do usuário e os outrosdois deverão ter pouca influência (perto da origem) ou serem cancelados. Deste modo,a resposta do sistema fica definida, a menos da influência dos zeros, pelos polos

distantes da origem.


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Separando-se os polos em malha fechada em dominantes, associados ao polinômio D(ẑ -1) (mais distantes da origem no plano Z) e não dominantes, associadosao polinômio γ(z^-1) (próximos a origem), obtém-se a partir de:

Figura 4

Empregando os parâmetros wn e , que são respectivamente a frequência naturalnão amortecida e o coeficiente de amortecimento do sistema, tem-se:


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No qual os polos dominantes passam a ser determinados pelos parâmetrosescolhidos pelo usuário.

Os polos dominantes e não dominantes são dados, a partir de

Afim de facilitar os cálculos de γ1 e γ2, considera-se γ1 uma variável livre e γ2uma função de γ1.


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Desta forma, o problema passa a ser determinar γ1 que resulte em um polinômio

γ(ẑ -1) com polos “mais próximos” a origem no plano Z. Para isso, toma-se comocritério obter o par de polos cujas distancias a origem sejam limitadas por um raiomínimo, rmin.

Figura 5

Logo, as variáveis g0, g1 e g2 são:

0 = 0

10

= 22

2 = 22

022

2 2

3ª QUESTÃO

Aplique sua proposta para controlar o sistema dado por:

=

. Gerar um valor de K entre 1 e 5 com a função rand do MATLAB.


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Discretizando-se o processo para um valor de K=4,001 e considerando-se umamostrador de ordem zero (ZOH), obteve-se G(z).

Onde verificou-se a1=-1,45; 12=0,5712; b1=0,2644 e b2=0,2193.

Diante destes valores foi simulado o controlador PID utilizando o Estimador dosMínimos Quadrados não recursivos e pode-se observar os resultados mostrados na saídamostrados na figura a seguir.


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Figura 6

Após isso estimou-se os parâmetros abaixo, apresentados na Tabelas seguinte.

Tabela 1

Tempo de

amostragemT (s)

Fator de

amortecimentoΖ

Frequência

Natural (rad/s)

0.4 0.6 1.54


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Tabela 2

G0 G1 G2 Td Kc Ti Kd Ki

3.111 10.231 -2.2003 0.0897 -6.999 -1,001 1.998 27,9001

Em seguida foi simulado utilizando-se do Estimador dos Mínimos QuadradosRecursivos, na qual a forma de onda de saída está mostrada abaixo:

Figura 7

Após isso, devido à grande oscilação do sistema, normalizou-se todos os cálculos

envolvendo o controle. Isso pôde ser feito aplicando-se um degrau unitário na função G(z) emmalha aberta, a fim de se obter o valor do ganho e poder realizar a normalização.


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3.

RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Tendo em vista a necessidade de normalizar a saída para aplicar o método de sintonia PID autoajustável, aplicou-se um degrau unitário na malha do processo do ventilador para obter o valor doganho.

Após as análises e estudos aplicados via simulação para um processo e posteriormente para a

função estimada do processo do ventilador realizou-se o controle PID autoajustável para a malhade processo do motor do ventilador do laboratório.

Realizando os testes para a topologia convencional de sintonia por posicionamento de polo come sem filtro e realizando a recursividade na estimação dos parâmetros do processo controlado(ventilador).

Os dados empregados do ventilador para os testes foram abordados no tópico 6.2.

1.1.1 Método Convencional de sintonia sem estimação (MQR)

A implementação deste controlador foi difícil devido a necessidade de normalização do processo,o mesmo não respondia como desejado para alguns parâmetros, haja vista que a normalizaçãodeve ser ajustada para cada referência a ser seguida, necessitando, portanto, de conhecimento daresposta da planta a referência utilizada. Para todos os testes e analises supracitados neste relatórioempregou-se a normalização para uma entrada de valor máximo unitário. A normalização foiimplementada na seguinte linha de código: exit(t) = y(t)/110.

A Figura 8 mostra a resposta a uma entrada referencial do processo do ventilador. Nota-se que o processo com o controlador responde bem, contudo com um pouco de lentidão para alcançar oregime permanente.


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Figura 8- Resposta do processo do ventilador

Os parâmetros de Kd, Ki e Kc, são calculados a cada período de amostragem pelo estimador, afimde ajustar o controlador a nova condição da planta, porém como é de se esperar como está sendoo utilizado o método não recursivo estes valores tendem a se manterem constantes. Esta demora para adquirir estabilidade é evidenciada por altos valores de Ki, sendo de ordem mais elevada queos outros parâmetros.

Aplicando um sinal de referência para o processo estimado da planta do ventilador obtivemos oresultado mostrado na figura 9 abaixo.


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Figura 9 – Saida do processo estimado da planta do ventilador.

Os parâmetros utilizados para determinar os polos do processo desejado e afim de tambémdeterminar os parâmetros do PID estão presentes em Tabela 3. Os parâmetros do controlador estão presente em Tabela 4.

Tabela 3


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Tabela 4

O processo apresentou analiticamente poucas mudanças, devido ao fato do filtro atua de maneiraa atenuar os efeitos dos polos auxiliares e para esta planta não apresentarem efeitos consideráveis.A saída do processo apresenta uma boa resposta com baixo valor de overshoot. Contudo ainda seapresenta um pouco lento para chegar em regime permanente. E pequenos picos em mudanças dedegraus.

4. CONCLUSÃO

Através deste trabalho, foi possível maior entendimento prático e teórico do funcionamentoacerca dos métodos de estimação de processos: Método do Mínimos Quadrados Recursivo e NãoRecursivo.

O método dos mínimos quadrados não-recursivo tem como vantagem o fator tempo que é

bem menor do que os outros métodos e ainda assim e capaz de estimar com um alto grau de precisão; no entanto, em contrapartida, esse método exige uma alta capacidade de armazenamentode dados visto que ele precisa conhecer as saídas do sistema para determinadas entradas para quea partir desses dados a função de transferência possa ser estimada.

Já o método dos mínimos quadrados recursivos não exige que muitos dados sejamarmazenados visto que esse sistema estima uma função de transferência a partir de iterações queusam o valor atual do sistema a ser estimado, ou seja, não ha necessidade de armazenar os dadosreferentes às saídas do sistema original. Esse método tem ainda a vantagem de ser mais resistenteà interferência de ruídos e perturbações em geral.

Por fim, conclui-se que o trabalho foi de grande valia no que diz respeito ao entendimento práticodos métodos de identificação de sistemas e à fixação dos conhecimentos obtidos na disciplina.


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5. ANEXO CÓDIGO MATLAB

%%% ESTIMADOR DOS MINIMOS QUADRADOS NAO ESTIMADOR DOS MINIMOS QUADRADOS

NAO-RECURSIVO RECURSIVO% ESTIMACAO DE UM PROCESSO DE SEGUNDA ORDEMclear all;

load medidas .txtnpts=150;u=medidas(1:npts,1); y=medidas(1:npts,2); Y=[ ]; fi=[ ];for j=1:nptsif j2yest(k)=-a1*yest(k-1)-a2*yest(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);else yest(k)=0;endendset_pwm_duty(1,0);hold on;

plot(y,'g'); hold on; plot(yest,'r');legend('Processo discreto','Processo estimado');title('Saida'); xlabel('Tempo(amostra)'); ylabel('Amplitude');%%% -----------------------------------------% ESTIMADOR DOS MÍNIMOS QUADRADOS RECURSI VO


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%%APLICADO A UMA PLANTA DE SEGUNDA ORDEM%% -----------------------------------------

clear all

% -- Pergunta: Quantos períodos de amostragem a simularnit=input(' Quantas iterações ? '); 20


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%-- Gera sinais de entrada e ruidofor i=1:nitif rand>0.5u(i)=1;elseu(i) = -1;

endende = u*0.01;% -- Condições iniciais: matriz de covariância

p = 1000*eye(4,4);% -- Condições iniciais: parâmetros e saídateta = [0;0;0;0];for t = 1:4y(i) = 0;erro(t) = 0;a1(t) = teta(1);a2(t) = teta(2);

b0(t) = teta(3);b1(t) = teta(4);yest(i)=0;end

% -- Iterações das s imulacõesfor t = 4:nit% ----- Calcular a saída atualif(t


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%% REcursivo Ventilador e estimadoclear all% -- Pergunta: Quantos períodos de amostragem a simularnit=150% -- Condições iniciais: matriz de covariância

p = 1000*eye(4,4);

% -- Condições iniciais: parâmetros e saídateta = [ -0.8788; 0.1161; 9.6977; 17.5278];for t = 1:4a1(t) = teta(1);a2(t) = teta(2);

b0(t) = teta(3);b1(t) = teta(4);y(t)=0;yest(t)=0;end% -- Iterações das s imulacõesfor t = 4:150% ----- Calcular a saída atualy(t)=velocidade_ventilador;if t


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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] COELHO, A. A. R.; dos SANTOS COELHO, L. Identificação de sistemas dinâmicos lineares,

Universidade Federal de Santa Catarina, 2004.

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