Representao de uma Superfcie Em geral, uma superfcie S em pode ser descrita como conjunto de pontos ( satisfazem uma equao na forma ( Sendo que uma funo continua. , que

A equao chamada representao implcita de S. Se for possvel resolver a equao para uma das variveis em funo das outras, obtemos uma representao explcita de S ou parte de S. Equaes Paramtricas Seja S uma superfcie no espao. Se os pontos de S so determinados pelas equaes ( ( ( Sendo que x,y,z so funes contnuas das variveis u e v, definidas em uma regio conexa R do plano uv, as equaes so chamadas paramtricas de S. Se denotarmos por ( superfcie, temos o vetor posio de um ponto qualquer ( ( ( ( ) da

(

(

(

(

Dessa forma, a superfcie S, parametrizada pelas equaes, pode ser representada pela equao vetorial ( ( ( ( (

Parametrizao da Esfera A figura mostra um esfera de raio a, centrada na origem, em que marcamos um ponto ( e dois ngulos u e v. o ngulo u o mesmo que em coordenadas polares, e o ngulo v formado pelos segmentos Do tringulo retngulo ey Substituindo e

, temos que . ey

nas duas ltimas equaes, obtemos

As equaes

y

Constituem uma parametrizao da esfera. A equao vetorial correspondente dada por ( Fazendo e

, as equaes descrevem toda esfera.

Para obter uma parametrizao de uma parte da esfera, devemos determinar os correspondentes valores de . Por exemplo, uma parametrizao do hemisfrio superior dada pelas equaes citadas acima, onde e .

Observamos que a parametrizao da esfera dada pelas equaes acima no nica. Outra parametrizao muito usada dada por ( onde e . das coordenadas ( ,

Nessa parametrizao, os parmetros u e v coincidem com os ngulos esfricas.

Mtodo dos Quadrados Mnimos