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7/31/2019 relatorio_cientifico_fapesp

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Relatrio Final referente ao Processo FAPESP 2009/01577-4

Anderson Ricardo Justo de Arajo

Orientador: Prof. Dr. Srgio Kurokawa

Ilha Solteira, 14 de outubro de 2010

REPRESENTAO DE LINHAS DE TRANSMISSO POR MEIO DEUMA CASCATA DE CIRCUITOS :

ANLISE DA PERFORMANCE DESTE MODELO POR MEIO DECOMPARAES COM O UNIVERSAL LINE MODEL


2/122

NDICE

Apresentao I

1 Resumo do plano inicial II

2 Resumo das atividades que foram desenvolvidas entre

01/02/2010 e 31/08/2010 IV

3 Anlise dos progressos realizados e dos resultados parciais obtidos VI

4 Assinaturas VI

Anexos:

Anexo 1: Histrico escolar

Anexo 2: Comprovantes de participaes em congressos cientficos e em concursos de

papers

Anexo 3: Prmios recebidos

Anexo 4: Trabalhos aceitos e/ou submetidos

Anexo 5: Relatrio de pesquisa


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4/122

II

1 Resumo do plano inicial

O plano inicial tinha como principal objetivo fazer um estudo a respeito das

equaes diferenciais que modelam a linha de transmisso, solues das equaes

diferenciais para os casos clssicos de modo a conhecer os fenmenos de propagao das

ondas de tenso e de corrente, estudo dos parmetros da linha de transmisso e, em seguida,

desenvolver um algoritmo computacional que resolva as equaes diferencias no domnio

do tempo.

O projeto foi previsto para ser desenvolvido em 08 etapas, conforme mostrado em

seguida.

Etapa 1: Estudo das equaes diferencias da linha de transmisso.

Etapa 2: Estudo qualitativo dos fenmenos de propagao de ondas em linhas ideais,

tomando como base as solues das equaes de propagao.

Etapa 3: Clculo das correntes e tenses nos terminais da linha no domnio da freqncia.

Etapa 4: Estudos e implementao de um algoritmo que calcula numericamente a

transformada inversa de Laplace.

Etapa 5: Implementao do Universal Line Model.

Etapa 6: Representao da linha por meio de uma cascata de circuitos .

Etapa 7: Comparao dos modelos.

Etapa 8: Anlise de resultados e elaborao de relatrio.

As etapas mencionadas anteriormente foram ser desenvolvidas de acordo com o

cronograma mostrado na tabela 1.


5/122

III

Tabela 1 - Cronograma de execuo do projeto.

Na tabela 1, as atividades 1-4 foram desenvolvidas e descritas no primeiro

relatrio parcial entregue em fevereiro de 2010. Neste relatrio parcial sero descritas as

atividades 5-8.


6/122

IV

2 Resumo das atividades que foram desenvolvidas entre 01/02/2010 e

31/08/2010

Foram desenvolvidas as seguintes atividades.

Atividades desenvolvidas na etapa 5:

Utilizando o algoritmo e o programa computacional citado na 1a

etapa, o aluno

implementou o Universal Line Model (ULM)para obter as correntes e tenses na linha de

transmisso, simulando diversas condies para a mesma. Foi verificado que as respostas

obtidas com ULM estavam de acordo com a teoria, assim o modelo pode ser utilizado para

estudo de transitrios eletromagnticos em linhas de transmisso.


Nesta etapa a linha de transmisso foi representada utilizando circuitos conectados

em cascata, sendo que o modelo utiliza o conceito de variveis de estado que descrevem ocomportamento das tenses e correntes na mesma. Foi elaborada uma regra de formao

para as matrizes de estado da linha, sendo possvel a montagem destas matrizes por

inspeo para a linha em aberto, com carga resistiva e em curto-circuito. Foram mostrados

o comportamento das correntes e tenses em uma linha de transmisso monofsica

energizada com tenso constante e a influncia da quantidade de circuitos conectados em

cascata que representam a mesma para diversas condies. Para as quantidades em torno de

50 a 100 circuitos conectados em cascata, foram obtidas respostas que apresentaram o

comportamento esperado para cada condio estabelicida no terminal B da linha, conforme

a teoria.


Nesta etapa foram realizadas comparaes entre os modelos Universal Line Model e

cascata de circuitos para estudar o comportamento da corrente e da tenso numa linha de


7/122

V

transmisso monofsica no processo de energizao. Foram obtidas as correntes e tenses

da linha para diversas condies no terminal B da mesma. Comparando o modelo Universal

Line Model com o modelo da cascata de circuitos , este representa adequadamente (se as

oscilaes forem desconsideradas) o comportamento de uma linha monofsica submetida

ao processo de energizao. Pode-se verificar que para quantidades em torndo de 50

circuitos conectados em cascatas para representar uma linha de 100 km, podemos

representar de maneira fiel o comportamento transitrio das correntes e tenses nas linhas

de transmisso. As oscilaes observadas decorrem do fato de representarmos um pequeno

segmento de linha, cujos parmetros so distribudos, por um circuito com elementos

discretos de circuitos. Assim o modelo da cascata de circuitos

pode ser utilizado paraestudar o transitrio eletromagntico de uma linha de transmisso monofsica submetida ao

processo de energizao.


Os resultados foram analisados e documentados na forma de relatrio cientfico, de

modo tal a servir como referncia para a continuidade da pesquisa. Os resultados foram

divulgados congressos/reunies de iniciao cientfica.


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ANEXO 1

Histrico escolar


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11/122


12/122


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ANEXO 2

comprovantes de participaes em congressos cientficos e em concursos de papers


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Relao dos eventos e trabalhos

1 Participao no Encontro de Pesquisadores em Sistemas de Potncia, SisPot, com o

trabalho Anlise da Propagao de ondas em Linhas de Transmisso utilizando a

Transforamada Inversa de Laplace realizado nos dias 29 a 31 de maro setembro de

2010, na Faculdade de Engenharia Eltrica e de Computao da Universidade Estadual

de Campinas, UNICAMP, Campinas, So Paulo.

2 Participao no XXII Congresso de Iniciao Cientfica de Ilha Solteira, trabalho

Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e

Conseqncia desta Aproximao realizado nos dias 15 e 16 de setembro de 2010, Ilha

Solteira, So Paulo.

3 Classificao para a 2a fase do Congresso de Iniciao Cientfica, com trabalho


Conseqncia desta Aproximao que ser realizado em Marlia nos dias 13 a 15 de

novembro de 2010.

4 Classificao para o 18o Simpsio internacional de iniciao cientfica da USP

(SIICUSP 2010), com trabalho Representao de Linhas de Transmisso por meio de

Parmetros Discretos e Conseqncia desta Aproximao que ser realizado em So

Paulo nos dias 16 a 19 de novembro de 2010.

5 Participao no Concurso de Papers IEEE 2010, com o trabalho Comparao entre

Mtodos Numricos para o Estudo de Transitrios Eletromagnticos em Linha de

Transmisso.

6 Classificao para o IEEE/PES T&D 2010 Latin Amrica, com trabalho


Conseqncia desta Aproximao que ser realizado em So Paulo nos dias 8 a 10 de

novembro de 2010.


15/122


16/122


17/122

IICUSP - Cadastro de Orientador.

Assunto: 18 SIICUSP - Cadastro de Orientador.

De: [email protected]

Data: Thu, 26 Aug 2010 14:02:00 -0300 (BRT)

Para: [email protected]

Prezado(a) Professor(a),

Sergio Kurokawa

O Sr(a). foi incluido como Orientador(a) no 18 SIICUSP - Simpsio Internacional deIniciao Cientfica da Universidade de So Paulo, no trabalho apresentado pelo

aluno(a)Anderson Ricardo, sob o ttulo Representao de Linhas de Transmisso por meio

de Parmetros Discretos e Consequncias desta Aprox.

Informamos a necessidade da validao por parte de Vossa Senhoria, da inscrio e do

trabalho apresentado at a data de 14 de setembro de 2010, para isso o senhor dever

entrar com o usurio e senha abaixo informado no site http://sistemas.usp.br/siicusp.

Usuario: 08509462801

Senha : bf2b4

Caso o Senhor(a) no concorde com os dados apresentados, antes da validao dever

solicitar ao seu aluno(a) a reviso, e aps alterao, o Senhor receber novo e-mail

para validao.

Informamos ainda que a no validao impedir a participao/apresentao do trabalho.

Salientamos que de responsabilidade o Aluno(a)/Orientador(a) os dados informados na

inscrio.

Maiores esclarecimentos:

e-mail: [email protected]

Tel (11) 3091-3198 ou 3091-2035

Fax (11) 3816-7831


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t of paper submission #979 for T&D 2010

Assunto: Result of paper submission #979 for T&D 2010

De:[email protected]

Data: Wed, 06 Oct 2010 16:12:50 -0300

Para: [email protected], [email protected],

Seu artigo foi aceito.

PID979

Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros Discretos e Consequncias

desta Aproximao

Caro autor,

Temos a felicidade de informar que seu artigo foi aceito para apresentao no

IEEE/PES T&D 2010 - Latin America que acontecer entre 8 e 10 de Novembro de 2010 em

So Paulo.

O seu artigo foi revisado e seguem abaixo os comentrios dos revisores.

Mudanas no artigo podem ser feitas com base nos comentrios dos revisores e reenviadas

atravs do site de submisso http://www.t-dlamerica2010.pea.usp.br/ieee/openconf.php

at 06 de Outubro.

Gostaramos de lembrar que a inscrio est disponvel no site do congresso em:

http://www.ieee.org.br/t-dlamerica2010/form_registro.htm e que a publicao est

condicionadaa inscrio de pelo menos um autor no congresso.

Para maiores informaes sobre data, local e horrio da apresentao estaro

disponveis

no site oficial http://www.ieee.org.br/t-dlamerica2010/index2.html

Havendo qualquer problema, entre em contato conosco.

Atenciosamente,

Charmain

Jos Antonio Jardini.

Recomendo aprovao na forma como est.


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ANEXO 3

Prmios recebidos


20/122

1 Meno honrosa recebida no XXII Congresso de Iniciao Cientfica de Ilha Solteira,

com trabalho Representao de Linhas de Transmisso por meio de Parmetros

Discretos e Conseqncia desta Aproximao realizado nos dias 15 e 16 de setembro

de 2010, Ilha Solteira, So Paulo.


21/122


22/122

ANEXO 4

trabalhos aceitos e/ou submetidos


23/122

1 Artigo aceito para publicao no informativo PET/CA/IEEE, com o ttulo


Conseqncia desta Aproximao que ser editado no ms de novembro de 2010.

2 Artigo a ser submetido para a revista eletrnica IEEE Amrica Latina, com o ttulo

Influncia do uso de Parmetros Discretos em Representao de Linhas de

Transmisso.


24/122

ANEXO 5

Relatrio de pesquisa cientfica


25/122

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Relatrio Final de Pesquisa

Processo FAPESP 09/01577-4

Anderson Ricardo Justo de Arajo

Orientador: Prof. Dr. Srgio Kurokawa

Ilha Solteira, 01 de outubro de 2010

REPRESENTAO DE LINHAS DE TRANSMISSO POR MEIO DE

UMA CASCATA DE CIRCUITOS : ANLISE DA PERFORMANCEDESTE MODELO POR MEIO DE COMPARAES COM O UNIVERSAL

LINE MODEL


26/122i

SUMRIO

Captulo 1 Transformada de Laplace1.1 Introduo 01

1.2 Definio da Transformada de Laplace 01

Captulo 2 Universal Line Model

2.1 Introduo 03

2.2 Equaes de correntes e tenses da linha no domnio da frequncia 03

2.3 Universal Line Model 06

2.3.1 Aplicao do ULM na energizao da linha em aberto 06

2.3.2 Aplicao do ULM na energizao da linha em curto-circuito 09

2.3.3 Energizao da Linha com uma Carga ZC 11

2.4- Concluso 14

2.5- Softwares desenvolvidos 14

Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos3.1 Introduo 18

3.2 Representao de uma linha por meio de uma cascata de circuitos 18

3.3 Descrio da linha atravs de variveis de estado 20

3.4 Descrio das correntes e tenses por meio de variveis de estado 20

3.4.1Representao da linha em aberto 20

3.4.2 Representao da Linha em Curto-Circuito 26

3.4.3 Representao da Linha em Carga resistiva Ro 32

3.5 Concluses 37

Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de

transmisso

4.1 Introduo 38

4.2 Resultados obtidos para linha representada por parmetros discretos. 38

4.2.1 Energizao de uma linha de transmisso em aberto. 39

4.2.2 Energizao de uma linha de transmisso em curto-circuito 45


27/122ii

4.2.3 Energizao de uma linha de transmisso com carga

igual impedncia caracterstica da linha. 51

4.3 Concluses 57

4.4- Softwares desenvolvidos 57

Captulo 5 Anlise da perfomance do modelo e do universal line model.

5.1 Introduo 69

5.2 Resultados obtidos das comparaes entre modelos. 69

5.2.1 Energizao de uma linha de transmisso em aberto. 70

5.2.2 Energizao de uma linha de transmisso em curto-circuito. 78

5.2.3 Energizao de uma linha de transmisso com carga resistiva |ZC| 85

5.3 Concluses. 92

Concluses 93

Referncias Bibliogrficas

Assinaturas


28/122

Captulo 1 Transformada de Laplace

1

1TRANSFORMADA DE LAPLACE.

1.1-Introduo.

Na anlise de circuitos eltricos, as correntes e tenses em seus elementos podem

ser descritos por meio de equaes diferenciais no domnio do tempo. A soluo destas

equaes diferenciais podem ser de difcil resoluo no domnio do tempo. Aplicando a

tcnica da transformada de Laplace, as equaes ntegro-diferenciais so convertidas em

um conjunto de equaes algbricas, ou seja, transporta-se a anlise do domnio do tempo

para o domnio da frequncia, onde esta nova equao pode ser resolvida. Aplicando a

tcnica da transforma inversa de Laplace a soluo desta equaces convertida para o

domnio do tempo.

1.2- Definio da Transformada de Laplace.

A transformada de Laplace de uma funo f(t) definida pela equao.

Onde s a frequncia complexa, escrita como sendo:

e assume que a f(t) possui a seguinte propriedade

importane notar que as condies iniciais dizem a respeito do funcionamento do

circuito antes do instante t=0, e portanto nossa anlise descrever a operao do circuito

para t0.Para que a exista a transformada de Laplace a funo f(t) deve satisfazer a

condio:

L dtetfsFtf ts

0

(1.1)

s = + j (1.2)

0)( tf , 0t (1.3)


29/122

Captulo 1 Transformada de Laplace

2

A equao (1.4) deve ser obedecida para algum valor de .

Devido ao fator de convergncia tse , existe um nmero importante de funes que

tm a transformada de Laplace.Uma vez obtida a resposta no domnio da frequncia utliza-

se a transformada inversa de Laplace, definida por (1.5), para obter a resposta temporal da

equao diferencial.

Na equao (1.5) o termo L 1 [F(s)] corresponde tranformada inversa de Laplace

da funo F(s). O termo 1 real e deve obedecer seguinte condio:

Assim as equaes diferenciais no domnio do tempo podem ser resolvidas no

domnio da frequncia utilizando a transformada de Laplace ,cuja as solues so mais

simples. Em seguida, a transformada inversa de Laplace aplicada nas equaes de modoa obter as solues no domnio do tempo.

dttfe

t

0

(1.4)

L 1 dsesFj

tfsFts

j

j

1

1

2

1

(1.5)

1 (1.6)


30/122


3

2UNIVERSAL LINE MODEL

2.1 Introduo.Uma linha de transmisso caracterizada pelo fato de seus parmetros serem

distribudos ao longo de seu comprimento. Este fato faz com que as tenses e correntes ao

longo da linha comportem-se como ondas e estas so descritas por equaes diferenciais.De

modo geral, as equaes diferenciais mencionadas so de difcil soluo no domnio do

tempo, devido presena de integrais de convoluo, mas no domnio da frequncia estas

equaes se tornam mais simples e suas solues so conhecidas.

A soluo no domnio da freqncia genrica e pode ser aplicada para qualquer

condio da linha, considerando os parmetros fixos e/ou variveis em funo dafreqncia. Quanto soluo no domnio do tempo, a mesma depende de integrais de

convoluo cujas solues no so facilmente obtidas. Uma alternativa consiste em

transformar as equaes de correntes e tenses temporais em equaes algbricas utilizando

a Transformada de Laplace, encontrar as solues das mesmas e em seguida, aplicando a

Transformada Inversa de Laplace, que pode ser implementada por mtodos numricos [11].

Quando a Transformada Inversa de Laplace aplicada nas equaes de correntes e tenses

de uma linha monofsica, escritas no domnio da frequncia, obtm-se um modelo de linha

denominado Universal Line Model (ULM).

2.2 Equaes de correntes e tenses da linha no domnio da frequncia.Nas equaes diferenciais da linha, considera-se que os parmetros da mesma so

constantes. No entanto, os parmetros longitudinais geralmente so variveis em funo da


31/122


4

freqncia, aumentando deste modo a dificuldade em se obter as solues das mesmas.

Considere uma linha de transmisso de comprimento d, conforme mostra a figura 2.1:

Figura 2.1: Linha de transmisso de comprimento d.

A linha mostrada na figura 2.1 possui uma impedncia e uma admitncia dada por:

LjRZ (2.1)

CjGY (2.2)

Onde R e L so os parmetros longitudinais, C e G so os parmetros transversais

da linha por unidade de comprimento. Na figura 01 IA() e IB() so as correntes nos

terminais A e B da linha, enquanto que VA() e VB() so as tenses nestes terminais. As

equaes das correntes no domnio da frequncia so dadas por:

Onde os termos YAA(), YAB(), YBA() e YBB () so calculados por :

))((cosh dYAA (2.5)

))(( dsenhZY CAB (2.6)

))((1

dsenhZ

YC

BA (2.7)

))((cosh dYBB (2.8)

BABBAAA IYVYV )( (2.3)

BBBBBAA IYVYI )( (2.4)


32/122


33/122


6

2.3 Universal Line Model.

As equaes (2.3) e (2.4) permitem calcular as correntes e tenses nos terminais da

linha no domnio da frequncia. Para obter estas correntes e tenses no domnio do tempo,

em [11] proposto a aplicao da transformada inversa de Laplace nestas equaes,

resultando em um modelo denominado Universal Line Model (ULM). Ento, aplicando a

transformada inversa de Laplace nas equaes (2.3) e (2.4) obtm-se:

O clculo das correntes e tenses, por meio das equaes (2.12) e (2.13), realizado

utilizando o algortmo proposto em [11].

2.3.1 Aplicao do ULM na energizao da linha em aberto.

A figura 2.2 mostra uma linha de comprimento d que alimentada por uma fonte

de tenso contnua V e o terminal B esteja em aberto.

Figura 2.2 - Energizao da linha com extremidade aberta.

Na figura 2.2, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso de

valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1

mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que

no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor infinito

deEYdeEYILti tjj

jBAB

tjj

jAAAAA

.2

1)()(

2

11 (2.12)

deEYdeEYILti tj

j

jBBB

tj

j

jABABB

.2

1)()(211 (2.13)


34/122


7

(RCARGA infinita ), teremos que a corrente no terminal B (corrente IB) ser nula. Aplicando

esta condio nas equaes (2.3) e (2.4) e isolando as variavis VB () e IA () obtemos:

As equaes (2.14) e (2.15) descrevem as correntes e tenses no domnio frequncia

para uma linha em aberto. Aplicando a Transformada Inversa de Laplace nas equaes

(2.14) e (2.15) obtemos:

As equaes (2.16) e (2.17) representam tenso no terminal B e a corrente no

terminal A no domnio do tempo para uma linha em aberto. Devido a dificuldade de

resoluo das mesmas no domnio do tempo, devido a presena de funes hiperblicas e

integrais, sero utilizadas as equaes (2.14) e (2.15) que esto no domnio da frequncia.

Para a resoluo destas, ser aplicado o mtodo numrico proposto por [11] e em seguida,

aplicando a transformada inversa de Laplace, sero obtidas as respostas no domnio do

tempo. Inicialmente utilizando a equao (2.14), temos que a tenso no terminal B da linha

de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.3:

))((cosh

)(d

VV A

B

(2.14)

AC

AVd

ZI ))((tanh

1)(

(2.15)

j

j

tjA

BBde

d

VVLtv

))((cosh2

1)]([)( 1

(2.16)

j

j

tj

A

C

AAdeVd

ZILti

))((tanh

1

2

1)]([)( 1

(2.17)


35/122


8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

tempo (ms)

tenso

(kV)

Figura 2.3: Tenso no terminal B obtida pelo ULM.

Pode-se verificar que a tenso no terminal B da linha tem inicialmente seu valor

inicial duplicado e em seguida, devido a resitncia da linha de transmisso, decresce at

atingir o valor de 20kV em regime estacionrio. Na equao (2.15), temos que a corrente

no terminal A da linha de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.4:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

tempo (ms)

Corrente(A)

Figura 2.4: Corrente no terminal A obtida pelo ULM.

Pode-se verificar que a corrente no terminal A da linha tem o valor inicial de 66 A e

diminui at atingir o valor de 0 A em regime estacionrio, devido a resitncia da linha de

transmisso.


36/122


9

2.3.2 Aplicao do ULM na energizao da linha em curto-circuito.


de tenso contnua V e o terminal B esteja em curto-circuito.

Figura 2.5 - Energizao da linha com extremidade em curto-circuito.




no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor nula

(RCARGA nula ), teremos que a tenso no terminal B (VB) ser nula. Aplicando esta

condio nas equaes (2.3) e (2.4) e isolando as variavis IA () e IB () obtemos:

As equaes (2.18) e (2.19) descrevem as correntes nos terminais A e B no domnio

da frequncia para uma linha em curto-circuito. Aplicando a Transformada Inversa de

Laplace nas equaes (2.18) e (2.19) obtemos:

AC

AVd

ZI ))((coth

1)(

(2.18)

AC

BVdh

ZI ))((csc

1)(

(2.19)

j

j

tj

A

C

AAdeVd

ZILti

))((coth

1

2

1)]([)(

1

(2.20)

j

j

tj

A

C

BBdeVdh

ZILti

))((csc

1

2

1)]([)( 1

(2.21)


37/122


10

As equaes (2.20) e (2.21) representam as correntes nos terminais A e B

respectivamente da linha de transmisso em curto-circuito. Devido a dificuldade de

resoluo das mesmas no domnio do tempo, devido a presena de funes hiperblicas e

integrais, sero utilizadas as equaes (2.18) e (2.19) que esto no domnio da frequncia.

Para a resoluo destas, ser aplicado o mtodo numrico proposto por [11] e em seguida,

aplicando a transformada inversa de Laplace, sero obtidas as respostas no domnio do

tempo. Inicialmente utilizando a equao (2.18), temos que a corrente no terminal A da

linha de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.6:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

100

200

300

400

500

600

700

800

tempo (ms)

Corrente(A)


Pode-se verificar que a corrente no terminal A da linha tem inicialmente o valor de

66 A e em seguida cresce at atingir o valor de 4000 A no regime estacionrio. Na equao

(2.19), temos que a corrente no terminal B da linha de transmisso apresenta o

comportamento conforme a figura 2.7:


38/122


11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

Corrente(A)


Na figura 2.7 a corrente no terminal B da linha tem o valor inicial de 0 A e em

seguida diminui at atingir o valor de regime estacionrio.

2.3.3 Energizao da Linha com uma Carga ZC.


de tenso contnua V e no terminal B est conectada uma carga resistiva cujo o valor

corresponde ao mdulo da impedncia caracterstica da linha (|ZC |).

Figura 2.8: Energizao da linha com uma carga resistiva |ZC |.

.


valor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0.05 /km, L= 1

mH/km, G=0.1nS/km e C= 11.11 nF/km e comprimento d de 100 km. Considerando que


39/122


12

no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor igual ao mdulo da

impedncia caracterstica |ZC |.A tenso no terminal da carga pode ser determinada usando

a equao (2.22).

Aplicando a equao (2.22) nas equaes (2.3) e (2.4) e isolando as variavis VB ()

e IB () obtemos:

As equaes (2.23) e (2.24) descrevem o comportamento da tenso e corrente no

terminal B da linha, quando conectada a carga resistiva equilavente ao mdulo da

impedncia caracterstica da linha. Aplicando a Transformada Inversa de Laplace nas

equaes (2.23) e (2.24) obtemos:

As equaes (2.25) e (2.26) representam a tenso e a corrente no terminal B da

linha de transmisso conectada a uma carga resistiva no domnio do tempo. Devido a

dificuldade de resoluo das mesmas no domnio do tempo, devido a presena de funes

hiperblicas e integrais, sero utilizadas as equaes (2.23) e (2.24) que esto no domnio

da frequncia. Para a resoluo destas, ser aplicado o mtodo numrico proposto por [11]

e em seguida, aplicando a transformada inversa de Laplace, sero obtidas as respostas no

domnio do tempo. Inicialmente utilizando a equao (2.23), temos que a corrente no

terminal A da linha de transmisso apresenta o comportamento conforme a figura 2.9:

)(B

V C

Z )(B

I (2.22)

)))((())(cosh((

)(dsenhd

VV A

B

(2.23)

)))((())(cosh((

1)(dsenhd

VZ

I A

C

B

(2.24)

j

j

tjA

BBde

dsenhd

VVLtv

)))((())(cosh((2

1)]([)( 1

(2.25)

j

j

tjA

C

BBde

dsenhd

V

ZILti

)))((())(cosh((

1

2

1)]([)( 1

(2.26)


40/122


13

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-5

0

5

10

15

20

25

30

tempo (ms)

Tenso(kV)

Figura 2.9: Tenso no terminal B para umacarga resistiva resistiva |ZC |.Pode-se verificar que a tenso no terminal B da linha mantm seu valor em 20 kV

em todo o comprimento da linha de transmisso. O tempo correspondente para a tenso

variar de 0 at 20 kV corresponde ao tempo de viagem da onda de tenso que percorre a

linha de transmisso com a velocidade aproximadamente a da luz.

Na equao (2.24), temos que a corrente no terminal A da linha de transmisso

apresenta o comportamento conforme a figura 2.10:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

tempo(ms)

corrente(A)

Figura 2.10: Corrente no terminal B para uma carga resistiva resistiva |ZC |.A corrente no terminal B da linha tem o valor inicial de 0 A e em seguida diminui

at atingir o valor de -66 A e este valor se mantm constante no regime estacionrio.


41/122


14

2.4- Concluso.As equaes diferenciais das correntes e tenses que modelam uma linha de

transmisso geralmente so de difceis solues devido a presena de integrais de

convoluo. Uma alternativa consiste em aplicar a transformada de Laplace nas mesmas e

obter equaes algbricas no domnio da freqncia, encontrar as solues e em seguida

converte-las no domnio do tempo utilizando a Transforma inversa de Laplace que pode ser

implementada utilizando mtodos numricos de resoluo. Utilizando o modelo ULM

pode-se verificar que o mesmo implementa as equaes no domnio da freqncia e

utilizando o algoritmo proposto obtm-se as respostas temporais das correntes e tenses na

linha conforme o esperado. Assim este modelo valido no estudo de transitrios

eletromagnticos e ser utilizado para comparao de resultados obtidos por outros

modelos de linhas de transmisso.

2.5 Softwares desenvolvidos para resoluo das equaes das correntes e tenses em

uma linha monofsica.

Todos os softwares utilizados nas simulaes foram desenvolvidos na plataforma

MATLAB

. Em seguida so mostrados os softwares desenvolvidos.

2.5.1-Software utilizado no item 2.3.1 (clculo da tenso e corrente no terminal B da

linha em aberto).

A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo das correntes e tenses

na linha de transmisso considerando o terminal B da linha em aberto.

T=5.12e-3;N=512*5;error=0.0001;dw=pi/T;dt=T/N;c=log(N^2)/T;t=dt*[0:N-1];m=[1:2:2*N];

s=c+i*m*dw;n=[0:N-1];Cn=(N*2*dw/pi)*exp(c*dt+i*pi/N).^n;


42/122


15

%%%%% parmetros de linha

r =7;%resistencia (ohm/km)%r=0.05l = 1e-3;%indutancia (henry/km)g = 0.1e-9;%condutancia (siems/km)cap =11.11*1e-9; %capacitancia (faraday/km)

z = (r*s./s) + (s*l);y = (g*s./s) + (s*cap);gama = sqrt(z.*y);d=100;% comprimento da linha em km

zc = sqrt(z./y); %Impedancia caracteristica;

%funtion in the s-dominiantau=0;va = 20000./s;

%%%%%circuito aberto em b

%Tenso no terminal B da linha em aberto eb=va./(cosh(gama*d));%Corrente no terminal A da linha em aberto

Ibc=va.*(1./zc).*tanh(gama*d);

Fs= va./(cosh(gama*d));

%choose a window function

sigma =0.42+0.5*cos(0.5*pi*m/N)+0.08*cos(pi*m/N);%Blackman

%function in the time domain through NLT

Fs=Fs.*sigma;ftd=ifft(Fs);ftd=(Cn.*ftd);

x=find(t>=tau);rotina_vetor_degrau;

Np=floor(N*0.95);fclose('all');plot(t(1:Np)*1000,1*real(ftd(1:Np)))

2.5.2-Software utilizado no item 2.3.2 (clculo das correntes nos terminais A e B da

linha em curto-circuito).

A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo das correntes nos

terminais A e B da linha de transmisso considerando o terminal B em curto-circuito.

T=5.12e-3;N=512*5;error=0.0001;dw=pi/T;dt=T/N;c=log(N^2)/T;t=dt*[0:N-1];


43/122


16

m=[1:2:2*N];

s=c+i*m*dw;n=[0:N-1];Cn=(N*2*dw/pi)*exp(c*dt+i*pi/N).^n;

%%%%% parmetros de linha

r =7;%resistencia (ohm/km)%r=0.05l = 1e-3;%indutancia (henry/km)g = 0.1e-9;%condutancia (siems/km)cap =11.11*1e-9; %capacitancia (faraday/km)

z = (r*s./s) + (s*l);y = (g*s./s) + (s*cap);gama = sqrt(z.*y);d=100;% comprimento da linha em km

zc = sqrt(z./y); %Impedancia caracteristica;

%funtion in the s-dominiantau=0;va = 20000./s;%%%%% curto-circuito em b%Corrente no terminal B da linha em curto

Ibc=-va.*(1./zc).*(csch(gama*10));%Corrente no terminal A da linha em curto

Iac=(va).*(1./zc).*(coth(gama*100));

Fs= (va).*(1./zc).*(coth(gama*100));

%choose a window function

sigma =0.42+0.5*cos(0.5*pi*m/N)+0.08*cos(pi*m/N);%Blackman

%function in the time domain through NLT

Fs=Fs.*sigma;ftd=ifft(Fs);ftd=(Cn.*ftd);

x=find(t>=tau);rotina_vetor_degrau;

Np=floor(N*0.95);fclose('all');plot(t(1:Np)*1000,1*real(ftd(1:Np)))

2.5.3-Software utilizado no item 2.3.3 (clculo das correntes nos terminais A e B da

linha em curto-circuito).A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo da tenso e a corrente

no terminal B da linha de transmisso conectada a uma carga resistiva equivalente ao

mdulo da impedncia caracterstica da mesma.

T=5.12e-3;N=512*5;error=0.0001;dw=pi/T;dt=T/N;


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45/122

Captulo 3 Representao da linha de transmisso utilizando parmetros discretos

18

3REPRESENTAODALINHADETRANSMISSO

UTILIZANDOPARMETROSDISCRETOS

3.1 Introduo.

A soluo das equaes diferenciais das correntes e tenses de uma linha de

transmisso so, de modo geral, de difcil obteno, devido a presena das integrais de

convoluo nas mesmas. Uma forma alternativa de estudar o comportamento destas

grandezas consiste em representar uma linha de transmisso por uma grande quantidade de

circuitos conectados em cascata. Esse modelo permite que sejam levadas em

considerao as perdas, o efeito da freqncia e o efeito corona [7]. Neste captulo, ser

mostrada a representao da linha por meio de uma cascata de circuitos , bem como as

tcnicas de obteno das correntes e tenses na linha de transmisso utilizando equaes de

estado. O modelo utiliza o conceito de variveis de estado, cujas matrizes de estado sero

obtidas a partir de uma cascata de circuitos . Ser feito um estudo visando descobrir uma

regra de formao para as matrizes de estado da linha, de modo que seja possvel montar

estas matrizes atravs de inspeo. A determinao das regras de montagem das matrizes

ser possibilita que o modelo possa ser implementado em qualquer linguagem de

programao computacional.

3.2 Representao de uma linha por meio de uma cascata de circuitos .Sabe-se que uma linha de transmisso de comprimento d pode ser representada, de

maneira aproximada e obedecendo a uma srie de restries, como sendo uma cascata de n

circuitos , conforme mostra a Figura 3.1.


46/122


19

Figura 3.1: Linha de transmisso representada por uma cascata de circuitos .

Na Figura 3.1, os parmetros R e L so, respectivamente, a resistncia e a indutncia

longitudinais de cada segmento de linha representado por um nico circuito . Os

parmetros G e C so, respectivamente, a condutncia e a capacitncia do segmento de

linha. Os parmetros R, L, G e C so escritos como sendo:

n

dRR '

(3.1)

n

dLL '

(3.2)

n

dGG '

(3.3)

n

dCC '

(3.4)

Nas equaes (3.1), (3.2), (3.3), e (3.4), os termos R', L',C'e G' so os parmetros da

linha, por unidade de comprimento. O modelo mostrado na Figura 3.1 no considera o

efeito da freqncia sobre os parmetros longitudinais da linha.

O modelo mostrado na Figuras 3.1 e fornecem as correntes e tenses da linha

diretamente no domnio do tempo, sem o uso de integrais de convoluo, e podem ser

facilmente implementado em programas do tipo EMTP. Devido ao fato de que programas

do tipo EMTP no so de fcil utilizao, diversos autores [NELMES,MAMIS] sugerem

descrever as correntes e tenses na cascata de circuitos por meio de variveis de estado.

As equaes de estado so, ento, transformadas em equaes de diferenas e podem ser

resolvidas utilizando qualquer linguagem computacional.


47/122


20

A representao da linha por meio de variveis de estado pode ser utilizada no

ensino de conceitos bsicos de propagao de ondas em linhas de transmisso, na anlise da

distribuio de correntes e tenses ao longo da linha e na simulao de transitrios

eletromagnticos em linhas de transmisso que tenham elementos no lineares.

3.3 Descrio da linha atravs de variveis de estado.

A linha mostrada na figura 3.1 pode ser representada utilizando variveis de

estado. Deste modo, as equaes de corrente e tenso ao longo da linha sero escritas sob a

forma:

Onde:

Na expresso (3.5) x um vetor constitudo das correntes nos elementos R e L de

cada circuito da cascata e das tenses nos elementos G e C. As matrizes A e B so as

matrizes de estado da linha e o vetor u(t) a tenso aplicada em um terminal da linha.

Em seguida, sero desenvolvidas as equaes de estado para a linha, considerando

diversas condies de carga da mesma.3.4 Descrio das correntes e tenses por meio de variveis de estado.

3.4.1Representao da linha em aberto.

Ser feito o desenvolvimento das equaes de estado de uma linha em aberto,

representada atravs de uma quantidade genrica de circuitos . Para que seja possvel

encontrar uma regra de formao para as matrizes considerando uma quantidade genrica

de elementos , o desenvolvimento ser feito inicialmente para um circuito , depois para

2, 3,...n, at que seja possvel montar as matrizes atravs de inspeo.

uBxAx (3.5)

dt

dxx

(3.6)


48/122


21

A figura 3.2 mostra uma linha representada utilizando um nico circuito .

Figura 3.2 Linha de transmisso representada por 01 circuito .

Aplicando a lei das tenses nas malhas de Kirchhoff na figura 3.2 obtm-se:

Sendo que:

Substituindo as equaes (3.9) e (3.10) nas equaes (3.7) e (3.8) obtm-se:

Logo da equao (3.11) tem-se:

Utilizando a notao para a derivada:

0)( 11

1 v

dt

diLiRtu

dtiC

vb

21

(3.7)

(3.8)

abiii 1

2

1 Gvia

(3.9)

(3.10)

dtvG

iC

v )2

(2

111 (3.11)

111 2

vC

Gi

Cdt

dv

(3.12)


49/122


22

Aplicando esta notao nas equaes (3.11) e (3.12).

Das equaes (3.13) e (3.14) tem-se:

O sistema mostrado na equao (3.15) representa a linha mostrada na figura 3.2

utilizando variveis de estado. A figura 3.3 mostra uma linha representada por 02 circuitos

conectados em cascata.

Figura 3.3 Linha de transmisso representada por 02 circuitos conectados em cascata.

A partir da figura 3.3 obtm-se as seguintes equaes:

edt

dii

1

1

dt

dvv

11

uLvLiLRi

/1/1/ 111 (3.13)

uvCGiCv

0//2 111 (3.14)

uL

v

i

CGC

LLR

v

i

0

/1

//2

/1/

1

1

1

1

(3.15)


50/122


23

Utilizando a notao para a derivada:

Das equaes (3.20) at (3.23) obtm-se:


atravs de variveis de estado. A figura 3.4 mostra uma linha representada atravs de 03

circuitos conectados em cascata.

011

1 vdt

diLiRu

(3.16)

dtvGiC

v )(1

111

(3.17)

022

21 vdt

diLiRv

(3.18)

dtvG

iC

v )2

(2 2

22

(3.19)

Para n = 1, 2 e dt

dii

n

n

e dt

dvv

n

n

tm-se:

uLvvLiiLRi /10/10/ 21211 (3.20)

uvvCGiCiCv

00//1/1 21211 (3.21)

uvLvLiLRii 0/1/1/0 21212 (3.22)

uvCGviCiv

0/0/20 21212 (3.23)

u

L

v

i

v

i

CGC

LLRL

CCGC

LLR

v

i

v

i

0

0

0

/1

//200

/1//10

0/1//1

00/1/

2

2

1

1

2

2

1

1

(3.24)


51/122


24

Figura 3.4 Linha de transmisso representada utilizando 03 circuitos conectados em

cascata.

Da figura 3.4 obtm-se as seguintes equaes:

0111 vdt

diLiRu

(3.25)

dtvGiC

v )(1

111

(3.26)

022

21 vdt

diLiRv

(3.27)

dtvGiiC

v )(1

2322

(3.28)

033

32 vdt

diLiRv

(3.29)

dtvG

iC

v )2

(2 3

33

(3.30)

Para n = 1, 2, 3 e dt

dii

n

n

e dt

dvv

n

n

tm-se:

(3.31)


52/122


25

Das equaes (3.32) e (3.37) obtm-se:


atravs de variveis de estado. Com base na representacao da linha utilizando 1, 2 e

3circuitos , pode-se generalizar esta representao para uma linha representada por meio

de n circuitos conectados em cascata. Deste modo, se a linha de comprimento d

representada por meio de n circuitos , as matrizes [A] e [B] dessa linha sero descritas

como sendo:

uLvvvLiiiLRi /100/100/ 3213211 (3.32)

uvvvCGiiCiCv

000/0/1/1 3213211 (3.33)

uvvLvLiiLRii 00/1/10/0 3213212 (3.34)

uvvCGviCiCiv

00/0/1/10 3213212

(3.35)

uvLvLviLRiii 0/1/10/00 3213213 (3.36)

uvCGvviCiiv

0/00/200 3213213

(3.37)

u

L

v

i

v

i

v

i

CGC

LLRL

CCGC

LLRL

CCGC

LLR

v

i

v

i

v

i

0

0

0

0

0

/1

//20000

/1//1000

0/1//100

00/1//10

000/1//1

0000/1/

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

(3.38)

CGC

LLRL

CCGC

LLR

A

//2

/1//1

/1//1

/1/

(3.39)

TL

L

0000

1

(3.40)


53/122


26

Analogamente, podem-se escrever os vetores [x] e [

x ] como sendo:

As equaes de (3.39) e (3.40) mostram que, quando uma linha de transmisso em

aberto representada por meio de uma cascata de n circuitos , a matriz de estado [A] dessa

linha uma matriz tridiagonal de dimenso 2n. A matriz de estado [B] possui dimenso 2n

x 1. Verifica-se, tambm, que as matrizes [A] e [B] podem ser montadas por inspeo, pois

as mesmas obedecem a uma regra de formao. Em um circuito de n circuitos , a matriz A

quadrada e possui dimenso 2n. Os elementos da superdiagonal (elementos A (2n,2n+1))

alternam entre (-1/L) e (-1/C). Os elementos na subdiagonal (elementos A (2n, 2n-1))

alternam entre (1/L) e (1/C). Os elementos da diagonal principal alternam entre (-R/L) e (-

G/C). O ltimo elemento da subdiagonal ser (2/C).

A matriz B possui uma nica coluna com 2n elementos onde o primeiro elemento

(1/L) e os outros elementos so nulos. Assim, tem-se a descrio sob a forma de variveis

de estado de uma linha de transmisso aberta.

3.4.2 Representao da Linha em Curto-Circuito.

Ser feito o desenvolvimento das equaes de estado de uma linha em curto-

circuito, representada atravs de uma quantidade genrica de circuitos . A figura 3.5mostra uma linha em curto-circuito representada atravs de um nico circuito .

Tnntvtitvtitvtix )()()()()()( 2211

(3.41)


(3.42)


54/122


27

Figura 3.5 Linha de transmisso em curto-circuito representada utilizando 01 circuito .

Sabendo-se que v1=0 devido ao curto-circuito, e a partir da figura 3.5, obtm-se:

Sendo, ib = ia= 0, ic =i1, e para dt

dii

11

tem-se:

Da equao (3.44) observa-se:


utilizando variveis de estado. A figura 3.6 mostra uma linha em curto-circuito

representada atravs de 02 circuitos conectados em cascata.

Figura 3.6 Linha de transmisso em curto-circuito representada utilizando 02 circuitos


0)( 11 dt

diLiRtu

(3.43)

uLiLRi /1/ 11 (3.44)

uLiLRi /1/ 11 (3.45)


55/122


28

Sabendo-se que v2=0 devido ao curto-circuito, e a partir da figura 3.6 obtm-se as

seguintes equaes:

Para n = 1, 2 e dt

dii

n

n

e dt

dvv

11

tm-se:

Das equaes (3.49)-(3.51) obtm-se:


usando de variveis de estado.

A figura 3.7 mostra uma linha em curto-circuito representada atravs de 03


011

1 vdt

diLiRu

(3.46)

dtvGiC

v )(1

111

(3.47)

0221 dt

diLiRv

(3.48)

uvLiLRii 0/1/0 1212 (3.49)

uvLiLRii 0/1/0 1212 (3.50)

uvCGiCiCv

0//1/1 1211 (3.51)

u

L

i

v

i

LRL

CCGC

LLR

i

v

i

0

0

/1

//10

/1//1

0/1/

2

1

1

2

1

1

(3.52)


56/122


29

Figura 3.7 Linha de transmisso em curto-circuito representada atravs de 03 circuitos


Observa-se que v3=0 e a partir da figura 3.7 obtm-se as seguintes equaes:

Para dt

dii

n

n

e dt

dvv

k

k

,onde n = 1, 2, 3 e k=1, 2, tm-se:

011

1 vdt

diLiRu

(3.53)

dtvGiC

v )(1

111

(3.54)

022

21 vdt

diLiRv

(3.55)

dtvGiiC

v )(1

2322

(3.56)

0332 dt

diLiRv

(3.57)


57/122


30

Das equaes (3.58) - (3.62) tem-se:


utilizando variveis de estado. Pode-se notar que apenas o ultimo circuito conectado em

cascata modificado, logo a modificao na matriz A imediata para o caso de n circuitos


A figura 3.8 mostra uma linha em curto-circuito representada utilizando n


Figura 3.8 Linha em curto-circuito representada porn circuitos conectados em cascata.

uLvvLiiiLRi /10/100/ 213211 (3.58)

uvLvLiiLRii 0/1/10/0 213212 (3.59)

uvLviLRiii 0/10/00 213213 (3.60)

uvvCGiiCiCv

00/0/1/1 213211

(3.61)

uvCGviCiCiv

0/0/1/10 213212

(3.62)

u

L

i

v

i

v

i

LRL

CCGC

LLRL

CCGC

LLR

i

v

i

v

i

0

0

0

0

/1

//1000

/1//100

0/1//10

00/1//1

000/1/

3

2

2

1

1

3

2

2

1

1

(3.63)


58/122


31

O sistema mostrado na equao (3.63) representa a linha mostrada na figura 3.7 utilizando

variveis de estado. Com base na representao da linha utilizando 1, 2 e 3 circuitos ,

pode-se generalizar esta representao para uma linha representada por meio de n circuitos

conectados em cascata. Deste modo, se a linha de comprimento d representada por meio

de n circuitos , as matrizes [A] e [B] dessa linha sero descritas como sendo:


x ] como sendo:


em curto- cricuito representada por meio de uma cascata de n circuitos ,considerando

como variveis de estado as correntes no indutor e as tenses no capacitor , obtm-se n

equaes de corrente e (n-1) equaes de tenso, pois a tenso no ltimo capacitor ser

nula. Portanto, o sistemas ser descrito por (2n-1) variveis de estado e a matriz [A] ser de

dimenso (2n-1)x(2n-1) e a matriz [B] ser de dimenso de (2n-1)x1.Verifica-se, tambm,

que as matrizes [A] e [B] podem ser montadas por inspeo, pois as mesmas obedecem a

uma regra de formao. Em um circuito de n circuitos , a matriz A quadrada e os

elementos da superdiagonal (elementos A (2n, 2n+1)) alternam entre (-1/L) e (-1/C). Os

elementos na subdiagonal (elementos A (2n, 2n-1)) alternam entre (1/L) e (1/C). Os

elementos da diagonal principal alternam entre (-R/L) e (-G/C). A matriz B possui uma

LRL

CCGC

CCGC

LLR

A

//1

/1//1

/1//1

/1/

(3.64)

TL

L

0000

1

(3.65)

Tnn

titvtvtitvtix )()()()()()( )()1(2211

(3.66)

Tnntitvtvtitvtix )()()()()()( )()1(2211

(3.67)


59/122


32

nica coluna onde primeiro elemento (1/L) e os outros elementos so nulos. Assim, tem-

se a descrio sob a forma de variveis de estado de uma linha de transmisso em curto-

circuito.

3.4.3 Representao da Linha em Carga resistiva Ro.

Ser feito o desenvolvimento das equaes de estado de uma linha em carga R,

representada atravs de uma quantidade genrica de circuitos . A figura 3.8 mostra uma

linha com carga R0 representada com um nico circuito .

Figura 3.8 Linha de transmisso em carga R representada com 01 circuito .

Da figura 3.8 obtm-se as seguintes equaes:

Sendo, Cabiiii

1 , 2

1 Gvia

e 0

1

R

viC

tem-se:

Logo da equao (3.70) obtm-se:

0)( 11

1 vdt

diLiRtu

(3.68)

dtiC

vb

21

(3.69)

dtR

vv

Gi

Cv )

2(

2

0

1111

(3.70)


60/122


33

Paradt

dii

11

edt

dvv

11

tm-se:

Das equaes (3.72)- (3.73) tem-se:

O sistema mostrado na equao (3.74)representa a linha mostrada na figura 3.8

utilizando as variveis de estado.A figura 3.9 mostra uma linha com carga R0 representada

utilizando 02 circuitos conectados em cascata.

Figura 3.9 Linha de transmisso em carga R representada utilizando 02 circuitos


A partir da figura 3.9 obtm-se as seguintes equaes:

1

0

01

1 22v

RC

RGi

Cdt

dv

(3.71)

uLvLiLRi /1/1/ 111

(3.72)

uvRC

RGiCv

02/2 10

011

(3.73)

uL

v

i

RCRGC

LLR

v

i

0

/1

/)2(/2

/1/

1

1

001

1

(3.74)


61/122


34

Para n = 1, 2 tem-se quedt

dii

n

n

edt

dvv

n

n

, logo:

Das equaes (3.79)- (3.82), tem-se:

011

1 v

dt

diLiRu

(3.75)

dtvGiC

v )(1

111

(3.76)

022

21 vdt

diLiRv

(3.77)

dtR

vvGi

Cv )

2(

2

0

2222

(3.78)

uLvvLiiLRi /10/10/ 21211

(3.79)

uvvCGiCiCv

00//1/1 21211

(3.80)

uvLvLiLRii 0/1/1/0 21212

(3.81)

uvRC

RGviCiv

02

0/20 20

01212

(3.82)

u

L

v

i

v

i

RCRGC

LLRL

CCGC

LLR

v

i

v

i

0

0

0

/1

/)2(/200

/1//10

0/1//1

00/1/

2

2

1

1

002

2

1

1

(3.83)


62/122


35


utilizando variveis de estado.A figura 3.10 mostra uma linha com carga R0 representada

por 03 circuitos conectados em cascata.

Figura 3.10 Linha de transmisso em carga R0 representada atravs de 03 circuitos


Por inspeo pode-se notar que apenas o elemento ),( nn da matriz G diferente,

em relao representao da linha em aberto, pois somente o ltimo circuito

modificado. Logo a representao atravs de variveis de estado fica:


utilizando variveis de estado. Com base na representao da linha utilizando 1, 2 e 3

circuitos , pode-se generalizar esta representao para uma linha representada por meio de

n circuitos conectados em cascata. Deste modo, se a linha de comprimento d

representada por meio den

circuitos

, as matrizes [A] e [B] dessa linha sero descritascomo sendo:

u

L

v

i

v

i

v

i

RCRGC

LLRL

CCGC

LLRL

CCGC

LLR

v

i

v

i

v

i

0

0

0

0

0

/1

/)2(/20000

/1//10000/1//100

00/1//10

000/1//1

0000/1/

3

3

2

2

1

1

003

3

2

2

1

1

(3.84)


63/122


36


x ] como sendo:


com uma carga resistiva conectada no terminal da mesma representada por meio de uma

cascata de n circuitos , considerando como variveis de estado as correntes no indutor e as

tenses no capacitor , obtm-se n equaes de corrente e n equaes de tenso. Portanto , o

sistemas ser descrito por 2n variveis de estado e a matriz [A] ser de dimenso 2n x 2n e

a matriz [B] ser de dimenso de 2n x 1.Verifica-se, tambm, que as matrizes [A] e [B]

podem ser montadas por inspeo, pois as mesmas obedecem a uma regra de formao. Em

um circuito de n circuitos , a matriz A quadrada e os elementos da superdiagonal

(elementos A (2n,2n+1)) alternam entre (-1/L) e (-1/C). Os elementos na subdiagonal

(elementos A (2n, 2n-1)) alternam entre (1/L) e (1/C). Os elementos da diagonal principal

alternam entre (-R/L) e (-G/C) e o ltimo elemento da diagonal principal

00/)2( RCRG .O ltimo elemento da subdiagonal ser (2/C). A matriz B possui uma

nica coluna onde primeiro elemento (1/L) e os outros elementos so nulos. Assim, tem-

se a descrio sob a forma de variveis de estado de uma linha de transmisso em curto-

circuito.

00/)2(/2

/1//1

/1//1

/1/

RCRGC

LLRL

CCGC

LLR

A

(3.85)

TL

L

0000

1

(3.86)


(3.87)


(3.88)


64/122


37

3.5 Concluses

Neste captulo foi mostrado o desenvolvimento de um modelo de linha de

transmisso desenvolvido diretamente no domnio do tempo. A representao da linha foi

feita utilizando circuitos conectados em cascata, sendo que o modelo utiliza o conceito de

variveis de estado. Foi elaborada uma regra de formao para as matrizes de estado da

linha, sendo possvel a montagem destas matrizes por inspeo para a linha em aberto, com

carga resistiva e em curto-circuito.


65/122

Captulo 4 Influncia do uso de parmetros discretos em representao de linhas de transmisso

38

4INFLUNCIA DO USO DE PARMETROS DISCRETOS EM

REPRESENTAO DE LINHAS DE TRANSMISSO

4.1 Introduo.

As solues das equaes diferenciais de uma linha de transmisso so, de modo

geral, de difcil obteno devido a manipulao matemtica necessria, quando se levam

em considerao as perdas da linha. Devido a esta caracteristica diversos modelos foram

propostos para a linha com perdas. Esses modelos no so representaes exatas da linha,

mas, sim, representaes aproximadas.

Um modelo bastante utilizado para uma linha de transmisso o que considera a

mesma como sendo constituda por uma grande quantidade de circuitos conectados em

cascata. Esse modelo permite que considerar as perdas, o efeito da freqncia e o efeito

corona. No captulo anterior, foram demonstradas as equaes de estados para as correntes

e tenses em uma linha de transmisso considerando a mesmo em aberto, curto-circuito e

com uma carga resistiva conectada ao seu terminal. Ser mostrada a influncia da

quantidade de circuitos conectados em cascata de modo a verificar o comportamento das

correntes e tenses na mesma. As equaes de estado so, ento, transformadas em

equaes de diferenas e podem ser resolvidas utilizando qualquer linguagem

computacional.

4.2 Resultados obtidos para linha representada por parmetros discretos.

Para verificar a performance do modelo da cascata de circuitos , ser realizado um

estudo da influncia da quantidade de circuitos por unidade de comprimento em uma

linha de transmisso. Como ilustrao sero estudados os casos em que a linha est


66/122


39

submetida ao processo de energizao por uma fonte de tenso constante e o termianal B da

mesma est em aberto, curto-circuito e com uma carga resistiva igual ao |Z C|

respectivamente.Como ilustrao, sero mostrados resultados da simulao da energizao

de uma linha monofsica de 100 km de comprimento, conforme mostra a figura 4.1.

Figura 4.1: Linha de transmissorepresentada por cascatas de circuitos .



mH/km, G=0,1nS/km e C= 11,11 nF/km. A linha mostrada na figura 4.1 foi representada

por meio de uma cascata de circuitos , considerando diversas quantidades de elementos .

Foram obtidos resultados para a linha com o terminal B em aberto, curto circuito e com

uma carga resistiva, cujo mdulo equivalente a |ZC| conectada.

4.2.1 Energizao de uma linha de transmisso em aberto.


de tenso contnua V e o terminal B esteja em aberto.

Figura 4.2 - Energizao da linha com extremidade aberta.





67/122


40

no terminal B da mesma existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor infinito

(RCARGA infinita ), teremos que a corrente no terminal B (corrente IB) ser nula. Os valores

das correntes e tenses na linha sero obtidos para as quantidades de 5, 10, 50 e 100

circuitos conectados em cascatas.

A figura 4.3 mostra o comportamento da tenso no terminal B da linha para a

quantidade de 5 circuitos conectados em cascatas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

0

10

20

30

40

50

60

tempo(ms)

tenso(kV)

N5

Figura 4.3 - Tenso no terminal B da linha em aberto com 5 circuitos .

A figura 4.3 mostra que a forma de onda da tenso no terminal B da linha de

transmisso apresenta grande distoro, devido a pequena quantidade de circuitos

conectados em cascata para representar a mesma. A tenso inicialmente tem o seu valor

duplicado e em seguida dever decrescer at atingir o valor de regime estacionrio.




transmisso apresenta mais oscilaes nas transies de 0 para 40 kV e de 40kV para 0 V,

comparada em relao a figura 4.3. Na figura 4.4 a tenso inicialmente tem o seu valor

duplicado e em seguida dever decrescer at atingir o valor de regime estacionrio.


68/122


41

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

0

10

20

30

40

50

60

tempo(ms)

tenso(kV)

N10




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

tempo(ms)

tenso(kV)

N50



transmisso apresenta mais oscilaes nas transies de 0 para 40 kV e vice-versa, sendo

que as amplitudes menores a cada subintervalos, comparada com a figura 4.4. Na figura

4.5 pode-se visualisar de forma mais clara o comportamento da tenso no terminal B, sendo


69/122


42

que esta inicialmente tem o seu valor duplicado e em seguida dever descrescer at atingir

o valor de regime estacionrio.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

tempo(ms)

tenso(kV)

N100


A figura 4.6 representa de modo mais prximo o comportamento da tenso no

terminal B, sendo que esta inicialmente tem o seu valor duplicado e em seguida dever

descrescer at atingir o valor de regime estacionrio. Na figura 4.6 apresenta o mesmo

comportamento da que a figura 4.5, sendo para a quantidade em torno de 50 circuitos pi

pode representar com maior fidelidade o comportamento da tenso no terminal B da linha

em aberto.

A figura 4.7 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a


A figura 4.7 mostra que a forma de onda da corrente no terminal A da linha de


conectados em cascata para representar a mesma. A corrente possui inicialmenteo valor de

aproximadamente 66 A e em seguida dever descrescer at atingir o valor de regime

estacionrio.


70/122


43

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

tempo(ms)

corrente(A)

N5

Figura 4.7 Corrente no terminal A da linha em aberto com 5 circuitos .



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-150

-100

-50

0

50

100

tempo(ms)

corrente(A)

N10



transmisso apresenta mais oscilaes nas transies de 0 para 66A e de 66A para 0 A,

comparada em relao a figura 4.7.Na figura 4.8 a corrente inicialmente tem o valor de 66

A e em seguida dever descrescer at atingir o valor de regime estacionrio.


71/122


44



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

tempo(ms)

corrente(A)

N50



transmisso apresenta mais oscilaes com as amplitudes menores em cada intervalo,

comparada com a figura 4.8.Na figura 4.9 a corrente inicialmente tem o valor de 66 A e em

seguida dever decrescer at atingir o valor de regime estacionrio.A figura 4.10 mostra o comportamento da corrente no terminal A da linha para a


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

tempo(ms)

corrente(A)

N100



72/122


45

A figura 4.10 mostra que a forma de onda corrente no terminal A da linha de

transmisso apresenta um comportamente anlogo a figura 4.9. Pode-se verificar mais

oscilaes nas transies nos degraus e os mesmos podem ser melhor visualizados

utilizando cerca de 100 de circuitos e a resposta do modelo representa de modo prximo

ao comportamento esperado.

4.2.2 Energizao de uma linha de transmisso em curto-circuito.


de tenso contnua V e o terminal B est em curto-circuito.

Figura 4.11 - Energizao da linha com terminal B em curto-circuito.

Na figura 4.11, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso devalor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1


no terminal B da mesma existe um curto-circuito, ento a tenso no terminal B (tenso VB)

ser nula. Os valores das correntes nos terminais A e B da linha sero obtidos para as

quantidades de 5,10, 50 e 100 circuitos conectados em cascatas.





conectados em cascata para representar a mesma. A corrente inicial aproximadamente de

66 A e em seguida dever aumentar at atingir o valor de regime estacionrio.


73/122


46

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

tempo (ms)

corrente(A)

N5

Figura 4.12 Corrente no terminal A da linha em curto-circuito com 5 circuitos .



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

tempo (ms)

corrente(A)

N10

Figura 4.13 Corrente no terminal A da linha em curto-circuito com 10 circuitos

.

A figura 4.13 mostra que a forma de onda da corrente no terminal a da linha de

transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares presentes na figura.A

corrente inicial aproximadamente de 66 A e aumentar at atingir o valor de regime

estacionrio.


74/122


47

A figura 4.14 mostra o comportamento da corrrente no terminal A da linha para a

quantidade de 50 circuitos conectados em cascatas

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

tempo(ms)

corrente(A)

N50



transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem

ser melhor visualizados utilizando cerca de 50 de circuitos . As oscilaes apresentam

menores amplitudes, quanto comparada a figura 4.13. Verifica-se na figura 4.14 que cada

degrau de corrente tem a durao de aproximadamente 0.6 ms, sendo que este intervalo

representa o tempo necessrio para que a onda de corrente viaja at o terminal B e retorne

para o terminal A da linha. A corrente inicial aproximadamente de 66 A e aumentar at

atingir o valor de regime estacionrio.





oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem ser melhor visualizados


75/122


48


ao modelo considerado ideal.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

tempo (ms)

corrente(A)

N100


A figura 4.16 mostra o comportamento da corrente no terminal B da linha para a


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

tempo(ms)

corrente(A)

N5

Figura 4.16 Corrente no terminal B da linha em curto-circuito com 5 circuitos .


76/122


49

A figura 4.16 mostra que a forma de onda da corrente no terminal B da linha de


conectados em cascata para representar a mesma. A corrente possui inicialmente o valor de

zero e em seguida dever aumentar at atingir o valor de regime estacionrio.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

tempo(ms)

corrente(A)

N10



transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares presentes na figura. A

corrente inicial zero A e aumentar at atingir o valor de regime estacionrio.pode-se

verificar que o tempo de viagem da onda de corrente at o terminal B de

aproximadamente 0.3 ms.

A figura 4.18 mostra o comportamento da corrrente no terminal B da linha para a



transmisso apresenta mais oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem

ser melhor visualizados utilizando cerca de 50 de circuitos . As oscilaes apresentam


77/122


50

menores amplitudes, quanto comparada a figura 4.17. A corrente inicial zero e aumentar

at atingir o valor de regime estacionrio.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

tempo(ms)

corrente(A)

N50


A figura 4.19 mostra o comportamento da corrente no terminal B da linha para a


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

tempo(ms)

corrente(A)

N100



78/122


51



oscilaes nas transies dos patamares e os mesmos podem ser melhor visualizados


ao modelo considerado ideal.

4.2.3 Energizao de uma linha de transmisso com carga igual impedncia

caracterstica da linha.


de tenso contnua V e o terminal B est conectada uma carga resistiva.

Figura 4.20 - Energizao da linha com terminal B com uma carga resistiva.

Na figura 4.20, considera-se que a linha ser energizada por uma fonte de tenso devalor constante e igual a 20 kV e que os parmetros da mesma so: R= 0,05 /km, L= 1


no terminal B da mesma existe uma carga resistiva equivalente ao mdulo da impedncia

caracterstica |ZC| cujo o valor de 301,23 , sero determinados a tenso na carga ( tenso

no terminal B, VB) e a corrente na carga (corrente no terminal B, IB) para as quantidades de

5, 10, 50 e 100 circuitos conectados em cascatas.




transmisso apresenta pequena oscilao, mesmo devido a pequena quantidade de circuitos

conectados em cascata para representar a mesma. A tenso apresenta o valor de 20kV em


79/122


52

regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da impedncia

caracterstica da linha, neste caso no ocorre a reflexo da onda de tenso pela linha.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

tempo(ms)

tenso(kV)

N5

Figura 4.21Tenso no terminal B da linha considerando 5 circuitos .



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

tempo(ms)

tenso(kV)

N10



80/122


53


transmisso possui mais oscilaes comparada com a figura 4.23, mesmo devido a

pequena quantidade de circuitos conectados em cascata para representar a mesma. A

tenso apresenta o valor de 20kV em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual

ao mdulo da impedncia caracterstica da linha.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

tempo(ms)

tenso(kV)

N50



transmisso possui mais oscilaes comparada com a figura 4.22. A tenso apresenta o

valor de 20kV em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da

impedncia caracterstica da linha.




81/122


82/122


55


transmisso apresenta pequena oscilao, devido a pequena quantidade de circuitos

conectados em cascata para representar a mesma. A corrente apresenta o valor de 66A em

regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da impedncia

caracterstica da linha, neste caso no ocorre a reflexo da onda de corrente pela linha.

A figura 4.26 mostra a corrente no terminal B da linha para a quantidade de 10


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

tempo(ms)

corrente(A)

N10

Figura 4.26 Corrente no terminal B da linha considerando 10 circuitos.


transmisso apresenta mais oscilaes, comparada com a figura 4.25. A corrente apresenta

o valor de 66A em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao mdulo da

impedncia caracterstica da linha.




83/122


56

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

tempo(ms)

corrente(A)

N50



transmisso apresenta mais oscilaes, devido a maior quantidade de circuitos . A corrente

apresenta o valor de 66A em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao

mdulo da impedncia caracterstica da linha.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

tempo(ms)

corrente(A)

N100



84/122


57


transmisso apresenta mais oscilaes, devido a maior quantidade de circuitos . A corrente

apresenta o valor de 66A em regime estacionrio, devido a carga resistiva ser igual ao

mdulo da impedncia caracterstica da linha. Pode-se verificar que para uma quantidade

em torno de 50 a 100 circuitos , foram obtidas respostas que apresentaram

comportamentos esperado conforme [7].

4.3 Concluses.

Neste captulo foram mostrados o comportamento das correntes e tenses em uma

linha de transmisso monofsica energizada com tenso constante e a influncia da

quantidade de circuitos conectados em cascata que representam a mesma. Para as

quantidades em torno de 50 a 100 circuitos conectados em cascata, foram obtidas

respostas que apresentaram o comportamento esperado para cada condio estabelicida no

terminal B da linha, conforme [fucks]. No prximo captulo, sero comparadas as respostas

obtidas para cascatas de circuitos e o modelo ULM para as mesmas condies

estabelicidas.

4.4 Softwares desenvolvidos para resoluo das equaes das correntes e tenses emuma linha monofsica.

Todos os softwares utilizados nas simulaes foram desenvolvidos na plataforma

MATLAB

. Em seguida so mostrados os softwares desenvolvidos para o clculo das

correntes e tenses na linha de transmisso considerando as condies no terminal B da

linha.4.4.1 Programa para o clculo das tenses e correntes para a linha em aberto.

A seguir demonstrado o algoritmo utilizado para o clculo das correntes e tenses

na linha de transmisso considerando o terminal B da linha em aberto.

%programa que calcula tenses e correntes para uma linha em aberto

clear allclc


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86/122


59

elseif (i+1 == j)&(rem(i,2)==

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