TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 10. Análise de Fourier usando DFT 10.1....
Transcript of TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 10. Análise de Fourier usando DFT 10.1....
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
1
10. Análise de Fourier usando DFT
10.1. Introdução
Análise de Fourier : Avaliação explícita daTransformada de Fourier (sinais limitados e amostrados)
Na verdade o que se deseja é: TDFTTransformada de Fourier para Sinais Discretos
No entanto o que é realmente realizado é a : DFTTransformada Discreta de Fourier
DFT é uma amostragem da TDFT
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2
10.1 Análise de Fourier usando DFT
Diversas aplicações: - Análise, Síntese e Codificação de Voz - Sinais de Radar por efeito Doppler - Avaliação de falhas mecânicas – motores - Análise de harmônicos da rede – cos() - Análise de imagens (bordas, ruídos,etc) - Modulação – Telecomunicações - etc ... ... ...
A análise de Fourier de sinais contínuos envolve:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
3
Sinal contínuo a ser analisado.
Filtro de Anti-aliasing
Sinal filtrado – espectro limitado.
Sinal filtrado amostrado.
Resposta em frequência da Janela.
Espectro do Sinal Janelado (convolução periódica) DFT do sinal janelado (amostragem)
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
4
10.2. DFT de sinais sinusoidais
Como vimos na aula passada:
Se o número de amostras do sinalsinusoidal não for tal que haja umnúmero inteiro de ciclos amostradoshá o efeito de espalhamento espectral
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
5
10.2.1. Efeito do Janelamento
Consideremos um sinal contínuo composto por duas componentes:
0 0 0 1 1 1( ) cos coscS t A t A t
E sua amostragem ideal (sem aliasing e erros de quantização)
0 0 0 1 1 1[ ] cos cosx n A n A n
Onde : T
A sequência janelada será:
0 0 0 1 1 1[ ] [ ]cos [ ]cosv n A w n n A w n n
Cujo espectro, convolução de W() e X(). É:
0 0
1 1
0 00 0
1 11 1
( )2 2
2 2
j j
j j
A AV e W e W
A Ae W e W
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
6
Leakage ou Vazamento : redução da amplitude das componentes devido à iteração de fase das duas componentes.
Ex.:10.3
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
7
A resolução de frequência é definida pela largura do lóbuloprincipal da janela. Ajustar L tamanho da Janela
O leakage é definido pela relação entre as amplitudes dolóbulo principal e os secundários. Tipo da Janela
Exemplo: Janela Kaiser
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
8
10.2.2. Efeito da Amostragem do Espectro
Ex.10.5:2 2
cos 0.75cos , 0 63[ ] 16 8
0,
n n nv n
outros
v[n] zero-padding
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
9
Ex.10.6: uso da janela de Kaiser
2 4[ ] [ ]cos 0.75 [ ]cos
14 15K Kv n w n n w n n
=5.48 Escolha: Lóbulo lateral com –40dB
0.401ml
Como:4 2
0,38915 14
Logo a janela aindaconsegue distinguiras 2 componentes
Largura do lóbulo principal
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
10
Porém, reduzindo para L=32
Já não se consegue perceberos dois picos.
0.815ml
Aumentar a resoluçãoda DFT resolve??
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
11
Ex.: 10.7 Usando zero-padding no sinal anterior para fazera DFT de 64 pontos.
N=32
N=64
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
12
N=128
N=1024
DTFT estimadado sinal com L=32
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
13
DFT N=1024L=32
Ex.:10.8
L=42
L=54
L=64
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
14
10.3. Transformada de Fourier Dependente do Tempo
Até agora consideramos que os sinais eram estacionáriosno tempo, isto é, as propriedades dos sinais não variavamdo início ao fim da janela.
No entanto a maioria dos sinais naturais não sãoestacionários. Ex.: Voz, música, imagem, vídeo.
Nestes casos as propriedades espectrais dos sinaisvariam com o tempo. Necessitamos de uma ferramentacapaz de fazer esta análise.
Short-Time Fourier Transform: STFTou Transformada de Fourier dependente do tempo.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
15
[ , ) [ ] [ ]. j m
m
X n x n m w m e
A transformada de Fourier dependente do tempo de umsinal x[n] é definida como:
Onde:n: amostra temporal (discreta): Frequência (Contínua: análoga ao , porém dependente do tempo)w[n]: Janela
Logo X[n,) é uma função de duas variáveis, 2-D
Pode ser vista como a Transformada de Fourier do sinaldeslocado no tempo x[n+m] janelado por w[m].
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
16
Ex.: 10.9
20[ ] cosx n n 6
0 2 7.5 10
Espectrograma:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
17
10.5. Análise de Fourier de Sinais Não-Estacionários
Sinais Estacionários: Sinais cujas propriedades estatísticas (momentos) não se alteram com o tempo.
A magnitude da Transformada de Fourier não se alterano tempo, apenas a fase das componentes.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
18
Exemplo de aplicação: Análise de Sinais de Voz
- Sons Vozeados: A E I O U- Sons Fricativos: X, S - Sons Fricativo-Vozeados: V, F, Z- Sons explosivos: B, P
Formantes: Frequências naturais de ressonânciadas cavidades que compõe o trato vocal.
Faixa de frequências: 50 a 15kHz (20kHz mulheres e crianças)Porém: mantém alta inteligibilidade mesmo limitada 3kHzTelefonia: considera-se 300Hz a 3400kHz, usa-se fs=8kHz
O sistema vocal pode ser pensado como um sistema varianteno tempo. E a voz como a resposta desse sistema à uma entradatrem de pulso quase-periódico (vozeados) ou ruído branco (fricativos).
A voz pode ser considerada um sinal estacionário em janelas de15ms a 20ms.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
19
Mostrar: SpectroLab
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
20
10.6. Análise de Fourier de Sinais Randômicos
Sinais randômicos (estocásticos): Sinais que não possuem uma formulação matemática definida, porém podem ser caracterizados por medidas estatísticas (momentos).
1
0
1ˆ [ ]
L
xn
m x nL
Média:
Variância: 1
22'
0
1ˆ ˆ[ ]
L
x xn
x n mL
Estas são estimativas das verdadeiras varáveisbaseados em L amostras. A estimativa tende ao valorverdadeiro a medida que L
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
21
Problema mais comum: Como estimar a densidade Espectral de Potência de um sinal randômico contínuo ?
Podemos estimar através do Espectro do sinal amostrado e janeladoAtravés da Relação:
( )cs t( )ssP
1
0
[ ] [ ]L
j n
n
V w n x n e
[ ] [ ] [ ]v n x n w n
21( ) ( )I V
LU
Se w[n] é a Janela Retangular I() é dito periodogramaSe w[n] é outra janela I() é dito periodograma modificado
Usando a DFT para calcular o espectro V() temos:
21( ) [ ]kI V k
LU
1
2
0
1[ ]
L
n
U w nL
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
22
Cuidado no cálculo do periodograma amostrado I(k):
- Se o sinal x[n] possuir um nível DC (média não nula), este deve ser retirado de modo a não obscurecer possíveis baixas frequências existentes, devido ao leakage. No entanto demostra-se que:
2( ) ( )xxVar I P
Não é um estimador consistenteuma vez que a variância não tende a zeroapenas com o incremento da Janela
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
23
Ex.: Ruido brancodistribuição uniforme.
Idealmente:2( ) 1xx xP
212 (2 / )
0
1 1[ ] ( ) [ ] [ ] [ ].
Ljkn N
kn
I k I V k w n x n eL L
Periodogramascalculados por:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
24
Um estimador consistente é a média de K periodogramas:
21( ) ( )xxVar I P
K
Uma vez que a variância tente a zero com o aumento de K
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
25
Ex.: 0[ ] cos [ ]x n A n e n
e[n] ruído branco de distribuição uniforme com média zero e variância unitária
A=0.5 0=2/21 e fase randômica 0 <2
3 [ ] 3e n
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
26
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
27
10.7. Analise espectral de sinais randômicos usando a função de autocorrelação.
Baseia-se no Princípio que:
A Densidade Espectral de Potência de um Sinal podeser calculada como a Transformada de Fourier da função de autocorrelação do sinal.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
28
Ex.1: Deseja-se analisar em frequência um sinal estacionáriocuja frequência máxima é 1.25kHz, com resolução de 5Hz. a)Qual a taxa de amostragem mínima a ser utilizada?b)Quantas amostras necessito adquirir?
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
29
a) Mínima freq. de amostragem:Taxa de NyquistFs>2*1.25kHz Fs>2.5kHzLogo
sk
Ts 4005.2
1
b) P/ resolução de 5Hz
sToTo
2.051
Tamanho da janela:
Logo necessito:
500400
2.0 N
T
ToN
s Uso N=512 p/ Radix-2 FFT
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
30
Ex.2: Um certo processador de FFT tem uma capacidademáxima de computar FFT 2048 pontos e o tempo requeridopara carregar e computar um espectro é de 200ms. O processador atua em tempo real, e uma memóriaauxiliar é utilizada para fazer a aquisição enquanto a FFTe computada.a) Qual a mais alta frequência que pode ser resolvida?b) Qual a resolução em frequência obtida?
TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
31
Sistema processa/captura 2048 amostras em 200ms, logoO período de amostragem é:
kHzfssm
Ts 24.1065.972048
200
a) Maior frequência resolvível: kHzfs
fh 12.52
b) Resolução em frequência: HzmTo
fo 5200
11