Relatório de Atividades 2008

relatório

De

Atividades

2008

“Ai daqueles que pararem com sua capacidade

de sonhar, de invejar, sua coragem de anunciar

e denunciar. Ai daqueles que, em lugar de

visitar de vez em quando o amanhã pelo

profundo engajamento com o hoje, com o aqui

e o agora, se atrelarem a um passado de

exploração e rotina”.

Paulo Freire

RESUMO

O presente documento tem a finalidade de apresentar o trabalho

realizado pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos no ano de 2008. Dando

continuidade às atividades realizadas em 2007, além de atividades expositivas,

como o evento “Venha nos Conhecer”, o grupo teve a oportunidade de mostrar o

resultado da iniciativa da inserção dos jogos como ferramenta complementar ao

ensino de matemática através da participação em eventos científicos, na própria

universidade e fora dela. Deste modo foi possível comprovar a importância de tal

realização, uma vez que todos os trabalhos científicos submetidos, num total de

25, foram publicados. Sendo assim, o presente relatório será composto pelo

relato da participação do grupo na atividade expositiva que ocorreu na própria

unidade, pela análise do desempenho do grupo, pela apresentação dos trabalhos

publicados no ano de 2008, e pela avaliação do projeto como um todo.

Palavras-chave: Jogos Matemáticos, Modificação no Ensino, Formação de

Educadores.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 1

PROPOSTA 1

DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO 2

AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO GRUPO 9

RESULTADOS 10

APÊNDICE 11

1

INTRODUÇÃO

A utilização de jogos matemáticos, como instrumento facilitador do

processo de ensino e aprendizagem, exige que seus objetivos pedagógicos sejam

bem claros e que seja priorizada a qualidade. Além de ser um objeto sociocultural

em que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade natural no

desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um fazer sem

obrigação externa e imposta, embora demande exigências, normas e controle.

PROPOSTA

O trabalho realizado durante todo o tempo de atividade do grupo, além

de propor a visão dos jogos matemáticos como ferramenta complementar ao

ensino de matemática, apresentando a contribuição pedagógica que a inserção

do jogo apresenta durante o processo de ensino/aprendizagem realizado nas

escolas de ensino infantil e fundamental; inovou em possibilitar aos acadêmicos

do curso de Licenciatura em Matemática da Feis – Unesp, um “primeiro contato”

com a atividade na qual está sendo formado para desenvolver e isso desde o ano

em que ingressa no curso. Assim, abordando o uso de ferramentas alternativas e

podendo experimentá-las, mesmo durante sua formação, o estudante do curso

de Licenciatura em Matemática (futuro professor de matemática) se torna melhor

habilitado a contribuir com um ensino de qualidade. Portanto, os jogos, quando

tratado da maneira correta, traz grande benefícios para o ensino de matemática

e, ao formar professores capacitados ao trabalho com jogos a universidade

2

mostra mais uma vez seu compromisso com a responsabilidade social. Além

disso, merece enfoque à submissão de trabalho científico a eventos vários, em

decorrência da pesquisa e experimentação realizada durante o processo.

DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

Além de alguns dos alunos da formação anterior (ano de 2007), em

2008 outros alunos foram agregados ao grupo. Deste modo os alunos do curso de

Licenciatura em Matemática que fizeram parte do “Grupo de Estudo sobre Jogos

Matemáticos” no ano de 2008 foram:

• Aline Gomes da Motta

• Aline Jardim da Silva

• Deleon Monteiro de Alvarenga

• Edcarlos Lopes Ferreira dos Santos

• Geison Fernando Medeiros Queiroz

• Gustavo Carvalho Molina

• Jonatas Estevan Soares da Silva

• Nathália Mantovanelli Bevilaqua

• Silvio Riva Junior

• Tiago Henrique Pereira da Silva

• Vinicius Arthur dos Santos Guissi

3

Neste ano, do mesmo modo que no anterior, o grupo esteve sob

coordenação da professora Dalva Maria de Oliveira Villarreal, e supervisão das

professoras Alessandra Bonato Altran e Mara Lúcia Martins Lopes.

Além da abordagem dos jogos trabalhados anteriormente, Cubo Soma,

Kakuro, Quadrado Mágico e Sudoku, tornou-se foco de estudo os jogos Tangram e

Torre de Hanói, culminando na inserção e aplicação dos mesmos nas atividades

expositivas realizadas pelo grupo. Além disso, foi iniciada a pesquisa sobre novos

jogos, tais como, Nikoli, Poliminós, Hitori, Cubo Mágico, Mancala, Quatro quatros,

Cubo Bedlan, entre outros, porém, não houve tempo hábil de iniciar a fase de

aplicação dos mesmos.

No ano de 2008 o grupo realizou apenas uma apresentação expositiva,

que ocorreu no evento “Venha nos Conhecer”, que tem por finalidade a

apresentação dos cursos à comunidade, contribuindo na escolha da profissão por

parte dos vestibulandos. Como nos anos anteriores foram disponibilizados dois

“stands” para o curso de Matemática; neles foram expostos vários jogos do LEM

e, na medida em que eram visitados, os componentes do grupo apresentavam

cada jogo. O evento realizou-se em dois dias e contou com a visitação de alunos

das escolas da região e da comunidade acadêmica em geral.

Como o grupo já dispunha de bastante resultados, apostou-se na

iniciativa de fazer com que os alunos do grupo tivessem a possibilidade de

desenvolver trabalhos acadêmicos para participação em eventos científicos. Essa

nova fase foi bastante trabalhosa uma vez que era o primeiro contato com esse

tipo de atividade.

A produção dos textos a serem submetidos aos eventos foi

acompanhada diretamente pelas professoras supervisoras e pela orientadora do

4

grupo, proporcionando assim, um aprendizado mais direcionado em relação às

normas de submissão, de apresentação, ou seja, a toda formalidade que é

exigida. Deste modo, todo o trabalho árduo do grupo levou a participação do

mesmo em cinco eventos, abaixo relacionado.

Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional – ERMAC

Este evento foi realizado na cidade de Bauru-SP, durante o período de

18 a 20 de julho de 2008, sendo publicados pelo grupo cinco trabalhos, que são:

1 ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – Uma

Modificação no Ensino. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.497 - 501, 2008.

2 ALVARENGA, Deleon Monteiro; RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Arthur S., ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Sudoku. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.570 - 570, 2008.

3 MOLINA, Gustavo Carvalho; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Cubo Soma. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.572 – 572,

2008.

4 SILVA, Aline Jardim; SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira,

5

LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Kakuro. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.571 - 571, 2008.

5 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Quadrado Mágico. 1º ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - ERMAC 2008, Bauru – SP, p.569 – 569, 2008.

XXXI Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - CNMAC

Este evento ocorreu na cidade de Belém-PR, no período de 8 a 11 de

setembro de 2008, em que foram publicados mais quatro trabalhos pelo grupo,

sendo esses:

1 ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Utilização de Jogos Matemáticos como Ferramenta Alternativa à Metodologia Tradicional do Ensino de Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

2 ALVARENGA, Deleon Monteiro; RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Ensino de Matemática Através do Uso do Jogo Sudoku. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E

COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

3 MOLINA, Gustavo Carvalho; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso do Jogo Cubo Soma

6

como Instrumento Auxiliar no Ensino de Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

4 SILVA, Aline Jardim; SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. A Utilização do Jogo Kakuro no Ensino de Matemática. CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - XXXI CNMAC, Belém – PA, 2008.

IX Encontro Paulista de Educação Matemática – EPEM

Tal evento foi realizado na cidade de Bauru-SP, entre os dias 25 e 27 de

setembro de 2008, em que o grupo publicou mais seis trabalhos:

1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, 2008, Bauru - SP, 2008.

2 RIVA JUNIOR, Silvio; GUISSI, Vinícius Artur dos Santos; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

3 SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira, ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

7

4 SILVA, Aline Jardim; SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

5 SILVA, Jonatas Estevan Soares; MARQUES, Meire Melo; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática. IX

ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

6 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática. IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EPEM, Bauru - SP, 2008.

Congresso de Iniciação Científica da Unesp – CIC

Evento realizado na cidade de São José dos Campos, no período de 27

de outubro a 01 de novembro de 2008, em que também foram publicados seis

trabalhos. Estes mesmos trabalhos foram apresentados na Reunião de Iniciação

Cientifica - RIC, realizada em Ilha Solteira, sendo esses:

1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Matemática Lúdica: O Jogo Tangran. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

2 GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Sudoku:

8

Uma Alternativa no Ensino e Aprendizagem de Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

3 SANTOS, Edcarlos Lopes Ferreira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Uso da Torre de Hanói no Ensino da Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

4 SILVA, Aline Jardim; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria

de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Kakuro: Uma Proposta de Auxílio no Aprendizado de Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

5 SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem da Matemática. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

6 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – O Quadrado Mágico como Recurso no Complemento da Aprendizagem. CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – XX CIC UNESP, São José dos Campos – SP, 2008.

16o Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP - SIICUSP

Este evento se realizou na cidade de São Paulo – SP, no período de 3 a 5

de novembro de 2008, neste evento o grupo publicou mais quatro trabalhos, que

foram:

9

1 BEVILAQUA, Nathália Mantovanelli; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Tangran no Ensino de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

2 GUISSI, Vinícius Arthur dos Santos, ALTRAN ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. O Jogo Matemático Sudoku como Ferramenta no Ensino e Aprendizagem de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA –

SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

3 SILVA, Jonatas Estevan Soares; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira; LOPES, Mara Lúcia Martins. O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem de Matemática. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

4 SILVA, Tiago Henrique Pereira; ALTRAN, Alessandra Bonato; VILLARREAL, Dalva Maria de Oliveira, LOPES, Mara Lúcia Martins. Jogos no Ensino de Matemática – O Quadrado Mágico como Recurso de Aprendizagem. SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – SIICUSP 2008, São Paulo – SP, 2008.

AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO GRUPO

Por ser já ter ocorrido um processo longo de pesquisa, ambientação,

aplicação em sala de aula no ano de 2007, durante o ano de 2008 o grupo

apresentou um bom desempenho em relação às atividades propostas, inclusive

na fase da confecção dos trabalhos científicos, que era uma experiência nova para

10

o grupo, isso se deu devido o fato de já terem adquirido maturidade em relação

ao esquema de trabalho proposto pelas supervisoras.

RESULTADOS

Ao final de mais um ano de trabalho pode-se dizer que o resultado

novamente superou as expectativas. Além das atividades de costume, o grupo se

saiu muito bem na proposta de disseminação da idéia da utilização de material

lúdico, através dos trabalhos científicos.

Vale ressaltar, novamente, a grandiosa contribuição que o projeto

trouxe a comunidade como um todo. Os alunos integrantes do grupo tiveram um

amadurecimento significativo com a atividade na qual desenvolveram, tanto com

os alunos das escolas quanto na questão expositiva dos trabalhos científicos;

adquiriram a habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, da organização do

tempo, do comprometimento e formalização de trabalho científico.

A atividade com jogos matemáticos, mais uma vez proporcionou a

modificação na estrutura educacional, visando o ensino de qualidade tanto na

universidade, permitindo aos alunos a oportunidade de conhecer de perto a

profissão que escolheram, contribuindo assim para sua formação, quanto nas

escolas de ensino infantil, fundamental e médio, modificando a realidade do

ensino, principalmente de matemática, tornando-o mais atrativo através da

utilização jogos matemáticos como ferramentas educacionais alternativas.

11

APÊNDICE

• Considerações Finais – Mensagem da profa Alessandra.

• Produção Científica (Artigos Publicados).

• Registro das Apresentações Realizadas.

ÚLTIMAS PALAVRAS

Cá estou eu, mais uma vez findando um trabalho que me orgulho muito

em poder divulgar através desse simples documento. Para muitos pareça ser algo

pouco significante, para mim é um ato de fundamental importância, pois, relatar

o trabalho realizado, e arduamente, o torna mais real, e possibilita aos leitores

libertar as amarras quanto a uma iniciativa que muitas vezes ficam apenas na

vontade de ter...

Quem sabe meu exemplo não o deixe mais motivado a tentar; como

disse no relatório anterior (2007), trabalhar com esse grupo foi um desafio que se

tornou numa grande batalha. Não foi fácil trabalhar no que não se pode

trabalhar, ou, melhor dizendo, não é fácil trabalhar às escuras apenas porque o

regimento da universidade não permite a um professor substituto, que é minha

condição, desenvolver outra atividade que não seja o ensino (em sala de aula).

Falando em ensino, está aí outro problema que se enfrenta numa faculdade de

engenharia em que os cursos de licenciatura ainda estão “engatinhando” e sendo

aceitos como licenciatura, não foi fácil...

É, mesmo com várias restrições o fato de eu ter conseguido levar a

diante essa idéia, cujo resultado foi muito bem aceito por pessoas de mérito na

área (comprovado com a publicação dos 25 trabalhos), só mostra o quanto vale a

pena investir na educação.

Assim, quero deixar registrado meu imenso orgulho pelo trabalho do

grupo como um todo, para o qual me dediquei de coração, e ainda, agradecer

pela oportunidade de poder contribuir com a formação de bons profissionais da

educação, pois, é isso que espero dos alunos que acompanhei.

Espero, ainda, que esse trabalho não pare por aí, há muito a se fazer, há

muito chão para percorrer, há muitas crianças para educar, há muitos professores

para se formar... E, um trabalho grandioso como este, não pode mais ficar fora do

papel, é preciso investir e investir pesado na formalização deste projeto, esse é o

apelo que deixo registrado aqui. Invistam na formação de bons professores, de

professores que sejam capazes de estar em constante aprendizagem, buscando

sempre ferramentas para tornar o aprendizado prazeroso.

“Acredito que um tal sistema educativo permitirá o mais alto

desenvolvimento da mente e da alma. É preciso, porém, que o

trabalho manual não seja ensinado apenas mecanicamente, como

se faz hoje, mas cientificamente, isto é, a criança deveria saber o

porquê e o como de cada operação (Mahatma Gandhi)”.

Portanto, como eu sempre digo, você pode fazer a diferença, mas isso

não depende mais de mim, o que eu podia fazer para mudar sua condição eu já

fiz, contei minha experiência, e com muito orgulho, agora cabe a você subir no

“palco” e dar o seu “show”.

Por fim, como não poderia deixar de fazer, parabenizo o grupo pelo

belo trabalho desenvolvido e deixo meus agradecimentos àqueles que

contribuíram de alguma forma com a realização das atividades e à prof. Dalva

que, mesmo não podendo ser presença constante, devido suas várias atribuições

frente à universidade, sempre deu suporte ao grupo, principalmente nas questões

burocráticas, o que foi fundamental para que os alunos pudessem ser deslocados

da universidade para as escolas, durante a atividade em sala de aula, e para os

eventos nos quais foram apresentados os artigos publicados (ressaltando a

liberação do recurso financeiro para tanto), e na questão da integridade do grupo

quanto a não-aceitação por parte de alguns de nossos colegas de trabalho... Por

causa dela, “Tiveram que nos engolir.”

Enfim, sem qualquer modéstia somos vitoriosos, pois, como segundo

Freire:

“A educação sozinha não transforma a sociedade, sem ela tão

pouco a sociedade muda. Não é no silêncio que os homens se

fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-reflexão”.

Alessandra

“ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E

COMPUTACIONAL - ERMAC”

Bauru – SP

18 a 20 de Junho de 2008

Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – Uma Modificação no Ensino

Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes

Depto de Matemática, FEIS, UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

O objetivo deste trabalho é relatar a experiência da utilização de jogos matemáticos como uma alternativa à metodologia tradicional do ensino de matemática. Para tanto, será apresentado o desenvolvimento do trabalho envolvendo, tanto os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, da Unesp de Ilha Solteira, quanto os alunos da rede municipal de ensino do município de Ilha Solteira (SP) e Selvíria (MS). Serão apresentadas, ainda, as contribuições dessa atividade em relação às escolas de ensino fundamental e, principalmente, ao estudante universitário, através da experiência prática adquirida com a atividade na qual está sendo formado para desenvolver.

Introdução A atividade lúdica é, essencialmente, um grande laboratório em que ocorrem experiências inteligentes e reflexivas, propiciando a aquisição de conhecimento. Assim, ocorre a preocupação de complementar o processo educativo dos futuros educadores, ou seja, deseja-se fazer com que os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, desde o inicio do curso, tenham contato com as ferramentas pedagógicas alternativas.

A formação lúdica possibilita o desenvolvimento de certas habilidades imprescindíveis para o aprendizado de Matemática e para a resolução de problemas em geral, tais como, organização, atenção e concentração [1]. Existem jogos que encerram em suas soluções lições valiosas, muito semelhantes à resolução sistemática de problemas.

Além disso, a atividade lúdica leva o educador a conhecer-se como pessoa, saber de suas possibilidades, desbloquear resistências e ter uma visão clara sobre a importância do

jogo para a vida da criança, do jovem e do adulto [2].

Este tipo de formação é inexistente nos currículos oficiais dos cursos de formação de educadores, entretanto, algumas experiências mostram sua validade; e não são poucos que afirmam ser a ludicidade a alavanca da educação para o terceiro milênio [7]. Porém, vale ressaltar que a utilização dos jogos não é uma novidade no processo educacional. A literatura mostra que na antiguidade essa ferramenta já era utilizada. Muitos são os registros da contribuição da atividade lúdica, mais especificamente, os jogos. Porém, ainda hoje, é pouco comum encontrar escolas que fazem uso desse recurso, mesmo estando em destaque nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Segundo os PCN, não existe um caminho único e melhor para o ensino da Matemática, veja o trecho a seguir:

''Finalmente, um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver'' [8].

Assim, de forma a modificar essa realidade, objetiva-se a utilização dos jogos matemáticos como ferramenta facilitadora de aprendizagem; considerando que, conhecer as possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática. Portanto, esta é uma proposta que atinge tanto o educando, quanto o futuro educador. Iniciativa

Em 2006, ocorreu a primeira proposta de estudo sobre jogos matemáticos. Para tanto,

mailto:[email protected]



foi organizado um grupo, composto por alunos do primeiro ano do curso de Matemática. Foram estudados alguns jogos que o LEM (Laboratório de Ensino de Matemática) dispunha; tais como, Torre de Hanói, Quadrado Mágico e Tangram. Porém, tal pesquisa foi realizada de forma bastante superficial, pois, os alunos ainda apresentavam dificuldades nos conceitos matemáticos envolvidos. O resultado dessa pesquisa inicial foi apresentado na Oficina “Jogos Matemáticos”, na V Semana da Matemática desta instituição. Em 2007, essa proposta foi retomada quando as disciplinas Álgebra Elementar (1o semestre) e Fundamentos de Matemática Elementar (2o semestre), reformuladas de modo a cumprir a exigência do MEC de introduzir aulas teórico-práticas em algumas disciplinas, fez uso dos jogos matemáticos para evidenciar a aplicação da teoria estudada.

A princípio, a prática aplicada nas disciplinas só tinha o propósito de cumprir os preceitos determinados pelo MEC. Porém, um convite realizado pela coordenação do curso de Licenciatura em Matemática em oferecer, em um evento promovido pelo próprio departamento, uma oficina que abordasse jogos matemáticos, levou à formação do “Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos”. Desta vez, o trabalho se deu de forma bem elaborada, uma vez que os alunos já apresentavam maior domínio das teorias envolvidas, pelo fato de terem sido tratadas nas disciplinas. Desenvolvimento da Proposta

O trabalho objetivou a abordagem apurada dos jogos matemáticos, como alternativa à metodologia tradicional do ensino de matemática, ou seja, além de propor ao grupo a pesquisa sobre a funcionalidade de cada jogo; propôs-se também, a abordagem de toda a fundamentação teórica e pedagógica envolvida. Com já mencionado anteriormente, o trabalho teve início com a formação do grupo, cujos alunos foram selecionados através da análise de seu desempenho nas atividades de prática de ensino das disciplinas tratadas acima, ou seja, que apresentaram bom desempenho e maior habilidade de expressão, colocação e didática. Assim, o grupo foi

composto por doze alunos, do curso de Licenciatura em Matemática (ingressantes em 2007) e por três professores do departamento de Matemática A primeira etapa do trabalho foi composta pela realização do levantamento dos jogos que o LEM dispunha, e a seleção de quais seriam abordados, já que a primeira proposta era a apresentação do referido evento. Foram selecionados quatro jogos matemáticos: Quadrado Mágico, Kakuro, Sudoku e Cubo Soma, com mostra a Figura 1.

Figura 1 – Jogos escolhidos para desenvolvimento da atividade

Assim, houve a necessidade de dividir o grupo de forma a abordar os quatro temas, formando assim, subgrupos de três alunos. Apesar de cada grupo ter ficado responsável por apenas um jogo, exigiu-se que os mesmos, através dos demais, tomassem conhecimento dos outros jogos, ou seja, de qualquer forma todos os alunos deveriam conhecer os quatro jogos.

A primeira tarefa proposta ao grupo foi realizar o levantamento bibliográfico sobre a teoria envolvida e o estudo do método de resolução de cada jogo. Os alunos utilizaram os livros da biblioteca do campus e a internet. Durante esse processo surgiu idéia de levar o grupo ao atendimento direto aos alunos do ensino fundamental. Para tanto, foi necessário fazer com que cada grupo tivesse condições de confeccionar os jogos, pois, com a livre manipulação de materiais variados, a criança passa a reconstituir e reinventar as coisas, o que já exige uma adaptação mais completa [3]. Assim, os alunos desenvolveram uma pesquisa que os levou a estarem aptos à confecção de cada jogo. Durante esse processo

Quadrado Mágico Kakuro

Sudoku Cubo Soma

de experimentação, foram utilizados os materiais que o LEM dispunha. Terminada a fase de preparação, os alunos estavam prontos para “irem a campo”. Assim, foram realizadas quatro apresentações, sendo duas em eventos da própria universidade e duas em escolas de ensino fundamental. A descrição detalhada de cada uma das quatro atividades desenvolvidas será feita no que segue.

Primeira atividade “VI Semana da Matemática”

(20 e 21 de setembro de 2007 - Feis/Unesp)

Como dito anteriormente, essa foi à primeira apresentação realizada e, conseqüentemente, a atividade que mais deu trabalho. Devido o tipo de evento foi necessário formalizar melhor a teoria matemática e a aplicação pedagógica dos jogos, pois, o público alvo eram alunos da própria universidade e professores do ensino fundamental e médio. Para essa atividade foi necessária a confecção de vários materiais, pois, não era apenas uma apresentação informativa, mas sim, participativa, em que, abordaram-se os quatro jogos citados, que podem ser vistos através da figura 2.

Cada grupo apresentou o tema no qual foi designado, apesar de poucos, houve interação com os participantes, que desenvolveram as atividades propostas.

Figura 2 – Fotos da IV Semana da Matemática

Segunda atividade “Venha nos Conhecer”

(28 e 29 de setembro de 2007 - Feis/Unesp) Tal evento tem a finalidade de

apresentar à comunidade um pouco do que cada profissão pode agregar, facilitando assim, a escolha por parte dos vestibulandos. Pelo fato deste evento ter uma característica expositiva, fez-se necessário a apresentação de uma variedade maior de jogos, levando os integrantes do grupo a conhecerem a metodologia de cada jogo. Contou-se com a disponibilização de dois “stands” para o curso de Matemática; neles foram expostos vários jogos do LEM, como mostra a figura 3.

Figura 3 – Fotos do Venha nos conhecer Dessa forma, os alunos explicavam

sobre os jogos à medida que grupos de visitantes passavam pelo “stand”. O evento realizou-se em dois dias e contou com a visitação de alunos das escolas da região e da comunidade acadêmica em geral.

Essa apresentação abriu portas para o grupo de estudos, muitos foram os interessados em conhecer tal atividade. Foi durante a realização deste trabalho que os alunos tiveram um grande reconhecimento e, a partir daí, o grupo recebeu o convite do colégio Anglo para demonstração dos jogos matemáticos em suas dependências.

Terceira atividade

“Escola Municipal Prof. Nelson Duarte Rocha”

(14 de novembro de 2007 - Selvíria/MS)

O convite feito pela escola “Prof. Nelson Duarte Rocha”, para surpresa de todos, foi intermediado por uma professora de Língua Portuguesa, que mostrou grande

comprometimento com seu ambiente de trabalho. A apresentação foi realizada de forma muito parecida à da primeira atividade, também foram abordados os jogos Cubo Soma, Kakuro, Sudoku e Quadrado Mágico, porém, adaptados aos alunos de cada série, no caso quarto e sexto ano, veja a figura 4.

Figura 4 – Fotos da visita à escola municipal Nelson Duarte rocha

Quarta Atividade

“Colégio Anglo – Iha Solteira” (19 de novembro de 2007 - Ilha Solteira/SP)

Como dito acima, após tomar conhecimento do trabalho desenvolvido pelo grupo, o colégio Anglo fez um convite para participação em uma atividade expositiva que envolvia pais, alunos e funcionários do próprio colégio.

Figura 5 – Fotos da visita ao colégio Anglo - ISA

A atividade foi desenvolvida através da exposição dos jogos do LEM, da mesma forma que ocorreu na segunda atividade, porém, dispostos em uma sala de aula, como mostra a figura 5. Resultados

A atividade envolvendo jogos matemáticos trouxe muitos benefícios, pois, foi possível comprovar que o jogo possibilita a aproximação do sujeito ao conteúdo científico, através da linguagem, informações, significados culturais, compreensão de regras, imitação, bem como pela ludicidade inerente ao próprio jogo, assegurando assim, a construção de conhecimentos mais elaborados e interação social [5], [6].

Em relação aos alunos participantes do grupo, por serem alunos do primeiro ano do curso de Licenciatura em Matemática, levou-se em consideração que os mesmos estavam em fase de aprendizado e adaptação com as atividades acadêmicas, assim, a interferência da coordenação foi fundamental para o bom desenvolvimento das atividades.

Assim, durante todo o processo, os alunos iam vencendo barreiras. Na primeira etapa a maior dificuldade apontada por eles era encontrar material para fundamentar cada jogo, já que esse tipo de abordagem não é muito usual. Já na segunda etapa, como era esperado, os alunos esbarraram no preconceito, pois, a idéia de aprendizado voltado ao ensino, ainda não é uma das mais bem aceitas dentro de um ambiente cujo contexto é voltado simplesmente à aprendizagem do conteúdo, apesar de o curso ser Licenciatura. No geral, todos se comportaram muito bem, atenderam às expectativas. Por ser um primeiro contato com a atividade de pesquisa e de docência, apresentaram certa insegurança, que foi sendo minimizada ao passo que as apresentações vinham ocorrendo. Vale ressaltar que o modo com o qual os alunos colocaram os jogos na tentativa de seduzir os alunos, de forma a introduzir a teoria matemática envolvida, foi surpreendente Assim, foi notório o amadurecimento e crescimento individual que essa atividade provocou nesses alunos. Agora, em relação aos alunos do ensino fundamental, pouco se pode dizer, pois, foram realizadas apenas duas visitas e, em

locais diferentes, mas, mesmo assim foi possível observar o grande contentamento que tal atividade trouxe aos alunos, comprovando a afirmação de Guzmán, que reforça que a utilização de jogos no ensino de Matemática não tem função apenas de divertir, mas sim, de extrair das atividades, materiais suficientes para gerar conhecimento, interesse e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação [4].

Pode-se dizer, ainda, que a atividade provocou mudança na forma de pensar dos próprios professores das escolas, pois, como permaneciam na sala durante a atividade, passaram a repensar melhor sobre sua prática docente. Conclusão Ao final de, praticamente, seis meses de trabalho, pode-se dizer que o resultado foi maravilhoso, superando as expectativas. Este foi um grupo que começou sem nenhuma perspectiva, mas com esperanças que pudessem mudar a opinião preconceituosa sobre a prática de ensino.

Nesse pouco tempo foi possível perceber a grandiosa contribuição que o projeto trouxe a comunidade como um todo. Os alunos integrantes do grupo tiveram um amadurecimento significativo com a atividade na qual desenvolveram; adquiriram a habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, da organização do tempo, do comprometimento, e mais, o “choque” com a realidade fez com que eles pudessem “sentir na pele” o que realmente é a profissão que escolheram, e o que podem fazer para melhorar a situação precária na qual se encontra o ensino público. Essa atividade foi o passo inicial para a modificação na estrutura educacional, visando o ensino de qualidade em todos os níveis; na universidade, permitindo aos alunos a oportunidade de conhecer de perto a profissão que escolheram, contribuindo assim para sua formação; nas escolas de ensino fundamental e médio, modificando a realidade do ensino, principalmente de matemática, tornando-o mais atrativo, através da utilização jogos matemáticos como ferramentas educacionais alternativas; e conseqüentemente, modificando a comunidade como um todo.

Perspectivas Futuras Para o ano de 2008 a proposta é dar continuidade ao trabalho, pois, ainda há muita contribuição a ser dada. Como as atividades nas escolas agradaram bastante, o grupo recebeu o convite de mais três escolas para a apresentação do trabalho com jogos.

Sendo assim, objetiva-se realizar o atendimento a esses convites, de forma a continuar contribuindo com sistema ensino;e, absorver os alunos do curso de matemática, ingressantes em 2008, dando oportunidade, aos mesmos, de colaborarem com sua própria formação. Referências [1] A. M. Boavida, Resolução de problemas:

Que rumos para a educação matemática? em “Educação Matemática - Temas de Investigação” (M. Brown, D. Fernandes, J. F. Matos & J. P. Ponte, eds.), pp. 105 - 114, Lisboa: IIE/SPCE, 1992.

[2] J. Borin. “Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática”, São Paulo: IME-USP, 1996.

[3] J. Piaget. “Estudos Sociológicos”. Rio de Janeiro: Forense, 1973.

[4] M. Guzmán. Tendencias actuales de la enseñanza de la matemática, Studia Paedagogica, Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, pp 19 - 26, (1989).

[5] M. O. Moura. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática, A Educação Matemática em Revista, SBEM, n.3, 1994.

[6] R. P. Brenelli, “O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e aritméticas”. Campinas, São Paulo: Papirus, 1996.

[7] S. M. P. Santos. “O lúdico na formação do educador”, Petrópolis, Rio de Janeiro: Vozes, 1997.

[8] ____Secretaria da Educação Fundamental. “Parâmetros Curriculares Nacionais”, Brasília: MEC/SEF, pp. 48 - 49, 1997.

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Cubo Soma

Gustavo Carvalho Molina Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”

15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected]




RESUMO

A utilização de jogos pode constituir um ferramental auxiliar no ensino e aprendizagem da matemática. Os jogos matemáticos tornam o aprendizado mais prazeroso e descontraído, saindo da rotina maçante de conteúdos em sala de aula para uma atividade mais prática e dinâmica. Assim, foi formado um grupo de alunos para estudar tais jogos, com a finalidade de levá-los às escolas proporcionando uma maneira diferente de ensinar matemática. A intenção central do estudo foi fazer com que os alunos do ensino Fundamental e Médio adquirissem alguns conceitos matemáticos que não ficavam bem esclarecidos em sala de aula como, por exemplo, noção de área, volume, componentes de um sólido geométrico (tais como, aresta, faces, vértices). Também possibilitar a manipulação de objetos e as tentativas de encaixamentos para construções usando policubos (peças componentes do Cubo Soma), um cubo maior 3x3x3 unidades.

Figura 1: Peças do Cubo Soma.

Em determinadas séries, os alunos podem tentar desenhar, criar outras formas com as peças do Cubo Soma, como sofás, poltronas, mesas, fatos que tornam a atividade com o Cubo Soma ainda mais divertida e desafiadora.

Figura 2: Formas criadas

As atividades com jogos matemáticos contam com um grupo de 12 alunos do curso de Licenciatura em Matemática. Inicialmente fazemos pesquisa aprofundada para conhecermos cada jogo, em seguida procuramos formas de confeccionar os jogos e, após várias apresentações para o grupo, fazemos apresentações nas escolas públicas de ensino Fundamental e Médio. A partir desse trabalho podemos organizar os jogos de maneira a buscar resultados específicos no aprendizado dos alunos. O trabalho com jogos matemáticos é muito interessante no que diz respeito à construção de conhecimento dos alunos, já que os mesmos ficam mais motivados em relação a fazer descobertas e pesquisas sobre assuntos referentes a tais jogos. Referências [1] http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/

matematica/cubo.php Acesso em: 22/03/2008.

[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSoma Acesso em: 22/03/2008.





http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/

http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSoma

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Kakuro

Aline J. Silva, Edcarlos L. F. Santos, Jonatas E. S. Silva Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”

15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected], [email protected],

[email protected]

Alessandra B. Altran, Dalva M. O. Villarreal, Mara L. M. Lopes Depto de Matemática, FEIS, UNESP

15385-000, Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMO

O Kakuro foi criado no Japão, porém, sua propagação foi dada nos Estados Unidos e na Inglaterra na década de 90. O jogo é constituído por uma tabela contendo números naturais, de um a nove (excluindo assim o zero), tendo como objetivo fazer com que a soma de cada linha seja igual ao número mostrado à esquerda, e a soma de cada coluna seja igual ao número mostrado no topo, como mostra a figura 1.

Figura 1. Representação da soma.

Porém, como mostra a figura 2, os números utilizados não podem ser repetidos tanto nas linhas, quanto nas colunas, ou seja, numa mesma linha, ou coluna, não podem ter números repetidos.

Figura 2. Representação de repetição não

permitida.

O objetivo de levar o Kakuro para sala de aula se baseia no fato de grande parcela dos alunos rejeitarem a disciplina de matemática; e nós, como educadores, temos a responsabilidade de criar, inovar e tornar a aula mais dinâmica, a fim de atender aos anseios de nossos alunos. O Kakuro é um passatempo que exige lógica e conhecimento matemático, podendo assim, ser levado para dentro da sala de aula. Em [3], POSSANI afirma que “O jogo Kakuro é um jogo tipíco para usar em atividades escolares, pois, une estética, gosto pelo desafio e conteúdo matemático específico”. Quando utilizado em sala de aula, o Kakuro pode ser aplicado em todas as séries, ou seja, é possível trabalhar com o Kakuro com alunos de diversas idades, estabelecendo-se o mesmo objetivo, visando o raciocínio lógico, noções de soma e combinação de números, porém, adaptados de acordo com as séries. No projeto de divulgação de Jogos Matemáticos do Laboratório de Ensino de Matemática da Unesp de Ilha Solteira, várias situações de aplicação de jogos para crianças, têm sido vivenciadas nas escolas da região. Referências [1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro

Acesso em: 22/03/2008.

[2] http://rachacuca.com.br/kakuro Acesso em: 22/03/2008.

[3] http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/0,,EDR73605-6014,00.html

Acesso em: 22/03/2008.







http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro

http://rachacuca.com.br/kakuro

http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epo

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Quadrado Mágico

Tiago Henrique Pereira da Silva

Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP

E-mail: [email protected]



RESUMO

Segundo a história da Matemática o Quadrado Mágico foi descoberto pelos chineses há mais de 3.000 anos antes de Cristo. Conta-se que o primeiro registro de um quadrado mágico - de origem antiga, mas desconhecida - foi supostamente trazido para os homens por uma tartaruga do rio Lo, nos dias do lendário imperador Yii, considerado um engenheiro hidráulico. Evidentemente, a forma dos algarismos não era igual aos que estão no casco da tartaruga, mas os valores, sim. O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que, as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Por exemplo, o Quadrado Mágico 3 x 3, é formado pelos nove dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, neste caso, as somas nos sentidos horizontais, verticais e diagonais, são constantes e iguais a 15.

Figura 1- Quadrado Mágico O Quadrado Mágico foi apresentado em duas escolas da cidade de lha Solteira e em uma escola da cidade de Selvíria (MS), através de aulas teórico-expositivas, assim, optamos pela divisão em níveis, já que foram atendidos alunos de séries diferentes e, para as séries

mais avançadas, fizemos uma introdução ao hexágono mágico. A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade nas crianças, contribuindo para o aprendizado de matemática; sentimos que os professores, mesmo possuindo o conhecimento dos jogos, ficam inseguros com o novo método que acaba tornando a aula mais dinâmica e atrativa, otimizando a aprendizagem. O ensino/aprendizagem de matemática constitui um grande problema na atual situação educacional que enfrentamos. A mudança de postura em sala de aula deve ser uma das tentativas dos educadores na intenção de despertar o interesse de seus aprendizes para a beleza do estudo da matemática, ou seja, o educador é a peça chave no processo da reforma educacional. Referências [1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_má

gico Acesso em: 22/03/2008.

[2] http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_m

ostra.asp?id=19 Acesso em: 22/03/2008.

[3] http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.

htm Acesso em: 22/03/2008.





http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m

http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_m

http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1

Utilização de Jogos no Ensino de Matemática – Sudoku

Deleon M. Alvarenga, Silvio R. Junior, Vinicius A. S. Guissi Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”

15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]




RESUMO

O trabalho enfatiza a utilização de jogos matemáticos, neste caso específico o jogo Sudoku, no ensino de matemática. A utilização de jogos traz um grande estímulo ao aprendizado, pois, além de motivar os alunos, exigem aumento da concentração e disciplina. Suuji wa dokushin ni kagiru, uma grande frase para nomear um jogo matemático, conhecido como Sudoku; a tradução da frase pode ser entendida como: os dígitos devem permanecer únicos. O jogo Sudoku é constituído por uma grade 9x9 dividida em sub-grades 3x3, que são chamadas de regiões (ou ainda, caixas, blocos, quadrantes). Cada local onde se coloca o número é chamado de célula. Algumas células já contêm os chamados “números dados” que, dependendo da dificuldade, variam de quantidade. O objetivo do jogo é completar todas as células com números de 1 a 9, de maneira que nenhum número se repita nas linhas, colunas e regiões. Veja a figura a seguir.

Figura 1- Sudoku

Porém, existem várias formas de Sudoku: o numérico (o mais usado), combinação de

símbolos, formas, cores e letras, que podem ser usados sem alterar as regras. Em nosso trabalho, foram atendidas escolas de ensino fundamental e médio (públicas e particulares), por esse motivo, houve a necessidade de abordar o Sudoku nas diversas formas e níveis, de acordo com a série na qual seria abordado. A intenção foi proporcionar o aumento do aproveitamento dos alunos dentro de sala de aula, estimulando a memória, a manipulação de informações, e o raciocínio lógico dos alunos. Outros jogos foram abordados em complementação ao Sudoku, por exemplo, o Kakuro, estimulando também o cálculo aritmético. Com a introdução dos jogos matemáticos percebemos um grande interesse dos alunos nessas atividades; quando a matemática existente em cada jogo foi exposta de maneira formal, notamos certa curiosidade, e disposição dos alunos em entender e vencer o jogo a eles proposto. Sendo assim, foi possível diversificar a forma de ensino mostrando aos professores novas opções de trabalho. Referências [1] http://www.abril.com.br/sudoku

Acesso em: 22/03/2008.

[2] www.jjx.com.br/sudoku Acesso em: 22/03/2008.

[3] www.wikipedia.org/Sudoku

Acesso em: 22/03/2008.







http://www.abril.com.br/sudoku

http://www.jjx.com.br/sudoku

http://www.wikipedia.org/Sudoku

“CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E

COMPUTACIONAL - ERMAC”

Belém – PA

08 a 11 de Setembro de 2008

Utilização de Jogos Matemáticos como Ferramenta Alternativa à Metodologia Tradicional do Ensino de Matemática


Depto de Matemática, FEIS, UNESP, 15385-000, Ilha Solteira, SP

E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMO

O objetivo deste trabalho é relatar a experiência do uso pedagógico dos jogos durante as aulas de Matemática, em escolas de ensino fundamental. Por outro lado, trabalho ainda tem o propósito de evidenciar a importância da inserção da abordagem dos jogos matemáticos durante processo de formação de educadores, ou seja, comprovar o valor da utilização dessa ferramenta alternativa através da experiência prática adquirida com a atividade na qual está sendo formado para desenvolver. Assim, para o desenvolvimento dessa atividade de extensão, foi formado o “Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos”, composto por doze alunos do curso de Licenciatura em Matemática e três professores da UNESP de Ilha Solteira, que têm como principal objetivo a divulgação da metodologia de utilização de jogos no ensino de matemática, como alternativa à postura tradicional do professor. O processo de experimentação se deu em duas escolas da rede municipal de ensino dos municípios de Ilha Solteira (SP) e Selvíria (MS), desse modo, foi possível observar que tal atividade provocou certo contentamento por parte dos alunos e uma modificação na forma de pensar dos próprios professores das escolas. Em relação aos alunos integrantes do grupo, pode-se dizer que os mesmos tiveram um amadurecimento significativo com a atividade na qual desenvolveram; adquiriram a habilidade da pesquisa, do trabalho em grupo, do comprometimento, e mais, o “choque” com a realidade fez com que eles pudessem “sentir na pele” o que realmente é a profissão que escolheram, e o que podem fazer para melhorar a situação precária na qual se encontra o ensino público.

Portanto, pode-se dizer tal proposta foi o passo inicial para a modificação na estrutura educacional, visando o ensino de qualidade em todos os níveis; na universidade, permitindo aos alunos a oportunidade de conhecer de perto a profissão que escolheram, contribuindo assim para sua formação; nas escolas de ensino fundamental e médio, modificando a realidade do ensino, principalmente de matemática, tornando-o mais atrativo, através da utilização jogos matemáticos como ferramentas educacionais alternativas; e conseqüentemente, modificando a comunidade como um todo. Referências [1] A. M. Boavida, Resolução de problemas:

Que rumos para a educação matemática? em “Educação Matemática - Temas de Investigação” (M. Brown, D. Fernandes, J. F. Matos & J. P. Ponte, eds.), pp. 105 - 114, Lisboa: IIE/SPCE, 1992.

[2] J. Borin. “Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática”, São Paulo: IME-USP, 1996.

[3] J. Piaget. “Estudos Sociológicos”. Rio de Janeiro: Forense, 1973.

[4] M. Guzmán. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, Studia Paedagogica, Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, pp 19 - 26, (1989).

[5] M. O. Moura. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática, A Educação Matemática em Revista, SBEM, n.3, 1994.

[6] ____Secretaria da Educação Fundamental. “Parâmetros Curriculares Nacionais”, Brasília: MEC/SEF, pp. 46 - 47, 1998.




O uso do jogo Cubo Soma como instrumento auxiliar no ensino de Matemática

Gustavo Carvalho Molina

Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” 15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP

E-mail: [email protected]



RESUMO

Na tentativa de fazer do ensino de matemática uma atividade prazerosa, apostou-se na utilização de ferramentas alternativas, tais como, os jogos matemáticos. A utilização dos jogos em sala de aula propicia um maior aprendizado saindo da rotina maçante de conteúdos para uma atividade mais prática e dinâmica. Deste modo, o objetivo da análise do jogo Cubo Soma, foi buscar uma ferramenta que possibilitasse a aquisição, por parte dos alunos do ensino Fundamental e Médio, de conceitos matemáticos que não ficavam bem esclarecidos em sala de aula como, por exemplo, noção de área, volume, componentes de um sólido geométrico (tais como, aresta, faces, vértices). O cubo soma é um quebra-cabeça criado em 1936 pelo poeta e matemático dinamarquês Piet Hein. O objetivo é usar os sete policubos (peças formadas por pequenos cubos unitários) para montar um cubo de 3x3x3 unidades. Existem 240 maneiras distintas de montar o cubo soma, sem contar rotações e reflexões.

Figura 1: Os Policubos e o Cubo Soma.

As peças também podem ser usadas para montar uma variedade de formas tridimensionais interessantes, como poltronas, mesas e cadeiras, fatos que tornam a atividade com o Cubo Soma ainda mais divertida e desafiadora.

Figura 2: Formas criadas com os Policubos.

O trabalho foi iniciado com a pesquisa aprofundada do jogo, destacando notação histórica, fundamentação matemática, contribuição pedagógica, e ainda, a confecção do Cubo Soma. Após várias apresentações para o próprio grupo, foram feitas apresentações nas escolas públicas de ensino Fundamental e Médio. Portanto, foi possível observar a contribuição que esse tipo de atividade proporciona, principalmente, no que diz respeito à construção de conhecimento dos alunos, já que os mesmos ficam mais motivados em relação a fazer descobertas e pesquisas sobre assuntos referentes a tais jogos. Referências [1] A. H. Ferrari, M. C. C. S. Carvalho e P.

Furtado,“Conhecendo o Cubo Soma”, Anais do X Simpósio Multidisciplinar da USJT, 2004.

[2] http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/matematica/cubo.php Acesso em: 29/04/2008.

[3] http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSoma Acesso em: 29/04/2008.





http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/

http://pt.wikipedia.org/wiki/CuboSoma

A utilização do jogo Kakuro no ensino de Matemática

Aline J. Silva, Edcarlos L. F. Santos, Jonatas E. S. Silva Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”

15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected], [email protected],

[email protected]



RESUMO

A utilização de jogos no ensino de matemática é uma prática freqüente nas escolas municipais de ensino infantil e fundamental do município de Ilha Solteira, resultado de uma atividade intensa de pesquisa e experimentação do grupo de estudo formado por alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UNESP de Ilha Solteira. Um dos jogos abordados é o Kakuro. O Kakuro, criado no Japão, é um jogo constituído por uma tabela contendo números naturais, de um a nove (excluindo assim o zero), cujo objetivo é fazer com que a soma de cada linha seja igual ao número mostrado à esquerda, e a soma de cada coluna seja igual ao número mostrado no topo.

Figura 1. Representação da soma.

Porém, numa mesma linha, ou coluna, não pode haver números repetidos.

Figura 2. Representação de repetição não

permitida.

O Kakuro é um passatempo que exige lógica e conhecimento matemático podendo, assim, ser levado para dentro da sala de aula. Como grande parte dos alunos rejeita a disciplina da matemática, optou-se por utilizar o jogo Kakuro de modo a tornar a aula mais dinâmica, a fim de atender aos anseios dos alunos. Em [3], POSSANI afirma que “O jogo Kakuro é um jogo tipíco para usar em atividades escolares, pois, une estética, gosto pelo desafio e conteúdo matemático específico”. Na escola, a abordagem do Kakuro pode ocorrer em todas as séries, ou seja, o Kakuro pode ser trabalhado com alunos de diversas idades, estabelecendo-se o mesmo objetivo, visando o raciocínio lógico, noções de soma e combinação de números, porém, adaptados de acordo com as séries. No projeto de divulgação de Jogos Matemáticos do Laboratório de Ensino de Matemática da UNESP de Ilha Solteira, várias situações de aplicação de jogos para crianças, têm sido vivenciadas nas escolas da região. Referências [1] http://www.kakuro.com/howtoplay.php

Acesso em: 29/04/2008.

[2] http://rachacuca.com.br/kakuro Acesso em: 29/04/2008.

[3] http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/0,,EDR73605-6014,00.html Acesso em: 29/04/2008.

[4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro Acesso em: 29/04/2008.







http://www.kakuro.com/howtoplay.php

http://rachacuca.com.br/kakuro

http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epo


O ensino de Matemática através do uso do jogo Sudoku

Deleon M. Alvarenga, Silvio R. Junior, Vinicius A. S. Guissi Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”

15385-000, Campus de Ilha Solteira, SP E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]




RESUMO

A utilização de jogos matemáticos no ensino proporciona um grande estímulo ao aprendizado, pois, além de motivar os alunos, exigem aumento da concentração e disciplina. Dessa forma, um grupo estudos sobre jogos matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática da Unesp de Ilha Solteira, foi formado a fim estudar toda a teoria sobre jogos, possibilitando levá-lo para a sala de aula. Logo, esse trabalho mostra a utilização do jogo Sudoku, no ensino de matemática. O jogo Sudoku é constituído por uma grade 9x9 dividida em sub-grades 3x3, que são chamadas de regiões (ou ainda, caixas, blocos, quadrantes). Cada local onde se coloca o número é chamado de célula. Algumas células já contêm os chamados “números dados” que, dependendo da dificuldade, variam de quantidade. O objetivo do jogo é completar todas as células com números de 1 a 9, de maneira que nenhum número se repita nas linhas, colunas e regiões.

Figura 1- Sudoku

Porém, existem várias formas de Sudoku: o numérico (o mais usado), combinação de símbolos, formas, cores e letras, que podem ser usados sem alterar as regras.

Figura 2- Variações do Sudoku

Como são atendidas escolas de ensino fundamental e médio, ocorre à necessidade de abordar o Sudoku nas diversas formas e níveis, de acordo com a série na qual é abordado. O objetivo maior é proporcionar o aumento do aproveitamento dos alunos dentro de sala de aula, estimulando a memória, a manipulação de informações, e o raciocínio lógico dos alunos.

Portanto, com a introdução dos jogos matemáticos foi possível perceber o grande interesse dos alunos nessas atividades; quando a matemática existente em cada jogo foi exposta de maneira formal, notou-se certa curiosidade e disposição dos alunos em entender e vencer o jogo a eles proposto. Sendo assim, foi possível diversificar a forma de ensino mostrando aos professores novas opções de trabalho. Referências [1] T. Davis, “The Mathematics of Sudoku”,

http://www.geometer.org/mathcircles, 2007.

[2] www.jjx.com.br/sudoku Acesso em: 29/04/2008.

[3] www.wikipedia.org/Sudoku Acesso em: 29/04/2008.







http://www.geometer.org/mathcircles

http://www.jjx.com.br/sudoku

http://www.wikipedia.org/Sudoku

“IX ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – IX

EPEM”

Bauru – SP

25 a 27 de Novembro de 2008

SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática, Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo Temático: Formação de Professores

O CUBO SOMA COMO UMA FERRAMENTA NA APRENDIZAGEM DE

MATEMÁTICA

Jonatas Estevan Soares da Silva – UNESP / FEIS ([email protected])

Meire de Melo Marques – UNESP / FEIS ([email protected])

Alessandra Bonato ALTRAN – FEIS / UNESP ([email protected])

Dalva Maria de Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP ([email protected])

Mara Lúcia Martins LOPES – FEIS / UNESP ([email protected])

Resumo: A atividade lúdica é, essencialmente, um grande laboratório no qual ocorrem experiências inteligentes e reflexivas que propiciam a aquisição de conhecimento. A participação em jogos permite a conquista cognitiva, emocional, moral e social para o estudante, que poderão agir como produtores de seu conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas, o que se torna um estímulo para o desenvolvimento da competência matemática e da formação de verdadeiros cidadãos. O desinteresse e o desenvolvimento caótico de grande parte dos alunos na disciplina de matemática é fator altamente preocupante, principalmente, para uma sociedade em que a política educacional tem como principal objetivo a educação para todos, em outras palavras, a educação é um direito de todos. Assim, na tentativa de buscar métodos alternativos para proporcionar um ensino de qualidade surge à proposta de utilização de materiais lúdicos em sala de aula, mais especificamente, jogos matemáticos. Tal proposta foi desenvolvida pelo Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática, da UNESP de Ilha Solteira ao longo dos dois últimos anos. A utilização dos jogos como ferramenta auxiliar para o ensino de matemática é a principal atividade desenvolvida pelo grupo onde são abordados vários jogos no qual a meta principal é fazer com que os alunos aprendam matemática “brincando”. Neste trabalho será dado enfoque ao jogo Cubo Soma que é um jogo muito versátil, podendo ser abordado em vários níveis, dependendo do objetivo a ser alcançado. O Cubo Soma propicia, também, o desenvolvendo do raciocínio lógico matemático de maneira interessante, aguçando a curiosidade e a busca pelo aprendizado. Portanto, este trabalho tem como objetivo a apresentação da proposta da utilização dos jogos matemático, mais especificamente o jogo Cubo Soma, abordando sua notação histórica, conceitos fundamentais, métodos de resolução e os resultados obtidos nas apresentações realizadas. Palavras – chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica, Modificação no Ensino.






2 SILVA, J. E. S., MARQUES, M. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Cubo Soma como uma Ferramenta na Aprendizagem de Matemática, Comunicação Científica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

INTRODUÇÃO

Incentivados pela necessidade de modificar a forma de como são ministrados os

conteúdos em sala de aula, foi proposta a formação do Grupo de Estudos sobre Jogos

Matemáticos (UNESP/FEIS), cuja finalidade é divulgar a metodologia do uso de jogos no

ensino de Matemática, ou seja, apresentar uma alternativa à postura tradicional do professor

no ensino de Matemática, através da utilização de jogos.

O trabalho com jogos matemáticos vem sendo desenvolvido ao longo desses dois

últimos anos, sendo que, primeiramente foi realizado um estudo aprofundado do jogo Cubo

Soma, tais como:

• Notação histórica;

• Definições e regras que levam à resolução do jogo;

• Fundamentação matemática;

• Abordagem pedagógica;

• Contribuição ao ensino.

Após ser realizado este estudo foi possível levar o jogo para a prática dentro da sala

de aula com alunos do ensino fundamental.

Assim, no trabalho que segue será realizada a apresentação do jogo Cubo Soma

ilustrado pela Figura 1, como ferramenta complementar ao ensino de matemática, bem

como o relato das experiências vividas envolvendo alunos e professores.

ORIGEM DO CUBO SOMA

Criado em 1936 pelo poeta dinamarquês Piet Hein, muito conhecido no mundo dos

jogos e quebra-cabeças (é de sua autoria o jogo Hex), o jogo Cubo Soma pode ser

comparado a um quebra-cabeça.


A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandes

conhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobre

Mecânica Quântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas. Com

base nestes princípios Hein começou a desenhar alguns sólidos formados por módulos

cúbicos unidos face a face.

Pela ordem, ele foi construindo todos os sólidos diferentes que se podiam formar

com, sucessivamente, um, dois, três e quatro módulos. Depois, percebeu que eles podiam

ser divididos em dois grupos - os côncavos e os convexos.

Eliminando-se estes últimos, o conjunto ficava com os sete elementos mostrados.

Apenas a peça número 1 tem três módulos, todas as demais têm quatro. Elas são diferentes

entre si, embora as de número 5 e 6 sejam imagens espelhadas uma da outra. Enquanto

Heisenberg falava, Piet teve uma intuição. Talvez inconscientemente inspirado no famoso

Tangran, quebra-cabeça em que sete figuras planas formam um quadrado pressentiu que as

sete peças recém-desenhadas podiam unir-se para gerar um cubo.

Depois de algumas rabiscadas, o criativo dinamarquês foi vendo suas suspeitas se

acentuarem. Entusiasmado com a perspectiva da descoberta, Piet esperou o término da

palestra e correu para casa para construir um modelo. Surpreso, verificou que sua hipótese

confirmou-se plenamente.

Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube

(Cubo Soma), e como tal patenteado e comercializado em várias partes do mundo,

tornando-se bastante popular nos países escandinavos.

DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA

O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela

união de pequenos cubos, combinadas de forma a criar um cubo maior. A essas peças

formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubo.

Formar essas peças não é uma tarefa muitos simples, como se pressupõe a primeira

vista. Apesar de existirem 240 soluções distintas para o arranjo das peças no Cubo, sem


contar as simetrias, espelhamentos e rotações de peças que elevam o número total de

soluções para mais de um milhão, muitas vezes acaba-se com uma peça na mão que não

encaixa.

Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos são

divididos em seis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo

(peça formada pela união de três cubos), a sexta peça é a imagem especular da quinta peça

na Figura 3, daí o motivo de algumas abordagens apresentarem somente sete peças para o

Cubo Soma.

COMO MONTAR O CUBO SOMA A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivo

principal é montar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização de

todas as peças (policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos os

tetracubos irregulares e o tricubo irregular (Figura 3). Uma forma de resolução do Cubo

Soma pode ser vista através da Figura 4.

Depois do cubo, que é um dos problemas mais fáceis, pode-se tentar montar a

poltrona e o sofá (Figura 5). Ao longo dos anos, muitos entusiastas têm criado centenas de

arranjos como esses, reproduzindo esquematicamente uma variedade de objetos e animais.

Assim, a grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. Assim como

no Tangram, em que além de se formar um quadrado com as peças também podem ser

formadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma podem

ser criados verdadeiras esculturas, ainda mais quando se combinam mais de um jogo de

peças. Em um livreto que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, da década

de 50, apareciam inúmeras formas para serem montadas.

Portanto, conforme o aprendiz for ganhando desenvoltura com o Cubo, mais se

sentirá tentado a incluir nesse acervo algumas criações próprias.

A respeito do que já foi feito, há coleções com mais de 2000 montagens

(http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM), ainda há campo para a imaginação.

A Figura 6 mostra algumas dessas montagens.

http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM


Com a prática, desenvolve-se certa habilidade para saber o lugar que certas peças

ocupam, ou que não podem ocupar, numa determinada figura. Com isso, abandona-se o

processo da simples tentativa e erro e o tempo de solução diminui.

CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS

O Cubo Soma pode ser utilizado com alunos de várias séries. Sua abordagem

dependerá dos objetivos a serem alcançados. Por exemplo, no jardim de infância, os alunos

já podem, brincando, se habituarem a manipular as peças, observá-las, contar os cubos,

evidenciar a simetria, encontrar nomes para cada forma, tentar encaixamentos com algumas

peças etc. Mais tarde, eles podem tentar reconstruir o cubo, ou pelo menos terminá-lo, ou

imitar algumas formas.

Alunos maiores podem treinar também para reconstruir o cubo, desenhá-lo, construir

cubos imagens um do outro em tal simetria ou rotação indicada. Para qualquer nível, este

quebra-cabeça contribui o desenvolvimento da representação espacial e da percepção de

orientação no espaço tridimensional.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo grupo

nestes dois últimos anos. A primeira atividade se deu através da Oficina “Atividades

Matemáticas envolvendo Jogos”, na VI Semana da Matemática (2007), evento do próprio

Campus da UNESP de Ilha Solteira, cujo público alvo era alunos dos cursos de licenciatura

e professores da rede de ensino (Figura 7).

Logo em seguida foi realizada outra apresentação no evento “Venha nos Conhecer”

(2007), também do Campus, com caráter apenas expositivo, conta com a visitação das

escolas da cidade e região (Figura 8).

Em seguida o Cubo Soma foi abordado em sala de aula e tal apresentação ocorreu na

“Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte


Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante o convite da coordenadora pedagógica da

escola. O jogo foi apresentado em apenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curto

intervalo de tempo para atividade, porém, o grupo está convidado a retornar à escola para

permitir a outras séries o contato com o jogo (Figura 9).

A próxima atividade, ainda em 2007, foi uma apresentação, nos moldes do Venha nos

Conhecer, ou seja, caráter apenas expositivo, no colégio “Anglo” da cidade de Ilha Solteira.

Esse evento contou com a participação de alunos, pais e funcionários da própria escola

(Figura 10).

Já a última atividade a apresentação no “Venha nos Conhecer” deste ano (2008),

ocorrendo do mesmo modo que no ano anterior.

FORMAÇÃO DOS PROFESSORES

Segundo Vieira e Carneiro este crescente interesse por estudos sobre o lúdico foi

presenciado a partir da metade do século XX e tem testemunhado sua importância como

meio de expressão, fator de desenvolvimento e atividade intrinsecamente motivada e

prazerosa.

A proposta de introduzir a metodologia do lúdico visa contribuir para diminuir o

fracasso escolar e o desinteresse pela matemática e formar profissionais que tenham uma

postura reflexiva diante de sua prática docente.

Os jogos lúdicos não têm o propósito de suprimir o método de ensino tradicional, mas

sim de modificá-lo e torná-lo mais presente à compreensão dos alunos. É comprovado que

duas metodologias aplicadas juntas tendem a funcionar melhor do que uma sozinha. Neste

sentido, os jogos matemáticos são maneiras alternativas da abstração de conhecimento que

tendem a consolidar a teoria proposta pelo ensino tradicional.

Os professores desde já não têm apenas a função de ensinar, mas sim a

responsabilidade de verificar se o conteúdo a ser absorvido realmente foi assimilado por

parte dos alunos. O interessante é que dessa forma o professor se torna, neste contexto, um


educador, no qual a preocupação não seria apenas passar a matéria, mas sim verificar o

grau de aceitação desta no dia a dia dos alunos.

Portanto, os professores devem ser profissionais adeptos às mudanças educacionais e

conscientes da importância do seu trabalho na formação dos alunos, desenvolvendo a

capacidade de criar algo novo e interessante, ministrando os conteúdos de matemática de

maneira com que os alunos possam fazer uma conexão plausível com o cotidiano e essa

postura deve ser desenvolvida para diferentes faixas etárias.

O jogo Cubo Soma vem a ser uma ferramenta interessante de auxílio ao professor, já

que este jogo pode explorar uma enorme variedade de situações. O aluno pode ser

envolvido inicialmente na construção do jogo, que não é algo muito difícil de ser feito, e

estimula o aluno na utilização de material reciclado e até sucata na confecção.

Durante o processo de construção o professor pode estimular as formas geométricas

envolvidas durante o processo. Após o jogo ser finalizado ele está apto a ser usado na

íntegra pelo professor. Este jogo é de fácil acesso, portanto, basta o professor lembrar que

um dia foi criança e utilizar sua criatividade.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho com jogos é uma ótima alternativa educacional desde que, utilizada de

forma consciente e bem estruturada, levando em consideração a análise prévia de cada

jogo, visando o estímulo à conquista cognitiva, emocional, moral e social do indivíduo.

Os jogos matemáticos também têm o objetivo de fazer com que os alunos atuam

como produtor do seu próprio conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas,

estimulando, assim, o desenvolvimento da competência matemática e a formação de

verdadeiros cidadãos.

Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte

dos alunos, em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho com

jogos dentro da sala de aula é de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tanto

no aprendiz, como no docente.


A vantagem de trabalhar com o Cubo Soma é a possibilidade de abordá-lo sem

restrições de idade e série, sem tornar o aprendizado cansativo, despertando o interesse dos

alunos em montar o Cubo Soma novamente, porém de maneira diferente.

Portanto, a utilização do jogo Cubo Soma é de suma importância, pois, pelo caráter

desafiador proporciona uma idéia de divisão de espaço, noções de figuras geométricas

visão tridimensional. Assim o aluno irá montar o Cubo Soma com idéia de diversão, mas na

verdade estará adquirindo vários benefícios produzidos pelo jogo.

REFERÊNCIAS

SILVA, F. e KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática, II Bienal da

Sociedade Brasileira de Matemática, UFBA, 2004.

SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría de

Policubos, Proceedings of the 6th Iberoamerican Congress of Digital Graphics, Caracas -

Venezuela, 2002, p. 264-267.

GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, Studia

Paedagogica, Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, 1989, p 19-26.

VALLE, L. H. R.; BOMBANATTO, Q. e MALUF, M. I. Temas Interdisciplinares na

Educação, Editora Wak, vol.2.

ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B. e KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada no

Desenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: SVR2006 - VII Symposium on

Virtual Reality, Porto Alegre - Sociedade Brasileira de Computação - SBC, 2006, p. 221-

232.

SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: Os objetivos, os valores e

as mudanças do ensino da matemática, UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano

de São Paulo, 2006, p. 1-5.


ANEXO

Figura 1 - Cubo Soma.

Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma).

Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.


Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma.

Figura 5 - Poltrona e sofá, figuras formadas com os policubos.

Figura 6 - Algumas das cerca de 2000 figuras montadas com o Cubo Soma.


Figura 7 - Oficina realizada na Semana da Matemática 2007.

Figura 8 - Venha nos Conhecer 2007.

Figura 9 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS).

Figura 10 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).

SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclos III e IV

O KAKURO COMO UMA FERRAMENTA NO APRENDIZADO DE

MATEMÁTICA

Aline J. SILVA – FEIS / UNESP ([email protected])

Jonatas E. S. da SILVA – FEIS / UNESP ([email protected])

Alessandra B. ALTRAN – FEIS / UNESP ([email protected])

Dalva M. O. VILLARREAL – FEIS / UNESP ([email protected])

Mara L. M. LOPES – FEIS / UNESP ([email protected])

Resumo: Devido o prazer propiciado e o desafio alucinante, o gosto por jogos torna o homem um verdadeiro “jogador”, o chamado “Homo Ludens”. Nos dias atuais o homem joga constantemente e pode-se dizer que o próprio ato de viver torna-se um “jogo”, pois, em diversas fases da vida sucede-se o fato de estar enfrentando um jogo no qual, automaticamente, estão subentendido as suas regras onde os mais fortes e preparados possuem a chance de se sobressair. São vários os exemplos de ambientes onde ocorre a inserção dos jogos, é possível perceber que eles também foram se intensificando dentro de sala de aula. O uso alternativo dos jogos lúdicos favorece ao aluno uma aprendizagem de fácil assimilação, ou seja, o aluno tem a possibilidade de aprender o conteúdo de uma forma mais simples e agradável. O jogo Kakuro teve sua criação no Japão, todavia sua propagação se deu nos Estados Unidos da América e na Inglaterra, na década de 90, sendo assim conhecido na língua inglesa por Cross Sums que significa “Somas Cruzadas”. O objetivo deste trabalho é analisar e apresentar o jogo Kakuro com a possibilidade de sua inserção dentro de sala de aula. O estudo aqui apresentado focaliza a forma lúdica do aprendizado que foi proporcionado pelo jogo Kakuro, apesar de não internalizado nos âmbitos profissionais, mas com fortes expectativas a partir da experiência formativa. Jogar o Kakuro é embarcar em um desafio repleto de obstáculos fabulosos que propiciará ao jogador uma verdadeira ginástica cerebral. O Kakuro, além de exercitar a mente através do raciocínio lógico, tem a finalidade de estimular o gosto pela Matemática e consolidar o aprendizado das quatro operações aritméticas. POSSANI [LEAL, 2006] afirma que “O jogo Kakuro é um jogo típico para usar em atividades escolares, pois, une estética, gosto pelo desafio e conteúdo matemático específico”. Palavras-chave: Kakuro, Jogos Lúdicos, Raciocínio Lógico, Aprendizagem Matemática.






SILVA, A. J., SILVA, J. E. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Kakuro como uma Ferramenta no Aprendizado de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)

2

INTRODUÇÃO

O crescente desinteresse no ensino, principalmente na área de matemática, faz

com que o educador se comprometa em pesquisar novas técnicas de aprendizado.

Portanto, fazer com que os alunos sintam vontade de aprender e prazer de realizar a

tarefa proposta, vêm sendo nos dias de hoje, um grande desafio.

O professor tem então a função, não apenas de transmitir o conhecimento, mas de

fazer com que ele seja inteiramente absorvido pelo aluno de forma concreta. Essa tarefa

não é fácil, já que para que esta etapa seja realizada ocorre à necessidade de se quebrar

barreiras e tabus.

Uma proposta é introduzir, em sala de aula, a técnica de abordar os problemas

através de jogos lúdicos. Eles permitem o desenvolvimento de formas diferentes de

pensar e agir, induzindo os alunos a terem incentivo, comunicação, questionamento,

raciocínio lógico, inferência, reflexão e exploração.

O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, compostos por alunos de

licenciatura do curso de Matemática da UNESP de Ilha Solteira, se fundamenta no

desenvolvimento da aprendizagem matemática através de jogos lúdicos. O objetivo

deste grupo é fazer com que os alunos ingressantes tenham um convívio direto com os

alunos do ensino fundamental, para que possam identificar e solucionar as dificuldades

que os estes encontram com relação à matemática.

Um dos jogos abordados pelo grupo foi o jogo Kakuro, que é um jogo que

estimula muito a lógica matemática. O jogo possui uma malha de linhas e colunas, que

utiliza a combinação dos elementos através de uma operação matemática (adição,

subtração, multiplicação ou divisão). O Kakuro é um jogo que desenvolve, não apenas o

raciocínio lógico, mas emprega a destreza mental, concentração, prática matemática e

paciência.

O Kakuro convencional aborda apenas, em sua concepção, o desenvolvimento

aritmético da adição. Porém, pode-se ter uma diversificação nesta abordagem; as

operações realizadas podem ser: adição, subtração, multiplicação e divisão. Tem-se que


3

esse jogo, além de desenvolver o raciocínio lógico, faz com que o aluno comece a ter

uma maior intimidade com as operações aritméticas. Dessa forma, o que para o aluno é

um trabalho difícil e desgastante agora, através do Kakuro, se torna mais prazeroso.

CONSTRUÇÃO DO KAKURO

De origem japonesa, resulta da palavra adição com a palavra inglesa cross, que

em português significa cruzar. Pode ser entendido como a transliteração matemática das

palavras cruzadas, sendo por isso conhecido nos Estados Unidos da América como

Cross Sums, ou seja, Somas Cruzadas.

Para ilustrar a resolução de um Kakuro é necessário, primeiramente, apontar as

principais regras do jogo e estas serão descritas abaixo e utilizadas na resolução de um

Kakuro tem a “adição” como operação aritmética (SIMONIS, 2007):

• A principal regra de resolução do Kakuro é sumarizada da seguinte maneira:

cada célula só pode ser preenchida por números de 1 a 9, sem repeti-los;

• Um número é dividido em uma soma de dois ou mais números menores,

dispostos em células, sendo que cada célula é apropriada para um número

específico de tal forma que satisfaça a grade geral do jogo.

Para se efetuar a soma dos elementos do jogo Kakuro existe uma regra que está

intimamente ligada ao termo “somas cruzadas”, que é semelhante à usada para

preencher jogos de palavras cruzadas. São elas:

1. No número que aparecer a direita na subdivisão do quadrado sua soma deverá

ser preenchido na linha como mostrado na Figura 1;

2. No número que aparecer a esquerda na subdivisão do quadrado sua soma deverá

ser preenchida na coluna indicado na Figura 1;

3. Nenhum número deve aparecer mais de uma vez na mesma célula como

apresenta a Figura 2, a não ser que estejam em células diferentes.


4

O Kakuro pode ser auxiliado pelas chamadas “seqüências chaves”, ilustradas na

Tabela 1. Ela fornece uma lista de seqüências que auxilia na eliminação de possíveis

combinações no preenchimento de uma determinada célula. Os procedimentos para a

resolução do Kakuro são descritos abaixo:

• Através da Figura 3, nota-se que existe apenas uma combinação para compor o

número 4 com dois números que são os números 1 e 3 e uma combinação de

dois números cuja soma gerará o número 3, que são os números 1 e 2;

• Uma dica é fixar um número e a partir dele, encontrar os outros cuja soma estará

completando as células, lateral e abaixo, respectivamente, indicada na Figura 4;

• O preenchimento das células deve ser feito através de uma análise minuciosa,

pois, a posição ideal dos números não pode interferir na das demais células.

Através da Figura 5, pode-se observar como este processo de análise deve ser

efetuado;

• O Kakuro, além de trabalhar com a matemática, induz a lógica para tentar

descobrir as posições ideais de cada número não quebrando as regras do jogo. A

Figura 6 indica possíveis situações que ocorrem durante o desenvolvimento do

jogo que devem ser analisados criteriosamente;

EXPERIÊNCIA DENTRO DE SALA DE AULA

Os alunos do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos usufruíram do prazer de

apreciar as experiências inesquecíveis vividas dentro da sala de aula. O Kakuro foi

confeccionado pelo Grupo de Jogos, Figura 7, no qual o material utilizado para

preparação do jogo foi pincel atônico, isopor, EVA, etc.

Inicialmente, os alunos foram convidados pela Escola Municipal de Educação

Infantil e Ensino Fundamental Selvíria “Prof. Nelson Duarte Rocha” conforme mostra

a Figura 8. O Kakuro foi desenvolvido no quarto e sexto anos do ensino fundamental e

o objetivo principal é fazer com que os alunos tenham a visão de que a Matemática é

aplicada no seu cotidiano e, portanto, aprender esta ciência é um passo importante na

formação de cada um. Logo, a finalidade do jogo é utilizar a teoria apresentada dentro


5

de sala de aula aplicada no desenvolvimento do Kakuro. Desta forma, os alunos são

contagiados e a Matemática que antes era vista como um desafio agora se torna mais

divertida e prazerosa.

A segunda experiência vivida pelo grupo foi no colégio Anglo de Ilha Solteira,

onde puderam expor o Kakuro para os alunos, pais e funcionários do colégio, ilustrado

na Figura 9. A fundamentação do ensino de matemática através de jogos lúdico como o

Kakuro favorece em demasia, pois, é possível trabalhar sem restrições, levar o jogo a

diferentes idades, culturas, intelectualidades, pensamentos e costumes.


Os Jogos de Desafio podem oferecer certo prazer ou satisfação que pode levar o

educando ao aprofundamento do estudo de lógica matemática (MELLO, 2006). Com

base em idéias de Vygotsky é possível definir os jogos lúdicos como auxiliares do saber

na escola, por isso, pode-se tomar o jogo não como referência, mas como auxílio

proeminente para aprendizagem dos menores educando.

Desde muito tempo, sabe-se que uma grande parcela dos alunos rejeita a

disciplina de matemática, e cabe aos educadores lutar pela melhoria da aprendizagem. É

evidente, que as formas alternativas de propor aprendizado vêm se destacando e uma

delas é o tratamento da matemática através de jogos lúdicos.

A meta primordial considerada foi levar o jogo Kakuro para a sala de aula, e esta

se mostrou um procedimento de extrema importância. É bom lembrar que a forma

lúdica do aprendizado da matemática, através do jogo Kakuro, propiciará ao aprendiz,

além da fundamentação teórica das operações aritméticas, o seu emprego na prática,

sendo esta associação essencial, sem falar que utilizar um jogo lúdico com o nível do

jogo Kakuro exercitará o cérebro do jogador.

Os resultados apontam as diferenças expressivas tornando possível apresentar aos

alunos o conteúdo teórico, onde será feita a análise, a abordagem e o entendimento da

matéria com o auxílio do Jogo Kakuro. O emprego do jogo Kakuro na prática, permite

ao educando uma visão palpável da matéria transmitida. Essa associação vem a ser vital


6

para a saúde mental do aluno e preparação psicológica do professor, pois, o retorno virá

com o prazer do aprender e a gratificação do docente por ter sua missão cumprida.

REFERÊNCIAS

SIMONIS, H. Kakuro as a Constraint Problem, University College Cork, Computer Science Department, 2007, pp. 1-15. LEAL, R. A. Matemática virou POP: Por que o Sudoku e suas Variantes causa

Tamanha Fascinação, Revista Época, edição No. 410, 2006, pp. 1-3.

MELLO, V. M. C. e SANTOS, M. L. S. F. S. Jogos Lógicos, Projeto Teia do Saber, Programa de Formação Continuada de Professores, UNESP – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, São Paulo, 2006, pp. 1-20.

ANEXOS

Tabela 1 - Quadro de Somas Possíveis.

Soma Número de Casas Combinação

3 2 1 2 4 2 1 3 5 2 2 3 6 2 1 5 6 2 2 4

14 2 6 8 14 2 5 9 10 4 1 2 3 4

Figura 1 - Combinação para gerar o número à direita e esquerda da subdivisão.


7

Figura 2 - Ilustração da regra de repetição de um número na mesma célula.

Figura 3 - Combinações possíveis para linha e coluna, respectivamente.

Figura 4 - Fixação de um número para o preenchimento das células.

Figura 5 - Análise de preenchimento das células.


8

Figura 6 - Exemplos de células que não obedeceram às regras do Kakuro.

Figura 7 - Kakuros confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.

Figura 8 - Apresentação do Kakuro na Escola Prof. Nelson Duarte Rocha - Selvíria.

Figura 9 - Apresentação do Kakuro no Colégio Anglo - Ilha Solteira.

SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Jogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclo I e II.

O JOGO QUADRADO MÁGICO COMO AUXÍLIO AO ENSINO

TRADICIONAL DE MATEMÁTICA

Tiago Henrique P. SILVA – FEIS / UNESP ([email protected])


Dalva M. Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP ([email protected])


Resumo: A mudança de postura em sala de aula deve ser uma das tentativas dos educadores na intenção de despertar o interesse de seus alunos para matemática. Como uma possível alternativa a esta mudança o Grupo de Jogos Matemáticos, da UNESP de Ilha Solteira, tem promovido a utilização de jogos em sala de aula, desenvolvendo atividades teóricas e práticas, em escolas da rede de ensino pública e particular. Os jogos lúdicos vêm sendo utilizados, de forma intensiva, como uma alternativa para solucionar problemas que envolvem o ensino. Dentre outros jogos, utilizou-se o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz numérica quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das diagonais, principal e secundária, são as mesmas. O Quadrado Mágico possibilita atividades lúdicas que exercitam o raciocínio lógico e o cálculo mental. Portanto, o objetivo do Grupo de Jogos Matemáticos foi utilizar essa técnica com alunos do Ensino Fundamental, pois, este tipo de atividade possibilita ao aluno uma melhor representatividade, principalmente, na área de Matemática. Várias atividades foram programadas dentre elas: visitas as escolas de Ensino Fundamental e exposições a alunos, professores e pais. As apresentações nas escolas foram planejadas em atividade de níveis distintos levando em consideração o grau de dificuldade e faixa etária dos alunos. O quadrado mágico foi manuseado pelas turmas do 4ª e 6ª ano do Ensino Fundamental. Pretende-se estender a aplicação do Quadrado Mágico a toda a educação básica, visando propiciar uma abordagem matemática mais prazerosa. Pode-se observar que as apresentações expositivas despertaram um enorme interesse não só por parte dos alunos, mas também com relação aos pais que se mostraram preocupados com o aprendizado de seus filhos. A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade nas crianças e ficou claro que os professores, mesmo possuindo o conhecimento dos jogos, ficam inseguros com o novo método.

Palavras-chave: Matemática, Ensino, Jogos, Quadrado Mágico. .





SILVA, T. H. P., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Jogo Quadrado Mágico como Auxílio ao Ensino Tradicional de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

2

INTRODUÇÃO

O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos tem como meta abordar, através de

apresentações nas escolas, a utilização de jogos em sala de aula, com o objetivo de fazer

com que a matemática seja transmitida de uma maneira que proporcione maior

aceitação, aumentando o aproveitamento dos alunos e tornando o ensino mais aplicável.

O grupo é composto por alunos do curso de licenciatura de Matemática da FEIS-

UNESP, que tem for finalidade a formação de novos profissionais, com habilidade da

utilização de ferramentas alternativas para resolução de problemas presenciados na área

do ensino. As apresentações têm sido feitas em escolas da rede pública e particular de

ensino. A dificuldade de assimilação do conhecimento é um problema que deve ser

atacado e cabe ao professor, neste caso, educador, tentar solucioná-lo.

Nos dias atuais existem vários estudos que tentam suprir estas dificuldades e

uma das maneiras alternativas utilizadas são os jogos lúdicos. Portanto, o objetivo do

Grupo de Jogos é fazer com que os alunos venham a sentir prazer de aprender

brincando. É evidente que um jogo é muito mais que uma brincadeira, pois, é possível

observar, em cada um deles, conceitos matemáticos importantes que acabam se

fundamentando. Uma vez, que os jogos são simples, a sua confecção através de sucata,

pode-se tornar um primeiro passo do desenvolvimento do jogo, estimulando assim o

interesse do aluno.

Dentre os jogos escolhidos está o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz

numérica quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais

principais são as mesmas. O jogo foi apresentado para alunos, 40 e 60 anos, do Ensino

Fundamental e para professores e pais que participaram de uma amostra expositiva.

Este jogo foi utilizado para despertar o interesse dos alunos pela matemática,

uma disciplina que, na maioria das vezes, é tida como tediosa e sem aplicações no

cotidiano. Assim, a complementação do conteúdo programático com a utilização de

materiais lúdicos, visa propiciar o desenvolvimento do raciocínio lógico e o cálculo

mental, proporcionando a redução dos problemas no ensino atual.


3

ORIGEM DO QUADRADO-MÁGICO

Pouco se conhece, ainda hoje, sobre a história primitiva do Quadrado Mágico,

porém, sua origem parece situar-se na China. Segundo a história da matemática, os

mesmos surgiram há cerca de 3000 anos antes de Cristo (Boyer, 1974). Os Quadrados

Mágicos são arranjos quadrados de numerais em que, a soma das linhas, colunas e

diagonais, têm o mesmo valor. O nome Quadrado Mágico foi dado a este tipo especial

de arranjo geométrico porque se acreditava que os mesmos tivessem poderes especiais.

O exemplo da Figura 1 é atribuído ao imperador e engenheiro Yu, o Grande

(2200 a.C.). De acordo com a lenda, quando Yu estava observando o rio Amarelo,

surgiu uma tartaruga divina, em cujo dorso estava o símbolo que hoje é conhecido pelo

o nome de lo shu (lo significa “rio” e shu é “livre”). Por isto, há muitos e muitos anos os

chineses acreditavam que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e felicidade

para toda a vida.

Os Quadrados Mágicos foram se propagando, chegando posteriormente ao

Japão, Índia e Oriente Médio, locais ligados ao misticismo. Somente no século XV que

a Europa conheceu o jogo através do escritor Manuel Moschopoulos, que os citou em

sua obra intitulada "Tratado de Quadrados-Mágicos".

No século XVII, a teoria matemática da construção dos Quadrados Mágicos foi

estudada na França, mas somente no final do século XIX, ele foi utilizado na resolução

de problemas de probabilidade e análise. Logo, o jogo era utilizado como mero

passatempo, mas acabou se tornando uma parte importante da matemática

contemporânea.

CONSTRUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS

O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que as

somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Pode-se

dizer, ainda, que um Quadrado Mágico é um arranjo de números que vai de 1 até n2,

numa matriz n x n, em que, cada número ocorre apenas uma vez, e este arranjo é tal que


4

a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual à soma dos números

existentes em qualquer coluna, como também em qualquer das diagonais (PASLES,

2004). Por exemplo, o quadrado mágico de ordem 3 é formado pelos nove dígitos: 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, sendo que as somas são

constantes e iguais a 15, sendo este valor denominado como “constante mágica”

(CARLSON, 2001; XIN, 2004).

As construções de Quadrado Mágico começam a partir do quadrado de ordem 3.

Os Quadrados de ordem 1 ou 2 são inexistentes para a maioria dos estudiosos da

matemática, ou seja, não o aceitam como sendo um Quadrado Mágico válido. Para o

Quadrado Mágico de ordem 2, é possível verificar a inexistência de números distintos

que preencham as condições impostas para sua existência.

Segundo o médico e matemático Cornélio Agripa (1486-1535), O Quadrado de

ordem 1 simbolizava a eternidade e o Quadrado de ordem 2 o mundo material com os

quatro elementos, ar, terra, fogo e água, e pelas imperfeições desses elementos, o

Quadrado Mágico não poderia ter constante certa.

Ao construir os Quadrados Mágicos, verifica-se que existe um mecanismo

válido para todos de ordem ímpar e uma técnica que vale para o Quadrado Mágico de

quarta ordem e seus múltiplos (8, 12, 16, 20, 24, ...). No entanto, até hoje não se sabe

um mecanismo “preciso” para construir Quadrados Mágicos de ordem 6 + 4r, r ∈ N.

a) Construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar

Primeiramente, se constrói ao redor do Quadrado Mágico de ordem n (n ímpar)

um novo quadrado com ordem 2n, sendo que o quadrado original ficará disposto

conforme a Figura 2.

Inicia-se colocando o número 1 na casa central da primeira linha do quadrado

original e caminha-se (n–1)/2 casas para cima, e uma para a direita, para colocar os

números seguintes. Se um número cair fora do quadrado original, ficando nos

quadrados construídos, volta-se com o número na casa correspondente no quadrado

original. Se a casa correspondente estiver ocupada, escreve-se, então, o número na casa


5

abaixo do número anterior e continua-se com a regra inicial. Ao terminar de preencher o

Quadrado Mágico, será obtida uma soma n∗(n²+1)/2 em todas as linhas, colunas e

diagonais.

b) Construção de Quadrados Mágicos de ordens múltiplas de 4

Preenche-se a primeira linha colocando os vinte e cinco por cento do total de

números do quadrado, da esquerda para a direita. Em seguida, colocam-se os cinqüenta

por cento do total dos números, em ordem crescente, da direita para a esquerda.

Finalmente, colocam-se os vinte e cinco por cento restantes, novamente da esquerda

para a direita.

Agora, deve-ser trocar os vinte e cinco por cento centrais das linhas, obtendo o

Quadrado Mágico procurado como ilustra as Figuras 2 e 3.

UTILIZAÇÃO DO QUADRADO MÁGICO DENTRO DE SALA DE AULA

A construção proposta aos alunos foi de forma mais simples possível,

salientando que, nas séries em que se encontram, não possuem a estrutura cognitiva

suficiente para entender conceitos que costumam ser vistos somente no Ensino Médio.

Logo, os conceitos matemáticos foram abordados de forma acessível a todos, de forma

que a atividade, lúdica, fosse um instrumento complementar no ensino de matemática.

Para facilitar o desenvolvimento da atividade, foram confeccionados um

Quadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4 utilizando isopor, E.V.A., cartolinas

coloridas e percevejos (taxinhas), conforme Figura 5. Além disso, nas atividades

realizadas nas escolas, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para os

alunos preencherem.

O objetivo do Grupo de Jogos Matemáticos foi utilizar essa técnica em alunos do

Ensino Fundamental, pois este tipo de atividade possibilita ao aluno uma melhor

representatividade principalmente na área de Matemática.


6

O Quadrado Mágico foi apresentado em duas escolas da cidade de Ilha Solteira e

em uma escola da cidade de Selvíria (MS), como ilustra as fotos indicadas na Figura 4,

através de aulas teóricas e exposições a alunos, professores e pais.

A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade nas crianças,

contribuindo para o aprendizado de matemática. O trabalho com jogos lúdicos, neste

caso o quadrado mágico, vem a ser um método alternativo que acaba tornando a aula

mais dinâmica e atrativa favorecendo a aprendizagem.

Os alunos, sem perceber, tiveram contato e trabalharam com rigor as relações

matemáticas presentes no Quadrado Mágico. A maneira no qual é gerada a constante

mágica foi apresentada aos alunos no intuito de que ficasse claro não só as regras do

jogo, mas também a origem e forma em que ele se processa.


A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática,

mostrando que é possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças.

Basta utilizar formas alternativas como ferramentas complementares ao ensino

tradicional, levando ao desenvolvimento da aprendizagem.

Pode-se afirmar que além dos governantes e professores, os pais estão

diretamente envolvidos com a qualidade do ensino. Portanto, devem “estar” presentes e

“ser” presentes, sempre que possível, nas atividades escolares dos filhos. O fato de

“estar” presente não implica na participação, daí a importância de “ser” presente.

O fato de o ensino e a aprendizagem de Matemática ser um grande problema

para o sistema educacional vigente, propõe-se a modificação das aulas tradicionais,

através da utilização de ferramentas lúdicas, na tentativa de despertar o interesse dos

alunos para a beleza do estudo da matemática. Sendo assim, o educador é a peça chave

no processo da reforma educacional. “O conhecimento é transmitido de diferentes

formas, basta que haja a compreensão da informação”.

REFERÊNCIAS


7

BOYER, C. B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher, 1974.

PASLES, P. C. Some Magic Squares of Distinction, Math Horizons, 2004, pp 10-12.

CARLSON, J. Magic Squares and Modular Arithmetic, Department of Mathematics,

University of Utah, 2001, pp. 10.

XIN, G. Constructing all Magic Squares of Order Three, Department of

Mathematics, Brandeis University, 2004, pp.1-7.

ANEXO

Figura 1 – Quadrado Mágico na notação moderna.

Figura 2 – Método usado na construção de Quadrados Mágicos

de ordem ímpar (neste caso, de ordem 5).


8

Figura 3 – Procedimento utilizado na construção de Quadrados Mágicos de

ordens múltiplas de 4 (neste caso, de ordem 4).

Figura 4 – Apresentação do Quadrado Mágico nas escolas.

Figura 5 – Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de

Estudo sobre Jogos Matemáticos.

RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Eixo-temático: Ensino Fundamental: Ciclos III e IV

O JOGO SUDOKU COMO UMA ALTERNATIVA NO ENSINO DE

MATEMÁTICA

Sílvio RIVA Júnior – FEIS / UNESP ([email protected])

Vinicius Arthur dos Santos GUISSI – FEIS / UNESP ([email protected])


Dalva Maria Oliveira VILLARREAL – FEIS / UNESP ([email protected])


Resumo: O ensino de matemática vem sendo, ao longo dos anos, uma das maiores preocupações para todos, principalmente professores da área, devido o fato de, na maioria das escolas, as médias das notas dos alunos nesta disciplina serem as mais baixas de toda a grade escolar. Mas, se não bastasse, há outro fato preocupante que é a crescente falta de dedicação e o desinteresse cada vez maior por parte dos alunos em relação ao estudo da matemática. Devido à grande preocupação foram realizados estudos sobre as possíveis e diferentes maneiras de abordar a matemática de forma a torná-la mais prazerosa perante os alunos. Uma das metodologias que vem se destacando são os jogos matemáticos a qual vem proporcionando resultados relevantes. Piaget e Vygotsky foram grandes pesquisadores sobre a construção do conhecimento humano, e para eles o homem é um ser ativo que está sempre em busca de respostas para as dúvidas e paradoxos que o mundo lhe traz e o conhecimento se daria através da interação entre homem/meio (www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html; www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky). Os jogos matemáticos são atividades lúdicas desafiadoras que proporcionam uma interação aluno/meio, da qual o discente irá formular seu próprio conhecimento. Fazer com que os próprios alunos tomem a iniciativa de propor “caminhos” e decisões rápidas e corretas na resolução dos jogos e problemas, torna o estudo e aprendizado matemático mais dinâmico e menos árduo, já que eles serão construtores de grande parte do conhecimento adquirido. Em busca da melhoria do ensino e aprendizagem de matemática, foi criado o Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, formado por alunos do curso de licenciatura em matemática da UNESP de Ilha Solteira que exploraram a utilização do Sudoku no Ensino Fundamental. A experiência foi realizada com alunos do Ensino Fundamental, 40 e 60 anos, e com exposições à professores e pais de alunos. Palavras-chave: Jogos, Ensino, Aprendizagem Matemática, Diversificação, Sudoku.

mailto:([email protected]





http://www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html

http://www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky

RIVA, S. J., GUISSI, V. A. S., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Jogo Sudoku como uma Alternativa no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)

2

INTRODUÇÃO

Os alunos do 1º ano (atualmente 2º ano) do curso de Licenciatura em

Matemática tiveram a experiência de elaborar seminários de jogos matemáticos devido à

necessidade da atividade prática da disciplina álgebra elementar, imposta pelo novo

currículo. Durante algumas atividades propostas aos alunos (relatórios, seminários, etc.)

notou-se que alguns deles possuíam mais desenvoltura e facilidade em trabalhar na área

da educação. Assim, propôs-se, a esses alunos, o convite da formação de um grupo de

pesquisa relacionado a jogos matemáticos.

O Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos, assim chamado, tem o âmbito de

fazer com que a matemática seja passada de uma maneira que gere mais aceitações,

aumentando o aproveitamento dos alunos dentro da sala de aula tornando-a mais

prazerosa entre eles.

Dentre os jogos escolhidos está o Sudoku cujo nome é a abreviação japonesa

para a frase: “Suuji wa do kushin ni kagiru” que significa “os dígitos devem permanecer

únicos”. Ao contrário do que muitos pensam o jogo não é de origem japonesa, já que foi

criado por um arquiteto aposentado chamado Howard Garns, de 74 anos, cuja

inspiração para a criação do jogo veio, provavelmente, do quadrado latino do suíço

Leonard Euler. Suas primeiras publicações ocorreram nos Estados Unidos no final do

ano de 1970 na revista Math Puzzles and logic Problems, da editora Dell Magazines.

O Sudoku é composto de uma matriz quadrada (n x n) de números sendo que em

algumas posições contem números pré-fixados. O desafio do jogo é preencher o restante

da matriz de forma que toda linha, coluna, ou bloco contenha um e apenas um número

de cada. Para tal preenchimento utilizam-se números que vão de 1 até n, sendo n igual a

dimensão da grade. A Figura 1 ilustra dois tipos diferentes de Sudoku: Sudoku 4x4 e

Sudoku 9x9.

O Sudoku apresenta duas técnicas de resolução: Tentativa e erro que consiste em

preencher a grade de uma maneira aleatória, sem estudo da matriz dada, o que acarreta

em vários erros aumentando o tempo de resolução. Já o segundo método chama-se


3

“Varredura”, cujo princípio é percorrer toda a matriz estudando as possibilidades de um

número poder ou não ocupar um determinado local na grade mostrado pela Figura 2.

Essa “varredura” é feita seguindo as regras do jogo, há uma dica para os iniciantes que

seria começar essa análise com os números que estão em maior quantidade. Dentro do

processo de análise do Sudoku é estabelecida uma regra primordial: os números não

podem ser repetidos em células de suas respectivas grades menores, nas linhas e colunas

como mostrado na Figura 3 (DAVIS, 2007).

O grau de dificuldade do jogo Sudoku é estabelecido pelo tamanho da grade,

quanto menos, mais fácil e também pela quantidade de números que são

predispostamente dados no inicio da resolução.

EXPERIÊNCIA DENTRO DE SALA DE AULA

Os alunos que fazem parte do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos

tinham a tarefa de confeccionar o jogo Sudoku para então aplicá-lo na prática de ensino

dentro de sala de aula. Para a confecção dos jogos utilizou-se pincel atônico, lousa

branca de diversos tamanhos, e as grades foram feitas com fitas coloridas para uma

melhor visualização como mostra a Figura 4.

A utilização do jogo Sudoku como método de ensino para a aprendizagem de

matemática é uma alternativa que visa melhorar as expectativas quanto à assimilação de

conhecimento na área de matemática. Uma vez que esta área possui um grau de

dificuldade de aceitação com relação aos alunos, ocorre à necessidade da utilização de

técnicas que supram os métodos tradicionais.

O Sudoku foi apresentado para os alunos do ensino fundamental de escolas

públicas e particulares, levando em conta que na escola particular o jogo foi colocado de

maneira expositiva, no qual alunos, professores e pais tinham o livre acesso ao jogo.

Portanto, devido o fato do jogo ser colocado para turmas diferentes, surgiu a

necessidade de utilizar níveis de dificuldades e formas de apresentação do jogo

distintas.


4

Para apresentação do Sudoku no Ensino Fundamental, foi necessário realizar

algumas modificações essenciais no jogo. Por exemplo, para os alunos do Ensino

Fundamental, 40 ano, houve a substituição dos números por figuras coloridas, como

mostra a Figura 5, no intuito de despertar um maior interesse das crianças e fazer com

que focassem o jogo de uma maneira mais intensa.

Devido à diversidade de formas de apresentações em salas de níveis escolares

diferentes, indicada pela Figura 6, o grupo se deparou com algumas dificuldades. No

início o mais difícil foi saber lidar com a insegurança já que nada desse tipo havia sido

feito e tinha-se certo receio por não saber como lidar e o que esperar diante de uma

classe cheia de alunos.

Porém, com o passar de cada experiência os membros do grupo puderam

vivenciar o que é ser professor, adquirindo uma experiência em sala de aula dando-lhes

confiança para lidar com as possíveis situações em classe proporcionando um maior

preparo para as demais apresentações. Assim o trabalho tem proporcionado aos

membros do Grupo de Jogos a vontade de serem professores e lutarem por uma

melhoria significativa na aprendizagem e ensino.

Após presenciar e participar de todas as atividades do Grupo de Estudos sobre

Jogos Matemáticos, os responsáveis pela elaboração e apresentações do jogo Sudoku

puderam avaliar e concluir que o jogo em questão foi de grande valia e obteve

resultados ótimos.

COLOCAÇÕES FINAIS

Uma das maiores dificuldades encontradas pelos professores está na extrema

facilidade com que os alunos dispersam a atenção fazendo com que não consigam se

concentrar por período maior. Outro problema apontado é a falta de interesse que

acarreta em desistências decorrentes de qualquer dificuldade encontrada, seja ela qual

for.

Por experiências vividas dentro de sala de aula, pôde-se observar que com a

introdução do Sudoku ocorreu uma maior interatividade entre alunos e professores,


5

dinamizando a aula. Também foi visível o aumento do interesse pelo que estava sendo

apresentado, já que até aquele momento, eles não conheciam o jogo proposto e para eles

era uma maneira alternativa de aprender matemática.

Os alunos, de maneira geral, não se abateram diante das dificuldades

encontradas, muito pelo contrário, elas serviram de estímulo para que todos se

empenhassem e saíssem como “vencedores” o que fez com que o grupo avaliasse não só

o desempenho e velocidade, de cada aluno, na resolução do jogo, mas também o grau de

interesse e disposição. Este empenho maior é responsável por melhoras no raciocínio

lógico, na memória, na tomada de decisões corretas e na manipulação de informações.

Sempre em busca de melhores resultados há o grande interesse em usar a

informática como ferramenta (RUIZ, 2006). Trabalhos envolvendo jogos matemáticos e

informática vem sendo realizados com êxito na inserção de idosos no mundo digital

(SEBBEN et al., 2007).

Portanto, apesar da resistência por parte de alguns, o Sudoku e outros vários

jogos podem, sem dúvida alguma, entrarem não só nas salas de aula, mas em qualquer

meio para tornar o ensino de Matemática algo mais atrativo e interessante com o papel

de ferramenta ou até mesmo como método de avaliação (NINA, 2007), gerando

melhores resultados e desmistificando a história em que a aprendizagem da matemática

se submeteria somente a cálculos e problemas abstratos.

REFERÊNCIAS

RUIZ, D. Jogos Pedagógicos Matemáticos, São Paulo: UNIMESP – Centro

Universitário Metropolitano de São Paulo, 2006, pp. 1-4.

NINA, C. Um Olhar Matemático para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - Encontro

Nacional de Educação Matemática, 18 a 21 Julho, Belo Horizonte, 2007, pp. 1-10.

SEBBEN, N.; GUEDES, A. L.; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para a

Terceira Idade, VI Simpósio Brasileiro de Jogos para Computador e Entretenimento

Digital, 2007, pp. 1-4.

DAVIS, T. The Mathematics of Sudoku, 2007, pp. 1-34.


6

www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html

www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.html

ANEXO

Figura 1 - Sudoku 4x4 e Sudoku 9x9.

Figura 2 - Método da “varredura”.


http://www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.html


7

Figura 3 - Grades menores, Colunas e Linhas do Sudoku.

Figura 4 - Sudoku confeccionado.

Figura 5 - Sudoku de figuras 4x4.


8

Figura 6 - Apresentações do Grupo.

NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2) Eixo-temático: Ensino Fundamental : Ciclos I e II.

O JOGO TANGRAM COMO FERRAMENTA COMPLEMENTAR AO ENSINO

DE MATEMÁTICA

Carla Daniela NIZA – FEIS / UNESP ([email protected])

Nathália M. BEVILAQUA – FEIS / UNESP ([email protected])



Mara L. M. LOPES – FEIS / UNESP ([email protected])

Resumo: O Tangram é um quebra cabeça de origem chinesa muito antiga, formado por sete peças (dois triângulos isósceles grandes, dois triângulos isósceles pequenos; um triângulo isóscele médio; um quadrado e um paralelogramo). As peças podem ser chamadas de Tans e, posicionando-as corretamente em sua apresentação clássica, forma-se um quadrado. Além desta forma, diversas outras podem ser obtidas desde que, utilizando todas as peças, uma peça não seja colocada sobre a outra. Seu nome original é ch i ch iaô tu, que em português significa “7 tabuas da sabedoria” ou “7 peças inteligentes”. Conta a lenda que, um dia na China, o imperador Tan partiu o seu espelho quadrado quando o deixou cair ao chão. O espelho partiu-se em sete partes. Tan, apesar de aborrecido com a perda do espelho, descobriu uma forma de se entreter, foi construindo várias figuras usando sempre as sete peças, sem as sobrepor. Com o passar do tempo foram surgindo vários tipos de Tangram, como o Tangram Pitagórico, o Pentagonal, o Circular, o Oval, o Cardiotangram, o de Quatro Peças, o de Cinco Peças, entre outros. O quebra-cabeça Tangram, e muitos outros tipos de quebra-cabeças bidimensionais similares, tornaram-se bastante populares no final do século XVIII e no inicio do século XX. O Tangram expandiu-se com muita rapidez, principalmente pela Europa e Estados Unidos tornando-se muito popular, e tem servido de inspiração para criação de muitos outros jogos com as mesmas características. Assim como o tradicional jogo de origem chinesa, Tangram possui como filosofia criar inúmeras visões a partir de suas peças, gerando infinitas possibilidades. O que se sabe na realidade é que ele ajuda a desenvolver as inteligências lógico-matemática, espacial e intrapessoal. Assim, este trabalho trata da apresentação dos resultados da iniciativa da proposta de utilização do Tangram como instrumento auxiliar ao ensino de matemática. Palavras-chave: Tangram, Jogos, Ensino, Criatividade, Lógica Matemática.






NIZA, C. D., BEVILAQUA, N. M., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Tangram como Ferramenta Complementar ao Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

2

INTRODUÇÃO Investindo na possibilidade de reorientar o ensino da matemática de modo a torná-

lo uma experiência de sucesso, promovendo assim, uma visão da matemática como

ciência em permanente evolução, foi formado o Grupo de Estudo sobre Jogos

Matemáticos, na UNESP de Ilha Solteira.

Para realizar esta tarefa árdua de reorientar o ensino desta ciência, o grupo

trabalha com a proposta de introduzir em sala de aula um dos mais variados recursos

existentes na literatura, neste caso, os jogos matemáticos.

Assim, a proposta é fazer dos jogos matemáticos uma ferramenta completar para o

ensino de matemática. Logo, neste trabalho serão apresentadas as atividades

desenvolvidas pelo grupo abordando um dos jogos trabalhados.

Manuseando as peças do quebra-cabeça chinês, como é conhecido o Tangram, os

alunos terão condições de elaborar os conceitos do conteúdo sobre Frações, explorando-

o com as sete peças que compõem o Tangram. Este, por ser um jogo, prende a atenção e

possibilita a aprendizagem de maneira lúdica. As situações do jogo são consideradas

parte das atividades pedagógicas, justamente por serem elementos estimuladores do

desenvolvimento.

O jogo assume um papel importante na matemática. É através do seu caráter

lúdico que facilmente se divulga a matemática e se diminui o peso psicológico e

tenebroso que esta assume na sociedade, fato este que tem emergido aos olhos dos

educadores.

Portanto, a iniciativa do grupo em complementar o ensino de matemática através

da utilização de jogos, neste caso o Tangram, faz da aquisição dos conceitos, uma

atividade mais prazerosa que permite ao aluno a aquisição do conhecimento de forma

mais completa e objetiva.

No que segue serão apresentadas as atividades desenvolvidas pelo Grupo de

Estudo sobre Jogos Matemáticos, envolvendo o Tangram, nos anos de 2006, 2007 e

2008.


3

LENDAS E ORIGEM DO TANGRAM

A primeira publicação sobre a origem do Tangram foi em 1813 [LEE, 2003],

segundo os registros.

Várias lendas contam essa origem de formas diferentes, porém, a definição mais

formal diz que o Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa formado por sete

peças (Figura 1), e quando colocadas corretamente, forma-se um quadrado. A essas sete

peças dá-se o nome de Tans e é possível montar cerca de 1700 figuras com as mesmas

(Figura 2) [KALEFF et al., 2002].

REGRAS E MANIPULAÇÃO DO JOGO

O desafio dos quebra-cabeças é recompor estas formas mudando as sete peças de

posições. As duas principais e únicas regras são: usar todas as peças e não sobrepor uma

sobre a outra. Na matemática pode-se introduzir a geometria de maneira mais adequada

através de exposição de sólidos geométricos e da construção do Tangram, para que o

aluno venha a ter noção de espaço, comparar e mediar área, estudar amplitudes de

ângulos e comprimento.

Uma maneira interessante de jogar este jogo é colocar os dois jogadores sentados

frente a frente, onde o primeiro escolhe uma figura simples, dando, ou não, um nome a

mesma. O segundo jogador não vê a figura e deve, com as peças do quadrado, construí-

la segundo as indicações do primeiro jogador, que lhe descreve as peças e as respectivas

posições. O segundo jogador só conseguirá reconstruir a figura, se as informações do

primeiro jogador forem suficientemente claras. Pode-se continuar até que o segundo

jogador consiga terminar o jogo, ou então, limitar-se o tempo.

VARIAÇÕES DO TANGRAM

A partir do Tangram clássico surgiram vários outros tipos de Tangram, entre eles,

o Tangram Pitagórico (Figura 3), através da construção feita pode-se concluir que, num


4

triangulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das

áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Foi assim que Pitágoras chegou a

conclusão de que: a² = b² + c². Conta a lenda que, como prova de gratidão por ter

demonstrado esse teorema, Pitágoras sacrificou 100 bois aos deuses.

Com o passar do tempo foram surgindo vários outros modelos de Tangram, como

Pentagonal, Cardiotangram, Oval, Retangular, Circular, Russo, Triangular, Quatro

peças e Cinco peças (Figura 3).

CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS

O fato de mexer com a imaginação fazem do Tangram um excelente jogo infantil

e educacional, especialmente se for possível permitir à criança a criação do seu próprio

jogo. Com o uso do Tangram o professor pode desenvolver, ou aperfeiçoar, com seus

alunos, várias capacidades, como identificação de formas geométricas planas, através de

cores, formas, comparação, descrição, classificação, transformações geométricas através

de composição e decomposição de figuras, compreensão das propriedades das figuras

geométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelos

geométricos, noções de área e frações. O Tangram também possibilita obter algumas

habilidades importantes para a aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como,

visualização, diferenciação, percepção espacial, análise, síntese, desenho, escrita e

construção [LEE, 2003].

O Tangram pode ser usado como material didático nas aulas de educação artística

e matemática, visando à exploração das peças e identificação de suas formas,

possivelmente, com a associação de cores. Logo depois, se passa à sobreposição e

construção de figuras dadas, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se

pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a

criança precisa analisar as propriedades das peças do Tangram e da figura que se quer

construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes. Sua filosofia é de que


5

um todo é divisível em partes (as sete peças que compõem o quadrado), as quais podem

ser reorganizadas em outro todo, com a concepção de Malba Tahan sobre a matemática.

Este jogo só exige tempo, paciência, imaginação e, principalmente respeitar as

regras.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE ENVOLVENDO ALUNOS

No que segue, serão relatadas algumas experiências, realizadas pelo Grupo de

Estudo sobre Jogos Matemáticos, envolvendo o Tangram, nos anos de 2006, 2007 e

2008. No ano de 2006, foi realizada a Oficina de “Jogos Matemáticos”, parte integrante

da Semana da Matemática, evento realizado na própria universidade. A oficina contou

com a apresentação de vários jogos matemáticos, entre eles o Tangram, que foi muito

bem aceito por todos.

Primeiramente foram distribuídos vários quebra-cabeças desmontados, com o

objetivo de montá-los em sua forma clássica, divertindo e chamando a atenção de todos

que estavam participando. Depois, feito isso, foram distribuídos vários outros tipos de

Tangram, como o Cardiotangram, o de Quatro Peças, o de Cinco Peças, o Pitagórico, o

Oval, entre outros, proporcionando, junto a eles, desafios diferentes para ser montados.

No ano seguinte, 2007, os jogos matemáticos se fizeram presentes no “Venha nos

Conhecer”, evento também realizado na própria universidade (Figura 4). Neste evento

foi possível mostrar como os jogos matemáticos são importantes para o

desenvolvimento do raciocínio lógico de um indivíduo, novamente, entre os jogos

abordados estava o Tangram que, apesar de ser um jogo com um nível de dificuldade

média, chama muito a atenção por suas cores e formas geométricas, além de sua origem

e história.

No ano de 2007 ainda, foi ministrada a Oficina “Atividades Matemática

envolvendo Jogos”, na Semana da Matemática, para a abordagem do Tangram, foi

confeccionada uma amarelinha (Figura 5), em E. V. A. Já em 2008, o grupo apresentou


6

novamente os jogos, incluindo o Tangram e suas variações no “Venha nos Conhecer”,

evento já descrito anteriormente (Figura 4).

RESULTADOS

O Tangram não possui uma única “solução”, são inúmeras soluções e figuras que

podem ser formadas, no que, residiria um grande atrativo. Sendo assim, o quebra-cabeça

chinês permite criar e montar mais de 1.700 figuras entre animais, plantas, pessoas,

objetos, letras, números. O Tangram é uma metodologia de ensino de matemática para

jovens e adultos com ou sem alfabetização. O jogo, que torna divertida a matemática

recreativa, pode tomar vários aspectos: um quebra-cabeça a ser resolvido, um jogo de

competição, uma mágica, paradoxo, falácia ou, simplesmente, Matemática com um

toque qualquer de curiosidade ou diversão.

Foi possível transmitir, através das atividades desenvolvidas, que o Tangram,

além de um jogo divertido, pode ser visto como um material educativo, permitindo ao

professor trabalhar com o mesmo em sala de aula, e aos alunos o entendimento de

vários conceitos, tais como, ângulos, área, perímetro, noções espaciais, associação de

formas e cores, comparação, descrição, comparação, etc. [TOLEDO e TOLEDO, 1997].

Assim, a apresentação do Tangram como instrumento alternativo à prática

educacional, despertou grande interesse tanto pelos alunos quando pelos próprios

professores que participaram das atividades desenvolvidas.

REFERÊNCIAS

LEE, R. Tangram, Editora Isis, LTDA, 2003.

KALEFF, A. M.; MONTEIRO REI, D.; GARCIA, S. S. Quebra-cabeças Geométricos

e formas planas, Editora da Universidade Federal Fluminense - Niterói/RJ, 2002.

TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática da Matemática: como dois e dois: a

construção da matemática, São Paulo: FTD, 1997.


7

ANEXO

Figura 1 - Apresentação Clássica do Tangram.

Figura 2 - Exemplos de Aplicações do Tangram.


8

Figura 3 - Variações do Tangram.

Figura 4 - Venha nos Conhecer 2007 e 2008.

Figura 5 - Amarelinha (Oficina realizada em 2007).

SANTOS, E. L. F., ALTRAN, A. B., VILLARREAL, D. M. O. e LOPES, M. L. M. O Uso da Torre de Hanói no Ensino de Matemática, Relato de Experiência. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-8. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático: “Ensino Fundamental: Ciclos III e IV”.

O USO DA TORRE DE HANÓI NO ENSINO DE MATEMÁTICA

Edcarlos L. F. SANTOS – FEIS / UNESP ([email protected])



Mara L. M. Lopes – FEIS / UNESP ([email protected])

Resumo: Um dos maiores desafios de um educador, em sala de aula, é obter a atenção total de seus alunos, principalmente, quando se trata de Matemática. Para isso, se faz necessário a utilização de métodos alternativos, entre eles, o uso de jogos lúdicos. A utilização de jogos no ensino torna mais fácil à comunicação entre os alunos e o educador, propiciando um aprendizado mais completo. O objetivo, quanto à utilização dessa ferramenta, não é transformar a escola em um grande parque de diversões, mas sim, aliar esse entretenimento ao ensino. Para que essa proposta seja concretizada é necessário um grande trabalho, na tentativa de encontrar o jogo que melhor se adapte ao nível de desenvolvimento em que se encontram os alunos, e ao conteúdo que está sendo abordado. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática, da UNESP de Ilha Solteira, vem utilizando os jogos matemáticos no ensino. Através das experiências vividas durante o período de dois anos escolheu-se a Torre de Hanói, por ser um dos jogos que apresentou grande aceitabilidade por parte dos alunos. Sendo assim, no decorrer do trabalho, será realizada uma apresentação detalhada do jogo, salientando os diversos benefícios que o mesmo, aliado aos métodos tradicionais, pode trazer ao ensino de matemática; além de apresentar os resultados das atividades envolvendo o jogo. O trabalho do grupo não se limita apenas à utilização da Torre de Hanói como ferramenta complementar ao ensino de matemática, vários outros jogos são abordados com mesma finalidade. Portanto, o jogo a ser tratado pode ser considerado um excelente exemplo de passatempo lúdico, além de permitir as mais diversas abordagens, ou seja, a Torre de Hanói é um jogo matemático que pode ser aplicado a todos os níveis de ensino, desde o infantil até o universitário.

Palavras-chave: Torre de Hanói, Jogos Matemáticos, Ensino de Matemática.






2

INTRODUÇÃO Buscando uma alternativa aos métodos tradicionais de ensino, o Grupo de Estudos

sobre Jogos Matemáticos, apostou na iniciativa de utilizar Jogos Matemáticos como

ferramenta complementar ao ensino de matemática. Assim, vários jogos servem como

alvo de estudo do grupo, dentre eles destaca-se a Torre de Hanói (Figura 1).

O jogo Torre de Hanói pode ser abordado em todos os níveis de ensino, no ensino

infantil e fundamental, não necessitando de grande habilidade matemática; no ensino

médio e superior, em que é possível explorar o jogo num contexto matemático mais

bem elaborado e, ainda, existem relatos da utilização da mesma em ambientes

executivos, servindo de instrumento cognitivo de avaliação do comportamento dos

funcionários que são submetidos à atividade de transferência dos discos (WELSH and

HUIZINGA, 2005).

Assim, a proposta é incentivar a utilização de jogos matemáticos no ensino, uma

vez que a situação do ensino, mais especificamente de matemática, se encontra em um

nível um pouco abaixo do esperado.

Num primeiro momento, a Torre de Hanói foi abordada de um modo mais

informativo, através da manipulação descompromissada com a fundamentação

matemática envolvida, propôs-se apenas a transferência dos discos em si.

A opção pela atividade expositiva ocorreu na intenção de promover,

cuidadosamente, a aceitação da inserção dos jogos matemáticos no ensino, tanto por

parte de professores e alunos das escolas de Ilha Solteira (e região), quanto dos alunos e

professores dos cursos de licenciatura. Após essa fase de ambientação, a proposta é

levar o jogo Torre de Hanói para a sala de aula, no intuito de servir como ferramenta

complementar do ensino de matemática.

No que segue será realizada uma apresentação das regras e manipulação do jogo,

seguindo com os benefícios por ele apresentados. Será descrito ainda, o

desenvolvimento das atividades realizadas envolvendo alunos, nos três últimos anos e,

por fim, serão apresentadas as considerações finais sobre o trabalho.


3

REGRAS E MANIPULAÇÃO DO JOGO

A Torre de Hanói é composta por três hastes nas quais são colocados n discos

(n = 1, 2, 3, 4....) concêntricos e de tamanhos diferentes, alinhados de forma decrescente

em relação à base. O objetivo do jogo é transferir os discos da haste principal para

qualquer uma das outras hastes seguindo as seguintes regras (CHEDID and MOGI,

1996):

• Só é permitido movimentar um disco de cada vez;

• Nunca colocar um disco de maior diâmetro sobre um de menor diâmetro;

• Nunca colocar discos em outro lugar a não ser, em uma das hastes.

Obedecendo a todas essas regras objetiva-se utilizar o menor número possível de

movimentos, sendo esta quantidade calculada através da relação dada por (PIAGET,

1977; CHEDID and MOGI, 1996):

M(n) = 2n – 1 (1)

Em que n é o número de discos em uso e M(n) é o número mínimo de movimentos

necessários para mover esses n discos (BAIRRAL e CARPI, 2002).

As figuras 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, mostram a quantidade mínima de movimentos

para uma torre de três discos.

BENEFÍCIOS DO JOGO

A Torre de Hanói pode, facilmente, ser empregada em todos os níveis escolares,

mudando-se, obviamente, o enfoque dado em cada um desses níveis.

Em um primeiro momento, a manipulação da Torre pode ajudar na coordenação

motora, no reconhecimento de formas e no conceito de ordem crescente e decrescente.

Não é necessário que as crianças consigam resolver o “passatempo”, mas é


4

extremamente recomendável a manipulação, para que os alunos se familiarizem cada

vez mais com o jogo, levando-os a resolução natural do problema proposto.

Já em um nível mais adiantado, a Torre já pode ser utilizada visando à resolução

desta, buscando estratégias de transferências e elaborando uma relação intuitiva entre o

número de discos e o número mínimo de movimentos necessários para transferi-los

(BAIRRAL e CARPI, 2002), essa fase é muito importante para ajudar no

desenvolvimento de um bom raciocínio indutivo. Conceitos já fixados nos níveis

anteriores podem se aliar a outros conceitos que ajudarão no estudo mais profundo do

jogo, por exemplo, o método de indução finita para comprovar a validade da formulação

que antes fora adquirida intuitivamente.

A Torre de Hanói não é único jogo que pode ser usado no auxílio ao ensino;

existem centenas de jogos tão bons ou melhores que a Torre de Hanói, e é tarefa do

educador, buscar se informar e, sempre que possível, utilizar-se dessas ferramentas tão

úteis ao ensino.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE ENVOLVENDO ALUNOS

A Torre de Hanói foi apresentada em quatro atividades, sendo três em eventos da

própria Universidade, e a outra em uma escola da cidade.

A primeira atividade foi à apresentação da Oficina “Jogos Matemáticos” parte

integrante da “Semana da Matemática” (2006), evento realizado pelo departamento de

Matemática da própria instituição, cujo objetivo era disseminar a aplicação da

matemática estudada durante o curso, através da utilização dos jogos.

A segunda apresentação da Torre de Hanói foi no “Venha nos Conhecer” (2007),

um evento realizado pela própria universidade, com a finalidade de apresentar os cursos

para os futuros vestibulandos (Figura 10).

Como a segunda apresentação conta com a visitação de alunos e professores das

escolas do município e da região, uma professora, que aprovou a iniciativa, fez um

convite para que o grupo participasse de um evento que a escola iria promover. Assim, a

terceira apresentação envolvendo a Torre se deu através de um convite do colégio


5

Anglo, para apresentação dos jogos em uma atividade que envolvia alunos, pais,

professores e funcionários da própria escola, também em 2007 (Figura 11).

A quarta apresentação da Torre foi realizada já em 2008 no “Venha nos

Conhecer”, realizado da mesma forma que no ano anterior (Figura 12).


Através dessas apresentações, e do contato com os alunos, foi possível perceber a

aversão que uma parte dos alunos tem pela matemática, e isso faz com que o ensino

torne-se um tanto complicado, entretanto é possível constatar que, com o uso de jogos,

essa aversão pode ser contornada permitindo ao educador, romper essa barreira entre

aluno e conhecimento.

Por outro lado, mostrar uma alternativa ao ensino tradicional, fez com que os

professores das escolas participantes dos eventos, tomassem a iniciativa de

complementar suas aulas, a fim de despertar o interesse dos seus próprios alunos e

promover um ensino mais prazeroso.

Outro fato que podemos ressaltar é que essa atividade propicia, aos alunos

integrantes do grupo, um contato direto com a atividade de docência a qual estão sendo

preparados para exercer.

Esse primeiro contato entre licenciando e alunos é de suma importância para o

desenvolvimento do futuro docente, pois estes, como futuros educadores, terão a

responsabilidade de buscar alternativas que auxiliem no desenvolvimento do ensino

tradicional.

Assim, a utilização dos jogos, nesse caso a Torre de Hanói, é uma boa iniciativa

em se tratando, da busca pela melhoria do ensino.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAIRRAL, M. e CARPI, A. Jogar e Desenvolver Competências em Matemática,

Pátio Revista Pedagógica, Porto Alegre, No. 24, 2002, pp. 32-35.


6

CHEDID, F. B. and MOGI, T. A Simple Iterative Algorithm for the Tower of Hanoi

Problem, IEEE Transactions on Education, Vol. 39, No. 2, 1996, pp. 274-275.

PIAGET, J. A Tomada de Consciência, Melhoramentos e ADUSP, São Paulo, 1977,

pp. 172-178.

WELSH, M. C. and HUIZINGA, M. Tower of Hanoi Disck-Transfer Task:

Influences of Strategy Knowledge and Learning on Performance, Learning and

Individual Differences, Elsevier, Vol. 15, 2005, pp. 283-298.

ANEXO

Figura 1 - Exemplos da Torre de Hanói cinco, seis e oito discos, respectivamente.

Figura 2 - Situação inicial da simulação da movimentação dos discos para uma Torre de três discos.

Figura 3 - Primeiro movimento da simulação.


7

Figura 4 - Segundo movimento da simulação.

Figura 5 - Terceiro movimento da simulação.

Figura 6 - Quarto movimento da simulação.

Figura 7 - Quinto movimento da simulação.

Figura 8 - Sexto movimento da simulação.

Figura 9 - Sétimo movimento da simulação.


8

Figura 10 - Exposição realizada no “Venha nos Conhecer” 2007.

Figura 11 - Exposição realizada no colégio Anglo – Ilha Solteira.

Figura 12 - Exposição realizada no “Venha nos Conhecer” 2008.

“CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UNESP – CIC

UNESP”

São José dos Campos – SP

27 de Outubro a 01 de Novembro de 2008

O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem da Matemática

The Soma Cube as Tool in the Learning of the Mathematics Jonatas Estevam Soares da Silva, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara

Lúcia Martins Lopes

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras – chave: Jogos Matemáticos, Cubo Soma, Atividade Lúdica. Keywords: Mathematical Games, Soma Cube, Playful Activity. INTRODUÇÃO A necessidade de modificar a maneira de transmitir o conhecimento propôs-se a formação do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos (UNESP/FEIS), com o objetivo de divulgar o uso de jogos como uma metodologia voltada para o ensino de Matemática. A proposta da utilização de jogos lúdicos no ensino de Matemática é uma alternativa à postura tradicional do professor possibilitando ao aluno uma diversificação na aprendizagem. A apresentação dos jogos matemáticos como uma alternativa lúdica para o ensino de conceitos matemáticos vem sendo desenvolvida ao longo desses dois últimos anos. O projeto baseou-se nos seguintes passos:

1. Estudo aprofundado dos jogos, neste caso o Cubo Soma, dando ênfase no surgimento, desenvolvimento e metodologia matemática envolvida para utilização no ensino;

2. Inserção do Cubo Soma na prática dentro da sala de aula, envolvendo alunos do ensino fundamental.

No trabalho que segue está inserida a apresentação do jogo Cubo Soma como ferramenta complementar ao ensino de matemática. ORIGEM E DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA Criado em 1936, pelo poeta dinamarquês Piet Hein, o jogo Cubo Soma pode ser comparado a um quebra-cabeça. A idéia de montar este quebra-cabeça surgiu quando Piet, engenheiro com grandes conhecimentos em Física, assistia uma palestra do físico alemão Werner Heisenberg, sobre Mecânica Quântica, quando este descrevia um espaço dividido em células cúbicas logo Piet formulou a seguinte idéia: “Se pegarmos todas as formas irregulares construídas por até quatro cubos de tamanhos iguais unidos por suas faces, seremos capazes de montar um cubo maior”. Convém esclarecer que o quebra-cabeça foi batizado com o nome de Soma Cube (Cubo Soma) e, como tal, patenteado e comercializado em várias partes do mundo, tornando-se bastante popular nos países escandinavos.


DEFINIÇÃO DO CUBO SOMA O Cubo Soma consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela união de pequenos cubos, combinados de modo a formar um cubo maior, mostrado pela figura abaixo.

Figura 1 - Cubo Soma.

A essas peças formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubos (peças que compõem do Cubo Soma). A figura a seguir ilustra cada uma das peças que compõem o Cubo Soma.

Figura 2 - Policubos (peças que compõem do Cubo Soma).

Na Figura 2, é possível verificar que o as peças do Cubo Soma, os policubos, são divididos em seis tetracubos (peças formadas pela união de quatro cubos) e um tricubo (peça formada pela união de três cubos), mostrados pela Figura 3. A sexta peça é a imagem especular da quinta peça, daí o motivo de algumas abordagens apresentarem somente sete peças para o Cubo Soma.

Figura 3 - Tetracubos e Tricubo irregular, respectivamente.

MONTAGEM DO CUBO SOMA A montagem do Cubo Soma parece ser algo bem complicado, porém, o objetivo principal é montar um cubo 3x3x3 sendo que a única exigência para tanto é a utilização de todas as peças (policubos), ou seja, para montar o Cubo Soma é necessário utilizar todos os tetracubos irregulares e o

tricubo irregular (Figura 3). Uma das 240 formas distintas de montar o Cubo Soma é apresentada pela Figura 4.

Figura 4 - Uma solução para o Cubo Soma.

A grande virtude do Cubo Soma é de não se restringir à solução inicial. O Cubo Soma funciona como um quebra cabeça, portanto, além de se formar um quadrado com as peças também podem ser formadas uma infinidade de figuras, com o conjunto tridimensional do Cubo Soma como mostra a Figura 5. Se mais de um jogo de peças forem combinados entre si podem-se verificar a criação de verdadeiras esculturas.

Figura 5 - Figuras montadas com o Cubo Soma.

O livreto, que acompanhava o jogo produzido pela Parker Brothers, na década de 50, ilustra inúmeras formas de figuras montadas pelas peças do Cubo Soma. DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE O jogo Cubo Soma foi parte integrante de todas as atividades realizadas pelo grupo nestes dois últimos anos em eventos e escolas da cidade e região. Uma das experimentações práticas mais importantes ocorreu na “Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Prof. Nelson Duarte Rocha”, na cidade de Selvíria - MS, mediante o convite da coordenadora pedagógica da escola como ilustra a Figura 6. O jogo foi apresentado em apenas duas séries, quarto e sexto anos devido o curto intervalo de tempo para atividade, porém, o grupo está convidado a retornar à escola para permitir as outras séries o contato com o jogo.

Figura 6 - Visita a escola “Prof. Nelson Duarte Rocha” (Selvíria - MS).

Outra atividade envolvendo alunos do ensino fundamental ocorreu no colégio “Anglo” da cidade de Ilha Solteira. Esse evento tinha um caráter expositivo e contou com a participação de alunos, pais e funcionários da própria escola, mostrada pela Figura 7.

Figura 7 - Visita ao Colégio Anglo (Ilha Solteira - SP).

CONSIDERAÇÕES FINAIS O desenvolvimento caótico e o baixo interesse pelo aprendizado de matemática provocam no educador um despertar pela busca da reformulação de sua aula, para que aconteça uma motivação no aluno e que tenha um resultado benéfico. O ensino escolar não é a única prática educativa e o professor profissional também não é o único praticante, a educação existe nas várias sociedades letradas e iletradas, nas zonas rurais e urbanas, ela existe em cada provo. Com base nesta tese é possível perceber que esta troca de meios será algo de suma importância para o aprendizado do aluno. Portanto, esta inserção de jogos didáticos em sala de aula é válida e terá incríveis resultados. Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte dos alunos, em aprender matemática de uma maneira divertida. Assim, o trabalho com jogos dentro da sala de aula é de uma facilidade imensa e provoca grande satisfação tanto no aprendiz, como no docente. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS SILVA, F. e KODAMA, H. M. Y. Jogos no Ensino da Matemática, II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, UFBA, 2004. SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Modular Basada en la Teoría de Policubos, Proceedings of the 6th Iberoamerican Congress of Digital Graphics, Caracas - Venezuela, 2002, p. 264-267. GUZMÁN, M. Tendencias Actuales de la Enseñanza de la Matemática, Studia Paedagogica, Revista de Ciencias de la Educación, vol.21, 1989, p 19-26. ZORZAL, E. R.; BUCCIOLI, A. A. B. e KIRNER, C. Usando Realidade Aumentada no Desenvolvimento de Quebra-cabeças Educacionais. In: SVR2006 - VII Symposium on Virtual Reality, Porto Alegre - Sociedade Brasileira de Computação - SBC, 2006, p. 221-232. SANTOS, G. S. A. Utilização de jogos no ensino matemático: Os objetivos, os valores e as mudanças do ensino da matemática, UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Paulo, 2006, p. 1-5. http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/matematica/cubo.php http://www.jogosboole.com.br/logica_mostra.asp?id=1 http://www.geocities.com/mzmikola/jogos/soma/soma.htm http://super.abril.com.br/superarquivo/1992/conteudo_113263.shtml

http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM

http://www.espacociencia.pe.gov.br/areas/matematica/cubo.php

http://www.jogosboole.com.br/logica_mostra.asp?id=1

http://www.geocities.com/mzmikola/jogos/soma/soma.htm

http://super.abril.com.br/superarquivo/1992/conteudo_113263.shtml

O Jogo Kakuro: Uma Proposta de Auxílio no Aprendizado de Matemática

The Kakuro Puzzle: A Proposal of Assistance in Learning of Mathematics

Aline Jardim da Silva, Alessandra Bonato Altran, Mara Lúcia Martins Lopes, Dalva Maria de Oliveira Villarreal

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em

Matemática, [email protected]

Palavras chaves: Raciocínio Lógico; Kakuro; Ensino. Keywords: Logical Reasoning, Kakuro, Learning. INTRODUÇÃO O crescente desinteresse no ensino, principalmente na área de matemática, faz com que o educador se comprometa em pesquisar novas técnicas de aprendizado. Portanto, fazer com que os alunos sintam vontade de aprender e prazer de realizar a tarefa proposta, vêm sendo nos dias de hoje, um grande desafio. O professor tem então, a função não apenas de transmitir o conhecimento, mas de fazer com que ele seja inteiramente absorvido pelo aluno de forma concreta. Essa tarefa não é fácil, já que para que esta etapa seja realizada ocorre à necessidade de se quebrar barreiras e tabus. Uma proposta é introduzir, em sala de aula, a técnica de abordar os problemas através de jogos lúdicos. Eles permitem o desenvolvimento de formas diferentes de pensar e agir, induzindo os alunos a terem incentivo, comunicação, questionamento, raciocínio lógico, inferência, reflexão e exploração. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, composto por alunos do curso de Licenciatura em Matemática, da UNESP de Ilha Solteira, se fundamenta no desenvolvimento da aprendizagem matemática através de jogos lúdicos. O objetivo é fazer com que os alunos ingressantes tenham um convívio direto com os alunos do ensino fundamental, para que possam identificar e solucionar as dificuldades que estes encontram com relação à matemática. Um dos jogos abordados pelo grupo foi o jogo Kakuro, que é um jogo que estimula muito a lógica matemática. O jogo possui uma malha de linhas e colunas, porém, dispostas de forma diferente do jogo Sudoku. Existem algumas semelhanças entre o Sudoku e o Kakuro, porém, o que os torna diferentes é que o Sudoku se baseia em combinação dos elementos e o Kakuro realiza operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação ou divisão) de seus elementos. A ORIGEM DO KAKURO

O jogo Kakuro teve sua criação no Japão, todavia sua propagação se deu nos Estados Unidos da América e na Inglaterra, na década de 90, sendo assim conhecido na língua inglesa por Cross Sums que significa “Somas Cruzadas”.

O Kakuro é um desafio aliciante para quem aprecia Sudoku. Joga-se igualmente com números, de 1 a 9, e também não é necessário ser um gênio matemático para saber resolver estes puzzles (quebra-cabeça). Apenas requer perícia, prática e muita paciência. Os puzzles de Kakuro apareceram pela primeira vez, na Inglaterra, no Outono de 2005.


REGRAS BÁSICAS DO JOGO O objetivo principal do Kakuro é completar os espaços com números de 1 a 9, sem repeti-los, de tal forma que o resultado da operação matemática desenvolvida, tanto na horizontal, quanto na vertical, seja igual ao valor desejado. O Kakuro convencional aborda apenas, em sua concepção, o desenvolvimento aritmético da adição. Porém, pode-se ter uma diversificação nesta abordagem, no qual, as operações realizadas podem ser: adição, subtração, multiplicação e divisão. Existem Kakuros que abordam apenas uma das operações e Kakuros que abordam mais de uma operação, por exemplo: adição e multiplicação. Tem-se que esse jogo, além de desenvolver o raciocínio lógico, faz com que o aluno comece a ter uma maior intimidade com as operações aritméticas. Dessa forma, o que para o aluno é um trabalho difícil e desgastante, agora, através do Kakuro, se torna mais prazeroso. O Kakuro oferece diversos níveis de complexidade, desta forma, ele proporciona aos alunos o crescimento e estimula o senso lógico conforme o aumento do grau de dificuldade dos níveis. COMO JOGAR O KAKURO

O tipo de jogo Kakuro padrão é jogado em uma grelha composta de células não preenchidas - “pretas e brancas”, respectivamente – geralmente no tamanho 16×16, mas podem variar muito deste formato.

A grelha, assim como nas palavras cruzadas, é dividida em entradas – linhas ortogonais de células brancas – e células pretas. As células pretas não são inteiramente sólidas, elas contém um traço diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito e um número em cada uma das metades, de tal maneira que cada entrada horizontal tem o seu número correspondente na metade da célula preta posicionada imediatamente a sua esquerda, e cada entrada vertical tem o seu número na metade da célula preta posicionada imediatamente acima. Estes números, continuando a utilizar a terminologia das palavras cruzadas, são chamados de dicas.

O objetivo do passatempo é colocar números de 1 a 9 em cada uma das células brancas, de tal maneira que a soma de todos os números em cada entrada seja igual ao número da dica associada a ela e que nenhum número esteja duplicado em cada entrada. E é esta restrição aos números duplicados que faz com que os Kakuros sejam criados com uma única solução possível. A Figura 1 ilustra um Kakuro com suas respectivas regras.

Figura 1 - Exemplo da resolução de um Kakuro.

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS Os alunos do Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos usufruíram do prazer de apreciar as experiências inesquecíveis vividas dentro da sala de aula. O material utilizado nas apresentações do Kakuro nas escolas foi confeccionado pelo próprio grupo, em diversos tipos e níveis como mostra a Figura 2. Para a preparação do Kakuro utilizou-se pincel atônico, isopor, EVA, etc.

Figura 2 - Kakuros confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.

Inicialmente, os alunos foram convidados pela Escola Municipal de Educação Infantil e Ensino Fundamental Selvíria “Prof. Nelson Duarte Rocha”. O Kakuro foi desenvolvido no quarto e sexto anos do ensino fundamental. O intuito era contagiar as crianças mostrando a elas a matemática através do jogo Kakuro, desta forma, a matemática seria vista de forma mais divertida e prazerosa. A Figura 3 mostra essa atividade.

Figura 3 - Apresentação do Kakuro na Escola Prof. Nelson Duarte Rocha - Selvíria.

O jogo Kakuro pode ser feito em níveis mais acessíveis a alunos de todas as idades. Portanto, pode-se explorar o jogo com crianças desde a pré-escola e primeira série, Kakuro de cores - que possui a mesma linha de pensamento, no entanto, terá como elementos cores para seu preenchimento, até as séries mais adiantadas, variando assim, o grau de complexidade conforme o seu desenvolvimento. A segunda experiência vivida pelo grupo foi no colégio Anglo de Ilha Solteira, onde puderam expor todos os jogos desenvolvidos por eles para os pais, alunos e funcionários do colégio, ilustrada pela Figura 4.

Figura 4 - Apresentação do Kakuro no Colégio Anglo - Ilha Solteira.

Com a propagação dos bons frutos das apresentações e do trabalho desempenhado pelo grupo estão surgindo inúmeros convites para explanação dos jogos em escolas de outros municípios a fim de auxiliar o ensino da matemática. A fundamentação do ensino de matemática através de jogos lúdicos como o Kakuro favorece em demasia, pois, é possível trabalhar sem restrições, levar o jogo a diferentes idades, culturas, intelectualidades, pensamentos e costumes.

CONCLUSÃO Com base em idéias de Vygotsky, é possível definir os jogos lúdicos como instrumentos auxiliares do saber na escola. Pode-se tomar o jogo não como referência, mas como auxílio proeminente para aprendizagem dos menores educando. Desde muito tempo, sabe-se que uma grande parcela dos alunos rejeita a disciplina de matemática, e cabe aos educadores lutar pela melhoria da aprendizagem. É evidente, que as formas alternativas de propor aprendizado vêm se destacando, e uma delas é o tratamento da matemática através de jogos lúdicos. A meta primordial considerada foi levar o jogo Kakuro para a sala de aula, e esta se mostrou um procedimento de extrema importância. É bom lembrar que a forma lúdica do aprendizado da matemática através do jogo Kakuro propicia ao aprendiz, além da fundamentação teórica das operações aritméticas, o seu emprego na prática, sendo esta associação essencial, sem falar que utilizar um jogo lúdico com o nível do jogo Kakuro, exercitará o cérebro do jogador. Os resultados apontam as diferenças expressivas tornando possível apresentar aos alunos o conteúdo teórico, onde será feita a análise, a abordagem e o entendimento da matéria com o auxílio do jogo Kakuro. O emprego do jogo Kakuro na prática permite ao educando uma visão palpável da matéria transmitida. Essa associação vem a ser vital para a saúde mental do aluno e preparação psicológica do professor, pois, o retorno virá com o prazer do aprender e a gratificação do docente por ter sua missão cumprida. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS PEREIRA, A. M. Resolução de Problemas - “Batalha Final”, Projeto Teia do Saber, Programa de Formação Continuada de Professores, UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, São Paulo, 2006. MELLO, V. M. C. e SANTOS, M. L. S. F. S. Jogos Lógicos, Projeto Teia do Saber, Programa de Formação Continuada de Professores, UNESP – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, São Paulo, 2006. CARDOSO, M, A febre do Sudoku, Ciência Hoje, Ciência, Tecnologia e Empreendedorismo, 2006, p.1-2. LEAL, R. A matemática virou POP: Por que o Sudoku - e suas variantes - causa tamanha fascinação, Revista Época, edição No. 410, 2006, p. 1-3. http://rachacuca.com.br/kakuro/como-jogar/ http://pt.wikipedia.org/wiki/Kakuro

http://rachacuca.com.br/kakuro/como-jogar/


Atividades Matemáticas Envolvendo Jogos – O Quadrado Mágico como Recurso no Complemento da Aprendizagem

Mathematical Activities Involving Games - The Magical Square as Resource in the

Complement of the Learning

Tiago Henrique Pereira da Silva, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins Lopes



Palavras chaves: Matemática; Ensino; Jogos. Keywords: Mathematics, Learning, Games. INTRODUÇÃO

O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – UNESP tem sugerido, através de apresentações nas escolas, a inserção de atividades lúdicas, através da utilização de jogos matemáticos, em sala de aula. O objetivo é fazer com que a matemática seja transmitida de uma maneira que proporcione maior aceitação, aumentando o aproveitamento dos alunos, tornando o ensino mais prazeroso.

Dentre os jogos escolhidos está o Quadrado Mágico, que consiste de uma matriz numérica quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Este jogo foi utilizado para despertar o interesse dos alunos pela matemática, uma disciplina que, na maioria das vezes, é tida como tediosa e sem aplicações no cotidiano. Assim, a complementação do conteúdo programático com a utilização de materiais lúdicos, propicia o desenvolvimento do raciocínio lógico e o cálculo mental.

Até o presente momento, a atividade foi realizada somente em turmas do Ciclo I do Ensino Fundamental. Há a pretensão se estender a todos os níveis de educação, visando trabalhar os conteúdos programáticos, em que sejam possíveis a abordagem com o Quadrado Mágico, unindo a matemática convencional à atividade lúdica. DEFINIÇÃO DE QUADRADO MÁGICO

O Quadrado Mágico consiste em uma matriz numérica quadrada, em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas. Pode-se dizer, ainda, que um Quadrado Mágico é um arranjo de números que vai de 1 até n2, numa matriz n x n, em que, cada número ocorre apenas uma vez, e este arranjo é tal que a soma dos números existentes em uma linha deve ser igual à soma dos números existentes em qualquer coluna, como também em qualquer uma das diagonais (principal e secundária). Por exemplo, o quadrado mágico de ordem 3 é formado pelos nove dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três linhas e três colunas, sendo que as somas são constantes e iguais a 15, sendo este valor denominado como “constante mágica”, como mostra a Figura 1.


Figura 1 - Quadrado Mágico de ordem 3.

CONSTRUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS

As construções do Quadrado Mágico começam a partir do quadrado de ordem 3. Os Quadrados de ordem 1 ou 2 são inexistentes para a maioria dos estudiosos da matemática, ou seja, não o aceitam como sendo um Quadrado Mágico válido, pois, nem sequer é possível pensar em soma, nesses casos. O Quadrado de ordem 1, segundo Cornélio Agripa (1486-1535), que era médico e matemático, simbolizava a eternidade.

É fácil verificar a inexistência do Quadrado Mágico de ordem 2 através da prática, pois, é impossível encontrar números distintos que preencham as condições impostas para sua existência. Segundo Cornélio Agripa, o Quadrado de ordem 2, com quatro elementos, não poderia existir, pois, esse quadrado iria simbolizar o mundo material com os quatro elementos, ar, terra, fogo e água, e pelas imperfeições desses elementos, o Quadrado Mágico não poderia ter constante certa. Assim, a construção dos Quadrados Mágicos se inicia pelo de ordem 3.

Ao construir os Quadrados Mágicos, verifica-se que existe um mecanismo válido para todos de ordem ímpar e uma técnica que vale para o Quadrado Mágico de ordem quatro e seus múltiplos (8, 12, 16, 20, 24, e assim por diante). No entanto, até hoje não se sabe um mecanismo “preciso” para construir Quadrados Mágicos de ordem 6 + 4r (com r sendo um número natural).

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE Para realização da atividade da utilização do Quadrado Mágico em sala de aula, foram

confeccionados um Quadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4 utilizando isopor, E.V.A., cartolinas coloridas e percevejos (taxinhas), para agilizar o andamento da atividade. Além disso, nas atividades realizadas nas escolas, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para os alunos preencherem. A Figura 2 mostra os Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos.

Figura 2 - Quadrados Mágicos confeccionados pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos.

A apresentação dos jogos foi realizada em duas escolas da cidade de Ilha Solteira e em uma escola da cidade de Selvíria (MS), através de aulas teórico-expositivas, registradas através das figuras abaixo indicada pela Figura 3.

Figura 3 – Apresentação do Quadrado Mágico nas escolas.

A construção proposta aos alunos ocorreu da forma mais simples possível, salientando que, nas

séries em que se encontram, não possuem a estrutura cognitiva suficiente para entender conceitos que costumam ser vistos somente no Ensino Médio. Logo, os conceitos matemáticos foram abordados de forma acessível a todos, de forma que a atividade, lúdica, fosse um instrumento complementar no ensino de matemática. RESULTADOS

Foi possível notar que a atividade realizada despertou grande curiosidade nas crianças, contribuindo para o aprendizado de matemática. Percebeu-se que os professores, mesmo possuindo o conhecimento dos jogos, ficam inseguros com o novo método que acaba tornando a aula mais dinâmica e atrativa, otimizando a aprendizagem.

Os alunos, sem perceber, tiveram contato e trabalharam com rigor as relações matemáticas presentes no Quadrado Mágico. Entre elas, ficou claro que:

• A soma dos números existentes no Quadrado Mágico de ordem n, dividida pela ordem do

Quadrado Mágico, corresponde à constante mágica; • O termo central do Quadrado de ordem ímpar, sempre assumirá o valor correspondente à

divisão entre a constante mágica encontrada e a ordem do Quadrado Mágico; • Existem (n²)! possibilidades de dispor os números em um Quadrado Mágico de ordem n.

No Quadrado de ordem 3, é possível notar que, ao montar combinações sem repetição de 3

elementos diferentes, somando 15 (constante mágica), o termo central está presente em 4 das 8 combinações possíveis, cada um dos termos angulares está presentes em 3 combinações (linha, coluna e diagonal) e, cada termo lateral, presente em 2 combinações.

Já no Quadrado Mágico de ordem 4, é possível notar que, ao subdividi-lo em 4 quadrados pequenos, a soma dos 4 números presentes em cada um dos “novos” quadrados é sempre igual à “constante mágica” (neste caso 34).

A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática mostrando que é possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças. Basta utilizar formas alternativas

como ferramentas complementares ao ensino tradicional, levando ao desenvolvimento da aprendizagem.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYER, Carl Benjamin – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, São Paulo, Edgar Blücher, 1974; http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19 (acesso em 28/07/2008); http://www.matematica.com.br/variedades/curiosidades/quadrado_magico.php (acesso em 28/07/2008); http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/racioci/ativ1.html (acesso em 28/07/2008); http://www.testonline.com.br/qmag.htm (acesso em 28/07/2008); http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.htm (acesso em 28/07/2008); http://correcotia.com/heroi/quadmag.htm (acesso em 28/07/2008); http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19 (acesso em 28/07/2008); http://galileu.globo.com/edic/89/desafio1.htm (acesso em 28/07/2008); http://opensadorselvagem.org/blog/mathematikando/a-logica-do-quadrado-magico/ (acesso em 28/07/2008); http://www.genealogy.com/users/d/e/f/Antonio-D-De-figueiredo/FILE/0011page.html (acesso em 28/07/2008);

http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19

http://www.matematica.com.br/variedades/curiosidades/quadrado_magico.php

http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/racioci/ativ1.html

http://www.testonline.com.br/qmag.htm

http://galileu.globo.com/edic/92/desafio1.htm

http://correcotia.com/heroi/quadmag.htm

http://www.jogosboole.com.br/tutoriais_mostra.asp?id=19

http://galileu.globo.com/edic/89/desafio1.htm

http://opensadorselvagem.org/blog/mathematikando/a-logica-do-quadrado-magico/

http://www.genealogy.com/users/d/e/f/Antonio-D-De-figueiredo/FILE/0011page.html

Sudoku: Uma Alternativa no Ensino e Aprendizagem de Matemática

Sudoku: An Alternative in Teaching and Learning Mathematics

Vinicius Arthur dos Santos Guissi, Alessandra Bonato Altran, Mara Lúcia Martins Lopes, Dalva Maria de Oliveira Villarreal


Matemática, [email protected] Palavras chaves: Sudoku; Ensino; Matemática. Keywords: Sudoku, Learning, Mathematics. INTRODUÇÃO

Por motivos preocupantes estudos e pesquisas vêm sendo realizadas na intenção de identificar diversas outras maneiras de abordar a matemática de uma maneira menos assustadora e mais prazerosa. Os jogos matemáticos são atividades lúdicas que fazem com que os alunos tenham a oportunidade de interagir com o meio do qual eles estão sendo desafiados a resolver os mais variados problemas.

Piaget e Vygotsky afirmam em sua teoria, sobre a construção do conhecimento, que a melhor forma dessa aquisição é através da execução de atividades que estimulam o “ser” a buscar respostas para suas dúvidas. E isso faz com que haja uma interação com o meio tornando-os ativos na construção do próprio conhecimento.

A utilização de jogos instiga os alunos a buscarem, com maior interesse e empenho, a resolução e compreensão dos problemas propostos, proporcionando um maior estímulo para a aprendizagem, tornando o ambiente propício para o ensino e estudo de matemática. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos foi criado com a intenção de tornar a matemática uma disciplina mais aceitável e prazerosa gerando melhores resultados. No intuito de possibilitar o desenvolvimento desta proposta utilizou-se o jogo Sudoku como uma técnica alternativa na aprendizagem da Matemática. OBJETIVOS

O Grupo de Estudos sobre Jogos Matemáticos tem como metas dinamizar e diversificar o ensino de matemática, mostrando aos professores novas formas de se trabalhar conteúdos em sala de aula. Através desse dinamismo espera-se conquistar e aumentar o interesse dos discentes pela disciplina e seus conteúdos. Espera-se também, estimular o raciocínio lógico, memória e a capacidade de manipular informações para que decisões corretas sejam tomadas em espaços de tempo cada vez menores. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O Sudoku é composto de uma matriz de números sendo que, apenas algumas dessas posições contêm números. O desafio do jogo é preencher o restante da matriz de forma que toda linha, coluna, ou bloco contenha um e apenas um número de cada. Deve-se preencher todas as células (posições) da grade (matriz) com números que variam de 1 até n, sendo n igual a dimensão da grade. Exemplos:


• Uma grade 4x4, no qual se devem utilizar números de 1 a 4 (Figura 1);

Figura 1 - Sudoku 4x4.

• Uma grade 9x9 é utilizado números de 1 a 9 (Figura 2).

Figura 2 - Sudoku 9x9.

Existem duas técnicas para a resolução do Sudoku. A primeira técnica é Tentativa e erro

que se trata de um método pouco eficaz e muito demorado, pois como o próprio nome diz ir tentando e apagando a cada erro cometido além de atrasar na resolução não sem tem uma exatidão de onde os números devem ser colocados.

A segunda técnica é “Varredura” que consiste em “varrer” todas as possibilidades de um número poder ou não ocupar um determinado local na grade. Essa “varredura” é feita seguindo as regras do jogo e uma dica para os iniciantes seria começar essa análise com os números que estão em maior quantidade. A Figura 3 mostra essa técnica.

Figura 3 - Método da Varredura.

ATIVIDADE DESENVOLVIDA Devido o fato de, o jogo ter sido apresentado em diferentes níveis escolares, tanto nas

escolas de ensino fundamental, como na própria universidade, o grupo teve a necessidade de utilizar níveis de dificuldades diferentes, e também modificar algumas apresentações, buscando variações para o jogo Sudoku. Uma dessas variações foi a substituição dos números por figuras coloridas, chamando mais a atenção e despertando um maior interesse nas séries mais infantis. Esse Sudoku pode ser visto através da Figura 4.

Figura 4 - Sudoku de Bolinhas Coloridas.

Existem outros Sudokus alternativos, uma possibilidade é substituir os números por letras

(Figura 5), ou ainda, por e muitos outros objetos sem perder suas características e eficiência.

Figura 5 - Sudoku de Letras.

Foram realizadas diversas apresentações envolvendo o jogo Sudoku, que envolveu alunos de

todos os níveis de ensino, além de pais e professores. Alguns registros dessas atividades podem ser vistos através da Figura 6.

Figura 6 - Apresentações do Jogo Sudoku nas atividades desenvolvidas.

RESULTADOS

Após todas as experiências, o grupo pôde perceber que todos os objetivos propostos foram alcançados com êxito. O jogo foi muito bem aceito por todos os alunos, cuja disposição e curiosidade em resolver os jogos dados, os impulsionaram a um maior interesse por aprender matemática e tratá-la de uma maneira natural. Pôde-se perceber também, que as decisões eram tomadas cada vez mais rápidas conforme o aumento na interatividade entre discentes e os jogos. DISCUSSÃO

A educação, de maneira geral, vem passando por períodos difíceis, onde é cada vez mais

comum ver professores se queixarem da falta de interesse e comprometimento dos alunos e a facilidade com que os mesmos se dispersam em sala de aula. Para os professores de matemática a situação é um pouco pior já que, na grande maioria das escolas, a média dos alunos nessa disciplina fica entre as piores de toda a grade escolar.

Em busca de reverter essa situação são pesquisadas diversas formas alternativas, sendo uma delas a utilização de jogos no ensino, não só de matemática, mas em diversas outras áreas. Apesar de pesquisas e outras atividades que tiveram jogos como ferramenta se mostrarem bastantes eficazes, ainda há certo receio e preconceito por parte de pais, e até mesmo de profissionais da área, que ainda vêem jogos como uma simples forma de diversão e não percebem os muitos benefícios no aprendizado gerado por “simples brincadeiras”. CONCLUSÃO

Diante do cumprimento de todas as atividades propostas, que se mostraram muito produtivas, e diante das pesquisas comprovaram a eficiência do uso de atividades lúdicas para a construção de conhecimento em qualquer área e para qualquer idade. Desta forma, espera-se implantá-la de uma maneira mais sólida no ensino, acarretando aulas mais dinâmicas, tornando o estudo e aprendizagem de matemática mais prazerosa com resultados cada vez melhores e conseqüentemente, através destes, melhores resultados na educação. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RUIZ, D. Jogos Pedagógicos Matemáticos, São Paulo: UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo, 2006. p. 1-4. SEBBEN, N; GUEDES, A. L; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para a Terceira Idade, Vi simpósio brasileiro de jogos para computador e entretenimento digital PP. 1-4, 2007 NINA, C. Um Olhar Matemático Para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, Comunicação Cientifica, 18 a 21 Julho - Belo Horizonte, 2007, p. 1-9. BÖGER, D. S; BODEMÜLER, R; KOHLER, J. G. Implementação de métodos de busca: Solução do Sudoku, 2006, p. 1-3. DAVIS, T. The Mathematics of Sudoku, 2007, p. 1-34. http://www.geometer.org/mathcircles www.centrorefeducacional.com.br/piaget.html www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.html http://acorngamez.blog.com/2007/6/ www.sudoku-gratuit.fr/en/grids-sudoku-4x4-9x9-16x16.htm

http://www.geometer.org/mathcircles


http://www.centrorefeducacional.com.br/vygotsky.html

http://acorngamez.blog.com/2007/6/

http://www.sudoku-gratuit.fr/en/grids-sudoku-4x4-9x9-16x16.htm

Matemática Lúdica: O Jogo Tangram

Playful Mathematics: The Tangram Game

Nathália Mantovanelli Bevilaqua, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins Lopes

Universidade Estadual Paulista“Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Licenciatura em


Palavras Chaves: JogoTangram; Desenvolvimento; Lógica-Matemática. Keywords: Tangram,Game, Development, Mathematical Logic. INTRODUÇÃO A Matemática ainda não conseguiu se desvencilhar do estigma de “bicho de sete cabeças”, de monstruosidade, ou mesmo, da sua superioridade e, para não acontecer o “divórcio” dos alunos com a matemática, os professores estão tentando trazer cada vez mais para dentro da sala de aula, atividades extracurriculares que ajudem na motivação do aprendizado. Uma dessas atividades são os jogos matemáticos como o Tangram, Sudoku, Kakuro, Torre de Hanói, Cubo Soma, entre outros. O objetivo deste trabalho é a apresentação do jogo Tangram, bem como sua funcionalidade, vantagens de utilização, habilidades de comunicação e formulação de hipótese. LENDAS DO TANGRAM A seguir, serão apresentadas algumas lendas sobre o surgimento do Tangram. Uma das lendas conta que um jovem discípulo chinês despedia-se de seu mestre para fazer uma grande vigem pelo mundo afora, o mestre lhe entregou um espelho quadrado e disse para registrar naquele espelho tudo que ele visse durante a viagem, o jovem ficou sem entender como seria possível guardar alguma coisa com um simples espelho; antes de sair para sua viagem o discípulo deixou cair o espelho no chão e o espelho se partiu em sete pedaços, então, o mestre lhe falou que com aqueles cacos ele poderia montar figuras para ilustrar tudo que ele visse durante a viagem. Outra lenda conta que um mensageiro estava levando uma pedra muito preciosa quadrada ao seu imperador e, no meio do caminho, ele a derrubou e a pedra se partiu em sete pedaços, o mensageiro não conseguiu remontar a pedra, enquanto ele tentava, ele viu que era possível formar várias figuras diferentes, como plantas, animais, pessoas, letras, números, etc... A lenda mais famosa, mencionada no resumo, conta que um dia na China, o imperador Tan partiu seu espelho, quando deixou-o cair no chão, apesar de aborrecido com a perda do espelho, Tan achou um jeito de se distrair e passar seu tempo construindo figuras com os cacos. A primeira publicação cujo registro data de 1813, foi de um livro que foram recuperadas muitas figuras feitas com o Tangram, mas tudo indica que o Tangram é muito mais antigo, Sam Lloyd (um especialista americano), dizia que o jogo já tinha sido criado há mais de 4000 anos pelo imperador Tan. O JOGO E SUA ORIGEM Consta na literatura que o Tangram é de origem chinesa; ele é formado por sete peças, sendo elas, dois triângulos isósceles grandes, dois triângulos isósceles pequenos; um triângulo isóscele médio; um quadrado e um paralelogramo, e quando montando corretamente na sua forma original forma-se um quadrado como mostra a Figura 1.



As peças podem ser chamadas de Tans e com essas peças é possível montar mais de 1700

figuras diferentes. Há 130 atrás, na China, uma mulher (a qual seu nome é desconhecido), escreveu uma enciclopédia, que é composta por 6 volumes e contém mais de 1700 problemas. Na Figura 2 é possível, ver algumas aplicações do Tangram.

Figura 2 - Exemplos de Aplicações do Tangram.

A Figura 3 é um exemplo muito interessante, são as mesas de madeiras que, juntas e

posicionadas corretamente, formam um Tangram. As mesmas foram descobertas na China que datam o século XIX.

Figura 3 - Tangram feito por Mesas de Madeira.

REFERÊNCIA MAIS ANTIGA E SEU NOME A referência mais antiga que existe, é de um painel de madeira, de 1780, de Utamaro, com a imagem de duas senhoras chinesas resolvendo um Tangram, em chinês é escrito ch i ch iaô tu, que significa “Quadrado Mágico”, “Tabela da Sabedoria”, “Tabela da Sagacidade”, “As 7 Peças Inteligentes” ou “As 7 Tábuas da Sabedoria”. Atualmente, o jogo é muito utilizado em todo o mundo, principalmente por professores, portanto têm surgido várias lendas diferentes, mas todas concordam que sua origem é chinesa. AS REGRAS DO JOGO O jogo é provido de duas regras: 1ª regra: Usar todas as peças; 2ª regra: Não sobrepor uma sobre a outra. VARIAÇÕES DO TANGRAM Nas figuras abaixo (Figura 4) é possível observar alguns dos Tangrans que surgiram a partir do Tangram clássico. Através da construção do Tangram Pitagórico, pode-se concluir que, num triangulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a² = b² + c². Com o passar do tempo foram surgindo vários outros modelos de Tangram, como Pentagonal, Cardiotangram, Oval, Retangular, Circular, Russo, Triangular, Quatro peças e Cinco peças.


CONTRIBUIÇÕES PEDAGÓGICAS Os jogos servem como instrumentos para exercitar e estimular o aluno a desenvolver seu conhecimento. Na Matemática pode ser introduzida a geometria, de maneira mais adequada, através da exposição de sólidos geométricos e da montagem do Tangram. A atividade lúdica incentiva a realização de experiências inteligentes e propicia a aquisição de conhecimento, permite a conquista

cognitiva, emocional, moral e social para o aluno, consiste um estímulo para o desenvolvimento da competência matemática e da criatividade.

Os educadores poderiam explorar mais os jogos lúdicos, pois, é uma maneira gostosa de aprender e, ao mesmo tempo em que aprende o aluno também se diverte. O professor também pode aperfeiçoar várias capacidades dos alunos, como identificação de formas geométricas planas, através de cores, formas, comparação, descrição, classificação e transformações geométricas, através de composição e decomposição de figuras, compreensão das propriedades das figuras geométricas planas, representação e resolução de problemas utilizando modelos geométricos, noções de área e frações.

O Tangram também proporciona a obtenção de algumas habilidades importantes para a aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como, visualização, diferenciação, percepção espacial, análise, síntese, desenho, escrita e construção. O Tangram não exige nenhuma habilidade de quem pratica e pode ser utilizado com alunos de vários níveis, dependendo dos objetivos a serem alcançados. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LEE, Roger. Tangram. Editora Isis. KALEFF, Ana Maria; Monteiro Rei; Dulce; Garcia; Simone dos Santos. Quebra-cabeças Geométricos e formas planas. Editora da Universidade Federal Fluminese – Niterói, Rio de Janeiro: 2002. TOLEDO, Marília e Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo, São Paulo: FTD, 1997. CONWAY, J.H, On Numbers And Games, Academic Press, Nova Iorque: 1979. GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos. Tradução de Bruno Mazza. São Paulo: IRASA, 1967. Título original: Mathematical Diversions GERÔNIMO, J. R., Franco, V. S., Simetrias no Plano: uma abordagem geométrica e algébrica, 2002. KODAMA, H.Y, Silva, A. F. Poliminós, Interciência- Ciências Exatas, no. 2, p.95-102, 2004. LIMA, E. L. Isometrias, Coleção do Professor de Matemática, SBM: 1996. http://www.uco.es/ma1fegan/recursos-matematicos/Tangram.html http://www.cemicro.com.br/htmls/tangram.htm http://www.tangram.i-p.com/ http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate3z.htm http://www.geocities.com/tania1974pt/ http://www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.pdf http://www.edicoesgil.com.br/crianca http://www.cooldictionary.com/words/Tower_of_Hanoi.wikipedia http://www.matematica.br/programas/hanoi/

http://www.uco.es/ma1fegan/recursos-matematicos/Tangram.html

http://www.cemicro.com.br/htmls/tangram.htm

http://www.tangram.i-p.com/

http://www.redesc.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate3z.htm

http://www.geocities.com/tania1974pt/

http://www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.pdf

http://www.edicoesgil.com.br/crianca

http://www.cooldictionary.com/words/Tower_of_Hanoi.wikipedia

http://www.matematica.br/programas/hanoi/

O Uso da Torre de Hanói no Ensino da Matemática

The Use of the Tower of Hanoi in the Teaching of Mathematics

Edcarlos Lopes Ferreira dos Santos, Alessandra Bonato Altran, Dalva Maria de Oliveira Villarreal, Mara Lúcia Martins Lopes



Palavras chave: Torre de Hanói; Jogos Matemáticos; Ensino de Matemática. Keywords: Tower of Hanói, Mathematical Games, Teaching of Mathematics. INTRODUÇÃO

Um dos maiores desafios de um educador dentro da sala de aula é obter a atenção total de seus ouvintes e, para isso, utiliza-se de diversos métodos. Um deles é o uso de jogos lúdicos em sala de aula. A aplicação de jogos lúdicos no ensino de matemática já é uma realidade há algum tempo e a sua utilização dentro da sala de aula, torna mais fácil à comunicação entre alunos e o educador. A intenção, no entanto, não é transformar a escola em um grande parque de diversões, mas sim, aliar esse entretenimento com o ensino.

Entre os diversos jogos lúdicos que podem ser aplicados dentro da sala de aula destacamos a Torre de Hanói, que será apresentada no decorrer desse trabalho. OBJETIVO

Ao aliar jogos e ensino, o educador tem como objetivo principal a melhoria e a facilitação da aprendizagem, permitindo que alunos e professores interajam de maneira mais produtiva e agradável. A Torre de Hanói, em especifico, permite que o professor trabalhe em diferentes níveis de aprendizagem, desde o ensino infantil até o ensino superior, mudando-se, evidentemente, o enfoque dado em cada um desses níveis escolares. Em um nível inicial, a manipulação da Torre de Hanói pode ajudar na coordenação motora, no reconhecimento de formas e no conceito de ordem crescente e decrescente. Nessa fase o principal objetivo é familiarizar a criança com esse tipo de passatempo.

Já em um nível mais adiantado, a Torre de Hanói já pode ser usada visando à resolução desta, buscando estratégias de transferências e elaborando uma relação intuitiva entre o número de discos e o número mínimo de movimentos necessários para movê-los. Essa fase é muito importante para ajudar no desenvolvimento de um bom raciocínio indutivo. Em um nível superior, os conceitos já fixados nos níveis anteriores, podem se aliar a outros conceitos que ajudarão no estudo mais profundo do jogo. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A Torre de Hanói foi desenvolvida pelo matemático francês Edouard Lucas em 1883, e é um dos jogos matemáticos mais disseminados no mundo. Segundo a história, Edouard Lucas teria se inspirado em uma velha lenda indiana, segundo a qual o criador (Deus) havia construído uma torre (A torre de Bhrama), com três hastes de diamantes, sendo que, em uma delas, a chamada haste principal, havia 64 discos concêntricos de ouro e de tamanhos distintos, sobrepostos em ordem


decrescente em relação à base, ou seja, disco maior tocando a base. Foi ordenado aos sacerdotes dessa Torre, que transferissem esses 64 discos da haste principal para qualquer uma das outras duas hastes, obedecendo a três regras básicas:

1 - Movimentar um disco de cada vez; 2 - Nunca sobrepor a um dos discos um disco de maior diâmetro; 3 - Nunca colocar os discos em outro lugar que não fosse em uma das hastes.

Ainda diz a lenda que ao fim desse processo o mundo acabaria. E é nessa lenda que se baseia a Torre de Hanói. Ela é composta por três hastes nas quais são colocados n discos (n = 1, 2, 3, 4....) concêntricos e de tamanhos diferentes, alinhados de forma decrescente em relação a base, como mostra a Figura 1.

Figura 1 - Torre de Hanói de cinco, seis e oito discos, respectivamente.

O objetivo do jogo é transferir os discos da haste principal para outra haste (qualquer uma

das outras), seguindo as mesmas regras da lenda, acima mencionada, utilizando o menor número possível de movimentos. A relação de números de movimentos possíveis pode ser calculada da seguinte maneira

M(n) = 2n - 1

sendo n = o número de discos em uso; M(n) = o número de movimentos necessários para mover esses n discos.

A grande questão da Torre de Hanói está em desenvolver um método de resolução que utilize o menor numero de movimentos, e encontrar umas formula que dado o número de discos atribua um número mínimo de movimentos ( M(n) = 2n – 1 ). Não é de grande dificuldade encontrar uma relação entre o número de discos e o número mínimo de movimentos para transferi-los, vejamos:

• Nota-se que para movimentar um número k de discos, usamos o dobro acrescido de uma unidade, de movimentos utilizados para mover k-1 discos, ou seja:

M(k)=2 x M(k-1) + 1

• Basta imaginar uma Torre com k discos sendo que os k-1 discos formam uma “sub-torre” uniforme, e o k-ésimo disco é o disco da base (disco maior), como mostra a Figura 2.

Figura 2 - Resolução da Torre, passo 1.

• Para movimentar o k-ésimo disco deve-se, inicialmente, mover os k-1 discos para outra

haste, utilizando para isso M(k-1) movimentos (Figura 3).


• Em seguida, com 1 (um) movimento transfere-se o k-ésimo disco para a outra haste vazia

como ilustra a Figura 4.


• Finalmente, move-se a “sub-torre”, com k-1 discos, para a haste onde se encontra o k-ésimo

disco, como mostra a Figura 5.


• Utilizando para isso M(k-1) movimentos, ou seja:

M(k) = 2 x M (k-1) + 1

• Obtêm-se assim, uma relação que para cada número k de discos, expressa o número mínimo

de movimentos M(k), baseado no número mínimo de movimentos utilizados para transferir k-1 discos.

Mas esta fórmula não é facilmente manipulável para um número muito grande de discos, para isso, é necessária uma fórmula que não dependa do número de movimentos anteriores. Sendo M(n) o número mínimo de movimentos necessários pra transferir n discos de uma haste para a outra, tem-se que M(n) é “quase” 2 x M(n-1).

Seja: A(n) = M(n) + 1, e A(n) = 2 x A (n-1)

Então: A(n) = 2 x A(n-1) = 2 x [2 x A(n-2)] = 2² x A(n-2) = 2² x 2 x A(n-3) = 2³ x A(n-3) = ... = 2n-1 x A(1) Como A(1) = M(1) + 1, então, A (1) = 1 + 1 = 2. Assim:

A(n) = 2n-1 x 2 => A(n) = 2n

E, como:

A(n) = M(n) + 1=> 2n = M(n) + 1 => M(n) = 2n – 1 Assim, é possível comprovar a validade da relação:

M(n) = 2n – 1 DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADE A Torre de Hanói foi parte integrante das apresentações realizadas pelo Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, da UNESP de Ilha Solteira, durante os anos de 2006, 2007 e 2008. Foram realizadas várias apresentações. Em tais apresentações foi possível deixar o participante em contato direto com a Torre de Hanói. Algumas dessas atividades podem ser vistas através da Figura 6.

Figura 6 - Atividades realizadas envolvendo a Torre de Hanói.

Todas as atividades que envolviam a Torre de Hanói tiveram caráter expositivo, o que possibilitou a participação de estudantes de todos os níveis de ensino, além de pais e professores. CONCLUSÃO A utilização de jogos no ensino de matemática, já é uma realidade há algum tempo, e é inegável que o uso de métodos como esse, só vem a contribuir com o aprendizado, além de ser um excelente instrumento para contornar a aversão que alguns alunos têm pela matemática, possibilitando a interação entre aluno, professor e conhecimento. Logo, tem-se que os jogos lúdicos, contribuem para um aprendizado mais completo e prazeroso. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYER, Carl Benjamin – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, São Paulo, Edgar Blücher, 1974. BAIRRAL, M. e CARPI, A. Jogar e Desenvolver Competências em Matemática, Pátio Revista Pedagógica, Porto Alegre, n.24, 2002., p.32-35. http://bevilaqua.wordpress.com/2008/04/25/solucao-do-problema-da-torre-de-hanoi/ http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/minicursos/mc37.pdf www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.ps http://www2.mat.ua.pt/rosalia/cadeiras/ADA/THpaper.pdf http://www.dot-com-lliance.org/brazil/publicfiles/weeklyupdate/WeeklyUpdate031121- por.pdf http://www.ime.usp.br/ http://www.scielo.br/pdf/jbpsiq/v56n2/a10v56n2.pdf http://www.reniza.com/matematica/novidades/0210.htm

http://bevilaqua.wordpress.com/2008/04/25/solucao-do-problema-da-torre-de-hanoi/

http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/minicursos/mc37.pdf

http://www.obm.org.br/eureka/artigos/hanoi.ps

http://www2.mat.ua.pt/rosalia/cadeiras/ADA/THpaper.pdf

http://www.dot-com-lliance.org/brazil/publicfiles/weeklyupdate/WeeklyUpdate031121

http://www.ime.usp.br/

http://www.scielo.br/pdf/jbpsiq/v56n2/a10v56n2.pdf

http://www.reniza.com/matematica/novidades/0210.htm

“SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA USP –

SIICUSP”

São Paulo – SP

03 a 05 de Novembro de 2008

O Cubo Soma como Ferramenta na Aprendizagem de Matemática Jonatas Estevam Soares da Silva1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de

Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes1

1Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Faculdade de Engenharia de Ilha

Solteira, Departamento de Matemática

1. Objetivos

A falta de interesse e o desenvolvimento caótico em relação à aprendizagem do ensino da matemática geram preocupações e motiva os educadores a buscar uma forma lúdica e de fácil entendimento. Com este intuito foi levado a sala de aula o trabalho com jogos. O emprego de jogos no aprendizado de matemática é benéfico, pois, proporciona ao aprendiz, o desenvolvimento de seu raciocínio lógico, inovando e propiciando um aprendizado significativo.

2. Material e Métodos O Cubo Soma (Figura 1) é um quebra-cabeça criado em 1936 pelo poeta e matemático dinamarquês Piet Hein, e consiste em um conjunto de oito peças tridimensionais, formadas pela união de pequenos cubos, combinadas de forma a criar um cubo maior.

Figura 1: Cubo Soma.

A essas peças formadas pela união dos cubos, de forma irregular, dá-se o nome de policubos (Figura 2).

Figura 2: Policubos.

Existem 240 maneiras distintas de montar o Cubo Soma, além disso, suas peças também podem ser usadas para montar inúmeras formas tridimensionais como, por exemplo, poltronas, mesas e cadeiras, sem contar as rotações e reflexões, fatos estes que tornam a atividade com o Cubo Soma ainda mais divertida e desafiadora.

3. Resultados e Discussão

Ao levar o jogo Cubo Soma para dentro da sala de aula, percebeu-se que o mesmo pode ser trabalhado em qualquer série, desde que adaptado, propiciando o desenvolvimento do raciocínio lógico, a noção da operação de adição e combinação de números, entre outros.

4. Conclusões O trabalho com jogos é uma ótima alternativa educacional se utilizado de forma adequada e consciente, iniciando com a analise prévia do jogo, visando a conquista cognitiva, emocional, moral e social do indivíduo. Com as apresentações realizadas foi possível observar o grande interesse, por parte dos alunos, em aprender matemática de uma maneira lúdica, possibilitando um melhor aprendizado.

5. Referências Bibliográficas FERRARI, H., CARVALHO M.C.C.S. e FURTADO, P., Conhecendo o Cubo Soma, Anais do X Simpósio Multidisciplinar da USJT, 2004. SERRENTINO, R. H. e MOLINA, H. Arquitectura Nodular Basa em la Teoria de Policubos, Proceedings of the 6th Iberoamerican Congresso f Digital Graphics, Caras Venezuela, 2002, pp. 264-267. http://www.fam-fundgaard.dk/SOMA/SOMA

http://www.fam-fundgaard.dk/SOMA/SOMA

Jogos no Ensino de Matemática – O Quadrado Mágico como Recurso de Aprendizagem

Tiago Henrique Pereira da Silva1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de




1. Objetivos

O estudo e a aplicação do Quadrado Mágico nas escolas de Ensino Fundamental têm como principal meta fazer com que a matemática seja transmitida de uma maneira que proporcione maior aceitação, aumentando o aproveitamento dos alunos, tornando o ensino mais prazeroso. Este tipo de atividade possibilita ao aluno uma melhor representatividade de conceitos, principalmente no estudo de Matemática.

2. Material e Métodos O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos, da UNESP de Ilha Solteira, têm inserido a utilização de jogos em sala de aula, em escolas da rede de ensino pública e particular. Entre os jogos abordados está o Quadrado Mágico (Figura 1).

Figura 1: Quadrado Mágico (de ordem 3).

Para realização da atividade nas escolas, foram confeccionados um Quadrado Mágico de ordem 3 e outro de ordem 4. Além disso, foram distribuídos os Quadrados Mágicos em papel para os alunos preencherem (Figura 2).

Figura 2: Aplicação do Quadrado Mágico em sala de aula.

3. Resultados e Discussão A apresentação dos jogos despertou grande curiosidade nas crianças, contribuindo para o aprendizado de matemática. Percebeu-se, também, que os professores, mesmo possuindo o conhecimento dos jogos, ficam inseguros com o novo método que acaba tornando a aula mais dinâmica e atrativa, otimizando a aprendizagem. A atividade proporcionou uma nova concepção de educação matemática mostrando que é possível ensinar conceitos considerados “complexos” às crianças. Basta utilizar formas alternativas como ferramentas complementares ao ensino tradicional, levando ao desenvolvimento da aprendizagem.

4. Conclusões A utilização do Quadrado Mágico como ferramenta complementar no ensino de matemática foi muito bem aceita, modificando a realidade do ensino e despertando grande interesse por parte dos alunos, o que acarretou um maior rendimento destes em sala de aula. Conseqüentemente, essa modificação causou melhoria na educação como um todo.

5. Referências Bibliográficas BOYER, C. B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher, 1974. CARLSON, J. Magic Squares and Modular Arithmetic, Department of Mathematics, University of Utah, 2001, pp. 10. PASLES, P. C. Some Magic Squares of Distinction, Math Horizons, 2004, pp 10-12. XIN, G. Constructing all Magic Squares of Order Three, Department of Mathematics, Brandeis University, 2004, pp.1-7.

O Jogo Matemático Sudoku como Ferramenta Auxiliar para o Ensino e Aprendizagem de Matemática

Vinícius Arthur dos Santos Guissi1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de




1. Objetivos

A utilização dos jogos matemáticos em sala de aula é uma atividade lúdica, na qual o aluno tem a possibilidade de desenvolver estratégias, formular seu próprio conhecimento, entre outros benefícios. O Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos da UNESP de Ilha Solteira foi criado com o propósito de modificar o ensino de matemática através da inserção dos jogos matemáticos, neste caso, o Sudoku, como ferramenta complementar.

2. Material e Métodos O Sudoku é um jogo composto de uma matriz quadrada (nxn), contendo números pré-fixados em algumas posições (Figura 1). O desafio do jogo é preencher o restante da matriz de forma que, toda linha, coluna, ou bloco contenha números de 1 até n, sendo n igual a dimensão da grade, desde que todos os números sejam utilizados, sem que haja repetição.

Figura 1 - Sudoku.

Foram realizadas várias apresentações (Figura 2) e, como o público alvo era bastante heterogênio, houve a necessidade de diversificar o Sudoku tradicional, através da proposta de diversificação do tamanho das grades e inserção de figuras coloridas.

Figura 2 – Aplicação do Sudoku em sala de aula.


Observou-se que a utilização do Sudoku em sala de aula, torna o ambiente mais propício à aprendizagem de matemática, uma vez que os conceitos matemáticos transmitidos aos alunos são reforçados através da manipulação do jogo. Com isso, é possível fazer com que os conteúdos considerados de difícil assimilação, sejam absorvidos com mais facilidade, devido à forma agradável em que são colocados.

4. Conclusões Portanto espera-se que, com a comprovação da eficácia da utilização dos jogos matemáticos em sala de aula, seja abolido o receio por parte de alguns educadores, e que esta ferramenta seja usufruída constantemente, buscando sempre, a melhoria da educação como um todo.

5. Referências Bibliográficas SEBBEN, N.; GUEDES, A. L.; GUEDES, F. L. Desenvolvimento de Jogos para a Terceira Idade, VI Simpósio Brasileiro de Jogos para Computador e Entretenimento Digital, 2007, pp. 1-4. NINA, C. Um Olhar Matemático para o Jogo de Sudoku, IX ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, 18 a 21 Julho, Belo Horizonte, 2007. pp. 1-10.

O Jogo Tangram no Ensino de Matemática

Nathália Mantovanelli Bevilaqua1, Alessandra Bonato Altran1, Dalva Maria de Oliveira Villarreal1, Mara Lúcia Martins Lopes1



1. Objetivos

A utilização de jogos matemáticos em sala de aula é o principal alvo de estudo do Grupo de Estudo sobre Jogos Matemáticos da UNESP de Ilha Solteira. A utilização do jogo Tangram em sala de aula proporciona um melhor aprendizado, desenvolvendo, além das habilidades matemáticas, a aquisição de conhecimento em outras áreas, tais como, visualização, diferenciação, percepção espacial, análise, síntese, desenho, escrita e construção.

2. Material e Métodos

O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa, composto por sete peças decompostas de um quadrado (Figura 1).


Com as peças do Trangram é possível formar mais de 1700 figuras diferentes. A partir do Tangram, em sua forma clássica, surgiu o Tangram Pentagonal, o Cardiotangram, o Oval, o Retangular, o Circular, o Russo, o Triangular, o Quatro peças, o Cinco peças, entre outros (Figura 2).


Este jogo pode ser confeccionado a partir de uma folha de sulfite, através de dobraduras e recortes da folha, pode também ser feito de E.V.A., plástico, entre outros.


A manipulação do Tangram em sala de aula mostrou-se como uma atividade prazerosa, pois, culminou numa maior interação entre os alunos, despertando a curiosidade pela resolução do quebra-cabeça, além de estimular o reconhecimento geométrico das figuras e o cálculo, tanto da área quanto do perímetro, quebrando o tabu de que a matemática é um “bicho de sete cabeças”.

4. Conclusões

Através da utilização do Tangram comprova-se que, além de ser um jogo divertido, também é um ótimo material educativo, que possibilita ao professor, trabalhar melhor o conteúdo em sala de aula, e aos alunos, o entendimento de vários conceitos.

5. Referências Bibliográficas

GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos. Tradução de Bruno Mazza. São Paulo: Ibraza, 1998. GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S., Simetrias no Plano: Uma Abordagem Geométrica e Algébrica, 2002. LEE, R. Tangram. Editora Isis, LTDA, 2003 KALEFF, A. M.; MONTEIRO REI, D.; GARCIA, S. S. Quebra-cabeças Geométricos e Formas Planas. Editora da Universidade Federal Fluminense – Niterói/RJ, 2002. LIMA, E. L. Isometrias, Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1996.

Relatório de Atividades 2008

Documents

Transcript of Relatório de Atividades 2008