1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ELETRICIDADE

LABORATRIO DE MQUINAS ELTRICAS

MYRLENA RAQUELLY MESQUITA FERREIRA - 2009021800

RELATRIO I

Modelagem e Simulao de Motores de Induo

So Lus MA

Julho/2014

Trabalho apresentado

disciplina de Laboratrio de Mquinas

Eltricas para obteno da segunda

nota.

2

Sumrio

1. TTULO: ............................................................................................................................ 4

2. OBJETIVOS: .................................................................................................................... 4

3. FUNDAMENTAO TERICA: .................................................................................. 4

3.1. TEORIA DE MQUINAS ASSNCRONAS: .......................................................................................................... 4

3.2. PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO: ................................................................................................................... 5

3.3. ESCORREGAMENTO: ..................................................................................................................................... 8

3.4. F.E.M. INDUZIDAS: ....................................................................................................................................... 9

3.5. FLUXO DE POTNCIA NO MOTOR DE INDUO: ........................................................................................... 10

3.6. A CARACTERSTICA CONJUGADO X ROTAO: ............................................................................................ 11

3.7. INFLUNCIA DA TENSO DE ALIMENTAO: ............................................................................................... 12

3.8. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES, CONJUGADO E POTNCIA ............................................. 13

3.8.1. EXPRESSES DOS FLUXOS............................................................................................................... 13

3.8.2. EXPRESSES DAS TENSES............................................................................................................. 14

3.8.3. EXPRESSO DO CONJUGADO ELETROMAGNTICO .................................................................. 16

3.8.4. EXPRESSO DA POTNCIA INSTANTNEA ................................................................................. 17

3.9. REPRESENTAO DA MQUINA TRIFSICA ........................................................................ 17

3.9.1. DEFINIO DA TRANSFORMAO ...................................................................................... 17

3.10. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES E CONJUGADO EM ODQ .................................................. 18

3.10.1. EXPRESSES DOS FUXOS EM ODQ ................................................................................................ 18

3.10.2. EXPRESSES DAS TENSES EM ............................................................................................ 19

3.10.3. EXPRESSES DO CONJUGADO EM ....................................................................................... 20

3.10.4. EXPRESSES DA POTNCIA EM ............................................................................................ 20

3.10.5. INTERPRETAO FSICA .................................................................................................................. 21

3.11. REPRESENTAO BIFSICA DQ DA MQUINA ATIVA ................................................................. 23

3.11.1. ESCOLHA DA POSIO OU REFERNCIAL PARA OS EIXOS DQ .............................................. 24

3.11.2. REPRESENTAO COMPLEXA OU VETORIAL DQ ...................................................................... 25

3.11.3. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES, CONJUGADO E POTNCIA ......................................... 25

3.11.4. INTERPRETAO FSICA .................................................................................................................. 26

3.11.5. REPRESENTAO COMPLEXA MNIMA ........................................................................................ 27

3.12. MQUINA DE INDUO ....................................................................................................................... 28

3.12.1. REGIME PERMANENTE ..................................................................................................................... 30

4. SIMULAES: .............................................................................................................. 31

4.1. PARTIDA A VAZIO ................................................................................................................................. 31

4.2. PARTIDA A PLENA CARGA .................................................................................................................. 34

4.3. ANLISE EM REGIME PERMANENTE ................................................................................................ 37

5. CONCLUSO: ................................................................................................................ 40

6. BIBLIOGRAFIA: ........................................................................................................... 40

3

Lista de figuras

Figura 3.1 Seco transversal de uma mquina assncrona.............................................. 4

Figura 3.2 Vista explodida de mquina sncrona de gaiola de esquilo. ............................. 5

Figura 3.3 Seco transversal de uma mquina assncrona. .............................................. 6

Figura 3.4 Distribuio de campo magntico. .................................................................... 7

Figura 3.5 Corte do motor mostrando de modo esquemticos os enrolamentos do estator e

rotor. ...................................................................................................................................... 7

Figura 3.6 Enrolamentos do estator e rotor. ....................................................................... 7

Figura 3.7 Esquerda: distribuio de correntes no estator e rotor (correntes induzidas).

Direita: representao na forma de bobinas equivalentes deslocadas de ngulo . .............. 8

Figura 3.8 Fluxo de potncia em mquina assncrona. .................................................... 10

Figura 3.9 Curva caracterstica conjugado x rotao para operao como motor. .......... 11

Figura 3.10 Sobreposio das curvas caractersticas conjugado x rotao do motor e da

carga. ................................................................................................................................... 12

Figura 3.11 Diagrama auxiliar do motor de induo para mostrar a influncia da tenso

sobre o conjugado. ............................................................................................................... 13

Figura 3.12 Armaduras trifsicas e bifsica equivalentes. ............................................... 22

Figura 3.13 Representao esquemtica da transformao trifsica-odq. ....................... 23

Figura 3.14 Representao da variveis + como vetores no plano. ............................. 27

Figura 3.15 Representao da mquina de induo (assncrona) ligada em Y-Y. ........... 29

Figura 3.16 Circuito equivalente de Mquina de Induo. .............................................. 30

Figura 4.1 Velocidade angular a vazio. ............................................................................ 31

Figura 4.2 Torque eletromagntico a vazio. ..................................................................... 32

Figura 4.3 Correntes do estator por fase a vazio. ............................................................. 32

Figura 4.4 Correntes do rotor por fase e a vazio. ............................................................. 33

Figura 4.5 Grandezas da mquina a vazio. ....................................................................... 33

Figura 4.6 Torque eletromagntico em carga nominal. ................................................... 34

Figura 4.7 Velocidade angular em carga nominal. ........................................................... 35

Figura 4.8 Escorregamento e velocidade do motor de induo. ...................................... 35

Figura 4.9 Correntes estatricas em carga nominal. ........................................................ 36

Figura 4.10 Correntes rotricas em carga nominal. ......................................................... 36

Figura 4.11 Grandezas de partida em carga nominal. ..................................................... 37

Figura 4.12 Torque eletromecnico em regime permanente. .......................................... 38

Figura 4.13 Corrente rotrica me regime permanente. ................................................... 39

4

1. TTULO:

Modelagem e simulao de motores de induo.

2. OBJETIVOS:

O relatrio aqui apresentado possuem os seguintes objetivos principais que norteiam a

teoria sobre o motor de induo:

Modelar matematicamente uma mquina de induo segundo seu modelo

dinmico.

Simular a modelagem dinmica da mquina de induo.

3. FUNDAMENTAO TERICA:

3.1. Teoria de mquinas assncronas:

A Figura 3.1 mostra a seco transversal da parte til de uma mquina assncrona

enquanto que a Figura 3.1apresenta uma vista geral da mquina. Suas partes constitutivas so

as seguintes:

Figura 3.1 Seco transversal de uma mquina assncrona.

Estator: Constitudo de chapas de ferro-silcio laminado, com ranhuras uniformemente

espaadas onde esto alojados os condutores de um enrolamento polifsico (em geral

trifsico), semelhante ao de uma mquina sncrona. Em mquinas normais, esta parte fixa,

podendo ser livre para girar em algumas mquinas especiais.

5

Rotor: Constitudo tambm de chapas de ferro-silcio laminado, com ranhuras

uniformemente distribudas, onde esto alojados os condutores do enrolamento do rotor

(tambm denominado de enrolamento rotrico). So dois os tipos de enrolamentos rotricos.

O primeiro deles, presente em aproximadamente 95% das mquinas

assncronas, construdo com barras de material condutor, em geral alumnio, que preenchem

as ranhuras do rotor em toda a sua extenso. As extremidades destas barras so curto-

circuitadas por um anel condutor, perfazendo-se o que convencionalmente denominado de

gaiola de esquilo.

A segunda forma construtiva do enrolamento rotrico de uma mquina

assncrona consiste em alojar-se nas ranhuras rotricas um enrolamento polifsico (em geral

trifsico) semelhante ao do estator e com o mesmo nmero de polos deste. Por esta razo, na

extremidade do seu eixo so colocados anis deslizantes, conectados aos terminais do

enrolamento rotrico, para que atravs de escovas os mesmos possam ser acessados

externamente.

Quando a mquina assncrona opera como motor (sua forma mais comum de trabalho),

o motor de gaiola de esquilo denominado de motor de induo de gaiola, ao passo que na

segunda forma construtiva o motor denominado de motor de induo de anis.

Figura 3.2 Vista explodida de mquina sncrona de gaiola de esquilo .

3.2. Princpio de funcionamento:

A Figura 3.3 mostra um estator elementar de uma mquina assncrona, com seis

ranhuras uniformemente espaadas, onde esto alojadas 3 bobinas com o mesmo nmero de

espiras, conectadas em ligao estrela (poderia ser em ligao tringulo). O rotor, nesta etapa

do estudo, pode ser suposto como sendo um cilindro ferromagntico laminado desprovido de

qualquer enrolamento.

6

Figura 3.3 Seco transversal de uma mquina assncrona.

Suponhamos agora que as bobinas deste enrolamento sejam percorridas por correntes

trifsicas equilibradas, isto , correntes que tenham a mesma amplitude porm defasadas de

120_ uma da outra. Temos, portanto:

( ) ( )

( ) (

)

( ) (

)

Como j foi discutido em experincia anterior, este enrolamento, quando percorrido por

estas correntes, produz uma distribuio de campo magntico (aproximadamente) senoidal no

entreferro. Esta distribuio de campo gira ao redor do estator com uma rotao denominada

de rotao sncrona, dada por:

[

]

[ ]

[ ]

Onde

a frequncia de alimentao

o nmero de pares de polos do enrolamento

7

A distribuio de campo magntico, no instante (t=0) em que a corrente pela fase A

mxima est mostrada na Figura 3.4. Note que nos instantes seguintes esta mesma

distribuio de campo se repete em posies diferentes do estator.

Figura 3.4 Distribuio de campo magntico.

Suponhamos agora que um enrolamento trifsico, semelhante ao do estator, seja alojado

nas ranhuras da superfcie do rotor, como mostra a Figura 3.5.

Figura 3.5 Corte do motor mostrando de modo esquemticos os enrolamentos do estator e

rotor.

Figura 3.6 Enrolamentos do estator e rotor.

Suponhamos que os terminais do rotor estejam em aberto e que o rotor esteja parado.

Alimentando-se o enrolamento do estator com correntes trifsicas, o campo magntico

produzido pelo estator ser visto pelos condutores do rotor como um campo magntico

rotativo girando a uma velocidade igual rotao sincrona. Por esta razo, um condutor do

8

rotor observa um mximo da onda de campo magntico passando por ele em uma frequncia

idntica do estator, provocando o aparecimento de uma tenso induzida na mesma

frequncia do estator. Note que este tipo de operao se assemelha muito a um transformador

operando em vazio.

Suponhamos agora que os terminais do rotor sejam colocados em curto-circuito. Neste

instante, correntes induzidas trifsicas aparecem no rotor. Face as diferenas construtivas

existentes entre os dois enrolamentos (materiais, nmero de espiras, etc), as correntes do rotor

estaro defasadas (no tempo, e, por conseguinte, tambm no espao - de um ngulo ) das

correntes do estator, como indicado na Figura 3.7. Esta figura mostra a distribuio de

correntes no estator e no rotor de uma mquina assncrona com o rotor em curto-circuito.

Nesta condio, a mquina assncrona pode ser analisada como constituda de duas bobinas

(rotativas) cujos eixos magnticos esto desalinhados de um ngulo.

Figura 3.7 Esquerda: distribuio de correntes no estator e rotor (correntes induzidas).

Direita: representao na forma de bobinas equivalentes deslocadas de ngulo .

Pelo princpio do conjugado de mtua indutncia, desenvolvido um conjugado entre

essas bobinas no sentido do alinhamento entre elas, de modo que o rotor comea a girar no

sentido do campo girante. Desta forma, a mquina assncrona se comporta como motor com

conjugado de partida diferente de zero. Este conjugado de partida atua no sentido de levar o

rotor a girar no mesmo sentido do campo girante estabelecido pelo estator.

3.3. Escorregamento:

Saindo do repouso, o rotor atingir uma rotao n[rpm]. Define-se nesta etapa uma

grandeza denominada de escorregamento, que mede a velocidade relativa entre o campo

girante e o rotor, como uma frao da rotao sncrona:

9

Esta grandeza de fundamental importncia na operao da mquina assncrona e est

diretamente associada frequncia das tenses induzidas no rotor. Como exemplo,

suponhamos a mquina assncrona de dois polos em anlise, alimentada por correntes de

frequncia 60 Hz. Quando o rotor est parado, um condutor do rotor enxerga o mximo da

onda de campo magntico passando por ele com uma frequncia idntica das correntes do

estator, ou seja, 60 vezes por segundo. Deste modo, a frequncia da f.e.m. induzida no rotor

idntica frequncia das correntes do estator, isto , .

Suponhamos agora que o rotor est girando a uma rotao de 20 rotaes por segundo

(rps), no mesmo sentido do campo girante, correspondente a um escorregamento de s . Neste

caso, 2/3 um condutor do rotor enxerga o mximo da onda de campo passando por ele 40

vezes por segundo, resultando no rotor uma f.e.m. induzida de frequncia 40 Hz, ou seja,

2/3da frequncia das correntes do estator. Assim sendo, para um escorregamento genrico, a

frequncia da f.e.m. rotrica dada por:

3.4. F.E.M. Induzidas:

As f.e.m. induzidas no estator e rotor ( semelhana do transformador) so dadas por:

Estator:

Rotor:

Onde o fluxo mtuo e ( ) so os fatores que dependem dos enrolamentos do

estator e rotor.

Na medida em que o rotor est em movimento, a f.e.m. induzida no rotor difere da

tenso induzida quando o mesmo est parado, devido mudana da frequncia rotrica.

Assim sendo, supondo o rotor em movimento (caracterizado por um dado escorregamento s )

e lembrando que , podemos escrever:

( )

Na qual a tenso induzida no enrolamento rotrico quando o

rotor est travado.

Note que quando o rotor est parado ( ), temos , implicando f.e.m. induzida

mxima no rotor. medida que a rotao aumenta, o escorregamento diminui, com uma

10

consequente reduo da f.e.m. induzida no rotor ( ). Esta reduo na f.e.m. induzida no

rotor ocasiona uma correspondente reduo nas correntes induzidas no enrolamento rotrico.

No limite, quando a rotao se aproxima da rotao sncrona ( ), a f.e.m induzida

e a corrente do enrolamento rotrico tendem a zero, implicando produo de conjugado nulo.

Como sempre existem atritos mecnicos em qualquer sistema, o motor de induo nunca

opera precisamente na rotao sncrona.

3.5. Fluxo de potncia no motor de induo:

O motor eltrico de induo um conversor eletromecnico de energia que converte

parte da energia recebida da rede eltrica em energia mecnica disponvel em seu eixo.

A diferena entre a energia mecnica disponvel no eixo e a energia fornecida pela rede

eltrica so as perdas oriundas da converso de energia. Tais perdas podem ser classificadas

em trs tipos:

a. Perdas Joule ( ), devidas circulao de correntes nos enrolamentos do

estator e do rotor.

b. Perdas no material ferromagntico, que so as perdas por histerese e Foucault

nas chapas laminadas do estator e do rotor, semelhante ao fenmeno presente

nos transformadores.

c. Perdas mecnicas, que esto associadas ao atrito existente nos rolamentos e com

o ar, alm da parcela de conjugado necessria para a ventilao do prprio

motor.

Figura 3.8 Fluxo de potncia em mquina assncrona.

O rendimento do motor de induo dado pela relao:

11

Mquinas de induo pequenas (da ordem de dezenas de HP) apresentam rendimentos

na faixa de 70 a 85%, nas condies nominais de operao. Mquinas de maior potncia

podem atingir rendimentos considerveis (at 95%), evidenciando a importncia dos motores

de induo nos acionamentos eltricos industriais. Tais qualidades so acompanhadas de uma

robustez mecnica considervel e de um custo relativamente baixo.

3.6. A caracterstica conjugado x rotao:

A caracterstica mais importante de um motor, independentemente de seu tipo, a

caracterstica conjugado rotao. Com esta caracterstica, torna-se possvel projetar com

preciso sistemas de acionamento de cargas utilizando-se destes motores.

Para o motor de induo esta curva caracterstica tem o aspecto da Figura 3.9:

Figura 3.9 Curva caracterstica conjugado x rotao para operao como motor.

Existem trs pontos notveis nesta curva:

Ponto 1 = Conjugado de partida = conjugado desenvolvido pelo motor com

rotao nula;

Ponto 2 = Conjugado mximo = conjugado mximo que o motor consegue

desenvolver;

Ponto 3 = Conjugado nominal = mximo conjugado que o motor pode desenvolver em regime contnuo.

Quando um motor eltrico utilizado para o acionamento de uma carga, fundamental

comparar as curvas caractersticas conjugadorotao do motor com a da carga mecnica a

ser acionada. A Figura 3.10 mostra as duas curvas caractersticas sobrepostas no caso tpico

do acionamento de um ventilador.

12

Figura 3.10 Sobreposio das curvas caractersticas conjugado x rotao do motor e da

carga.

Verifica-se que desde a partida ( ) at a rotao final ( ) o conjugado

desenvolvido pelo motor superior ao exigido pela carga, implicando em uma acelerao do

conjunto. No ponto P indicado, no qual ( ) o conjugado desenvolvido pelo motor

igual ao exigido pela carga. Neste ponto o conjugado acelerante (diferena entre o conjugado

motor e o conjugado resistente oferecido pela carga) nulo, implicando velocidade constante

para o conjunto. O ponto P denominado de ponto de trabalho do acionamento. Um

acionamento bem dimensionado apresenta um ponto de trabalho coincidente com as

condies nominais do motor.

3.7. Influncia da tenso de alimentao:

Uma das caractersticas relevantes a ser mencionada que a tenso de alimentao afeta

de maneira quadrtica a caracterstica conjugado rotao do motor de induo. Ou seja:

Esta caracterstica pode ser deduzida fisicamente a partir da Fig. 15.11 ao lado. Se a

tenso de alimentao do estator fr reduzida, as correntes no estator diminuiro

proporcionalmente, assim como o fluxo visto pelo rotor. Por conseguinte, as tenses e

correntes induzidas no rotor tambm sero reduzidas na mesma proporo. O conjugado

depende do produto das foras magnetomotrizes do estator e rotor. Assim, conclui-se que a

dependncia do conjugado em relao tenso quadrtica, na forma indicada pela Eq. 15.9.

13

Figura 3.11 Diagrama auxiliar do motor de induo para mostrar a influncia da tenso sobre o conjugado.

3.8. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES, CONJUGADO E POTNCIA

3.8.1. EXPRESSES DOS FLUXOS

No havendo saturao, podem-se somar os fluxos parciais para obter o fluxo total em

uma bobina. Assim, tem-se para a armadura trifsica do estator:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

onde

indutncia mtua entre duas bobinas do estator e entre duas bobinas do rotor,

respectivamente ( )

( ) indutncia mtua entre uma bobina do estator e uma do rotor separadas

por um ngulo (repartio senoidal da induo eletromagntica no entreferro).

resistncias de uma bobina do estator e do rotor respectivamente. (

)

Os fluxos do rotor podem ser escritos d forma anloga.

Os fluxos por armadura podem ser escritos em forma matricial, obtendo-se as seguinte

representao:

( )

14

( )

onde:

[

] [

] [

] [

]

[

] [

]

[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )]

[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )]

As matrizes indutncias possuem as seguintes propriedades:

so matrizes simtricas,

no so matrizes simtricas, mas circulando, isto ,

uma matriz a transposta da outra.

O sistema (4) (5) pode ser ainda escrito de forma mais compacta.

( )

onde

[ ] [ ] [

]

3.8.2. EXPRESSES DAS TENSES

As orientaes das bobinas, por conveno, so de tal forma que uma corrente positiva

cria um fluxo positivo (sentido do eixo). Assim, pode-se escrever:

15

onde a tenso induzida nos terminais da bobina, antes da queda de tenso resistiva,

( , onde a F.c.e.m) e o fluxo na bobina. Visto a escolha da conveno

receptora:

Assim, para a mquina trifsica pode-se escrever em termos das matrizes:

( )

( )

[

] [

]

A partir da equao matricial dos fluxos pode-se escrever as equaes das tenses:

[

] ( )

[

] ( )

onde: a velocidade o rotor em rad.eltricos/s.

Ou ainda de forma geral

[

] ( )

onde:

[

] [

]

onde so as matrizes identidades e zeros de ordem 3x3, respectivamente.

A soma dos termos diferenciais da corrente em (11) a tenso induzida de

transformao e o termo em

16

3.8.3. EXPRESSO DO CONJUGADO ELETROMAGNTICO

A expresso geral para energia dada por:

( )

O conjugado obtido diferenciando-se esta expresso em reao ao ngulo mecnico

:

( )

Substituindo em (13) a expresso da energia (12), tem-se:

[

]

[

] ( )

Como as sub-matrizes so independentes do ngulo eltrico ,

escrevendo-se ento:

[

]

[

] [

] ( )

[

]

[

] ( )

Como um nmero e como para duas matrizes A e B quaisquer ( )

ento:

[

]

[

] ( )

Como

obtem-se:

[

] ( )

[

] ( )

17

3.8.4. EXPRESSO DA POTNCIA INSTANTNEA

A expresso da potncia total instantnea dada por:

( )

Substituindo-se o valor de dado em (11), obtm-se:

[

] ( )

O termo diferencial da corrente corresponde a potncia de transformao e o termo em

corresponde a potncia da rotao.

3.9. REPRESENTAO DA MQUINA TRIFSICA

3.9.1. DEFINIO DA TRANSFORMAO

Dado o modelo da mquina trifsica representada pelas equaes de fluxo (4) (5), de

tenso (7) (8) e de conjugado (1S), pode-se definir uma transformao para as variveis da

mquina (flux, corrente ou tenso) de tal forma a represent-la por um modelo mais simples

que o trifsico primitivo.

Uma transformao de variveis definida pela operao:

( )

onde a varivel antiga a ser transformada e a varivel nova. A matriz

denominada matriz de transformao e deve ser regulada (

, sua inversa, existe).

Considerando-se uma matriz para o estator e outra para o rotor, pode-se escrever

para uma varivel qualquer (ou seja, os fluxos, as correntes ou as tenses do estator ou do

rotor):

( )

( )

onde:

18

[

] [

]

O expoente g, introduzido agora, serve para indicar o referencial genrico dos eixos dq.

Este expoente mudar em juno do referencial dq utilizado, exemplos: estator , rotor

Um conjunto de matrizes e adequada para a obteno de uma nova

representao de uma nova representao mais simples que a representao trifsica primitiva

pode ser obtida fazendo-se:

[

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

] ( )

[

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

] ( )

Nota-se que

, ou seja, as matrizes de transformao so

ortogonais.

3.10. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES E CONJUGADO EM ODQ

3.10.1. EXPRESSES DOS FUXOS EM ODQ

Dada a expresso dos fluxos estatricos (4) e as equaes de transformao (23) (24)

pode-se escrever:

( )

multiplicando-se ambos os lados da igualdade por

, tem-se:

( )

ou ainda

( )

19

onde

[

] [

]

com (

)

De forma anloga obtm-se das relaes (5) e (23)-(24) a nova expresso para os

fluxos rotricos

( )

onde

[

] [

]

com

Observa-se que todas as novas matrizes indutncias so diagonais constantes

independentes dos ngulos . As indutncias so denominadas

indutncias cclicas.

3.10.2. EXPRESSES DAS TENSES EM

Segundo a expresso das tenses estatricas em (7) e as equaes e transformao (23)

(24), pode-se escrever:

[

] ( )

[

]

[

] ( )

[

] [

] ( )

onde

20

De forma anloga, obtm-se das relaes (8) e (23)-(24) a nova expresso da tenso

rotrica

[

] ( ) [

] ( )

onde .

Evidentemente, as equaes (33)-(34) podem ser escritas em funo unicamente das

correntes substituindo-se as matrizes fluxos pelos valores em (29)-(30).

3.10.3. EXPRESSES DO CONJUGADO EM

Utilizando-se a expresso do conjugado eletromagntico (18) e as equaes de

transformao (23-(24) pode-se escrever:

[

] ( )

Desenvolvendo-se esta expresso, obtm-se as seguintes expresso para o conjugado:

(

) ( )

3.10.4. EXPRESSES DA POTNCIA EM

Pode-se observar que a potncia invariante do da transformao ortogonal. De

fato, pela definio da potncia instantnea escreve-se:

( )

Por exemplo, para estator, como

escrevendo-se de (37)

para a potncia estatrica

( )

Desde que

ser igual a se , o que assegurado

se a matriz de transformao ortogonal (

)

21

Observa-se que as variveis (ndice o), denominadas de homopolares, so

proporcionais a soma das grandezas trifsicas originais ( ( )(

)) portanto se a mquina estiver operando de forma equilibrada (carga ou fontes trifsicas

equilibradas) estes componentes so nulos. Neste caso, o estudo da mquina se reduz ao

estudo dos componentes

, reduzindo-se a mquina trifsica a uma mquina bifsica

(cf. item seguinte). Tambm, se uma das armaduras estiverem ligadas em estrela

(tringulo) no interconectado, a soma das correntes (tenses) trifsicas na armadura zero

e portanto as variveis homopolares correspondentes nesta armadura so nulas. Finalmente,

nota-se que o conjugado no depende dos componentes homopolares.

3.10.5. INTERPRETAO FSICA

A transformao odq corresponde a representar cada armadura trifsica original do

estator e do rotor por uma armadura bifsica dq mais uma bobina isolada de ndice o (Figura

3.12).

Para que a armadura bifsica seja equivalente a armadura trifsica, uma condio se

impe: a indutncia no entreferro (p. ex. no ponto m) criada por cada armadura devem ser

iguais (Figura 2). Assim, tem-se, por exemplo, para a armadura estatrica:

A induo resultante criada pela armadura trifsica no ponto m dada por:

[ ( )

( ) ( )] ( )

ou ainda

[(

) ( ) (

) ( )] ( )

A induo resultante criada em m pela armadura bifsica dada por:

[ ( )

( )] ( )

ou ainda

[ ( )

( ) ( ) (

( ) (

)) ( )] ( )

Onde e so o nmero de espiras das bobinas da armadura trifsica e bifsica,

respectivamente, e so constantes que dependem da estrutura geomtrica da mquina

e do meio magntico. Estas constantes podem ser feitas idnticas, isto , .

22

Igualando-se a induo no ponto m devido a cada armadura, isto para

um qualquer, tem-se:

( ( )

( )) (

)

( ( )

( )) (

)

ou ainda

[ ( )

( ) ( )] ( )

[ ( )

( ) ( )] ( )

Para que a transformao seja biunvoca necessrio introduzir uma terceira corrente,

a corrente homopolar que proporcional a soma das correntes trifsicas. A corrente

homopolar,deve ser proporcional a soma das correntes trifsicas de forma a no criar no

entreferro da mquina, condio para no ter aparecido na equivalncia de induo acima.

Figura 3.12 Armaduras trifsicas e bifsica equivalentes.

Introduzindo-se a componente homopolar e usando a equao (43)-(44), obtm-se em

forma matricial:

23

[

]

[

( ) (

) (

)

( ) (

) (

)]

[

] ( )

As constantes e a relao podem ser escolhidas arbitrariamente. Aqui elas so

escolhidas de tal forma que a matrizes de transformao seja ortogonal. Nesse caso

e obtendo-se a matriz anterior dada em (25).

De forma semelhante, pode-se deduzir a matriz , equao (26), substituindo-se

simplesmente por . Portanto, a representao da mquina trifsica completa

pode ser vista, do ponto de vista dos fluxos, como a substituio da mquina trifsica (Figura

3.13) por uma par de bobinas de eixo ( ), um par de bobinas de eixo ( ) e

mais duas bobinas isoladas, ditas homopolares, ndice ( ) (Figura 3.13.b).

Figura 3.13 Representao esquemtica da transformao trifsica -odq.

3.11. REPRESENTAO BIFSICA DQ DA MQUINA ATIVA

Como foi visto, as correntes homopolares no criam induo no entreferro da mquina

e assim no do origem a conjugado eletromagntico. Os componentes caracterizam a

mquina ativa e os componentes homopolares traduzem os desequilbrios de sequncia zero

da mquina trifsica, criados pela alimentao desequilibrada.

24

Considerando-se apenas os componentes na representa , pode-se escrever, a

partir das eques (33)-(34) e (29)-(30) a representao da mquina bifsica :

[

] ( )

( ) [

] ( )

( )

( )

(

) ( )

Onde as variveis estatricas so dadas por:

[

]

[

] [

]

e as variveis rotricas so semelhantes, obtidas destas trocando-se o ndice por .

3.11.1. ESCOLHA DA POSIO OU REFERNCIAL PARA OS EIXOS DQ

Algumas possibilidades de interesse para localizao do par de eixos so:

No estator, com eixo ligado ao estator segundo a fase , fazendo-se

( ) Levando, em regime permanente, a variveis senoidais de

frequncia igual a das correntes estatricas.

No rotor, com o eixo ligado ao rotor segundo a fase , fazendo-se

( ). Implicando, em regime permanente, em variveis senoidais com

a mesma frequncia das correntes rotricas (p. ex., frequncia de

escorregamento, se for uma mquina assncrona e zero se for uma mquina

sncrona).

No campo girante fazendo-se , que implica, em regime permanente, em

variveis contnuas.

25

3.11.2. REPRESENTAO COMPLEXA OU VETORIAL DQ

Uma representao ainda mais potente par o estudo de mquinas simtricas trifsicas

a representao complexa ou vetorial . Ela permite trabalhar diretamente com as

variveis resultantes no entreferro da mquina. Esta representao concerne apenas aos

componentes da mquina, ou seja, as variveis ativas (que originam vetores resultantes no

entreferro da mquina diferentes de zero e, consequentemente, conjugado). As variveis

homopolares permanecem inalteradas, modeladas como variveis de bobinas isoladas.

Definindo-se a representao a transformao complexa ou vetorial por:

( )

onde introduziu-se as novas variveis

e a matriz de transformao dadas por:

[

] ( )

[

]

[

] ( )

3.11.3. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES, CONJUGADO E POTNCIA

A partir das relaes (46)-(49), representao , e de (51)-(53), relaes para

a transformao, pode-se escrever, utilizando o mesmo procedimento do item 1.3.2, o modelo

ativo da mquina trifsica em termos dos componentes complexos

[

] ( )

( ) [

] ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

) (

) ( )

Onde as variveis estatricas so dadas por:

26

[

]

[

]

[

]

As variveis rotricas so semelhantes, obtidas destas acima trocando-se o

ndice por .

Pode-se observar que a potncia instantnea invariante no caso desta

transformao. De fato pela definio da potncia instantnea complexa escrevendo-se para o

estator:

( )

como

( ) substituindo-se estas expresses em (59), em se:

( )

(

) ( )

Para que esta potncia complexa seja igual a ( )

(

) , ento

, o que assegurado pela matriz utilizada aqui. A matriz de transformao ortogonal

complexa, i.e.,

( )

3.11.4. INTERPRETAO FSICA

As variveis complexas podem ser entendidas como vetores no plano,

onde as partes reias e imaginrias correspondem a suas coordenadas cartesianas x e y,

respectivamente (Figura 3.14). No caso particular da mquina trifsica primitiva por um

sistema trifsico de tenso equilibrado, tem-se para as tenses:

( )

( ) ( )

Se o eixo d coincide com o eixo da fase 1 ( ) e utilizando-se a

matriz de transformao obtm-se:

( )

( )

Utilizando-se a matriz de transformao obtm-se para os componentes

complexos:

27

Observa-se ento que o componente positivo o prprio vetor girante tenso

resultante, enquanto que o componente negativo corresponde a um vetor girante de mesma

amplitude, mas girando em sentido contrrio (horrio) (Figura 3.14). A representao

complexa com a componente positiva correspondente a representar a mquina trifsica ativa

pelos vetores girantes resultantes associados a cada varivel da mquina (tenso, fluxo e

corrente). Assim, trata-se da representao mais sumria possvel para a mquina. Ela facilita

sobremaneira o estudo das mquinas trifsicas simtricas. Ela ser na seo seguinte.

Figura 3.14 Representao da variveis + como vetores no plano.

3.11.5. REPRESENTAO COMPLEXA MNIMA

As variveis possuem uma relao muito importante, que pode ser

observada escrevendo-se em termo das variveis , utilizando-se (51)-(53)

(

)

(

)

Ou seja, o complexo conjugado de ( ( ( )) ) Observa-se,

tambm, que nas equaes (54)-(57) no existe acoplamento entre os componentes + e .

Apenas, existe acoplamento entre os componentes + e na expresso (58) do conjugado. Isto

permite que se possa caracterizar a mquina ativa apenas por um dos componentes + ou .

Quando se utiliza os componentes positivos, que o mais comum, a representao da

mquina ativa restringe-se a:

( )

28

( )

( )

( )

( )

( )

(

) (

) ( )

3.12. MQUINA DE INDUO

Na Fig. 5 apresentada a mquina de induo. Note que a mquina de induo

obtida a partir de uma configurao da alimentao particular da mquina CA cujo modelo

foi deduzido nas sees anteriores. As bobinas estatricas so alimentadas por um sistema

trifsico equilibrado. As tenses na fase da mquina podem ser expressas por:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

onde a tenso entre o neutro da fonte e da mquina.

Aplicando-se a matriz de transformao (25) obtm-se:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Se escolhermos o referencial que gira com frequncia (indicando pelo expoente

), ento , onde uma condio inicial constante, e tem-se:

29

( ) ( )

Figura 3.15 Representao da mquina de induo (assncrona) ligada em Y-Y.

A mquina de induo (Y no rotor) possui tenses rotricas iguais

Aplicando-se a matriz de transformao e considerando-se o modelo homopolar do rotor,

obtm-se que e ento

e

Introduzindo-se

(

)

obtm-se o seguinte modelo

vetorial:

( )

( )

( )

( )

( )

30

(

) ( )

3.12.1. REGIME PERMANENTE

No caso particular de regime permanente, como a entrada do sistema

constante ( ) e assim o sistema se simplifica para:

(

) ( )

( )(

) ( )

Estas equaes correspondem ao circuito equivalente da Fig. 6, onde

( ) o escorregamento da mquina.

Figura 3.16 Circuito equivalente de Mquina de Induo.

31

4. SIMULAES:

Sendo o motor de induo trifsico, com potncia de 3HP, 4 polos, 220 V e velocidade

angular nominal de 1745 rpm, temos os seguintes parmetros:

TABELA I

PARMETRO DO MOTOR A SER SIMULADO

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4.1. PARTIDA A VAZIO

A primeira anlise feita no sistema em relao s suas caractersticas ideais quando o

motor citado acima dada a partida sem nenhuma carga acoplada ao seu eixo, ou seja, a

vazio. Abaixo temos as figuras que descrevem o comportamento dinmico.

Figura 4.1 Velocidade angular a vazio.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tempo (s)

Am

plit

ude

Velocidade angular a vazio

32

A comear pela velocidade angular do eixo, que a sada principal do motor. Pode-se

ver que o motor demora em mdia 0,5 segundos para entrar em regime permanente.

Admitindo-se um sistema ideal, sem perdas, a frequncia mecnica ser igual frequncia

eltrica, estabilizando-se em 1800 rpm. As oscilaes maiores ocorrem quando a fora

magneto motriz no est em boa sincronia com a rede eltrica de alimentao.

Figura 4.2 Torque eletromagntico a vazio.

Admitindo-se que no haja carga no seu eixo, a tendncia natural do conjugado

eletromagntico diminuir prximo de zero, em se tratando de um sistema ideal e sem

carga.

Figura 4.3 Correntes do estator por fase a vazio.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Tempo (s)

Am

plit

ude

Torque Eetromagntico a vazio

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-100

-50

0

50

100

150

Tempo (s)

Am

plit

ude

Correntes do estator por fase a vazio

Fase a

Fase b

Fase c

33

As correntes no estator tm seu pico na partida em 74,22 Ampres, quando maior a

fora magneto motriz necessria para vencer o atrito e consequentemente colocar o motor em

movimento. Pode-se ver que h apenas uma variao no envelope da onda, mantendo a sua

frequncia constante. Estabiliza-se em 4,73 Ampres.

Figura 4.4 Correntes do rotor por fase e a vazio.

J para as correntes rotricas, h uma variao no somente no seu valor de envelope

mas tambm na sua frequncia, chegando a um pico de 67,56 Ampres na frequncia de 60

Hertz. Por se tratar de um sistema ideal, a corrente tende amplitude zero Ampres e

frequncia zero Hertz, pois no h variao de fluxo entre o rotor e o estator quando este

atinge seu regime permanente.

Figura 4.5 Grandezas da mquina a vazio.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tempo (s)

Am

plitu

de

Correntes do rotor por fase a vazio

Fase a

Fase b

Fase c

34

Nesta ltima imagem, os grficos esto sobrepostos apenas para visualizao do

funcionamento do conjunto. A velocidade est expressa em rad/s para possibilitar uma melhor

observao das outras variveis. Somente a fase (a) do rotor e do estator esto representadas

no grfico, para maior clareza.

4.2. PARTIDA A PLENA CARGA

Para esta anlise aplicada ao eixo uma carga de 11.9 N.m, fazendo assim com que este

seja iniciado com sua carga nominal. As mesmas variveis do item anterior sero analisadas.

Figura 4.6 Torque eletromagntico em carga nominal.

Para o torque eletromagntico possvel ver que este tem um comportamento

semelhante ao sistema a vazio, com seu pico em partida um pouco superior. Estabiliza-se

quando seu valor igual ao da carga aplicada.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Tempo(s)

Am

plit

ude

Torque Eletromagntico em carga nominal

35

Figura 4.7 Velocidade angular em carga nominal.

Para a velocidade angular possvel observar uma queda de 3,05% em relao ao

sistema sem carga, caracterizando o chamado escorregamento da mquina, apesar de sua

amplitude ter sua forma bastante parecida com a anterior. Na figura abaixo observamos a

diminuio do escorregamento com o aumento da velocidade at a entrada em regime

permanente.

Figura 4.8 Escorregamento e velocidade do motor de induo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tempo(s)

Am

plit

ude

Velocidade angular em carga nominal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tempo(s)

% d

a n

om

inal

Escorregamento e velocidade do motor de induo

Escorregamento

Velocidade angular

36

Figura 4.9 Correntes estatricas em carga nominal.

Sobre as correntes, estas apresentam o mesmo comportamento do que a vazio. Apenas

seus valores sero um pouco maiores, devido ao aumento da carga. Com pico 74,32 Ampres

e estabilizando-se em 7.88 Ampres.

Figura 4.10 Correntes rotricas em carga nominal.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-100

-50

0

50

100

150

Tempo(s)

Am

plitu

de

Correntes estatricas em carga nominal

Fase (a)

Fase (b)

Fase (c)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tempo(s)

Am

plitu

de

Correntes rotricas em carga nominal

Fase (a)

Fase (b)

Fase (c)

37

Para as correntes rotricas, temos um comportamento um pouco diferente do primeiro

sistema, pois para poder compensar a queda de velocidade, as correntes no rotor circularo na

frequncia de escorregamento quando atingir o regime permanente. Com seu pico em 67.86

Ampres e estabilizando-se em aproximadamente 6.2 Ampres na frequncia de

aproximadamente 1,833 Hertz.

Figura 4.11 Grandezas de partida em carga nominal.

Por ltimo, um grfico contendo as variveis importantes. Fica um pouco mais evidente

neste grfico que o escorregamento provoca correntes em baixa frequncia no rotor.

4.3. ANLISE EM REGIME PERMANENTE

Quando em regime permanente senoidal, o motor tende ao sistema de equaes abaixo:

( ( ) (

))

(( )

( ) ) ( )

( )

onde:

(

( )) ( )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Tempo(s)

Am

plit

ude

Grandezas de partida em carga nominal

Torque Eletromagntico

Velocidade Angular

Corrente (a) do estator

Corrente (a) do rotor

38

( )

( ) ( )

Figura 4.12 Torque eletromecnico em regime permanente.

Pelo grfico acima pode-se observar que o torque mximo do motor 61,8696 N.m,

sendo que ele ocorre a uma velocidade de 851,761 rpm. Nesta velocidade o escorregamento

igual a 52,68 %.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18000

10

20

30

40

50

60

70Anlise em Regime Permanente

Velocidade Angular (RPM)

Torq

ue E

letr

om

ecnic

o

39

Figura 4.13 Corrente rotrica me regime permanente.

Neste ltimo grfico vemos que a corrente rotrica mxima quando a velocidade do

rotor nula, ou seja, o escorregamento igual a 100%. Quando a velocidade do rotor se

iguala velocidade eltrica a corrente rotrica nula e o torque mecnico da mquina

tambm ser nulo. Esta ltima circunstncia ocorre apenas em uma mquina ideal, pois as

perdas mecnica impedem que a velocidade mecnica se iguala velocidade eltrica.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18000

10

20

30

40

50

60

70

80Anlise em Regime Permanente

Velocidade Angular (RPM)

Corr

ente

Rot

rica

40

5. CONCLUSO:

Os resultados encontrados com as simulao esto condizentes com a teoria estudada ao

longo da disciplina de Mquinas Eltricas, portanto as simulaes foram realizadas

corretamente. Podemos ver ao longo do trabalho realizado as diferentes etapas de

funcionamento de um motor de induo, o que solidifica a teoria estuda, a corrobora e ainda

facilita a montagem prtica de um motor.

6. BIBLIOGRAFIA:

[1] FITZGERALD, A.E., KINGSLEY Jr., C., & UMANS, S.D., (2006) Mquinas Eltricas.

McGraw-Hill, 6th Edition.

[2] CHAPMAN, S.J., (2005). "Electric Machinery Fundamentals". McGraw-Hill, 4th Edition.

[3] MATLAB version 7.10.0.499 Natick, Massachusetts: The Math Works Inc., 2010.

[3] SEN, P.C., (1996). Principles of Electric Machines and Power Electronics. John Wiley and

Sons, 2nd

Edition.

[4] (2010) MQUINAS SNCRONAS TEORIA.

41

7. ANEXOS:

Segue em anexo a simulao realizada no simulink e o programa da mesma no MatLab.

42

% parmetros para a mquina % motor de 3 hp

clear ;

% 220 volts % 1710 rpm % Ts 11.9

Vs = 220/sqrt(3); %Volts Vr = 0; %Volts

V_LinkDC = Vs*sqrt(2*3);

%w = 2*pi*60; w = 0; %referencial estacionario w=0; wb = 2*pi*60;

%Parametros do Motor de Inducao rs = 0.435; %ohms rr = 0.816; %ohms xls = 0.754; %ohms xm = 26.13; %ohms xlr = 0.754; %ohms, xlr = xls J = 0.089; %kg*m*m P = 4; %no. de polos

%indutancias do motor de induo, so deduzidas a partir das reatancias Lls = xls/wb; Llr = Lls; Lm = xm/wb; %indutancia de magnetizacao ou autoindutancia

L = [Lm+Lls 0 0 Lm 0 0 ; 0 Lm+Lls 0 0 Lm 0 ; 0 0 Lls 0 0 0 ; Lm 0 0 Lm+Llr 0 0 ; 0 Lm 0 0 Lm+Llr 0 ; 0 0 0 0 0 Llr];

inv_L=inv(L);

t_sim = 1.4; Carga = 11.9; %N*m t_carga = 0.8;