Representac¸ ao de Dados e Sistemas de Numerac¸˜ ao˜

Representacao de Dados e Sistemas de Numeracao

• Sistema de numeração decimal e números decimais (base 10)

• Sistema de numeração binário e números binários (base 2)• Conversão entre binário e decimal

• Sistema de numeração hexadecimal e números hexadecimais (base 16)• Conversão entre hexadecimal e outras bases

• Números octais (base 8)

• Representação de números reais em binário

• Operações aritméticas com números binários:• Soma, subtração, multiplicação e divisão

• Complemento a 1 e complemento a 2 de números binários

• Números binários com sinal• Operações aritméticas com números binários com sinal

• Representação de dados alfanuméricos: códigos ASCII e Unicode

1

Numeros Binarios com Sinal

• Número com sinal:• Pode ser positivo ou negativo

• Formas de representação de números binários com sinal:• Sinal-magnitude• Complemento a 1• Complemento a 2 ⇐= preferível

2

Sinal-magnitude

• Representação:• Bit mais a esquerda: bit de sinal

• Representa se número é positivo ou negativo:• Bit de sinal 0⇒ positivo• Bit de sinal 1⇒ negativo

• Demais bits: representam valor absoluto do número (magnitude)

• Exemplo: Números de 8 bits

• 2510 = 0 0 0 1 1 0 0 12

↑ ↖bit de sinal magnitude

↓ ↙• –2510 = 1 0 0 1 1 0 0 12

• Observação:• Sinal e magnitude representados separados⇒

Não adequado para realização de operações aritméticas

3

Complemento a 1

• Representação:• Número negativo:

• Representado pelo complemento a 1 do número positivo correspondente• Bit mais a esquerda: bit de sinal


• 2510 = 0 0 0 1 1 0 0 12

↑bit de sinal

↓• –2510 = 1 1 1 0 0 1 1 02 ⇐= complemento a 1 de 2510

• Observações:• Sinal e magnitude não são representados separados• 2 representações para 010: 00000000 e 11111111 ⇒

Não adequado para realização de operações aritméticas

4

Complemento a 2• Representação:

• Número negativo:• Representado pelo complemento a 2 do número positivo correspondente

• Bit mais a esquerda: bit de sinal


• 2510 = 0 0 0 1 1 0 0 12

↑bit de sinal

↓• –2510 = 1 1 1 0 0 1 1 12 ⇐= complemento a 2 de 2510

• Observações:• Sinal e magnitude não são representados separados• Adequado para realização de operações aritméticas⇒

Forma utilizada nos computadores• Complemento a 2 de um número A de n bits = 2n −A

• complemento2( complemento2(A) ) = A5

Exemplo: Complemento a 2

• Número de 4 bits:

010 = 00002

Complemento a 2 de 00002 =

+110 = 00012


–110 = 11112


6

Contagem em Binario sem e com Sinal: Numeros de 2 bits

DecimalBinário

DecimalBinário

sem sinal com sinal

0 0 0 –2 1 0

1 0 1 –1 1 1

2 1 0 0 0 0

3 1 1 +1 0 1

7


Decimal Binário sem sinal Decimal Binário com sinal0 0 0 0 –4 1 0 01 0 0 1 –3 1 0 12 0 1 0 –2 1 1 03 0 1 1 –1 1 1 14 1 0 0 0 0 0 05 1 0 1 +1 0 0 16 1 1 0 +2 0 1 07 1 1 1 +3 0 1 1

8


Decimal Binário sem sinal Decimal Binário com sinal0 0 0 0 0 –8 1 0 0 01 0 0 0 1 –7 1 0 0 12 0 0 1 0 –6 1 0 1 03 0 0 1 1 –5 1 0 1 14 0 1 0 0 –4 1 1 0 05 0 1 0 1 –3 1 1 0 16 0 1 1 0 –2 1 1 1 07 0 1 1 1 –1 1 1 1 18 1 0 0 0 0 0 0 0 09 1 0 0 1 +1 0 0 0 1

10 1 0 1 0 +2 0 0 1 011 1 0 1 1 +3 0 0 1 112 1 1 0 0 +4 0 1 0 013 1 1 0 1 +5 0 1 0 114 1 1 1 0 +6 0 1 1 015 1 1 1 1 +7 0 1 1 1

9


10

Sistema de Numeracao Binario

• Exemplo: Com 4 bits• Representa 24 = 16 valores diferentes• Números sem sinal: 0 a 15• Números com sinal: –8 a +7

• Com n bits:• Representa 2n valores diferentes• Números sem sinal: 0 a 2n − 1

• Números com sinal: −(2n−1) a +(2n−1 − 1)

• Exemplo: Com n = 5 bits• Representa valores diferentes• Números sem sinal: a• Números com sinal: a

11

Conversao de Numero Binario com Sinal para Decimal

• Bit de sinal tem peso negativo

• Exemplos: Números de 8 bits

0 1 0 1 0 1 1 02 =

= (0× (−27)) + (1× 26) + (1× 24) + (1× 22) + (1× 21)

= (0× (−128)) + (1× 64) + (1× 16) + (1× 4) + (1× 2)

= 0 + 64 + 16 + 4 + 2 = +8610

1 0 1 0 1 0 1 02 =

= (1× (−27)) + (0× 26) + (1× 25) + (1× 23) + (1× 21)

= (1× (−128)) + (1× 32) + (1× 8) + (1× 2)

= −128 + 32 + 8 + 2 = −8610

12

Conversao de Numero Binario com Sinal para Decimal


1 1 0 1 0 1 1 12

13

Operacoes Aritmeticas com Numeros Binarios com Sinal

• Números binários com sinal:• Representados com complemento a 2⇒

Adequado para realização de operações aritméticas

• Operações aritméticas de números binários com sinal:• Adição:

• Realizada da mesma forma que adição de números sem sinal• Subtração:

• Realizada através da adição de números com sinal

14

Adicao de Numeros Binarios com Sinal

• Realizada da mesma forma que adição de números sem sinal


• Caso 1: Ambas parcelas positivas⇒ Soma positiva

10 0 0 0 0 1 1 1 7

+ 0 0 0 0 0 1 0 0 + 4

0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

15



• Caso 2: Parcela positiva com valor absoluto maior que parcela negativa⇒ Soma positiva

1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 5

+ 1 1 1 1 1 0 1 0 + – 6

0 0 0 0 1 0 0 1 9

Descarta carry mais a esquerda

16



• Caso 3: Parcela negativa com valor absoluto maior que parcela positiva⇒ Soma negativa

0 0 0 1 0 0 0 0 1 6+ 1 1 1 0 1 0 0 0 + – 2 4

1 1 1 1 1 0 0 0 – 8

17



• Caso 4: Ambas parcelas negativas⇒ Soma negativa

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 – 5

+ 1 1 1 1 0 1 1 1 + – 9

1 1 1 1 0 0 1 0 – 1 4


18



(+12) + (+15) =

19



(+12) + (–9) =

20



(–25) + (+19) =

21



(–25) + (–19) =

22


• Overflow (transbordo):• Ocorre quando resultado da operação aritmética

não pode ser representado nos bits da palavra

• Atenção: Overflow 6= Carry no bit mais significativo

• Na adição, overflow ocorre quando:• Ambas parcelas positivas e soma fica negativa• Ambas parcelas negativas e soma fica positiva

• Exemplo: Números de 4 bits com sinal

1 10 1 1 0 6

+ 0 0 1 1 + 3

1 0 0 1 ⇐= –7 923

Subtracao de Numeros Binarios com Sinal

• Exemplo:• (+9) – (+6) = (+9) + (–6)

• Ideia:• Realizar subtração através da adição• Obtém complemento a 2 do segundo operando e soma


(+8) – (+3) = (+8) + (–3) = 5

0 0 0 0 0 0 1 1 = +3

1 1 1 1 1 1 0 0+ 1

1 1 1 1 1 1 0 1 = –3

1 1 1 1 10 0 0 0 1 0 0 0

+ 1 1 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 1


24



(+12) – (–9) =

25



(–25) – (+19) =

26



(–120) – (–30) =

27

Representacao de Dados Alfanumericos

• Código alfanumérico:• Usado para representar:

• Números• Letras• Símbolos• Comandos• ...

• Códigos alfanuméricos usados nos computadores:• Código ASCII e extensões• Código Unicode• ...

28

Codigo ASCII

• ASCII: American Standard Code for Information Interchange

• Esquema de codificação de caracteres

• Baseado na ordem das letras do alfabeto inglês

• Usado para representar texto em:• Computadores• Equipamentos de comunicação• ...

• Cada caracter representado com 7 bits:• 27 = 128 possíveis valores• Em geral, usa 1 byte (8 bits)

• Maioria dos esquemas de codificação de caracteres mais modernos:• Baseados no ASCII• Representam mais caracteres que o ASCII

29

Codigo ASCII – Caracteres de Controle

ValorNome Significado

ValorNome Significado

decimal decimal00 NUL Null 16 DLE Data Link Escape01 SOH Start of Header 17 DC1 Device Control 102 STX Start of Text 18 DC2 Device Control 203 ETX End of Text 19 DC3 Device Control 304 EOT End of Transmition 20 DC4 Device Control 405 ENQ Enquire 21 NAK Negative Acknowledgment06 ACK Acknowledgment 22 SYN Synchronous Idle07 BEL Bell 23 ETB End of Transmission Block08 BS Backspace 24 CAN Cancel09 HT Horizontal Tab 25 EM End of Medium10 LF Line Feed 26 SUB Substitute11 VT Vertical Tab 27 ESC Escape12 FF Form Feed 28 FS File Separator13 CR Carriage Return 29 GS Group Separator14 SO Shift Out 30 RS Record Separator15 SI Shift In 31 US Unit Separator

30

Codigo ASCII – Sımbolos GraficosVa

lor

deci

mal

Sím

bolo

Valo

rde

cim

alS

ímbo

lo

Valo

rde

cim

alS

ímbo

lo

Valo

rde

cim

alS

ímbo

lo

Valo

rde

cim

alS

ímbo

lo

Valo

rde

cim

alS

ímbo

lo

32 space 48 0 64 @ 80 P 96 ‘ 112 p33 ! 49 1 65 A 81 Q 97 a 113 q34 " 50 2 66 B 82 R 98 b 114 r35 # 51 3 67 C 83 S 99 c 115 s36 $ 52 4 68 D 84 T 100 d 116 t37 % 53 5 69 E 85 U 101 e 117 u38 & 54 6 70 F 86 V 102 f 118 v39 ’ 55 7 71 G 87 W 103 g 119 w40 ( 56 8 72 H 88 X 104 h 120 x41 ) 57 9 73 I 89 Y 105 i 121 y42 * 58 : 74 J 90 Z 106 j 122 z43 + 59 ; 75 K 91 [ 107 k 123 {44 , 60 < 76 L 92 \ 108 l 124 |45 - 61 = 77 M 93 ] 109 m 125 }46 . 62 > 78 N 94 ˆ 110 n 126 ˜

47 / 63 ? 79 O 95 _ 111 o 127 Del

31

Exemplo: Codigo ASCII

• Texto:

Digite a senha:

• Representação em ASCII:

68 105 103 105 116 101 32 97 32 115 101 110 104 97 58

32

Extensoes do Codigo ASCII

• Esquemas de codificação de caracteres

• Baseados no código ASCII

• Cada caracter representado com 8 bits:• 28 = 256 possíveis valores

• Codificação:• Inclui 128 caracteres ASCII• Possui outros 128 caracteres usados para representar:

• Letras de outros idiomas• Símbolos de moedas• Letras gregas• Símbolos matemáticos• ...

• Exemplo: Codificação ISO-8859-1

33

Codigo Unicode

• Padrão de representação de caracteres

• Pode ser implementado por diferentes esquemas de codificação de caracteres

• Representa:• Alfabetos de diferentes idiomas• Suporte para línguas escritas em direções diferentes

• Cada caracter representado com 1 a 4 bytes

• Inclui 128 caracteres ASCII

34

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