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Resistência dos Materiais 2

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 5-6 – TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO

Estado Plano de Deformações◦O estado geral das deformações emdeterminado ponto de um corpo érepresentado pela combinação de trêscomponentes de deformação normal e trêscomponentes de deformação porcisalhamento.

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Estado Plano de Deformações◦Para compreender o estado geral de deformações,primeiramente vamos fixar nossa atenção noestudo do estado plano de deformações. Nestecaso, um elemento encontra-se submetido a doiscomponentes de deformação normal e a umcomponente de deformação por cisalhamento.

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Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformação

◦Para desenvolver as equações detransformação das deformaçõesdevemos estabelecer uma convençãode sinal para tais deformações.

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◦A fim de desenvolver a equação detransformação de deformação paradeterminar as deformações emorientações específicas, deveremosdeterminar de cada segmento de reta dx’,localizado ao longo do eixo x’.

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◦Quando ocorre a deformaçãonormal positiva ɛx, a reta dx éalongada ɛxdx, que provoca oalongamento ɛxdxcosθ na retadx’.

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◦Da mesma maneira, ocorreem ɛy.

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◦Supondo que dx permaneçafixa, a deformação porcisalhamento que consiste namudança de ângulo entre dxe dy, provoca o deslocamentoϒxydy para a direita do topoda linha dy. Essa condiçãoprovoca o alongamentoϒxydycosθ de dx’.

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◦Somando os três alongamentos, o alongamento resultante de dx’será, então:

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◦A equação de transformação dadeformação para determinar ϒx’y’ édesenvolvida considerando-se aintensidade da rotação que cadasegmento de reta dx e dy sofre quandosubmetido aos componentes dadeformação ɛx, ɛy, ϒxy. E pode serapresentada como:

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◦Usando identidades trigonométricas, podemos reescrever asequações sob a forma final:

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◦Como na tensão, é possível obter as deformações normaisprincipais, utilizando as seguintes expressões:

◦Para deformações normais principais, assim como nas tensões, adeformação de cisalhamento é nula.

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◦Para a deformação de cisalhamento principal temos a expressão:

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Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de DeformaçãoExemplo 10.1

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Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de DeformaçãoExemplo 10.2

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Círculo de Mohr – Estado Plano de Deformações

◦Como as equações de transformaçãopara o estado plano de deformaçõessão matematicamente semelhantesàs equações de transformação para oestado plano de tensões, também épossível resolver os problemasutilizando o círculo de Morh.

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Círculo de Mohr – Estado Plano de DeformaçõesExemplo 10.4

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Rosetas◦A deformação normal de um elementopode ser medido usando-se umextensômetro de resistência elétrica, queconsiste de uma malha de filamentos.

◦Para determinação das tensões, em geralusa-se três extensômetros agrupadoscom um padrão específico, denominadoroseta.

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Rosetas◦Fazendo a leitura de cada deformaçãodeterminaremos os componentes dedeformação no ponto, aplicando asequações de transformação dedeformação, teremos:

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Rosetas◦Para o caso apresentado na figura,teremos ângulos de 0°, 45° e 90°,resolvendo as equações, teremos:

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Rosetas◦Para o caso apresentado na figura,teremos ângulos de 0°, 60° e 120°,resolvendo as equações, teremos:

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RosetasExemplo 10.8

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Relação Material-PropriedadeLei de Hooke Generalizada

◦Se o material está sujeito a um estado detensão triaxial em determinado ponto,desenvolve-se nele as deformaçõesnormais associadas.

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◦As tensões são relacionadas às deformações por meio doprincípio da superposição, da relação de Poisson e da Lei deHooke aplicada na direção normal.

◦Analisando na direção x:◦ Lei de Hooke:

◦Ralação de Poisson:

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◦Ao superpor essas três deformações normais,determinamos a deformação normal resultante. Omesmo procedimento pode ser feito para as outrasdireções.

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◦Se aplicarmos agora uma tensão de cisalhamento τxy ao elemento,observações experimentares indicam que o material se deformarádevido somente a deformação por cisalhamento ϒxy; isto é, τxy nãoprovocará outras deformações no material. A lei de Hooke paratensão de cisalhamento e deformação por cisalhamento é entãoescrita como:

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Relação Material-PropriedadeRelação entre E, ν e G

◦O módulo de elasticidade E relaciona-seao módulo de cisalhamento G pelaseguinte equação:

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Relação Material-PropriedadeDilatação e Módulo de Compressibilidade

◦Quando um material elástico é submetido atensão normal, seu volume muda.

◦A fim de calcular essa mudança, consideremosum elemento de volume que esteja submetido àsdeformações principais.

◦A mudança de volume do elemento é, então:

◦Simplificando, temos:

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◦A mudança de volume por unidade de volume échamada de deformação volumétrica oudilatação. Elas pode ser escrita com:

◦Se usarmos a Lei de Hooke generalizada obtemos:

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◦Quando um elemento é submetido àpressão uniforme p de um líquido, a pressãono corpo é a mesma em todas as direções eé sempre normal em qualquer superfíciesobre a qual atua. Esse estado de carga édenominado carga hidrostática.

◦Aplicando na equação anterior, temos:

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◦O termo a direita da equação abaixo échamado de módulo de compressibilidade eé simbolizada pela letra k.

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Relação Material-PropriedadeExemplo 10.9

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Teorias da Falha◦Quando precisa elaborar um projeto com um material específico,o engenheiro deve estabelecer um limite superior para o estadode tensão que defina a falha do material. Se o material for dúctil,geralmente a falha será estabelecida pelo início do escoamento,se o material for frágil, ela será especificada pela fratura.

◦Em qualquer caso, uma vez estabelecido o estado de tensão, astensões principais são determinadas para os pontos críticos, vistoque todas as teorias apresentadas a seguir se baseiam noconhecimento das tensões principais.

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Teorias da FalhaMateriais DúcteisTeoria da Tensão de cisalhamento Máxima

◦O caso mais comum de escoamento de ummaterial dúctil, como o aço, é o deslizamento.Esse deslizamento deve-se à tensão decisalhamento.

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◦Considerando um elemento do material tirando deum corpo-de-prova de tração, sujeito ao limite deescoamento. A tensão de cisalhamento máxima édeterminada desenhando-se o círculo de Mohr.

◦O resultado indica que:

◦Onde a tensão de cisalhamento atua no plano a45°.

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◦A teoria da tensão de cisalhamento máxima dizque o escoamento do material começa quando atensão de cisalhamento máxima absoluta atinge ovalor da tensão de cisalhamento que provocaescoamento do material quando ele estásubmetido apenas a tensão axial.

◦Segundo a teoria, para evitar a falha, a tensãomáxima de cisalhamento do material deve sermenor ou igual a metade da tensão deescoamento do material

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◦A teoria da tensão de cisalhamento máxima para oestado plano de tensões pode ser expressa paraquaisquer tensões principais no plano, de acordocom o seguinte critério:

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Teorias da FalhaMateriais DúcteisTeoria da Energia de Distorção Máxima

◦Quando um material é deformado por umacarga externa, tende a armazenar energiainternamente em todo o seu volume, estaenergia por unidade de volume é chamadade densidade de energia de deformação epor ser calculada pela seguinte equação:

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◦Aplicando a Lei de Hooke na equação da densidadede energia de deformação teremos:

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◦A energia armazenada no elemento comoresultado da sua mudança de volume é provocadapela aplicação de uma tensão principal média.Uma vez que essa tensão provoca deformaçõesprincipais iguais no material A parte:

◦provoca a energia de distorção.

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◦Desta forma, foi proposto que ocorre escoamentoem um material dúctil quando a energia dedistorção por unidade de volume do material éigual ou maior que a energia de distorção porunidade de volume do mesmo material quando eleé submetido a escoamento em um teste de traçãosimples.◦Esta teoria também pode ser conhecida pelos seuscriadores e aperfeiçoadores: R Von Mises, HHencky e M Huber.

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◦A equação da energia de distorção por unidade devolume pode ser simplificada para:

◦Admitindo um estado plano de tensões:

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◦Como a teoria da energia requer que:

◦Temos que:

◦Então:

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◦Essa equação representa uma curva elíptica de forma que se oponto do material estiver fora da área sombreada, diz-se que omaterial falhou.

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◦É possível compara os dois critériosjá apresentados (cisalhamentomáxima e energia de distorção), estacomparação está apresentada afigura.

◦Testes de tração mostram que ateoria da energia de distorçãooferece resultados mais precisos,em torno de 15%.

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Teorias da FalhaExemplo 10.12

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Teorias da FalhaExemplo 10.14

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