Resolução da Lista 11 de FF-207

01. Deduza a formulação equivalente a Hamilton-Jacobi usando uma

transformação canônica do tipo 1.

SOLUÇÃO:

Com a formulação de Hamilton-Jacobi, queremos encontrar uma

função geradora de uma transformação tal que as novas

coordenadas canônicas, Q e P, sejam constantes no tempo. Isso não

indica que o sistema analisado é estático. Suponhamos que essa

função geradora seja escolhida de tal forma que a Kamiltoniana seja

nula. Nessa circunstância, as equações da nova Hamiltoniana são

trivialmente resolvidas, como mostrada abaixo:

Então, procuremos por uma função geradora do tipo 1 (como

manda o enunciado), .

Da transformação canônica, temos que:

Das equações (2) e (3), chegamos em:

Denotando por , chamada de Função principal de Hamilton,

temos:

Essa EDP, comumente conhecida como Equação de Hamilton-Jacobi,

é de primeira ordem nas (n+1) variáveis independentes

. Consequentemente, a solução geral vai envolver

(n+1) constantes de integração, . Pode-se

notar, todavia, que ela só depende das derivadas parciais de com

respeito à e . Logo, se for solução, , para alguma

constante qualquer, também é. Por conta disso, qualquer solução,

contendo os (n+1) parâmetros necessários, pode ser escrita da

forma . Então, uma das constantes de integração, por

exemplo, é meramente aditiva e pode ser descartada. Dessa forma,

podemos escrever uma solução completa da equação (5) como:

Onde são constantes independentes não

meramente aditivas.

Agora, podemos tomar essas constantes de integração como as

novas coordenadas:

Essa escolha não contradiz o fato de que as novas coordenadas

estão conectadas com os valores iniciais de e no tempo . A

equação (3) pode ser reescrita como:

No instante , podemos analisar as constantes de integração em

termos das condições iniciais do problema. Então, as outras

equações de transformação, equações (4), podem ser reescritas

como:

Onde são constantes definidas pelas condições iniciais.

Assim, fazendo , vemos que os novos momentos estão

conectados com os valores iniciais de e .

Podemos isolar a variável , na equação (7), em termos de :

Resolvendo o problema em função do tempo e das condições

iniciais. Depois, substitui o resultado na equação (6) para encontrar:

As equações (8) e (9) são solução das equações de Hamilton.

Podemos, com isso, perceber que a função principal de Hamilton é a

função geradora da transformação canônica que deixa a

Hamiltoniana nula e, portanto, os novos momentos e coordenadas

constantes no tempo.

02. Suponha que a função característica de Hamilton é usada como

função geradora de uma transformação canônica. Obtenha as

equações de movimento.

SOLUÇÃO:

Vamos inicialmente supor que a Hamiltoniana não depende

explicitamente de . Daí, a equação de Hamilton-Jacobi se torna:

Então, será possível integrá-la, bastando fazer uma separação de

variáveis na Função Principal de Hamilton (aqui tomada como uma

função geradora do tipo 2). será dividida em duas partes, uma

envolvendo somente o tempo e a outra somente , como mostrado

abaixo:

Onde a função é chamada de Função característica e são as

constantes de integração.

Substituindo diretamente (2) em (1), temos:

Da equação (2), também temos:

Agora, vamos considerar uma transformação em que os novos

momentos são todos constantes de movimento , e onde é, em

particular, a constante de movimento . Se a função geradora dessa

transformação for denotada por , então as equações de

transformação são:

Enquanto essas equações se assemelham às equações (4) e (5), a

condição agora determinando é que deve ser igual ao

momento :

Usando a equação (6) podemos chegar à seguinte EDP para :

Que é idêntica à equação (3) encontrada anteriormente. Portanto,

podemos concluir que se não dependendo do tempo

explicitamente, o novo e o velho Hamiltonianos são iguais, e segue

que . Então, a função gera uma transformação canônica

em que todas as novas coordenadas são cíclicas. Então, as novas

equações de movimento são:

O que nos conduz a:

03. Completar o cálculo faltante na página da internet.

SOLUÇÃO:

Vamos usar a equação de Hamilton-Jacobi para derivar a fórmula

analítica para o movimento de uma partícula num potencial central

Newtoniano do tipo

. Essa fórmula derivada pode então ser usada

para comparar uma solução numérica aproximada com uma

analítica, ou seja, uma solução exata para o problema.

O problema é facilmente descrito em coordenadas esféricas

. Nessas coordenadas, a Hamiltoniana assume a seguinte

forma:

Onde assumimos a constante Gravitacional e a massa da

partícula .

Tomando como função principal de Hamilton uma função geradora

do tipo 2, temos:

Substituindo diretamente (1) e (2) na equação (3), chegamos à

equação de Hamilton-Jacobi correspondente a essa Hamiltoniana,

mostrada abaixo:

Como a Hamiltoniana não depende explicitamente de e ,

podemos usar um método que é comumente chamado de

separação de variáveis, e escrever a solução procurada como:

Onde C é uma constante.

Segue de (5) que:

Substituindo (6) dentro da equação (4), temos:

Multiplicando por , chegamos em:

Como os dois lados da expressão dependem de variáveis diferentes,

a igualdade se dá somente se eles forem iguais a uma constante.

Tomemos essa constante como :

Utilizando a primeira igualdade da equação (8), temos:

Utilizando a segunda igualdade da equação (8), temos:

As equações (9) e (10) são EDO’s de primeira ordem que podem ser

prontamente integradas.

O que nos conduz a:

Mas existem condições adicionais que a função S deve satisfazer.

Neste caso:

Onde são constantes e:

Onde também são constantes. A equação (15) vem do

fato ser uma função geradora do tipo 2, e as novas coordenadas e

os novos momentos são constantes pois a Kamiltoniana é nula.

Nesse caso, temos , e , e podemos fazer

iguais a zero tal que a equação (15) resulta em:

Calculando a derivada parcial de com relação à a partir da

equação (13), temos:

Multiplicando, o numerador e denominador, dentro da integral por

, temos:

Colocando

dentro da raiz, ficamos com:

A última igualdade de (16) e (17) resultam em:

Pode ser provado que essa relação é satisfeita por um movimento

plano, ou seja, que a partícula se move em um plano com o vetor

perpendicular a este plano. Podemos, portanto, mudar o nosso

sistema de coordenadas de forma que . Então, a equação

(13) se torna:

Calculando agora a derivada parcial de com relação à a partir da

equação (19), temos:

Podemos juntar esse resultado com a segunda igualdade de (16), o

que nos conduz à equação abaixo que produz a forma da órbita:

Integrando a equação (20), chegaremos ao resultado já bem

conhecido para o movimento de uma partícula num potencial

central Newtoniano do tipo

:

Onde é a excentricidade da órbita:

Outros parâmetros pertinentes da orbita são:

Onde é o semi-eixo maior da órbita (quando elíptica).

Lembremos que para uma partícula presa, a energia é negativa.

Onde é o semi-eixo menor da órbita (quando elíptica).

Onde é a distancia de maior aproximação. Por convenção, a

maior aproximação ocorre quando . Por isso,

temos a equação (24) dessa maneira.

Calculando agora a derivada parcial de com relação à a partir da

equação (19), temos:

Podemos juntar esse resultado com a primeira igualdade de (16), o

que nos conduz à em função de :

A solução para esta equação é bastante complicada e pode ser dada

em termos de funções de Bessel. O resultado é um movimento

harmônico com frequência média circular dada abaixo: