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CEA562

Sinais e Sistemas

Relatório de Laboratório

Experimento: Aula Prática 1

Tema: Série de Fourier

Data de entrega: Sexta, 6 de Maio de 2015

Alunos:

Douglas do Amaral Monteiro,

Professor: Glauco Ferreira Gazel Yared

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 03

2. OBJETIVO 04

3. DESENVOLVIMENTO 04

a. Análise analítica 05

b. Implementacao 07

4. CONCLUSÃO 11

5. REFERÊNCIAS 11

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1. INTRODUÇÃO

O principal objetivo das atividades efetuadas neste laboratório é a familiarização dos

conceitos da Análise de Fourier com o Matlab, ambas ferramentas de grande importância na

formação de um estudante de engenharia elétrica. A as séries de Fourier são uma ferramenta

de altíssimo valor, que encontram muitas aplicações no mundo moderno, desde o estudo de

processamento de sinais, circuítos elétricos, até na estatística.

Assim como em muitas outras áreas, essa poderosa ferramenta encontra especial

aplicação no estudo dos comportamentos de fenômenos físicos e foi justamente em um

desses estudos, em que se procurava entender a distribuição do calor ao longo de barras de

metal, que seu idealizador - o francês Jean Joseph Baptiste Fourier - teve o trabalho de fazer

um dos primeiros estudos sistemáticos a respeito do tema. Neste breve relatório, será feita a

análise de duas funções, calculados os coeficientes da pela equação de análise e mostrada

umas das principais propriedades das séries de Fourier, a linearidade.

Este estudo tem como fundamento a análise discreta dos sinais dados, devido ao fato de,

no mundo real, a maioria dos sinais a serem estudados se apresentarem dessa forma nas

medições. O estudo analítico das funções precederá a implementação do código no software,

sendo este o Matlab.

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2. OBJETIVO

I. Calcular, analiticamente, os coeficientes das funções dadas e verificar que a

linearidade se aplica as séries trigonométricas e .

II. Implementar, no maltab, o código para o cálculo dos coeficientes de ambas as

funções usando o princípio da linearidade.

III. Plotar o resultado em tempo discreto com diferentes valores de e compará-los.

3. DESENVOLVIMENTO

Considere um sinal periódico contínuo x(t) R conjunto dos números reais, t.

Segundo a equação de síntese de Fourier, o sinal x(t) pode ser expresso como:

∑ (

)

,

onde os termos , e são denominados equações de síntese e dados pelas expressões ,

∫

∫

equações de análise

∫

.

De forma mais geral, essas equações também podem ser expressas no modo exponencial

complexo dado por,

∑ (

)

equação de síntese

∫

equação de análise

Como o sinal que queremos analisar se apresenta em uma amostragem com período N =

40 em tempo discreto, nós usaremos a representação discreta a série de Fourier. Uma

importante diferenca entre a forma continua e discreta é relacionada ao tamanho da série, que

em tempo contínuo poderia ser infinita e em distcreta apenas séries finitas são representadas.

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Analogamente ao caso contínuo, a série em tempo discreto também possui suas relativas

equações de síntese e análise, sendo elas

∑

∑

A equação de síntese é um somatório finito, onde a cada N valores sucessivos de k a série se

repete, ou seja , . Logo, não existem problemas de convergência da série de

Fourier de tempo discreto.

3. a) Análise analítica

Considere o sinal sinusoidal discreto . Este sinal é periodico quando

Da parte anterior temos,

é um sinal com período fundamental .

Analisando nosso primeiro sinal dado por , e tomado por uma

amostragem com período , devemos estabelecer um intervalo simétrico com N valores

sucessivos para o cálculo dos coeficientes dados pela equação exponencial complexa,

sendo

∑

∑

Utilizando a equação de Euler, podemos reescrever o sinal dado, como

uma soma de exponenciais complexas.

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Assim, nossa equação se torna,

Podemos ver que

e

, ou seja, a cada 40 coeficientes , eles se repetem,

voltando a ter os mesmos valores. Logo, o intervalo de somação poderá conter quaisquer 40

valores consecutivos, como pode exemplo,

De k = -20 a k = 19

De k = -19 a k = 20

De k = -18 a k = 21

Analogamente ao que fizemos com o sinal anterior, analisando agora o sinal dado por

, e tomado por uma amostragem com período , devemos

estabelecer um intervalo simétrico com N valores sucessivos para o cálculo dos coeficientes

dados pela equação exponencial complexa, sendo

∑

∑

Utilizando a equação de Euler, podemos reescrever o sinal dado, como

uma soma de exponenciais complexas.

Assim, nossa equação se torna,

Então , podemos ver que que os coeficientes

e

. Ou seja, a cada 20

coeficientes , eles se repetem, voltando a ter os mesmos valores. Logo, o intervalo de

somação poderá conter quaisquer 20 valores consecutivos, como por exemplo,

De k = -10 a k = 9

De k = -9 a k = 10

De k = -8 a k = 11

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Se tomarmos apenas 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, ... 5, teremos

∑

,

o que nos dá uma aproximação relativamente pobre para o sinal. Tomando k = 1, 2, ... 20,

teremos uma melhor aproximação para o sinal, ao passo que fazendo k = 1, 2, ... 40, a

aproximação é a melhor possível para o dado sinal.

Lineariedade

Suponha que tenhamos um sinal período N e coeficientes de Fourier e

um sinal com período também N e coeficientes . Seja também

. Podemos afirmar Então que,

e

Usando-se da propriedade acima, tem-se que

∑

3. b) Implementação

Abaixo, tem-se o código em MATLAB utilizado para realizar o cálculo dos

coeficientes e a plotagem do gráfico aproximado para diferentes valores de k.

%%%%%%%%%%%%%%% MATLAB implementation %%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%% FOURIER Séries %%%%%%%%%%%%%%%%%

f1 = 1; f2 = 2; w1 = 2*pi*f1; w2 = 2*pi*f2; n = 0: 1/40 :2;

y1 = 3*sin(w1.*n); y2 = sin(w2.*n);

ysoma=y1+y2;

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j = sqrt(-1); N = 40; % function period c(40)=0; % declares the vector c1 where will be put the

coefficient values with zeros for k =-20:19 % k symmetrical interval

c(k+21) = 0; % initializes the vector c1 where will be put the

coefficient values with zeros Y(k+21) = 0; % initializes the vector Y where will be put the

approximation values with zeros for n=-20:19

c(k + 21) = c(k + 21) + ysoma(n+21)*exp(-j*(2*pi/N)*k*n)/N; % Thats

the FOURIER COEFFICIENTS FORMULAE. All the coefficients are %

allocated in the vector c1. end end

Print

Columns 1 through 6

-0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

Columns 7 through 12

-0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i

Columns 13 through 18

0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

Columns 19 through 24

0.0000 + 0.5000i 0.0000 - 1.5000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.5000i 0.0000 - 0.5000i -0.0000 - 0.0000i

Columns 25 through 30

0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

Columns 31 through 36

-0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

Columns 37 through 40

0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

Abaixo, temos o código usado para calcular os valores correspondentes da função e a

plotagem em tempo discreto e contínuo.

% this for is used to calculate the FOURIER SYNTESIS' EQUATION. for n= -20:19

for k = -20:19 %For each value of n... Y(n+21) = Y(n+21) + c(k+21)*exp(j*(2*pi/N)*k*n)/N; %...

we have to make the summation of all coefficients times

the exponential part exp(j*(2*pi/N)*k*n)/N end

end C = abs(c); t = 0: 1/40 :79/80;

figure(1); subplot(3,1,1); % SUBPLOT FUNCTION: 3 figures in the window; this

figure will be located at 'column' 1 at 'row' 1.

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plot(t, Y); % Using interpolation, the 'plot' function makes the

approximation between the points in discrete time. xlabel('t'); ylabel('y_s_o_m_a(t)'); title('Gráfico de tempo contínuo de y_s_o_m_a(t); T_o = 1'); grid on; subplot(3,1,2); % SUBPLOT FUNCTION: 3 figures in the window; this

figure will be located at 'column' 1 at 'row' 2. stem(t,Y,'Red'); % the 'stem' function gives the discrete

representation for each value of the given step, in this case for

each 1/40 step. xlabel('n'); ylabel('y_s_o_m_a(t)'); title('Gráfico de tempo contínuo de y_s_o_m_a(t); N = 40'); subplot(3,1,3); % SUBPLOT FUNCTION: 3 figures in the window; this

figure will be located at 'column' 1 at 'row' 3. stem(t,C,'Green'); xlabel('k'); ylabel('|C_k|'); title('Gráfico do módulo dos coeficientes - |c_k|');

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4. CONCLUSÃO

Nesta prática pudemos observar a grande aplicabilidade das séries de Fourier na

modelagem de sinais como somas de funções trigonométricas – que por sua vez, podem ser

escritas como exponenciais complexas – e o valor da lineariedade do sistema. A vantagem

de se trabalhar com exponenciais complexas é grande caso o sistema analisado seja LIT.

Utilizando-se do Matlab para realizar as operações somatórias foi possível - com maior

facilidade - determinar os coeficientes ck’s da série, deixando claro a importância de se ter um

bom conhecimento analítico e computacional para a resolução de problemas na análise de

sinais.

5. BIBLIOGRAFIA

1. A. V. Oppenheim, A. V. Willsky, H. Nawab. Signals and Systems, 2nd

Ed. New

Jersey, 1997.

2. B. P. Lathi. Signals, Systems and Controls. Intext Educational Publishers. New York,

1974.

3. S. J. Chapman. Matlab Programming with Applications for Engineers, 1st Ed.

Cengage Learning. Stamford, 2013.