Tnia F Bogutchi 2012-1

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Probabilidade e Estatstica I

Resoluo da Prova 1 - Valor: 35,0 pontos Data: 25/03/2012

Questo 01: Um produto eletrnico contm 40 circuitos integrados. A probabilidade de que

qualquer circuito integrado seja defeituoso de 0,01. Os circuitos integrados so independentes.

O produto opera somente se no houver circuitos integrados defeituosos. Determine a

probabilidade de que o produto opere?

Soluo

Defina a varivel aleatria: no. de circuitos defeituosos

X ~ Bin(40; 0,01)

O circuito opera se no houver circuitos integrados defeituosos, ou seja, se X = 0.

66897,0)99,0)(1)(1()99,0()01,0(040)0( 40400 ==

==XP (~66,9%)

Ou pode ser resolvida por aproximao pela Poisson, pois n > 30 e p < 0,1 E(X) = (40)(0,01) = 0,4 = X Pois(0,4)

P(X = 0) 6703,0!0

4,0 4,004,0 =

ee

Questo 02: Certo fabricante garante que 95% das lmpadas da marca dele duram mais de seis

meses. Uma pessoa instalou 15 lmpadas dessa marca, determine a probabilidade de ela ter que

substituir no mximo uma lmpada antes de seis meses.

Soluo Se 0,95 a probabilidade de uma lmpada durar mais de seis meses, ento 0,05 a probabilidade

de uma lmpada durar menos de seis meses

Defina X: nmero de lmpadas que duram menos de seis meses

X ~ Bin (15; 0,05)

Logo, no mximo uma significa: X 1

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Probabilidade e Estatstica I

P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) =0,46329 + 0,365756 = 0,82905 ( 82,9%)

Pois,

P(X = 0) = 150 95,005,0015

=(1)(1)(0,46329)=0,46329

P(X = 1) = 141 95,005,0115

=(15)(0,05)(0,48768)=0,365756

Questo 03: O tempo de vida da CPU de um computador pessoal distribudo

exponencialmente, com um tempo mdio de vida de seis anos. Voc possui essa CPU h trs anos.

a) Calcule a probabilidade de a CPU falhar nos prximos trs anos?

Soluo Seja, X: tempo de vida da CPU, em anos

X ~ Exp ( )

E(X) = 6 anos 61

)(11)( ===XE

XE

a probabilidade de a CPU falhar nos prximos 3 anos, dado que ela sobreviveu os 3 primeiros

anos, logo, a mesma probabilidade de falhar de 0 a 3. Ento,

P(X < 3) =F(3) = 1- xe =1- )3(

61

e =1- 21

e = 1 0,6065 = 0,3935

b) Considere que sua corporao possui 10 CPUs h trs anos e suponha que as CPUs falhem

independentemente. Calcule a probabilidade de no mnimo uma falhar dentro dos prximos trs

anos.

Soluo Seja, Y: nmero de CPUs que falham.

Utilizando a probabilidade de falha do item anterior para cada CPU e considerando a

independncia entre elas, tem-se:

Y ~ Bin (10; 0,3935)

P(Y 1) = 1 P( Y < 1) = 1 P(Y = 0) = 1 - 100 6065,03935,0010

= 1 0,006735 = 0,9933.

Questo 04: A espessura de um recobrimento laminado de uma superfcie de madeira

normalmente distribuda, com uma mdia de 5 milmetros e um desvio-padro de 0,2 milmetros.

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Se as especificaes requerem que a espessura esteja entre 4,5 e 5,5 milmetros, qual a

proporo de recobrimentos que no atende s especificaes?

Soluo Seja a varivel aleatria X definida por:

X: espessura do recobrimento laminado, em milmetros

X ~ N (5; 0,2)

Probabilidade de o recobrimento estar dentro das especificaes:

P(4,5 < X< 5,5) =

5,5

Probabilidade: P(X < 4,5) + P(X > 5,5) P(Z < -2,5) + P(Z > 2,5) = 2 P(Z < -2,5) (pela simetria

da normal) 2(0,00621) = 0,01242.

Questo 05: Considere as duas amostras dadas a seguir: Amostra 1 10 9 8 7 8 6 10 6

Amostra 2 10 6 10 6 8 10 8 6

Faa o que pede:

a) Calcule a amplitude para cada uma das duas amostras. Voc concluiria que as duas amostras

exibem a mesma variabilidade? Explique.

Soluo Amplitude = diferena entre o maior e o menor valor da amostra. Logo, Amostra Amplitude

Amostra 1 4 = 10 - 6

Amostra 2 4 = 10 - 6

As amplitudes das duas amostras so iguais e isso poderia indicar que as amostras possuem

mesma variabilidade, mas essa medida no leva em considerao as informaes dos valores

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Probabilidade e Estatstica I

entre o maior e o menor dentre eles, deixando, portanto, de ser uma boa medida para a

variabilidade.

b) Calcule o desvio-padro para cada uma das duas amostras. Essas grandezas indicam que as

duas amostras tm a mesma variabilidade? Explique.

Soluo

Desvio-padro pode ser calculado por: 1

)()(

2

1

2

==

=

n

n

x

x

XVarXdp

n

iin

ii

Amostra 2

x x Varincia Desvio-padro Amostra 1 530 64 2,571 1,604

Amostra 2 536 64 3,429 1,852

O desvio-padro indica que os dados da amostra 2 possuem maior variabilidade que os da

amostra 1. Os desvios-padro podem ser comparados diretamente, pois as amostras possuem a

mesma mdia.