Resistência dos Materiais vol II - Timoshenko

5/11/2018 Resist ncia dos Materiais vol II - Timoshenko

1/21

CAPITULO 8C O N CE N TR A {:A O D E T E NS O ES

. 55. Concentra~aode tensoes nos elementos solicitados a tra~aoou com-pressao, - Estudando a traeao ou a compressao simples, admitimos quea barra tivessc uma forma prismatioa, Entiio, para as forr;as aplicadascentradamente, a tensao sera uniformemente distribuida sobre a ser;aotransversal. Distribuioao uniforme de tensoes foi tarnbem admitidano casode barra de ser;aotransversal variavel (veja figura 17, vol. I), esta,porem, e uma aproximaeao que s6 da resultados satisfat6rios quando avariayao da ser;iiotransversal e gradual. Mudancas bruscas na secaotransversal dao origem a grandes irregularidades na distribuicao de ten-soes, Estas irregularidades sao de particular importancia no projeto depecas de maquinas sujeitas a forr;as exteriores variaveis e a inversao detensoes. A irregularidade de distribuicao de tensoes nesses lugarcs sig-

nificaque, em certos pontos, a tensao esta muito acimada media e, sob a ayao de uma inversao de tensoes,originar-se-ao, provavelmente, fendas progressivas nes-tes pontos. A maioria das rupturas de pecas de ma-quinas em service pode ser atribuida a essas fendasprogressivas.Para ilustrar a distribuicao de tensoes numa barra de

ser;ao.transversal variavel, solicitada a trayao, consi-deremos uma cunha simetrica de espessura constante h,carregada, comomostra a figura 173. A solucao exata

para estc caso, que mostra existir uma puradistribuicao de tensoes radiaisja foi encontrada. 1 Urn elemento na direcao radial, num ponto A, estana ?ondiyaode tl'ayao radial simples. A grandeza desta tensao de trayaoradial e dada pela equacao

PFIG. 173.

P cos (Ja, = k hr' , ( a )L I dVeja 0Artigo de A. Mesoager, Annal es des Pon is e t Chausee es , 1901. Veja t ambem, I.H. Michell,on ?"; Mat h. S oc . PTOC., Vol . 32, 1900 e Vol . 34, 190Z. 0problema e estudado t ambem na 7'heory ojElashc,ty, pag. 93, 1934.

CONCENTRACAO DE TENS6ES 27 9onde (J e 0 angulo compreendido entre 0 eixo dos x e 0 raio OA readistancia do ponto A ao ponto 0, e k = l/(a + .!. sen 2a) e urn coefi-ciente que depende do angulo 2a da cunha. 2A distribuieao das tensoes normais 0'z, numa ser;aotransversal qualquermn, normal ao eixode simetria da cunha, nao e uniforme. Empregando

a equacao (17) (veja pagina 58, vol. I) e levando r = a/cos (J na equacao(a), obteremos

2 kP cos" (JOz = a, cos (J = ah (b )

Isto mostra que a tensao normal emaxima no centro da secao transversal( J = 0) e minima em (J = a. A diferenea entre a tensao maxima e aminima crescecom0angulo a. Quando a = 100, esta diferenea e de cercade 6% da tensao media obtida dividindo a carga P pela area da secaotransversal mn. Conclusoes analogas podem ser tiradas para uma barraconica, Pode mostrar-se que a distribuieao das tensoes normais numa .secao transversal aproxima-se da uniformidade a medida que 0 angulodo cone diminui.Esse estudo mostra que a hip6tese da distribuieao uniforme das tensoes

normais, numa ser;aotransversal, em barra nao prismatiea, da resultadossatisfat6rios quando a variar;ao da secao transversal ao longo da barra11aofor rapida.Todavia, as condicoes serao completamente diferentes quando houver

mudancas bruscas na secao transversal. Entao, a distribuicao de tensoesno local da variar;ao esta muito longe de ser uniforme e os resulta-dos obtidos, com a hip6tese de dis-tribuieao de tensoes uniforme, sao com-pletamente falsos. Varios exemplosdemudanea brusca da secao transversal se-rao estudados nos dois artigosseguintes.

56. TensOes numa placa com umfuro circular. - Se urn pequeno furocircular 2 for feito numa placa subme-tida a tensao de trayao uniforme 0',alta coneentracao de tensoes ocorreranos pontos nn, figura 174a. A teoriaexata 3 mostra que a tensao de trayaonestes pontos e igual a 30' . Mostra,tambem, que esta concentrayiio de tensoes

(0)

FIG. 174.e de carater extremamente

2 0 diAmetro do furo e menor do que 1 /5 da la rgura da pl ac a, p ar exemplo,JEs t" t eori a foi expos ta par Ki rs ch, V. D. I., 1898. Vej" tambem, Theoru o} Ela8ticitll , pag. 75, 1934.


2/21

28 0 RESIS'rnNCIA DOS MATERIAlS CONCENTRACAODE TENS6ES 28 1localizado e e l imitada a vizinhanoa imediata do furo. Se traearmos urncirculo concentrico com 0 furo, de raio relativamente grande c, comomostra a figura 174a, pela l inha pontilhada, pode admi tir-se que 0estado de tensoes na circunfereneia deste circulo nao e afetado material-mente pela presenca do furo. Suponhamos que a figura 174b repre-sente um anel circular, cortado da placa pela superffcie cilindriea cir-cular de raio c. Em cada ponto da superffeie externa deste anel, apli-caremos tensoes dirigidas verticalmente de grandeza a sen cp , isto e , iguaisas tensoes Ulima area elementar S correspondente da placa [veja equaeao(16), vol. I]; entao, as tensoes no anel serao aproximadamente as mesmasque na parte da placa limitada pelo circulo de raio c, figura 174a.. Destamaneira, 0problema da distribuieao de tensoes perto do furo, numa placa,reduz-se ao de um anel circular de se~ao transversal retangular, sujeitoa for~as verticais conhecidas, de intensidade a sen cp , distribuidas con-tinuamente ao longo de seu contOrno externo." Esse ultimo problemapode ser resolvido empregando 0metodo estudado na pagina 390, vol. I.Considerando um quadrants do anel, as tensoes que atuam ao longoda se~ao transversal mn reduzem-se a uma for~a de tra~ao longitudinalNo , aplicada no centro de gravidade da se~ao transversal , e a um conju-gada de flexao Mo. A for~a longitudinal que pode ser determinada pelaequacao da estdtica e

donde, depois da integracao,

r2uc2 [ 3 h ( 1 ) e7r R ]M =- 1--7r-- 1--7r +-+-(7r-2) .o 7r 8 2c 4 4c 2c (c )

Aqui, como anteriormente, Reo raio da linha dos centros e e a distanciado eixo neutro ao centro de gravidade da se~ao transversal.A tensao no ponto n da secao transversal mn do anel compoe-se de duaspartes: 1) a tensao de tracao produzida pela for~a longitudinal No e igual a

No acUl =-- =-,h h (d )e 2) a tensao de flexao produzida por Mo, a qual e , pela equacao (212),vol. I

No = ac . ( a ) onde a e 0 raio do furo.A distanoia e e calculada pelo emprego da equacao ( b ) , pag. 379, vol. I ,para diversos valores da relacao r 2 1 r l e, entao, as quantidades Ul e U2 saodeterminadas pela equacao 212. A tensao maxima e

o momenta Moe estaticamente indeterminado e e calculado empregandoo teorema do trabalho mfnimo. A equaeao (88), pagina 392, vol. I, eusada como expressao da energia potencial, na qual a for~a longitudinale 0momento fletor, em qualquer se~ao transversal do anel, determinadapelo angulo cp , figura 174b, saoN=oc cos'.;M~M,+adl- cose)[ ; (1-cos.H ~ cos e J _

- ac ( C - ~) (1 .:.:..;dS ) , (b )

Os resultados destes calculos estao dados no Quadro 18.QUADRO 18.

cl a = 3 4 5 6 8 10

__j! !_ = [ 7 r /2 M d c p _ [ 7 r /2 N d c p = 0dM 0 ... 0 SEe 0 SE '

2e/h......... 0,1796 0,2238 0,2574 0,2838 0,3239 0,3536UI/U . . .. . . 1,50 1,33 1,25 1,20 1,14 1,11U2/U . . .. . 2,33 1,93 1,83 1,83 1,95 2,19umax/u ..... 3,83 3,26 3,08 3,03 3,09 3,30

onde h e a altura da se~i1otransversal retangular: Etl tdo,

A espessura da placa IIsuposta igua] a unidade. A comparacao dos mimeros da ultima linha do quadro acima com a 80-lu~ao exata Umax = 3u, para urn furo pequeno, mostra que, para 5< cia< 8,


3/21

28 2 RESISTl!:NCIADOS MATERIAlS CONCENTRACAO DE TENS6ESos resultados do calculo aproximado coincidem bastante com a solueaoexata. Quando c l a < 5, 0 furo nao pode ser considerado como muitopequeno, tendo porem um efeito perceptivel na distribuicao de tensoes aolongo do clrculo de raio c, figura 174a , em cujo casu nossa hip6tese rela-tiva a distribuiego de forgas ao longo do contOrnoexterno do anel, figura174b , nao e bastante precisa. A divergeneia da teoria exata para c ia > 8e devida a precisao insuficiente da teoria elementar das barras curvas,para 0 casuem que 0 raio interno e muito pequeno em presenea do externo.Tomando qualquer ponto na secao transversal mn, figura 174b a

uma distaneia r do centro do furo, a tensao normal naquele ponto e '

28 3a tensao tangencial nos pontos n e 3 0 " y - 0 " :& e, nos pontos m , a tensao e3 0" :& - O"y. No casu particular de cisalhamento puro, teremos

e obteremos para os pontos n a tensao - 40 " e para ospontos m a tensao+ 4 0 " ; assim, neste caso, a tensao maxima e quatro vezes maior do queas tensoes aplicadas nos bordos da placa. Esta condicaode alta concentra-Qaode tensoes, obtemos na torcao de um tubo circular deparedesfinas,tendo um pequeno furo circular, figura 177. Se 0 conjugado de toreao

y

aplicado tiver 0 sentido indicado na figura, a tensao de tracso maxima,quatro vezes maior do que as tensoes de cisalhamento aplicadas nas extre-midades, e produzida no bordo do furo nos pontos .assinaladospelo sinalmais. Nos pontos assinalados pelo sinal menos hayed uma tensao deoompressaoda mesma grandeza.o metodo aproximado de calculo das tensoes numfuro circular descrito acima, podetambem serempregadopara 0 caso de um furo com um ressalto, figura 178.~ste caloulo, efetuado 5 para bli,=1, tI2a=O,Ol, deuos seguintes valores da relacao O " m . . . . , : 0" , para diversosvalores de cia:

c I a

s. ( . . ! _ 3a4 )2 2+ 2+-4- ,r r (J )onde 0" e tensao de tragao uniforme aplicada nas extremidades da placa.Esta distribuieao de tensoes esM indicada na figura 174a pelas areas

tracejadas. Vll-se que a conoentracaode tens5es e altamente localizada nestecaso. Nos pontos n, isto e , em r = a,temos O"max = 3 0 " . As tensoes decrescem9 rapidamente quando a distaneia desteponto supersolicitado cresce; a uma dis-tancia do bordo do furo igual ao raio dofuro, isto e , para r = 2a, obteremos pelaexpressao (J), uma tensao normal iguala 1-12". A tensao tambem decresce ra-

(a) pidamente com 0 aumento do angulo cp ,FIG. 175. figura 174b , e para cp = 7r/2, isto e , para

a seeao transversal paralela as tensoes detragao 0" aplicadas, acharemos, no bordo do furo, uma tensao de compres-sao na direeao tangencial, de grandeza igual a tensao de tracao 0 " aplicadanas extremidades da placa.Se, em vez de traeao, tivermos cornpressgo da placa, figura 175a,s6 teremos de mudar 0 sinal das tens5es obtidas no nosso estudo anterior

e concluiremos que havera uma tensao de compressao de grandeza 3 0"nos pontos n e uma tensao detraeao de grandeza 0" nos pontos m . Nocaso do material quebradieo, tal como 0 vidro, que e muito forte a com-pressao e fraco a traeao as fendas ocorrem em geral, nos pontos m, dadosna figura 175b.Tendo as tens5es para tragao ou eompressao simples e empregando 0

metodo da superposieao, obteremos, rapidamente, a concentraeao detensoes para os casos de tra~iio ou compressiio composias, em duas direcoesortogonais. Por exemplo, no caso dado na figura 176, acharemos que

FIG. 176. FIG. 177.

42.56

5 62,53 2,56

Na ordem considerada, a relacao O"maxlO" varia muitopouco com cki, de modo que sao feitos outrosealculoss6 para 0 casu ci a = 5. A influencia da area da secaotransversal do ressalto sobre O"max pode ser estudadavariando a dimensao b deste ressalto. Se 81 = 2t1arepresenta 0 decrescimo da secao transversal da placa

($I

~FIG. 178.

devido ao furo 0 e st udo de st c pr obl ema e nc ont ra -s e no artdgo do autor, Journal oj the Franklin Institute, Vol.197, pag. 505, 1924. Admitiu- se que a se~ii .o t ransve rsal total do res sa lto f6sse necessa ria. Para u lter io re studo do p roblema, veja L. Beskin, J. Appl. Meeh., Vol. 11, pag. 140, 1944. Veja tambem C. Gurney,Air Minist ry Repts. and Mem. (London), N. 1834, 1938.


4/21

28 4 RESISTftNCIA DOS MATERIAlS 28 5ONCENTRACAODE TENS6ESe 82 (b -- t1)t a area da se


5/21

~I

28 6 RESIST1l:NCIADOS MATERIAlS CONCENTRACAO DE TENSoES 28 72,2,2 ,2 ,

k I,B1, 61,41, 21, 0

641-0 1-0 e.~ .~ . a : ; -J=0,0521-.....U: .S0 _ 1-0,1 0,2-a:;~ /'. . . . . ~ -- - _-- -- 0,27~ _ - : : . . -/~- : 0,5 ~r: 1 ,0 - d-I{/ I Ito

f6rmula, estao em muito boa ooneordancia com os resultados experimen-tai s obtidos para os entalhes profundos (h/r = 4), semicirculares naextremidade, figura 182.Admitamos, agora, que a figura 183 represente a se


6/21

28 8 RESIS~NCIA DOS MATERIAlS CONCENTRACAODE TENS6ES 28 9As tensoes de trac;ao u'" sao acompanhadas de tensoes UII na direeao lateral.A distribuieao destas tensoes ao longo de mn esta representada na figura185b e sua distribuicao aolongo do plano vertical de simetria esta dadana figura 185a.Todas as conclusoes relativas a distribuicao de tensoes, feitas acima,

admitem que as tensoes maximas estao dentro do limite de proporciona-lidade do material. Alem do limite de proporcionalidade, a distribuic;aode tensoes depende da ductilidade domaterial. Urnmaterial ductil pode sersubmetido a urn escoamento oonsideravel, alem do limite do escoamento,sem grande acrescimo de tensao. Devido a este fato, a distribuicao detensoes, alem do limite de escoamento, torna-se cada vez mais uniformequando 0 material escoa. Isto explica porque, com osmateriais ducteis,os furos e os entalhes nao baixam a carga de ruptura quando a peca enta-lhada e experimentada estaticamente. Alem disso, ensaiando amostras

construc;ao,a concentracao forte de tensoes nao e perigosa, desde.que naohaja tensoes alternadas. POl' exemplo, na junta dada na figura 185, astensoes sao freqiientemente tao altas que 0 escoamento ocorre em men,mas este escoamento nao e considerado perigoso porque a junta e solioi-tada a ac;aode uma forc;aconstante. No caso de urnmaterial quebradieo,os pontos de conoentraeao de tensoes podem tel' grande efeito de enfra-quecimento e estes lugares devem ser eliminados ou a concentracao detensoes reduzida pelo emprego de frisos vantajosos.Nos elementos sujeitos a inversao de tensoes, 0 efeito da concentracao

de tensoes deve ser sempre considerado, pois fendas progressivas podemmanifestar-se nestes pontos, mesmo no caso do material drictil (veja ar-tigo 80) .

FIG. 185.

58. Concentraeao de tensoes nos elementos sujeitos it tor~iio. - Estu-dando a torcao de barras de varias secoes transversais (veja artigos 46 e47), mencionamos que os cantos reentrantcs ou outras irregularidadesfortes da linha de contorno da se


7/21

29 0 RESISTl!:NCIA DOSMATERIAIS CONCENTRACAO DE TENS6ES 29 1

tensao de cisalhamento calculada para pontes situados nil.superffeie doeixo, muito distantes do ental he. 'A mesma analogia hidrodinamica expliea 0 efeito de urn [uro de seotransversal eliptica ou de urn entalhe de se~ao traneuersal eemi-eliptica. Se urndos eixos principais a da elipse estiver na direeao radial e 0 outro eixoprincipal f6r b, as tensoes nos bordos dofuro, nas extremidades do eixo a,estarao aumeutadas na proporcao [(1 + (a/b):l . A tensao maxima pro-duzida neste caso depende, assim, da grandeza da relaeao a/b. 0 efeitode urn furo eUptico na tensao sera maior quando 0 eixo maior da elipseestiver na dire~ao radial e nao quando f6r paralelo a circunfereneia, lstoexplica porque a fenda radial tern efeito de enfraquecimento na resisteneiade urn eixo. 0 estudo aoima aplica-se, tambern, ao caso de urn entalheseml-eliptico colocado na superffcie, paralelo ao eixo.O No caso de uma ranhura com cantos agudos, figura]87, a analogia hidrodinsmica indica uma velocidade~ nula do fluido circulante nos cantos salientes para fora(pontos m-m); portanto, a tensao de cisalhamento, noproblema de toreao correspondente, e nula nestes cantos.

FIG. 187. Nos pontos n-n, vertices dos angulos reentrantes, a ve-locidade do fluido circulante e teorioamente infinita. Noproblema da torcao correspondente, a tensao de cisalhamento e tambeminfinita nos pontos n-n, 0 que significa que, mesmo urn pequeno conju-gada de torcao, produzira deformaeao permanente nesses pontos. Essaeoncentracao de tensoes pode ser reduzida arredondando os cantos n-n,As experiencias feitas 21 com urn eixo 6co de diametro externo 25,4 cm,diametro interno 14,7 cm, profundidade da ranhura 2,54 cm, largura da. ranhura 6,35 cm e raio do friso no canto da ranhura r, mostraram que atensao maxima nos cantos arredondados e igual a tensao maxima numeixo semelhante sem ranhura, multiplicado pelo coeficiente k dado 110Quadro ~9:

o efeito do enfraquecimento da eoneentracao nos eixos, devido a.furose entalhes, depende do materia l ser ducti l 0 \1 n110e as eonclusoes tiradasno artigo precedente aplicam-se tam bern aqui. , _Se urn elemcnto tubular tiver cantos reentrantes, ~a:era concentr~~aode tensoes nestes cantos e a grandeza da tensao ~axlma dependera doraio dos cantos. 0 valor aproximado desta tensaomaxima pode ser obtido pela analogia de membrana.Consideremos 0 caso simples de um tuba de espessuraconstante e admitamos que 0 canto seja limitado pordois circulos conc~ntricos, figura 188, tendo paracentro 0 e raios r i era' A superflcieda membrana,na se~iio transversal mn, pode se~ considerada comouma superffcie de revolueao com eixo normal ao plano FIG. 188.da figura em 0.22 Vimos que 0deslocamento angular ,. .da superficie da membrana em qualquer ponto M e numencamente iguala ten sao de cisalhamento T. Referindo-nos a figura 18?, ~ q.ual mostrauma segao meridiana passando por mn, as curvaturas pnneipais da mem-brana neste ponto sao

1 dIP drR-=ds=a;. 1

QUADRO 19.

para 0 meridiano (tomando urn elementods do meridiano igual a dr), e

1 T

para a se~aonormal ao meridiano. A equa-~a o de equilibrio da membrana e, entao,pela equacao (122),

r em = 0,254 0,508 0,762 1,016 1,270 1,524 1,778

k = 5,4 3,4 2,7 2,3 2,1 2,0 1,9

dr T P-+-=-dr r Fou, empregando a equaeao (a), artigo 4:6,

Isso mostra que a concentraeao de tensoes pode ser muito diminuidaaumentando 0 raio dos cantos n.d T T_+- = 2GB.dr r (a)

FIG. 189.

N21 Veja The Mechanical Pro~rtie. oj Fluid trabalho coletivo pSg. 245 D. Van Nos trand Coew York. 1924. .' 22 Esta hip6tese e satisfat6ria. contanto que rj nao seia pequeno em presence de r a.


8/21

29 2 RESlSTeNClA DOS MATERIAlSRepresentemos por TO a tensao de cisalhamento media obtida pela equa-Qao (226). Acharemos entao, pela equacao (227),

CONCENTRACAODE TENS6ES 29 3

dT T~+~dr rA tensao media TO e dada pela equacao (226).trantes e , pela equacao (266), A tensao nos cantos reen-

... 10,5 em

2G 8 (b) I emT = 1,54To.

onde s e 0 comprimento da linha dos centros da secso do elemento tubular.A soluQao geral da equacao (b ) e

T =_ + Tosr.r 28 (c )o coeficiente de coneentracao de tensoesneste caso e 1,54. Pode ver-se que estecoeficiente cresce com 0 decresoimo doraio interno rt. A equacao (266) podetambem ser usada para 0 ea.leulo aproxi-mado da eoneentracao de tensoes quandos6 0 canto reentrante for arredondado, figura 1 9 0b .sao pequenas nos cantos salientes , podemos tomaresta indicado na figura pela linha pontilhada.

(alL - = = 10 em = : : JA constante de integraQao C e obtida 'da eondiQao; 23, FIG. 190.f Ta rdr = Toh.

i

Como as tensoesr a = h + rt, como

Substituindo T pela expressao (c), acharemos

(266).,t.,2"U

\ A\\r-- -~,o 2

e, pela equacao (c),

Nos cantos reentrantes r = ri e levando este valor na equaeao acima,poderemos calcular a concentracao de tensoes nestes cantos. 24 Tome-mos, por exemplo, um tubo quadrado com. dimensoes externas de 10por 10em, espessura da parede h =1 em e raios nos cantos rj = 0,5 em,r a = 1,5 em, figura 190. Entao,

Reiocoo _r_cFIG. 191.

8 9 X 9 _ 12(4_ 1 r) = 80,150 em" ,s 9 X 4 _ 1(8 -- 2 1 r ) = 36 _ 1,72 = 34,28 em.

No easo de secoes laminadas em perfi l, como as que vemos nas figuras144b e c, a tensao maxima ocorre nos cantos reentrantes, Seu valore obtido multiplicando a tensao calculada pelas f6rmulas (222) ou (225)pelo coeficiente de eoncentracao de tensoes, para 0qual podemos empregara seguinte expressao 25

k = 1,74 W (267). Est a condi~i io e consequenci a da analogi a hldrodinamica, pag. 369. Se urn f lu ido cir cula emurn canal , t endo a forma da se~ao t ransvers al do elemento tubul ar , a quant idade de f lu ido que pas sa emcada seeao t ransvers al do canal deve permanecer const ante ... Esta equaeao fo i d ada po r C. Weber em seu Arti go , loco cit., pSg. 341.

28 E. Trefftz. Z . angew. Mat h. Mech. , Vol. 2, pag.263, 1922. Aequa~iio(267)e d~duzidaparaumacan-toneira, figura 144b, com espessura de mesa igual , No,!lasode duas espessuras diferentes cI e C2, comoDa figora 144c, a espes sura maior deve ser usada na equaeao (267) . Outro estudo des ta quesl ii o e dado porH. M. West ergaard e R. D. Mindl in , AmeT. Soc . C . E . P roce ed inqs , !lag. 509, 1935.


9/21

294 RESIS'mNCIA DOS MATERIAlS CONCENTRACAO DE TENgOES 2 95

onde c e a espessura da mesa e r 0 raio do friso . Caleulos mais exatosfornecem, para 0 coeficiente de coneentracao de tensoes, os valores re-presentados na figura 191 pela curva AB.26llM t su,8=---=---'at, G27rr3h (c)

59. Eixo circular com diAmetro variavel.27 - Se 0 di!lmetro de umeixo varia gradualmente ao longo de seu comprimento, a equaeao (152)(veja pag. 295, vol . I), deduzida para um eixo cilfndrico, dara a tensaomaxima com precisao suficiente. Se, porem, avariacao de dismetro for brusca, como mostra afigura 200, haverd forte eoneentracao de tensoesnos pontos m-m no c(jm~r;odos frisos. A gran-deza da tensao maxima depende das relacoes p/ de Did, onde p e 0 raio do friso, d e D os diametros

FIG. 192. das duas partes eillndricas do eixo. Estas altastensoes loeais, se bem que nao perigosas para umcarregamento permanente de material ductil, poderao ter efeito pronun-ciado de enfraquecimento quando houver flutuacoes de tensoes, que eo que acontece, em geral, em pecas como os eixos propulsores e as arvoresem virabrequim dos motores Diesel . Muitos cases de ruptura em servicepodem ser atribuidos a esta causa. 0 calculo teorico da tensao maximano friso e muito complicado 28 para os objetivos da engenharia e daremos,noitem que sesegue, um metoda experimental para medir a tensao maxima.Metodo ~steque emprega uma analogia entre a distribuicao de tensoes numeixosolicitado a torr;ao e a distribuicao da corrente eIetrica numa placa."Comecemos com um eixocircular de diametro constante. Imaginemos ~s-te eixodividido em tubos elementares tais que cada tubo receba uma parteigual do conjugado total de torcao M" Na figura 193, pOI'exemplo, 0eixoesta dividido em cinco partes, cada uma recebendo tM " ~stes tubosserao chamados tubes de igual momenta e as linhas correspondentes numasel;iio diametral do eixo, linhas de igual momento. Representamos porl lM, 0 conjugado de toreao POI'tubo e admitamos que a espessura de eadatuba seja pequena. 0 Angulo de toreao, pOI'unidade de comprimento, e 0mesmo para todos os tubos e e

onde re o raio medic do tubo e h sua espessura. Uma vez que l lM, e 830sao os mesmos para todos os tubos, a espessura dos tubos varia na rassoinversa do cuba do raio medio, A tensao de' cisalhamento media numtuba e, pela equacao (258),

llM er llM tr=---=--2-t, 2 1r r h (b )Na figura 193, v~-se um segundo sistema de linhas na sel;ao diametral.Estas linhas sao normais as linhas de igual momento e sao chamadas

Super ficie de iguolangu/oTubos de iguo l

FIG. 193.

linhas de igual angulo. Elas correspondem as secoes do eixo que sao cha-madas super fi cies de igual angulo e sao consideradas de tal forma que 0angulo de torcao, oompreendido entre duas superficies consecutivas deigual angulo, seja constante ao longo do compl' imento do eixo. Seja llcp~ste angulo. Neste caso, as superfic ies de igual angulo sOOplanos equi-distantes e chamemos de a a distancia entre ~les. Entao, em qualquerraio r, a deformacao de cisalhamento e

21 Veja 0 anigo deJ. H. Ruth. J. Appl. Mech. Vol. 17. psg. 388, 1950. 0 resultado d08C.uCul08efetuados porHuth estiio bern de acordocom os resultados experimentais obtidos por N. S. Waner eW. W. Soroka atrav~s da analogia da fMhacondutora. Veja Proc, Soc. Exp. Str . Anal., Vol.Ill,psg. 19. 1953.27 A solucao geral do problema IIdevida a J. H. MicheIl, Proc. London Math. Soe., Vol.31. 1899, eA .. Foeppl, Silzunll.ber. d. Bayer, Akad. d. Wis.enach.Vol. 35, psg. 249. 1905. 0 casodadona figura. 192foi considerado,primeiramente, por A. Foeppl; veja V.D. I., psg. 1032. 1906. Allteratura sebre&Ite as-sunto aeha-se cornpiladana Theory oj Ela.licity, psg. 310, 1951.2' ~sses ealculoaforal\l feitos por F. A. WiIlers. empregando urn metodo aproximado de integra~io,Zeit.chr. J. Math. u. Phy, Vol. 55, psg. 225. 1907. Veja tambemR. Sonntag,Dissertation.Muenchen.1926, -2' Esta analogia foi desenvolvida por L.S. Jacobsen; veja Tran Amer. Soc.Mech. Egr Vol. 47,

p'g. 619, 1926.

e a tensao correspondente eGil cp rr=---a

3. (J e 06.ngulode tor~!lopara urneixo eheio.


10/21

i IIii,II III Iil lII II I I II I 1 1IIII

I IIIj

296 RESISTE':NCIADOS MATERIAlS CONCENTRACAO DE TENS6ES 297

Os dois sistemas de linhas ortogonais, de igual momento e de igual Angulodividem a secao diametral do eixo em retangulos elementares, como se v~na figura. As dimensoes destes retangulospodem ser empregadas paracomparar as tensoes de cisalhamento nos pontos correspondentes do eixo.Empregando a equacao (b ) e comparando as tensoes de cisalhamento Tl eT2 nos raios Tl e T2, respectivamente, acharemos

No caso que estamos considerando, a1 = a2 = a, mas a equacao (e) seraempregada mais tarde para urn caso mais geral. E evidente que cadasistema de linhas pode ser usado para calcular as tensoes de cisalhamento.Num caso [equaeao (d)], a relacao das ten-soes depende da relaeao das distanciasentre as linhas de igual momento h2/hllenquanto que no outro caso [equaeao (e)],depende da relacao das distaneias entreas linhas de igual Angulo a2/a 1Consideremos urn eixo de diametro va-riavel, como mostra a figura 192. Asirregularidades na distribuicao de tensoesproduzidas nos frisos sao de earater local.A uma distancia suficiente da juneao dosdois diametros, a distribuicao de tensoese, praticamente, a mesma de urn eixo deseQao transversal uniforme e os dois sis-temas de linhas descritas anima podem

FIG. 194. ser oonstruidos na secao diametral, figura194.. Perto da secao transversal de des-continuidade, a ditr ibuieao de tensoes e mais complicada e as linhas deigual momento e de igual Angulotornam-se curvas. A analise do proble-ma m~s~ra 31 que, mesmo curvas, estas linhas permaneeem ortogonais'e subdividem a seeao diametral em retangulos curvilfneos, como os indi-

Pela equacao (c), acharemos

III

Sf Veja 0 Artigo de F . A. Willers, lac. cit., pag. 374.

cades pelas areaS tracejadas. Tambem as equacoes (d ) e (e), que foramdeduzidas para urn eixo uniforme, servem para.este caso, con~opoderemosmostrar desde que tomemos para h e a as dimensoes medidas no meiode cada retangulo curvilineo. Entao, as linhas de igual momento e de. igual angulo dao uma imagem completa da distribuicao de tsnsoes noeixo. Considerando, por exemplo, as linhas de igual momento,e ~mpre-gando a equacao (d) , vemos que as tensoes crescerr; co~ 0 decrescn~o doraio e da espessura dos tubos de igual momento. E evidente, pela fI~ura,que a tensao e maxima nos frisos, onde a espessura h do tubo de igualmomento externo e menor. Chegaremos tambern a mesma conclusaoconsiderando as linhas de igual angulo. Pode mostrar-se pela figura que,nos frisos, a distancia a entre estas linhas e mu~to pequena; portanto,pela equacao (e), a tensao e grande. , .Pela equ.ayao (d ) o~ (e), podemosdeterminar a relacao entre a tensaomaxima no friso e a tensao em qualqueroutro ponto, contanto que sejam conhecidas as linhas de igual momentoou de igual Angulo. .'A analogia eletrica, mencionada acima, fornece um~e~o ~ara_mediras distsncias a entre as linhas de igual angulo. Estas distancias sao me-didas na superffcie do eixo de menor diametro d, primeiramente n~mponto afastado da seeao transversal de descontinuidade e depois n~ ~rlso.A relacao entre estas duns distancias da [veja equacao ( e ) ] 0 COeflCIente

(d)

. 2 : . ! = T1a2 .T2 T2al

(e)

Linhas Equipatenciais

Linhas dA' -~

Resistência dos Materiais vol II - Timoshenko

Documents

Transcript of Resistência dos Materiais vol II - Timoshenko