Representação de Circuitos Lógicos

• Formas de representação de um circuito lógico:• Representação gráfica de uma rede de portas lógicas• Expressão booleana• Tabela verdade

• 3 representações são equivalentes:• Dado um circuito representado de uma forma,

obtemos as outras representações do circuito

1

Representação de Circuito Lógico com Expressão Booleana

• Expressão booleana de um circuito:• Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito

em função do valor dos sinais lógicos de entrada

• Operações lógicas:• NOT: complemento• AND (•): multiplicação booleana (operador pode ser omitido)• OR (+): adição booleana

• Precedência das operações lógicas: NOT, AND, OR

• Exemplos:

X = A+B + C +D Y = A •B • C •D

Z = A • (B + C •D) W = A • (B + C •D)

K = A+B + C •D T = A B C + A B C + A C

2

Representação Gráfica de Circuito Lógico

• Rede de portas lógicas interligadas

• Convenções:• Em geral, sinais de entrada do lado esquerdo• Em geral, sinais de saída do lado direito• Em geral, sinais fluem da esquerda para direita• Conexão entre fios: simbolizada por •

• Exemplo:

3

Representação de Circuito Lógico com Tabela Verdade

• Tabela Verdade de um circuito lógico:• Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito

para todos os possíveis valores dos sinais lógicos de entrada

• Dado um circuito com n entradas, tabela verdade possui:• Uma coluna para:

• Cada sinal de entrada do circuito• Sinal de saída do circuito

• 2n linhas

• Convenção:• Valores das entradas

em ordem crescentena sequência binária

• Exemplo:

Entradas Saída

A B C A+B • C0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

4

Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico

• Dado um circuito lógico, obter expressão booleana:• Da esquerda da direita, escreve expressão booleana de cada porta lógica

• Exemplo: X = A • (B + C •D)

5

Exemplo: Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico

6

Exemplo: Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico

7

Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana

• Dado uma expressão booleana, obter circuito lógico:• Listar todos os sinais de entrada do lado esquerdo• Colocar portas lógicas de acordo com precedência das operações

• Exemplo: X = A •B +B • C •D +A • C

8

Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana

• X = A • (B + C •D)

9

Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana

• Y = A •B + C •D

10

Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana

• Z = A B C D + A B C +B C D

11

Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana

• Z = A B C D + A B C +B C D

12

Tabela Verdade a partir de Expressão Booleana

• Dado uma expressão booleana, obter tabela verdade:• Montar tabela verdade• Criar colunas para avaliar sub-expressões• Avaliar expressão completa

• Exemplo: X = A • (B + C)

Entradas Auxiliares Saída

A B C A B + C A • (B + C)0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 0

13

Exemplo: Tabela Verdade a partir de Expressão Booleana

Entradas Auxiliares SaídaA B C D X = A • (B + C •D)0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 114

Equivalência de Circuitos

• 2 circuitos equivalentes:• Produzem o mesmo valor de saída para os mesmos valores de entrada

• Determinar se 2 circuitos são equivalentes:• Usando a tabela verdade:

• Construir tabela verdade para os 2 circuitos• Comparar valores das saídas

• Usando propriedades da Álgebra Booleana:• A partir da expressão booleana de um circuito,

aplicar propriedades transformando expressão,até chegar na expressão booleana do outro circuito

15

Exemplo: Equivalência de Circuitos

• Equivalentes ? X = A XOR B e Y = A •B +A •B

Entradas Saída Saída

A B X = A⊕B Y = A •B +A •B0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

16

Exemplo: Equivalência de Circuitos

• Equivalentes ?

Entradas Auxiliares Saída Saída

A B C A•B +A•(B+C) +B•(B+C) B +A•C0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 117

Propriedades da Álgebra Booleana

• Propriedade comutativa

• Propriedade associativa

• Propriedade distributiva

• Identidades

• Teorema de De Morgan

18

Propriedade Comutativa

• Para OR: A+B = B + A

• Para AND: A •B = B • A

19

Propriedade Associativa

• Para OR: A+ (B + C) = (A+B) + C = A+B + C

• Para AND: A • (B • C) = (A •B) • C = A •B • C

20

Propriedade Distributiva

• Para AND: A • (B + C) = A •B + A • C

• Para OR: A+ (B • C) = (A+B) • (A+ C)

Entradas Saída SaídaA B C A+ (B • C) (A+B) • (A+ C)0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

21

Lei do Elemento Neutro

• Para OR: A+ 0 = A

• Para AND: A • 1 = A

22

Lei do Elemento Dominante

• Para OR: A+ 1 = 1

• Para AND: A • 0 = 0

23

Lei da Idempotência

• Para OR: A+ A = A

• Para AND: A • A = A

24

Lei do Complemento

• Para OR: A+ A = 1

• Para AND: A • A = 0

• Para NOT: A = A

25

Lei da Absorção

• Para OR: A+ A •B = A

Entradas SaídaA B A+A •B0 0 00 1 01 0 11 1 1

• Para AND: A • (A+B) = A

Entradas SaídaA B A • (A+B)0 0 00 1 01 0 11 1 1

26

Lei da Absorção• Para OR: A+ A •B = A

A+ A •B = Elemento NeutroA • 1 + A •B = DistributivaA • (1 +B) = Elemento DominanteA • 1 = Elemento NeutroA

• Para AND: A • (A+B) = AA • (A+B) = DistributivaA • A+ A •B = IdempotênciaA+ A •B = Elemento NeutroA • 1 + A •B = DistributivaA • (1 +B) = Elemento DominanteA • 1 = Elemento NeutroA

27

Lei da Identidade Auxiliar

• Para OR: A+ A •B = A+B

Entradas Saída SaídaA B A+A •B A+B0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 1 1

• Para AND: A • (A+B) = A •B

Entradas Saída SaídaA B A • (A+B) A •B0 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 1 1

28

Lei da Identidade Auxiliar

• Para OR: A+ A •B = A+B

A+ A •B = AbsorçãoA+ A •B + A •B = DistributivaA+B • (A+ A) = ComplementoA+B • 1 = Elemento NeutroA+B

• Para AND: A • (A+B) = A •B

A • (A+B) = DistributivaA • A+ A •B = Complemento0 + A •B = Elemento NeutroA •B

29

Lei de De Morgan

• Para OR: A+B = A •B

Entradas Saída SaídaA B A+B A •B0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0

• Para AND: A •B = A+B

Entradas Saída SaídaA B A •B A+B0 0 1 10 1 1 11 0 1 11 1 0 0

30

Lei de De Morgan

• Para OR:

A+B = A •B

A+B + C = A •B • C

• Para AND:

A •B = A+B

A •B • C = A+B + C

31

Simplificação de Circuitos Lógicos

• Métodos de simplificação de circuitos:• Aplicação das leis da Álgebra Booleana• Mapa de Karnaugh• Método Quine-McClusky• Espresso

• Simplificação do circuito lógico:• Obter circuito lógico equivalente ao original,

com menos portas lógicas ou portas lógicas mais simples

• Minimização do circuito lógico:• Obter circuito lógico equivalente ao original,

com o menor número de portas lógicas possível

32

Simplificação de Circuito usando Leis da Álgebra Booleana

• Exemplo:

AB + A(B + C) +B(B + C) = Distributiva

AB + AB + AC +BB +BC = Idempotência

AB + AC +BB +BC = Idempotência

AB + AC +B +BC = Absorção

AB + AC +B = Comutatividade

AB +B + AC = Absorção

B + AC

33

Simplificação de Circuito usando Leis da Álgebra Booleana

• Exemplo:

A •B + A • C + A •B • C = De Morgan

(A •B) • (A • C) + A •B • C = De Morgan

(A+B) • (A • C) + A •B • C = De Morgan

(A+B) • (A+ C) + A •B • C = Distributiva

A • A+ A •B + A • C +B • C + A •B • C = Idempotência

A+ A •B + A • C +B • C + A •B • C = Absorção

A+ A • C +B • C + A •B • C = Absorção

A+B • C + A •B • C = Absorção

A+B • C

34

Formas Padronizadas de Expressões Booleanas

• Toda expressão booleana pode ser convertida para formas padronizadas

• Objetivo:• Facilitar a simplificação do circuito

• Formas padronizadas:• Soma de Produtos• Soma de Mintermos• Produto de Somas• Produto de Maxtermos• ...

35

Soma de Produtos (SOP)

• Soma de Produtos (Sum-Of-Products):• Expressão booleana é soma (OR) de parcelas• Cada parcela é produto (AND) de sinais de entrada ou seus complementos

• Exemplos:• Expressões na forma SOP:

• A •B + A •B • C

• A •B + A •B • C + A • C

• A •B • C

• A + A •B • C + B • C •D

• Expressões não estão na forma SOP:

• A • (B + C •D)

• (A+B) • (A+ C)

• A •B • C + A •B36

Produtos de Somas (POS)

• Produtos de Somas (Product-Of-Sums):• Expressão booleana é produto (AND) de fatores• Cada fator é soma (OR) de sinais de entrada ou seus complementos

• Exemplos:• Expressões na forma POS:

• (A+B) • (A+B + C)

• (A+B + C) • (C +D + E) • (B + C +D)

• A • (A+B + C)

• A+B + C

• Expressões não estão na forma POS:

• A •B + A •B • C

• (A+B + C) • (A+B)

37

Circuito Lógico de uma Soma de Produtos

• Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma SOP:• Portas NOT para os sinais de entrada• Uma porta AND para cada parcela:

• Entradas: sinais de entrada ou seus complementos• Saída: produto

• Uma porta OR:• Entradas: produtos• Saída: resultado da expressão booleana

• 2 níveis de lógica

• Exemplo:

38

Circuito Lógico de um Produto de Somas

• Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma POS:• Portas NOT para os sinais de entrada• Uma porta OR para cada fator:

• Entradas: sinais de entrada ou seus complementos• Saída: soma

• Uma porta AND:• Entradas: somas• Saída: resultado da expressão booleana

• 2 níveis de lógica

• Exemplo:

39

Mintermos e Maxtermos

• Dada uma função boolena com n sinais de entrada

• Mintermo:• Corresponde a uma linha da tabela verdade• Produto (AND) dos n sinais de entrada:

• Se sinal é 1, sinal de entrada é usado diretamente• Se sinal é 0, sinal de entrada é complementado

• Maxtermo:• Corresponde a uma linha da tabela verdade• Soma (OR) dos n sinais de entrada:

• Se sinal é 0, sinal de entrada é usado diretamente• Se sinal é 1, sinal de entrada é complementado

40

Exemplo: Mintermos e Maxtermos

Entradas Saída Termos

A B C X Mintermos Maxtermos

0 0 0 1 m0 = A •B • C M0 = A+B + C

0 0 1 0 m1 = A •B • C M1 = A+B + C

0 1 0 1 m2 = A •B • C M2 = A+B + C

0 1 1 1 m3 = A •B • C M3 = A+B + C

1 0 0 0 m4 = A •B • C M4 = A+B + C

1 0 1 0 m5 = A •B • C M5 = A+B + C

1 1 0 1 m6 = A •B • C M6 = A+B + C

1 1 1 1 m7 = A •B • C M7 = A+B + C

41

Soma de Mintermos a partir da Tabela Verdade

• Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma SOP:• Expressão booleana:

• Soma (OR) de mintermosdas linhas da tabela verdade em que saída é 1

• Exemplo:

Entradas SaídaA B X

0 0 00 1 1 ⇒ m1 = A •B1 0 1 ⇒ m2 = A •B1 1 0

X = m1 + m2 = A •B + A •B

42

Produto de Maxtermos a partir da Tabela Verdade

• Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma POS:• Expressão booleana:

• Produto (AND) de maxtermosdas linhas da tabela verdade em que saída é 0

• Exemplo:

Entradas SaídaA B X

0 0 0 ⇒ M0 = A+B0 1 11 0 11 1 0 ⇒ M3 = A+B

X = M0 • M3 = (A+B) • (A+B)

43

Exemplo: Soma de Mintermos e Produto de Maxtermos

Entradas Saída Mintermo MaxtermoA B C X

0 0 0 0 M00 0 1 0 M10 1 0 0 M20 1 1 1 m31 0 0 1 m41 0 1 0 M51 1 0 1 m61 1 1 1 m7

X = m3 + m4 + m6 + m7

= A •B • C + A •B • C + A •B • C + A •B • C

X = M0 •M1 •M2 •M5= (A+B + C) • (A+B + C) • (A+B + C) • (A+B + C)

44

Exemplo: SOP e POS a partir da Tabela Verdade

Entradas Saída

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

45

Equivalência de Circuitos: SOP e POS

Entradas Saída

A B X

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

SOP: X = A •B + A •B

POS: X = (A+B) • (A+B)

A •B + A •B?≡ (A+B) • (A+B)

Entradas Auxiliares Saída Auxiliares Saída

A B A •B A •B A •B + A •B A+B A+B (A+B) • (A+B)0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 0 0

46

Equivalência de Circuitos: SOP e POS

• SOP: X = A •B + A •B

• POS: X = (A+B) • (A+B)

A •B + A •B?≡ (A+B) • (A+B)

(A+B) • (A+B) = Distributiva

A • A + A •B + B • A + B •B = Complemento

0 + A •B + B • A + 0 = Elemento Neutro

A •B + B • A = Comutatividade

A •B + A •B

47