Relatório_Exp2_Cinemática_Fenômenos Mecânicos_Trim1.2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO ROBERTO DENIN LIU RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS SANTO ANDRÉ 2009

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Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.Trata sobre Cinemática.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO

ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO

ROBERTO DENIN LIU

RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS

SANTO ANDRÉ

2009

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO

ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO

ROBERTO DENIN LIU

EXPERIÊNCIA 2 – CINEMÁTICA

Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.

Orientador: Profº Pedro

SANTO ANDRÉ

2009

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Sumário

1. RESUMO .............................................................................................................3 2. INTRODUÇÃO .....................................................................................................3 3. OBJETIVOS.........................................................................................................5 4. PARTE EXPERIMENTAL.....................................................................................6

4.1. Materiais .......................................................................................................6 4.2. Métodos ........................................................................................................6

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ...........................................................................8 6. CONCLUSÃO ....................................................................................................13 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................14 8. ANEXOS ............................................................................................................15

8.1. Anexo 1: Questões......................................................................................15

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1. RESUMO

A forma mais simples de analisar um movimento é descrevendo-o sem levar

em conta as condições físicas que o regem. É através da cinemática que se faz tal

análise simplificada do movimento. Partindo do fato de que o corpo está em

movimento, a cinemática se propõe a determinar, a partir de um referencial adotado,

variáveis como posição, velocidade e aceleração.

Neste experimento, foi estudado o movimento de um objeto em um plano

inclinado, registrando com um cronômetro intervalos de tempos de diferentes

espaços deslocados pelo corpo.

Notou-se que para um mesmo deslocamento em um plano inclinado,

independentemente da referência adotada, a variação do tempo (∆t) tende a um

valor constante, ou seja, a aceleração é a mesma em qualquer ponto no plano

inclinado, sendo assim, o movimento descrito pela esfera no experimento trata-se de

um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

2. INTRODUÇÃO

As propriedades gerais do movimento estão restritas a três formas:

a) O movimento se dá ao longo de uma linha reta apenas. A linha pode ser

vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea.

b) Forças (empurrões e puxões) causam o movimento interferindo na

velocidade do objeto, permitindo um estudo relacionado à mudança da taxa

de variação de espaço em um intervalo de tempo.

c) O objeto em mudança pode ser tanto uma partícula ou um objeto que se

move como uma partícula. 1

Para um objeto em movimento, é importante localizar a sua posição. Isto

significa determinar sua posição relativa a algum ponto de referência. Uma mudança

de posição para outra é chamada de deslocamento.

Uma forma compacta de descrever a posição é através do gráfico da posição

em função do tempo. A inclinação (ou o coeficiente angular) da reta que liga dois

pontos particulares sobre a curva é a velocidade média, assim fica claro o quão

rapidamente o objeto se move. Na verdade, várias quantidades estão associadas

com a expressão quão rapidamente, uma delas é a velocidade média (vmed), que é a

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razão entre o deslocamento (∆x) e o intervalo de tempo (∆t) durante o qual esse

deslocamento ocorre 1:

2 1

2 1

med

X Xxv

t t t

−∆= =

∆ − (1.1)

Uma unidade usual para a vmed é o metro por segundo (m/s). Uma maneira

diferente de descrever ‘’quão rapidamente’’ uma partícula se move é através da

velocidade escalar média (smed). Enquanto a velocidade média envolve o

deslocamento da partícula, a velocidade escalar média é definida em termos da

distância total percorrida independente da direção e sentido, ou seja 1:

totalmed

xs

t

∆=

∆ (1.2)

Em caso de observar a velocidade em um instante, calcula-se a sua velocidade

instantânea (v). A velocidade a partir de qualquer instante de tempo é obtida a partir

da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo fazendo-o tender a zero. À

medida que ∆t é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é

a velocidade naquele instante 1:

limt o

x dxv

t dt∆ →

∆= =

∆ (1.3)

Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofre

aceleração. Para um movimento ao longo de um eixo, a aceleração média (amed) em

um intervalo de tempo ∆t é:

2 1

2 1

med

v v va

t t t

− ∆= =

− ∆ (1.4)

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Onde a partícula tem uma velocidade v1 no tempo t1 e a velocidade v2 no tempo

t2. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo 1:

dva

dt=

(1.5)

Se a aceleração é constante, pode-se relacionar a velocidade média com inicial

e a final pela equação:

00 2 2.

2méd méd

v v xv v v

t

+ ∆= ⇒ = = (1.6)

E a aceleração, neste caso:

2

2

2. 2.2. .( 1).( )

d x xa x t

dt t t

−∆ − ∆ = = ∆ − =

(1.7)

Para analisar os dados e confeccionar gráficos de dispersão, utilizam-se de

ferramentas computacionais que calculam a melhor curva para o conjunto de pontos

dados, baseado no método dos mínimos quadrados.

Além de usar este recurso, também é possível aplicá-lo à gráficos do tipo log x

log, no qual é tomado o logaritmo da função e da variável e então confeccionado o

gráfico com estes valores, conforme indica (1.8):

log log log log

log log log

n

n n

X ct

X ct c t

X n t c

=

= = +

∴ = + (1.8)

Onde c é uma constante qualquer. Esta função é análoga a uma reta de

coeficiente angular “n”, e “n” é igual ao grau do polinômio do qual foi extraído o

logaritmo para construção do gráfico.

3. OBJETIVOS

O experimento tem por objetivo estudar o movimento de um objeto num plano

inclinado, registrando com um cronômetro o intervalo de tempo de cada

deslocamento realizado pelo corpo e assim verificar qual tipo de movimento foi

realizado, como o tempo relacionou-se com o espaço e como a velocidade variou.

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4. PARTE EXPERIMENTAL

4.1. Materiais

Os materiais utilizados neste experimento foram:

- 1 Tábua de madeira de 1,35 m.

- 1 Esfera (bola de gude).

- 2 Réguas de 15 cm.

- 1 Cronômetro.

- 1 Objeto (apontador) para inclinar a tábua de madeira.

- 1 Trena (5 m).

4.2. Métodos

Para se obter uma inclinação da tábua de teste, colocou-se embaixo dela o

apontador de lápis, dessa forma, o cateto vertical do triângulo retângulo se torna

conhecido. Entretanto, o apontador deveria ficar na linha central da tábua para

manter esta equilibrada, o que tornaria muito difícil mensurar o cateto horizontal do

triângulo.

Para que fosse possível garantir uma correta dimensão do cateto horizontal,

sem deslocar o apontador da base da tábua, decidiu-se por encostar o apontador no

batente da mesa e, a extremidade oposta da tábua no outro batente, conforme

Figura 1:

Figura 1 – Preparação do ângulo da tábua

O pequeno espaço formado entre a tábua e o batente oposto ao apontador,

pode ser desprezado por ser muito pequeno quando comparado com toda a

extensão do cateto horizontal do triângulo.

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Com a garantia do ângulo, necessitava-se de uma forma de visualizar a

posição da esfera na tábua e também uma forma de garantir o deslocamento dela

pela tábua por distâncias conhecidas. Partiu-se então para a graduação da tábua.

Com auxílio de uma trena, foram marcadas linhas paralelas a cada 10 cm de

distância a partir da extremidade superior da tábua. Como não seria confiável lançar

a esfera no limite da extremidade da tábua, adotou-se a marca inicial – zero do

sistema de referência – a marcação que se distanciava 10 cm de extremidade.

Foram marcadas as posições de 0 até 120 cm, conforme Figura 2.

Figura 2 – Graduação de tábua de testes.

Para minimizar os efeitos de oscilações humanas no momento de lançamento

da esfera e garantir que a esfera percorresse a distância determinada sem gerar

dúvida quanto a que parte da mesma estava atravessando a marcação, ou seja, se

era o ponto de contato ou uma projeção da reta tangente a sua circunferência e

perpendicular ao plano de apoio. Optou-se por utilizar réguas nas marcas de

medição.

Dessa forma, o operador humano apenas deveria remover a régua da frente da

esfera em um sentido que não movimentasse (ou em quantidade imperceptível) a

esfera e, para garantir a distância de deslocamento igual à distância marcada,

também foi colocada uma régua na marca final do trajeto, esta régua era mantida na

posição e segura por outro humano, conforme Figura 3.

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Figura 3 – Posição da régua e técnica de lançamento.

Outro cuidado tomado para reduzir os erros experimentais decorrentes nas

imperfeições naturais dos sentidos humanos, foi atribuir dupla função ao lançador da

esfera (aquele que retirava a régua), que além de lançar também controla o

cronômetro, dessa forma ele é o único com sensibilidade para disparar o cronômetro

simultaneamente – ou muito próximo disto – ao lançamento da esfera. Entretanto o

tempo de reação ainda será responsável por flutuações na partida e principalmente

na marcação do fim do trajeto.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A Tabela 1 apresenta os valores de tempo gasto, marcados com o cronômetro,

para que a bola de gude percorresse o espaço determinado na tábua de madeira,

começando a partir do ponto zero (∆X = 0 a 120 cm) e estendendo-se até a marca final

(∆X = 90 a 120 cm), variando a posição inicial em 10 cm a cada nova medida.

Tabela 1 – Variação de tempo até a posição final, alterando-se a inicial

Medida X0 [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] 1 0 120 120 2,87 2 10 120 110 2,50 3 20 120 100 2,40 4 30 120 90 2,35 5 40 120 80 2,13 6 50 120 70 2,06 7 60 120 60 1,94 8 70 120 50 1,82 9 80 120 40 1,67 10 90 120 30 1,31

média 2,11 desvio padrão 0,36

Dispondo os dados Tabela 1, em um gráfico de dispersão, pode-se verificar o

comportamento da variação do tempo necessária para a esfera percorrer diferentes

distâncias sobre a tábua (Figura 4).

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Figura 4 – Gráfico de ∆t em diferentes ∆X (baseado na Tabela 1)

Nota-se que as maiores variações de tempo ocorrem quando a variação de

espaço aumenta. Porém estes dados isoladamente não são suficientes para se

descobrir a qual tipo de movimento a bola de gude está submetida.

Para tal, foram realizadas outras medidas de variação de tempo, entretanto

desta vez, a variação de espaço foi constante a cada lançamento da esfera

alterando-se apenas o ponto inicial e final do percurso conforme Tabela 2.

Tabela 2 – Variação de tempo alterando-se Xo e Xf, mas com ∆X constante

Medida Xo [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] 1 0 10 10 0,61 2 10 20 10 0,69 3 20 30 10 0,65 4 30 40 10 0,50 5 40 50 10 0,56 6 50 60 10 0,50 7 60 70 10 0,50 8 70 80 10 0,50 9 80 90 10 0,66 10 90 100 10 0,66 11 100 110 10 0,66

média 0,59 desvio padrão 0,07

Pelos dados da Tabela 2 a média do tempo foi 0,6 ± 0,1 segundo. Quando as

variações de tempo são inseridas em um gráfico e visualizadas junto à média de sua

distribuição, nota-se que os pontos flutuam ao redor desta média.

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Comportamento ∆t para mesmo ∆X

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

0 2 4 6 8 10 12

Medida

tem

po

[s]

∆t [s] média

Figura 5 – Gráfico de ∆t para Xo e Xf diferentes conservando ∆X

Para analisar o comportamento e o valor médio da aceleração neste plano

inclinado, retoma-se a Tabela 1, porém desta vez com as mesmas variações de

espaço em sequência crescente.

Usando a fórmula (1.1) para calcular a velocidade média e (1.7) para calcular a

aceleração, têm-se:

Tabela 3 – Velocidade média e aceleração em cada ∆X.

Medida X0 [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] Vm =∆X/∆t [cm/s] a =-2∆X/∆t² [m/s²] 1 0 30 30 1,31 22,90 -0,350 2 0 40 40 1,67 23,95 -0,287 3 0 50 50 1,82 27,47 -0,302 4 0 60 60 1,94 30,93 -0,319 5 0 70 70 2,06 33,98 -0,330 6 0 80 80 2,13 37,56 -0,353 7 0 90 90 2,35 38,30 -0,326 8 0 100 100 2,40 41,67 -0,347 9 0 110 110 2,50 44,00 -0,352 10 0 120 120 2,82 42,55 -0,302

média 2,10 34,33 -0,327 desvio padrão 0,34 7,73 0,024

De acordo com os dados da Tabela 3, a aceleração média é igual a -0,3 ± 0,03

segundo (sentido negativo pelo eixo de referência adotado). Ainda com os dados da

Tabela 3 é possível analisar o comportamento crescente da velocidade média (Vm)

conforme a maior variação de espaço (Figura 6).

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Vm =∆X/∆t [cm/s]

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0 20 40 60 80 100 120 140∆X

Vm

[cm

/s]

Vm =∆S/∆t [cm/s]

Figura 6 – Velocidade média em cada ∆X

Ainda utilizando a Tabela 3, pode-se verificar que a aceleração flutua ao redor

de sua média ao longo dos diferentes deslocamentos aos quais a esfera foi

submetida (Figura 7).

Comportamento da aceleração em ∆X

-0,400

-0,350

-0,300

-0,2500 20 40 60 80 100 120 140

∆X

a [m

/s²]

a =-2∆X/∆t² [m/s²]

média

Figura 7 – Comportamento da aceleração de cada ∆X

Analisando o gráfico da Figura 8, que representa o espaço da esfera em

relação ao tempo. Os pontos que representam os dados experimentais estão

localizados próximos a uma curva polinomial de grau 2 (R2 indica 96,64% de ajuste).

Como a aceleração possui um baixo valor, devido à baixa inclinação, a

variação da velocidade em um pequeno deslocamento é baixa. Diante disso, as

forças aplicadas contra o sentido do movimento, tais como atrito com a superfície do

plano inclinado e com o ar, causaram oscilações sensíveis no valor da aceleração.

X(t)y = 0,0764x2 + 0,3601x - 0,3564

R2 = 0,9694

0,00,20,40,60,81,01,21,4

1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00t[s]

X[m

]

X(t) Polinômio (X(t))

Figura 8 – Gráfico do espaço em função do tempo

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Outra técnica para avaliar o grau de um polinômio é analisar o gráfico log x log.

Conforme a equação (1.8).

Gráfico do espaço em função do tempo - log x log

y = 2,0199x + 1,2058

R2 = 0,9734

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

log t

log

X

log X

Linear (log X)

Figura 9 – Gráfico do espaço em função do tempo do tipo log x log.

A equação desta regra possui coeficiente angular próximo de 2, ou seja, o grau

do polinômio que gerou esta reta é muito próximo de 2, ao se considerar as

flutuações dos dados, pode-se afirmar que o grau do polinômio deva ser igual a 2.

Esta reta também está bem ajustada aos pontos (R2 indica 97,34% de ajuste).

Como o experimento foi realizado em um plano inclinado, e a aceleração

calculada por meio do deslocamento, é interessante comparar com a aceleração

resultante da decomposição da gravidade em relação à inclinação do plano para

averiguar a diferença de ambas.

Figura 10 – Plano inclinado

Analisando o plano inclinado da Figura 10, sendo F a força que atua na esfera

de massa m para que ela se desloque no plano inclinado, θ o ângulo de inclinação, g

a aceleração da gravidade e a a aceleração responsável pela força F:

sin sint

t

P P mg

F ma

P F

m

θ θ= =

=

=

� �

� �

sing mθ =�

sina g aθ⇒ =� � �

(1.9)

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A tangente do ângulo θ e o ângulo θ são:

155tan 0,0474 tan 2,71

1185 25θ θ θ

−= = ⇒ = = °

− (1.10)

Dada a aceleração da gravidade g = -9,8 m/s2, a decomposição de g no plano

inclinado será:

.sin 9,8.sin(2,71 ) 0,464g θ = − ° = − (1.11)

Comparando este valor com a média da aceleração encontrada na Tabela 3,

nota-se que elas são muito próximas, porém ainda conservam uma diferença,

conforme Tabela 4.

Tabela 4 – Aceleração na rampa e decomposição da gravidade.

g sin(θ) -0,464 a -0,327

a – g sin(θ) 0,137

Esta diferença provavelmente se deve as forças de atrito da esfera com o plano

e/ou a própria resistência do ar, que atuam de forma constante sobre a esfera, logo

a força resultante permanece constante e por consequência a aceleração também.

Outra porção desta diferença pode ser creditada as variações nas medições dos

tempos decorrentes dos reflexos do operador do cronômetro.

6. CONCLUSÃO

De acordo com a Tabela 1, a velocidade de um corpo solto no início de uma

referência adotada é maior quando o deslocamento é maior, uma vez que há uma

maior atuação da aceleração no corpo. E observando também a Tabela 2, Tabela 3

para um mesmo deslocamento em um plano inclinado, independente da referência

adotada, a variação do tempo (∆t) tende a um valor constante, ou seja, a aceleração

é igual em qualquer ponto no plano inclinado.

Analisando as figuras de 7 a 9, conclui-se que o movimento descrito pela

esfera trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) baseado

no comportamento constante da aceleração e também pela aproximação de um

polinômio de grau 2, que é o polinômio esperado para a função do espaço em

relação ao tempo quando a aceleração é constante.

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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Fundamentos de Física, 7.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2005. V.1. p.16-21.

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8. ANEXOS

8.1. Anexo 1: Questões

1. Qual hipótese você utilizou para calcular as acelerações (qual hipótese

foi formulada para se chegar na fórmula utilizada)? Os resultados

obtidos são coerentes com suas hipóteses?

Resp.: Para que a fórmula fosse utilizada no cálculo da aceleração esperada,

precisou-se tomar a seguinte hipótese:

O corpo em movimento deve comportar-se como uma partícula movimentando-

se em uma linha reta numa superfície plana e sem atrito.

E assim após o experimento, ao comparar a aceleração esperada com a

aceleração encontrada, esta deverá ser um pouco menor que aquela uma vez que

forças de atrito atuaram. Portanto os resultados obtidos foram coerentes com a

hipótese.

2. O que acontece com a aceleração ao se mudar o ângulo de

inclinação? Um ângulo maior ou menor dificulta ou facilita a medição?

Você espera encontrar um valor mais preciso da aceleração para uma

maior ou menor?

Resp.: A aceleração ao longo da tábua aumenta conforme se aumenta o

ângulo da tábua em relação à superfície horizontal. O maior valor de aceleração

será obtida com a tábua na posição vertical, neste caso, a aceleração será igual a

aceleração da gravidade local.

Um ângulo menor deve facilitar a medição porque a aceleração será menor e

portanto a variação de tempo entre as posições será maior, permitindo tempo de

reação para um ser humano cronometrar este deslocamento.

Neste caso, sendo o tempo cronometrado por um ser humano, é mais simples

realizar as medições com inclinações menores, por permitir um tempo maior para a

reação dos sentidos humanos. Todavia, se no experimento fossem usados

dispositivos eletrônicos (sensores) para localizar a esfera e estes informando um

temporizador eletrônico, a precisão da aceleração ficaria depende dos erros dos

sensores, porém espera-se que estes erros sejam menores que os erros

consequentes da medição humana.