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EDSON FRANCISCO FLORIANI

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDADE: UM ESTUDO COM ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

ITAJAÍ (SC) 2004

i

UNIVALI UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ

Centro de Ciências Humanas e da Comunicação – CEHCOM Curso de Pós – Graduação Stricto Sensu

Programa de Mestrado Acadêmico em Educação - PMAE

ITAJAÍ (SC) 2004


Dissertação apresentada ao Colegiado do PMAE como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Educação. Itajaí (SC), 13 de Dezembro de 2004.


ii

UNIVALI UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ

Centro de Ciências Humanas e da Comunicação – CEHCOM Curso de Pós – Graduação Stricto Sensu

Programa de Mestrado Acadêmico em Educação - PMAE


NEUZI SCHOTTEN SCHIOCHETTI


Dissertação avaliada e aprovada pela Comissão Examinadora e referendada pelo Colegiado do PMAE como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Educação. Itajaí (SC), 13 de dezembro de 2004.

CERTIFICADO DE APROVAÇÃO

Membros da Comissão: Orientador: _______________________________

Prof. Dr José Erno Taglieber Membro Externo: __________________________________

Profª. Dra. Maria Lucia Moro Membro representante do colegiado: ________________________________

Profª. Dra. Luciane Maria Schlindwein

iii

DEDICATÓRIA

Á Norival Floriani (in memorian), meu pai o

patriarca de nossa família, que no seu modo

simples, ensinou-me a enfrentar os desafios

da vida.

iv

AGRADECIMENTOS

A organização e a elaboração da presente dissertação somente foi possível, devido à

contribuição e o empenho das seguintes pessoas, que passo agradecer:

À minha co-orientadora, Dra. Maria Helena Baptista Vilares Cordeiro, e meu

orientador Dr. José Erno Taglieber, que com suas orientações e incentivo, tornaram possível

este trabalho.

Aos meus pais, Norival Floriani (in memorian) e Ana Joaquina Floriani, que

demonstraram, ao longo de minha vida, a amar muitas coisas, entre elas, o empenho e a

dedicação para o estudo e o trabalho.

Aos meus irmãos, Carlos Roberto Floriani e Norival César Floriani, por me

incentivarem e acreditarem no meu potencial para o desenvolvimento deste trabalho.

A minha noiva, Tatiane Adriano, pela compreensão e apoio neste trabalho.

À Profª Olga Tereza Pisseti Machado, que com dedicação e paciência revisou nosso

trabalho, quanto à redação.

A todas as pessoas, que indiretamente forneceram subsídios, tornando possível esta

dissertação, meu sincero agradecimento.

v

RESUMO

Este estudo descreve e caracteriza várias estratégias que estudantes do ensino fundamental e médio utilizam para resolver problemas multiplicativos. Buscou-se verificar nas estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade, aspectos que seriam indícios da compreensão desse conceito. Os sujeitos foram 82 alunos de uma escola privada, situada na cidade de Itajaí, SC, na faixa etária de 12 a 17 anos, sendo estudantes de 6ª e 8ª séries do ensino fundamental e 2 ª série do ensino médio. Foi solicitado aos alunos que resolvessem nove problemas multiplicativos do tipo isomorfismo de medidas adaptado de Vergnaud. As análises das estratégias adotadas pelos alunos nos problemas revelaram, que, por meio de seus registros, é possível identificar elementos que demonstra a compreensão do conceito de proporcionalidade. Os resultados demonstraram em vários problemas que os alunos muitas vezes não conseguem reconhecer a proporcionalidade como uma relação multiplicativa, por outro lado, houve tentativa no sentido de utilizar ralações aditivas para resolver estes problemas.

Palavras-chave: Proporcionalidade, Estratégias de Resolução de Problemas, Ensino da Matemática.

vi

ABSTRACT

This study describes and characterizes several strategies to solve multiplication problems, sed by students attending elementary and secondary schools. It seeks to determine, strategies used by the students to solve problems involving the concept of proportionality, and wich could be considered indicators of their understanding of the concept of proportionality. The subjects of the study were 82 students from a private school located in Itajaí, in the State of Santa Catarina. They were aged between 12 and 17, in the 6th and 8th grades of elementary school and 2nd grade of secondary school. The students were asked to solve nine multiplication problems involving isomorphic measures, adapted from Vergnaud. The analysis of the strategies used by the students to solve the problems reveals that it is possible to identify, from their records, elements indicating their understanding of the concept of proportionali ty. The results showed that students didn t know how do solve several problems using the multiplicative strategies in proportionality, in stat of they used try do use additive strategies to solve these problems.

Key-words: Proportionality, Problem-solving strategies, Mathematics Teaching.

vii

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Modelo da resolução do problema........................................................................ 28 Figura 2 - Análise Horizontal ............................................................................................... 29 Figura 3 - Operador Escalar.................................................................................................. 30 Figura 4 - Análise Horizontal - função.................................................................................. 30 Figura 5: Condições que foram consideradas na elaboração dos problemas de proporção

utilizados no instrumento da pesquisa........................................................................... 36

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Correspondência do problema 1 (anterior). ........................................................ 27 Quadro 2 – Síntese das estratégias mais freqüentes, por série, em cada tipo de problema de

proporção direta............................................................................................................ 74 Quadro 3 - Síntese das estratégias mais freqüentes, por série, em cada tipo de problema de

proporção inversa......................................................................................................... 94

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Médias de desempenho por série, de acordo com as categorias e subcategorias dos problemas...........................................................................................................

40

Tabela 2 - Resultados da análise de variância considerando os fatores intra-sujeitos e inter-sujeitos......................................................................................................................

40

Tabela 3. Resultados da análise de variância mostrando o efeito do fator inter-sujeitos Série..........................................................................................................................

42

Tabela 4 - Percentual relativo à utilização de cada estratégia; por tipo de problema e por série na solução dos problemas de proporção direta unitária...................................

47

Tabela 5 - Eficácia das estratégias utilizadas por série e por tipo de problema na solução dos problemas de proporção direta unitária..............................................................

53

Tabela 6 - Percentual relativo á utilização de cada estratégia por tipo de problema e por série na solução dos problemas de proporção direta múltipla..................................

58

Tabela 7 - Eficácia das estratégias utilizadas por série e por tipo de problema na solução dos problemas de proporção direta múltipla............................................................

62

Tabela 8 - Percentual relativo à utilização de cada estratégia por tipo de problema e por série na solução dos problemas de proporção direta não múltipla...........................

67

Tabela 9 - Eficácia das estratégias util izadas por série e por tipo de problema na solução dos problemas de proporção direta não múltipla......................................................

71

Tabela 10 - Percentual relativo à util ização de cada estratégia por série na solução do problema de proporção inversa unitária unidade diferente.......................................

77

Tabela 11 - Eficácia das estratégias utilizadas na solução do problema de proporção inversa unitária unidade diferente.............................................................................

80

Tabela 12 - Percentual relativo à util ização de cada estratégia por série na solução do problema de proporção inversa múltipla unidade diferente.....................................

83

Tabela 13 - Eficácia das estratégias util izadas por série na solução do problema de proporção inversa múltipla unidade diferente..........................................................

85

Tabela 14 - Percentual relativo à util ização de cada estratégia por série na solução do problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente...............................

88

Tabela 15 - Eficiência das estratégias utilizadas por série na solução do problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente....................................................

91

ix

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS iv

RESUMO v

ABSTRACT Erro! Indicador não definido.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES vii

LISTA DE FIGURAS vii LISTA DE QUADROS vii

LISTA DE TABELAS viii

SUMÁRIO ix

1 INTRODUÇÃO 11

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 14

2.1 Contextualização 14 2.2 Tarefas envolvendo proporção 23 2.3 Problemas de proporcionalidade 24 2.4 A resolução de problemas 31

3 METODOLOGIA 35

3.1 Sujeitos 35 3.2 Instrumentos de coleta de dados 36 3.3 Procedimento de coleta e de registro dos dados 38 3.4 Procedimento de análise dos dados 38

4 ANÁLISE DO DESEMPENHO 40

5 ANÁLISE DAS ESTRATÉGIAS 43

5.1 – 1ª Categoria: Problemas de proporção direta 46 5.1.1. Subcategoria 1 – (problemas de proporção direta unitária) 46 5.1.2 - Subcategoria 2 (problemas de proporção direta múltipla) 56 5.1.3 - Subcategoria 3 (problemas de proporção direta não múltipla) 65 5.2 - Discussão Das Estratégias Utili zadas Pelos Alunos Nos Problemas De

Proporção Direta 73 5.3 – 2ª Categoria: Problemas de proporção inversa 76 5.3.1. Subcategoria 1 – (problema de proporção inversa unitária) 76

x

5.3.2 Subcategoria 2– (problema de proporção inversa múltipla) 81 5.3.3 Subcategoria 3– (problema de proporção inversa não múltipla) 87 5.4 Discussão das Estratégias Utili zadas Pelos Alunos nos Problemas de

Proporção Inversa 93

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 97

7 REFERÊNCIAS 100

8 ANEXOS 103

ANEXO A - Lista dos Problemas 104

11

1 INTRODUÇÃO

A maioria dos conteúdos dos programas de matemática do ensino fundamental e

médio é ensinada por meio de uma codificação, coleção de regras, não oportunizando aos

estudantes raciocinarem sobre um determinado conteúdo. São fornecidos aos estudantes um

emaranhado conjunto de fórmulas e, posteriormente, pede-se para que eles as utilizem e as

apliquem nos exercícios propostos de um determinado assunto. Parece um processo

sistematizado, ordenado, metódico. Por exemplo, quando trabalhamos com um determinado

problema, não há uma reflexão por parte dos estudantes, sobre qual conceito está inserido

nesse problema. Ao ensinar determinado assunto, o professor pode exigir que os alunos

utilizem determinadas fórmulas ou regras, fato que tira a responsabil idade dos mesmos. Essa

questão reflete a maneira pela qual o ensino da matemática vem sendo trabalhado.

Em nossas escolas o que observamos e o que nos preocupa é a maneira como os

estudantes são levados a resolver os problemas trabalhados em sala de aula. No ensino

tradicional os problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade são resolvidos

mecanicamente por meio de regras. Ou seja, os alunos resolvem os problemas retirando os

dados numéricos dos problemas, sem que percebam as relações de proporcionalidade

envolvidas nos exercícios.Claro que o emprego de fórmulas e regras na matemática para

resolver um determinado problema, é uma estratégia necessária para se chegar a um

determinado resultado, e muitas vezes mais rápido. Mas será que só com o uso delas os

estudantes percebem que conceito matemático está envolvido na solução de um problema?

Com a prática profissional, observamos que, muitas vezes, ao utilizarem as fórmulas

para a resolução de um problema, os estudantes não conseguem entender como chegaram

àquele resultado. Simplesmente, aplicaram um procedimento de uma regra estabelecida pelo

professor em sala de aula. Dentro desse contexto, nos perguntamos: o que poderíamos estudar

para tentar amenizar essa situação na maioria das nossas escolas? Que caminhos alternativos

poderemos buscar para melhor entender essa questão?

O movimento de educação matemática, além de detectar os problemas, também busca

12

soluções. Ele vem mudando currículos e formas de ensinar nos Estados Unidos, França,

Espanha e também no Brasil.

Atualmente, é consenso entre os educadores matemáticos que, no ensino bem-sucedido, os alunos precisam compreender aquilo que aprendem e que essa compreensão é garantida quando eles participam da construção das idéias matemática. É uma mudança significativa! (IMENES, 1999, p. 98).

Vários conteúdos nos programas de matemática são de fundamental importância para

o entendimento de questões relacionadas com o nosso cotidiano.Entre esses conteúdos está o

conceito de proporcionalidade, trabalhado nas séries iniciais e, posteriormente, na 6ª série do

ensino fundamental, com maior aprofundamento.

O conceito de proporcionalidade é básico na resolução de problemas do dia a dia.

Compreender e aplicar este conceito faz parte da formação geral do cidadão.

Na vida cotidiana, o estudo da proporcionalidade é usado para determinar o custo

relativo a atividades comerciais, e outras, assim como, a venda em diferentes quantidades. É

usado para descobrir a distância entre dois lugares representados em um mapa, ou para

calcular a quantidade de ingredientes em uma receita para um certo número de pessoas, ou

ainda para decidir qual, dentre dois carros, é o mais rápido.

Sabemos que uma das ferramentas muito utilizada na resolução dos problemas de

proporcionalidade é o algoritmo1 da regra de três2, porque é um processo rápido para se

chegar a um determinado resultado, sem muita reflexão. Geralmente, em nossas escolas, o

estudo de proporcionalidade só acontece na 6 ª série. A quantificação numérica (cálculos) e o

uso do algoritmo da regra de três, são a base do ensino de proporção (CARRAHER, 1986).

Para obtermos informações consistentes e pertinentes a estas indagações, levantamos o

seguinte problema: Nas estratégias utilizadas por alunos que freqüentam o ensino regular

na solução de problemas de proporcionalidade, que aspectos ser iam indícios da

compreensão desse conceito?

1 Algoritmo: palavra derivada do nome do matemático Al-Khowarizmi. Algoritmo é uma técnica com certo número de passos que leva a um resultado desejado. Algoritmo: é um caminho para resolver mecanicamente um problema matemático sem voltar a fazer todo o raciocínio lógico outra vez. Na escola tradicional é comum ver o ensino do algoritmo sem ensinar a perceber as relações lógicas embutidas neste raciocínio. 2 Regra de três: é o método que se emprega para resolver problemas de proporcionalidade. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a “Regra de três” . No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa (também conhecido como Leonardo Fibonacci) difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra dos Três Números Conhecidos.Regra de Três: tipo de equação usada em problemas de proporcionalidade. Envolve três números conhecidos e uma incógnita (o número desconhecido). (IMENES, p. 300)

13

Assim, o objetivo deste estudo é o de identificar que aspectos serão indícios na

compreensão do conceito de proporcionalidade, nas estratégias utilizadas por alunos que

freqüentam o ensino regular na solução de problemas que envolvem esse conceito.

Dentro dessa perspectiva, podemos traçar os objetivos específicos do estudo:

identificar e descrever as estratégias que os alunos das 6 ª e 8 ª séries do

ensino fundamental e da 2 ª série do ensino médio estão util izando para

resolver diferentes problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade;

verificar, nas estratégias de solução util izadas pelos alunos, que procedimentos

revelam relações por eles estabelecidas entre as classes3 e as quantidades

expressas no enunciado.

3 Classes: categorias de objetos sejam elas medidas por unidades discretas ou contínuas. Exemplo: operários e dias

14

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Contextualização

A proporcionalidade é uma das relações que o indivíduo constrói ao longo de sua vida,

e tem grande utilização na matemática e nas ciências, pois é uma das ferramentas teóricas do

modelo matemático, necessário à compreensão dos números racionais. Onde quer que se

utilizem os racionais em matemática e ciências, o conceito de proporcionalidade está presente.

Para compreendermos melhor a necessidade do estudo da proporcionalidade, vejamos

as seguintes situações:

a) quando compramos pãezinhos, o preço deles varia com a quantidade comprada.

Duplicando a quantidade, duplica-se o preço; triplicando a quantidade, triplica-se o

preço; e assim por diante. Dizemos então, que quantidade e preço são grandezas

diretamente proporcionais.

b) Quando fazemos uma viagem, o tempo gasto varia com a velocidade média.

Duplicando-se a velocidade, o tempo cai para a metade; triplicando-se a velocidade, o

tempo cai para um terço, e assim por diante. Nessa situação, dizemos que o tempo e a

velocidade média são grandezas inversamente proporcionais.

Inhelder e Piaget, (apud CARRAHER, 1986), e outros pesquisadores4 examinaram

posteriormente o desenvolvimento do conceito de proporção em contextos diversos.Em

educação, o conceito de proporção é relevante em programas de matemática e ciências, sendo

a base para o ensino, compreensão e aplicação de conceitos elementares e complexos que

requerem o reconhecimento de similaridades estruturais entre duas situações diferentes.

Conforme essa perspectiva, o estudo da proporcionalidade pode ser analisado pelos

seguintes enfoques:

4 Lovel, 1971; Karplus et alii, 1975; Noelting, 1980 (apud CARRAHER, 1986)

15

a) A proporcionalidade como um conceito matemático:

Diz-se que duas grandezas são proporcionais, quando existe uma correspondência

x y , que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal

modo que sejam cumpridas as seguintes condições:

¬ Quando maior for x, maior será y.

¬ Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x então o valor correspondente de y será

dobrado, triplicado, etc.

Devido à facilidade com que razão e proporção são definidas matematicamente, textos

de matemática para o ensino fundamental, em geral, dedicam pouco espaço à consideração do

que é a proporcionalidade e à compreensão das suas relações lógico-matemáticas envolvidas.

Paralelamente, o algoritmo de Leonardo de Pisa foi um dos elementos mais util izados pelos

professores de matemática para ensinar o conteúdo da proporcionalidade. A simplicidade das

operações envolvidas na solução da regra de três (multiplicação e divisão), dá ao professor a

impressão de que o tópico pode ser ensinado rapidamente. Em geral, os professores de

matemática não parecem aperceber-se da modificação conceitual implícita na introdução das

estruturas multiplicativas (VERGNAUD, 1982; 1983; CARRAHER, CARRAHER,

SCHLIEMANN E RUIZ, 1985) no programa de matemática do ensino fundamental. Como as

operações de multiplicação e divisão já são conhecidas, e o modelo matemático da regra de

três utiliza apenas essas operações, a novidade conceitual passa despercebida. Assim, a regra

de três é ensinada apenas como uma forma conveniente de se organizar os dados de um

problema. A natureza do modelo matemático em si não é considerada.

Segundo Kamii (1995), quando os alunos conhecem os algoritmos formais, eles

encontram maior dificuldade em estabelecer relações significativas no problema. Para eles,

resolver problemas tornou-se um “ fazer de conta”. Observamos que a autora faz um relato de

que os alunos processam os problemas mecanicamente, ou seja, resolvem os problemas

usando a algoritmização sem perceber as relações de proporcionalidade envolvidas.

Freudenthal (1981) manifesta muita preocupação com os possíveis inconvenientes de

um ensino de Matemática centrado em algoritmos, afirmando que a grande ênfase em técnicas

pode estar criando um grande número de pessoas desenvolvidas abaixo de seu próprio

potencial. Segundo o autor, é importante que o ensino vise, basicamente, o entendimento do

aluno. O entendimento não pode dar lugar, apenas, à memorização, geralmente buscada em

16

Matemática através de grande quantidade de treinamento repetitivo5. Para ele a maior parte da

Matemática formal pode ser desenvolvida dentro de um contexto concreto, facili tando assim o

entendimento e a retenção.

Dentre esses pesquisadores, talvez um dos mais relevante, seja R. Karplus (1975) que,

com um grande número de estudos, avalia a aplicação do raciocínio proporcional. Verifica ser

bastante tardia essa aquisição cognitiva, demonstrando preocupação com o ensino desse

conceito e buscando novas opções para o mesmo.

Apoiando-se na idéia de campo conceitual, Vergnaud (1988) analisou as operações

multiplicativas como um conjunto de situações que remetem o sujeito a muitos conceitos

sobre um assunto, valendo-se dos invariantes e das representações simbólicas.

Vergnaud (1990) afirma que é através de situações e de problemas a resolver que um

conceito adquire sentido para a criança.

Vários tipos de conceitos matemáticos estão envolvidos nas situações que constituem

o campo conceitual das estruturas multiplicativas e no pensamento necessário para dominar

tais situações. Entre tais conceitos estão a função linear, fração, razão, número racional,

multiplicação e divisão, etc.

Segundo o mesmo autor, campo conceitual é:

“Um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamentos, interligados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição. O domínio de um campo conceitual não ocorre em alguns meses, nem mesmo em alguns anos. Ao contrário, novos problemas e novas propriedades devem ser estudados ao longo de vários anos se quisermos que os alunos progressivamente os dominem” (VERGNAUD, 1983a, p.98).

Um conceito é definido por Vergnaud (1983) por três conjuntos de situações6 que

constituem o referente do conceito, o de invariantes operatórias (teoremas e conceitos-em-

ação) que dão o significado do conceito, e de representações simbólicas que compõem seu

significante.

Vários estudos vêm mostrando que o início da compreensão do conceito de

proporcionalidade ocorre muito antes do ensino formal. Por esse motivo, os problemas que

5 Muito influenciado pela psicologia behaviorista. 6 O conceito de situação empregado por Vergnaud não é de situação didática, mas sim o de tarefa, sendo que toda situação complexa pode ser analisada como uma combinação de tarefas, para as quais é importante conhecer suas naturezas e dificuldades próprias.

17

envolvem a proporcionalidade podem ser resolvidos através de estratégias diferentes daquelas

ensinadas pela escola.

Várias estratégias na resolução de tarefas de proporção são usualmente documentadas

na li teratura. Algumas dessas estratégias referem-se a procedimentos de resolução, envolvem,

por exemplo, as estratégias aditivas e multiplicativas (e.g. HART, 1981; 1984; CARRAHER,

CARRAHER & SCHLIEMANN, 1986). Alguns autores consideram essas estratégias como a

expressão de diferentes níveis de compreensão que o indivíduo apresenta sobre proporção,

entre os quais o das estratégias multiplicativas que expressam um raciocínio proporcional

avançado.

Estratégia escalar, funcional e o uso da regra de três são outros tipos de estratégias

verificadas na li teratura (e.g. VERGNAUD, 1983; CARRAHER, 1988).

A estratégia escalar, adotada com freqüência, é usada com compreensão. A estratégia

da regra de três, geralmente a mais ensinada em nossas escolas, muitas vezes é adotada sem

que haja uma compreensão das relações envolvidas.

b) A proporcionalidade como estrutura mental do pensamento:

Para a psicologia genética de Piaget, a cognição do adolescente pode ter as

propriedades análogas ao modelo matemático real.Um dos modelos para ilustrar é o do grupo

de quatro transformações INRC (identidade, negação, reciprocidade, correlatividade). São

transformações que têm grande importância nos raciocínios característicos do nível

operacional formal.

Nesse estágio, o sujeito já pode construir uma série de esquemas operacionais, entre

eles o de proporção. É, segundo Piaget (1967), na aquisição do esquema das proporções

matemáticas, que esta estrutura exerce seu papel mais geral, porque tem para uma operação x

a proporção lógica:

X

X

X

X

N

C

R

I =

Citando Piaget, Dolle (1978) diz que o esquema das proporções opera a transição entre

os esquemas provenientes da rede combinatória proposicional e os que provêm da estrutura do

grupo, INRC especialmente. Observamos, que a aquisição do esquema de proporção é um

18

ponto muito importante na formação das estruturas cognitivas do individuo.

No terceiro estágio, as operações aparecem, e são chamadas de operações concretas,

porque elas operam sobre objetos, há uma relação dessas operações com o material concreto.

e não ainda sobre hipóteses verbalmente expressas. Na adolescência, o indivíduo pode agora

raciocinar sobre hipóteses e não sobre objetos apenas (PIAGET, 1964).

O adolescente, diferentemente da criança, é um indivíduo que reflete além do presente

e elabora teorias sobre todas as coisas, comprazendo-se (fazendo a vontade), sobretudo nas

considerações intempestivas (inesperadas). Esse pensamento refletido, característico do

adolescente, pode estar presente, desde o momento em que o jovem se torna capaz de

raciocinar de modo hipotético-dedutivo, isto é, com base em simples pressuposições sem

relação necessária com a realidade ou com as crenças do indivíduo.Ele confia na

inevitabil idade do próprio raciocínio, em oposição ao acordo das conclusões com a

experiência, (PIAGET, 1977).

De acordo com Patto (1996), a propriedade geral mais importante do pensamento

operacional formal, a partir da qual Piaget deriva todas as demais, refere-se à distinção entre o

real e o possível. Ao contrário da criança, no período operacional concreto, o adolescente já

pode examinar um problema com que se defronta, tenta imaginar todas as relações possíveis

que seriam válidas no caso dos dados em questão, através de uma combinação de

procedimentos de experimentação e de análise lógica, tenta verificar quais destas relações

possíveis são realmente verdadeiras.

O pensamento formal é, acima de tudo, um pensamento proposicional. As importantes

entidades que o adolescente manipula, ao raciocinar, deixaram de ser os dados rudimentares

da realidade e passaram a ser afirmações – proposições – que “contêm” estes dados (Patto,

1996).

Segundo esse autor, o que é realmente alcançado, é a cognição organizada de objetos e

acontecimentos concretos (isto é, sua colocação em classes, sua seriação, o estabelecimento

de correspondência entre eles, etc.).

O adolescente realiza estas operações, mas também realiza algo que as transcende,

algo necessário que é precisamente o que faz com que seu pensamento seja formal e não mais

concreto. Ele toma os resultados destas operações concretas, formula-os sob a forma de

proposições e continua a operar com eles; ou seja, pode estabelecer vários tipos de conexão

lógica, entre eles (implicação, conjunção, identidade, disjunção).

19

O instrumento do pensamento do adolescente é a linguagem ou qualquer outro sistema simbólico, como por exemplo, a matemática. Nesta medida, ele é capaz de formular hipóteses e, a partir delas, de chegar a conclusões que independam da verdade factual ou da observação (DAVIS, et al, 1982, p.14).

O ensino formal, por exemplo, introduz uma linguagem simbólica, a da matemática, o

que traz para aluno uma das maiores dificuldades no processo ensino-aprendizagem para o

adolescente. A matemática no ensino fundamental é introduzida com a preocupação maior de

aquisição de habilidades de cálculo, sem considerar que juntamente se está introduzindo

novos conceitos, símbolos e regras de reflexão que não fazem parte do ideário cotidiano da

criança ou do adolescente.

Segundo Piaget (1969), o pensamento concreto se restringe à representação de uma

ação possível, e o formal é a representação de ações possíveis, que o adolescente é capaz de

pensar em alternativas de ação combinadas, consegue, quando confrontando com um

problema, levantar hipóteses possíveis e, a partir delas, deduzir conclusões, é o hipotético-

dedutivo.

O pensamento formal é, acima de tudo, um pensamento proposicional. Deveria ser o

objeto de trabalho da escola, enquanto esta é um dos agentes de formação do pensamento

humano. Observamos na prática profissional que não há muita ênfase em relação esta questão.

As importantes entidades matemáticas que o adolescente manipula, ao raciocinar,

deixaram de ser dados rudimentares da realidade e passaram a ser afirmações - proposições

que “contém esses dados” ; isto é, ele toma os resultados das operações concretas, formula-os

sob forma de proposições e continua a operar com eles, estabelecendo-lhes vários tipos de

conexões lógicas entre eles, como por exemplo: implicação, disjunção, etc...

Considerando que o “esquema da proporcionalidade” (apud CARRAHER, 1986)

constituem uma conquista do estágio operacional formal, o presente estudo analisará

problemas de proporcionalidade multiplicativa do tipo isomorfismo de medidas, adaptados de

Vergnaud (1991).

c) A proporcionalidade como conteúdo matemático e curricular

O raciocínio proporcional é muito aplicado em matemática e, também, em ciências.

Por isso, encontramos vários pesquisadores na literatura discutindo a aplicação do raciocínio

20

proporcional.

Segundo Dupuis e Pluvinage (1981) o ensino da proporção tem uma util idade geral e

incontestável no processo de ensino-aprendizagem da matemática.

A proporção se apresenta como de utilidade geral e incontestável, não somente representado um papel fundamental na matemática, mas suas aplicações são inumeráveis e estão presentes em todos os setores da atividade humana (DUPUIS e PLUVINAGE, 1981, p. 165-212).

Um aspecto significativo abordado por Streefland (1982-a), é a necessidade de a

criança ter modelos para servirem de suporte à formação de conceitos. Segundo essa

concepção, o autor aponta, como uma das aplicações do estudo de proporção o fenômeno

objeto vertical-sombra como um modelo rico em alternativas a serem exploradas, englobando

uma grande série de possibilidades para atividades referentes a razões e proporções.

Em relação ao objeto vertical-sombra que o autor comenta, vamos tomar como

exemplo o cálculo da altura das pirâmides do Egito. Segundo a literatura7, um dos

matemáticos gregos da antiguidade clássica foi Tales de Mileto, que viveu de 640 a 550 a.C.,

na qual determinou a altura da pirâmide da seguinte forma: num determinado dia de sol

cravou uma ripa verticalmente ao solo, operando com os seguintes elementos: o comprimento

da sombra da pirâmide, o comprimento da ripa e o comprimento da sombra da ripa,

estabelecendo a seguinte relação de proporcionalidade:

ripadasombradaoCompriment

ripadaoCompriment

pirâmidedasombradaoCompriment

pirâmidedaalturadaCálculo =

Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual

ao produto dos meios), chegou ao cálculo da altura da pirâmide, daí a aplicação do fenômeno

objeto vertical-sombra.

Kurtz e Karpluz (1979) apresentam uma experiência destinada ao ensino de

proporções, desenvolvida visando capacitar alunos de 1ª e 2ª séries do 2º grau (14 ou 15 anos)

para a aplicação do raciocínio proporcional.

Nesse trabalho, usam materiais manipuláveis que, segundo eles, favorecem a

7 Imenes (1998).

21

participação ativa de todos os alunos e, além disso, forma uma base concreta para o conceito

de proporção e facilita a interação do grupo.

Carraher & Schliemann (1988) afirmam os princípios centrais à concepção

construtivista piagetiana sobre o conhecimento, a qual permite ver que o problema não é

apenas de manipulação de materiais concretos, embora esses materiais possam ser úteis se

fazem parte de situações significativas que provoquem a reflexão por parte da criança; isto é,

não é o uso específico do material concreto, mas, sim, o significado da situação, das ações da

criança e sua reflexão sobre essas ações que são importantes na construção do conhecimento

lógico-matemático.

d) A proporcionalidade como conteúdo/competência a ser ensinado na

escola:

Na escola tradicional, o professor introduz o conteúdo de proporção mostrando e

fazendo memorizar o algoritmo da regra de três e, depois, pede aos estudantes que resolvam

toda uma série de problemas util izando este algoritmo. Dessa forma fixa o conteúdo a ser

aprendido. Raramente, é solicitado ao estudante que identifique as relações lógico-

matemáticas embutidas e que decida, por si só, se o problema envolve o conceito de

proporcionalidade ou não.

Quando problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade são apresentados

aos estudantes que já estudaram a regra de três, sem que os identifiquemos como problemas

de proporção, apenas uma parcela muito pequena dos estudantes utiliza o procedimento

aprendido na escola para a solução dos problemas (CARRAHER, CARRAHER e

SCHILIEMANN, 1984; HART, 1981; VERGNAUD, 1979).

O ensino de proporção em nossas escolas é geralmente introduzido na 6ª série do

ensino fundamental. A tendência tem sido tratar a proporção como um tópico ou assunto do

currículo de matemática e não como um conceito a ser compreendido. Tratado no programa

de matemática, o ensino de proporção se caracteriza por falar sobre o assunto, pelo uso de

procedimentos mecânicos. De modo geral, a quantificação numérica dos cálculos e o uso do

algoritmo da regra de três são a base do ensino de proporção. Tanto a representação simbólica

como o uso do algoritmo não garante uma compreensão do significado das relações

envolvidas no conceito.

Schliemann e Carraher (1983) dizem que o algoritmo das proporções é uma solução

muito genérica, também bastante distante do seu sentido; isto é, o algoritmo das proporções

22

implica regras para dispor os números no papel e regras para calcular, ambas distanciadas do

significado.

Carpenter (1976) afirma ser necessário que o ensino não se prenda a transmitir

técnicas, sendo mais importante focalizar uma seqüência de idéias, incluindo o trabalho inicial

com o conceito de frações, e essa seqüência será alcançada na medida em que for dada a

devida relevância ao parentesco entre os diversos assuntos.

Pela prática profissional em sala de aula, lecionando matemática, observamos que nas

escolas, os alunos conduzem suas estratégias prioritariamente nos dados numéricos que o

problema apresenta, não levando em consideração os dados relacionais necessários a serem

compreendidos para a solução. A maioria dos professores não se preocupa com as

características8 dos problemas de proporção que eles estão trabalhando em sala de aula e com

as estratégias em que os alunos irão se apoiar para a sua resolução. Com a utilização de livros

didáticos, escolhem os problemas aleatoriamente sem se preocupar com as relações numéricas

que os problemas apresentam; muito menos buscam na literatura um aprofundamento para

analisar que características os problemas oferecem.

Observamos que os conceitos matemáticos são reduzidos simplesmente a uma

representação simbólica (por exemplo: x/y = a/z). Já o raciocínio proporcional é entendido

como a utilização de um algoritmo de resolução. Segundo Spinillo (1994), tanto a

representação simbólica como o uso do algoritmo não garantem uma compreensão do

significado das relações envolvidas no conceito.

Para compreendermos melhor essas relações envolvidas, é necessário considerar tipos

de tarefas envolvendo a proporção.

8 Características: São relações numéricas apresentadas no problema. Se os valores numéricos dos problemas são unitár io, múltiplos e não múltiplos. Por exemplo, problemas 1 , 2 e 3 respectivamente : Problema 1:Em um feira trocou-se 1 kg de batata por 3 Kg de laranjas. Com 5 kg de batatas, quantos quilos de laranjas poderiam ser trocados? (tem-se o valor da unidade) Problema 2: Sabe-se que 8 kg de café cru resultam em 6kg de café torrado. Quantos quilos de café cru devem ser levados ao forno para obtermos 24 kg de café torrado? (24 é múltiplo de 6) Problema 3: Uma torneira bem aberta despeja 30 litros de água em 2 minutos. Quantos minutos essa torneira levaria para despejar 75 litros? (75 não é múltiplo de 30)

23

2.2 Tarefas envolvendo proporção

Karplus, Pulos e Stage (1983), Tournaire e Pulos (1985) e Leshe Behr (1988),

classificaram as tarefas de proporção em dois tipos: tarefa de comparação e tarefa de

incógnita.

a) Tarefas de comparação

Elas são definidas em termos de X: Y = Z: W, onde os quatro valores são dados e o

aluno tem que determinar se existe ou não uma equivalência entre o primeiro e o segundo par

de valores.Estabelece uma relação de primeira - ordem no primeiro par (X: Y) e uma outra

relação de primeira-ordem9 no segundo par (Z: W). Estas relações de primeira-ordem são

comparadas, a fim de verificar se são equivalentes ou não.

A relação estabelecida entre as duas relações iniciais de primeira-ordem consiste na

relação de segunda-ordem 10(relações entre relações).

b) Tarefas de incógnita

Estas são definidas em termos de X: Y = Z: W, onde os três primeiros valores são

dados e o aluno tem que determinar o valor do termo desconhecido, de forma a manter no

segundo par de valores, a mesma relação proporcional identificada no primeiro par. Para

solução é necessário determinar a relação de primeira-ordem no primeiro par (X: Y) e deduzir

desse par a outra relação de primeira-ordem (Z: W). Esta dedução envolve uma relação de

segunda-ordem, onde o sujeito compara ambas as relações de primeira-ordem.

O ensino da proporcionalidade envolve basicamente dois tipos de relações: relações de

primeira-ordem e relações de segunda-ordem (SPINILLO, 1993).Tomemos como exemplo

9 As relações de primeira-ordem podem ser estabelecidas em duas direções: 1- entre valores de um mesmo par (X:Y=Z:W); ou 2- entre o primeiro valor de cada par (X:Z) e entre o segundo valor de cada par (Y:W). Estas duas formas de lidar com as relações de primeira-ordem foram cuidadosamente examinadas (Noelting, 1980 a; 1980b) e consideradas estratégias na solução de problemas de proporção . 10 As relações de segunda-ordem consistem no estabelecimento de uma relação entre duas ou mais relações de primeira ordem. A importância das relações de segunda ordem para o pensamento proporcional tem sido amplamente reconhecida, mas raramente tem-se atentado para a relevância do ponto de partida destas relações: as relações de primeira-ordem. (SPINILLO 1993, p. 353)

24

para entender as relações de primeira e segunda ordem, dois conjuntos de bolinhas, sendo um

formado por três bolinhas brancas e cinco amarelas e o outro por três bolinhas brancas e três

amarelas. Para verificar em qual dos dois conjuntos existe maior proporção de bolinhas

brancas, a criança precisa inicialmente comparar em cada conjunto a quantidade de bolinhas

brancas em relação às bolinhas amarelas (3 bolinhas brancas para 5 amarelas, e 3 brancas para

3 amarelas). Temos então as relações de primeira-ordem; as crianças estabelecem essas

relações em termos parte-parte (razão); ou comparar o número de bolinhas brancas ao número

total de bolinhas em cada conjunto (3/8 das bolinhas são brancas e 3/6 são brancas). Já nesse

caso as relações são de segunda-ordem, e as crianças as estabelecem em termos de parte-todo

(fração).

Após estabelecer as relações de primeira-ordem, a criança precisa compará-las entre si,

para decidir em qual dos dois conjuntos há maior proporção de bolinhas brancas. Esta

comparação entre relações de primeira-ordem consiste na relação de segunda-ordem, ou seja,

relação entre relações.

Para se ter uma melhor visão das características que estão envolvidas em cada

problema as secções seguintes mostrarão as diversas formas pelas quais um problema

relacionado com a proporcionalidade pode aparecer no contexto escolar.

2.3 Problemas de proporcionalidade

a) Resolução de problemas de proporção: diferentes esquemas

Schiliemann & Carraher (1983) estudaram a existência de diferentes esquemas de

resolução de problemas de proporções, desenvolvidos em função das práticas de aritmética

oral ou escritos. Oralmente, no mercado, a representação esquemática da situação implica

essencialmente, uma correspondência de um com muitos: um item corresponde a x reais e,

conseqüentemente, n itens correspondem a n(x) reais. Esse esquema, definido por Vergnaud

(1983), como um modelo de problema do tipo isomorfismo de medidas, está intimamente

ligado às estratégias de resolução de problemas, chamadas de soluções escalonadas

(NOELTING, 1980; VERGNAUD, 1983). Uma solução escalonada é obtida através do

aumento proporcional das duas variáveis implícitas no problema. Por exemplo, 1 quilo de

25

peixe custa R$ 18, 00; dois quilos custam duas vezes esse preço; 5 quilos custam cinco vezes

esse preço, e assim por diante. Nessas soluções, não ocorre o tratamento misto das variáveis,

mas sim um aumento paralelo dos valores. As duas variáveis são multiplicadas pelo fator

escalar, que corresponde ao montante comprado e que muda de uma situação para outra.

Em nossas escolas, geralmente, as soluções escalonadas não são ensinadas.Ensina-se

dois tipos de soluções para os estudantes na resolução de problemas que envolvem a

proporcionalidade. As primeiras, chamadas soluções funcionais (NOELTING, 1980;

VERGNAUD, 1983) apresentam uma das variáveis do problema como uma função da outra

variável. Por exemplo, o preço total é a função do preço da unidade. O fator funcional é

constante para qualquer quantidade de compra. As soluções funcionais são mais distantes do

sentido que as escalonadas, porque implicam o cálculo cruzado das variáveis ,por exemplo,

multiplicar quilos de camarões por reais. O segundo tipo de solução ensinada na escola para

os problemas de proporções é o algoritmo das proporções a/b = c/x. O algoritmo das

proporções é uma solução genérica, também bastante distante do sentido. Tal como os outros

exemplos de aritmética escrita discutida acima, o algoritmo das proporções implica regras

para dispor os números no papel e regras para calcular, ambas distanciadas do significado.

Em conseqüência do que acabamos de expor, o conceito de proporção precisa ser

ensinado e não pode se limitar à transmissão de regras e algoritmos para serem memorizados.

Daí a preocupação com o ensino de proporções, visando a oferecer condições para que o

aluno vivencie experiências, que conduzam à formação do conceito de proporcionalidade.

b) Análise matemática das estratégias de solução em problemas de proporção

Segundo VERGNAUD (1982; 1983), a psicogênese de certos campos conceituais da

matemática pode ser mais bem compreendida se fizermos uma análise detalhada dos diversos

tipos de problemas que constituem cada campo conceitual e estudarmos, a seguir, as várias

concepções e estratégias, e diversos tipos de representação simbólica observada na solução

desses diferentes problemas.

Os problemas que envolvem estruturas multiplicativas devem ser distinguidos

daqueles que envolvem estruturas aditivas; conquanto existam relações entre esses dois tipos

de estrutura, as estruturas multiplicativas, segundo Vergnaud (1982) têm peculiaridades que

não nos permitem reduzi-las às estruturas aditivas.

Numa classificação mais abrangente que a sugerida por Brown (1981) para os

problemas multiplicativos, Vergnaud (1983) sugeriu a distinção entre três tipos especiais de

26

problemas multiplicativos:

1) os casos de isomor fismo de medidas (há uma proporção simples entre as medidas

de quantidades em dois campos):

Exemplos:

! Comprei 3 m de tecido por R$ 29,40. Quanto pagarei por 7 m?

! Se 4 operários constroem uma casa em 18 dias, quantos dias levarão 7

operários para construir a mesma casa ?

2) as de proporções múltiplas (as medidas de quantidades em um campo são

proporcionais às medidas em dois tipos de quantidades independentes).

Exemplo:

! Se 4 operários constroem uma casa em 18 dias, trabalhando 6 horas por dia,

quantos dias levarão 6 operários trabalhando 8 horas por dia ?

3) os de produtos de medidas (em que existe uma composição cartesiana das medidas

das quantidades em dois campos).

Exemplo:

! Três homens e quatro mulheres querem dançar. Cada homem quer dançar com

cada mulher e cada mulher com cada homem. Quantos pares são possíveis?

c) Problemas de tipo multiplicativo: isomor fismo de medida

Ao tratar da solução de problemas, Vergnaud (1988), indicou que o professor precisa

estar atento, procurando analisar se o aluno identifica com que o problema está trabalhando,

qual o procedimento a ser utilizado e qual é o apoio da representação conceitual que utiliza.

Vergnaud (1991) distinguiu duas grandes categorias de relações multiplicativas: o

isomorfismo de medidas e o produto de medidas. A primeira forma de relação multiplicativa o

isomorfismo de medidas, (e a mais fácil ), é aquela que apresenta os dados do problema em

27

uma relação quaternária, entre quatro quantidades: duas quantidades são medidas de um certo

tipo, as outras são medidas de outro tipo.

Essa primeira categoria de relação multiplicativa, dos problemas do tipo isomorfismo

de medidas, é que será examinada nesta pesquisa.

Vejamos alguns exemplos de problemas multiplicativos do tipo isomorfismo de

medidas, Vergnaud(1991):

1 - Tenho 3 bandejas de iogurte. Há 4 iogurtes em cada bandeja. Quantos iogurtes

tenho no total?

2 - Paguei R$ 12,00 por três garrafas de vinho. Qual é o preço de uma garrafa?

3 - Três novelos de lã pesam 200 gramas. Se necessitarem 8 novelos para fazer uma

blusa, quanto pesa essa blusa?

Nos exemplos anteriores, há uma tabela correspondência entre dois tipos de

quantidades (pacotes de iogurte e o iogurte; garrafas de vinho e o preço pago; novelos de lã e

o peso em gramas) O Quadro 1 abaixo representa esta correspondência:

PACOTES IOGURTES 1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 6 24

etc… Fonte: Vergnaud (1991).

Quadro 1 - Correspondência do problema 1 (anter ior ).

O Quadro 1 de correspondência traduz o isomorfismo dos tipos de medidas (número

de pacotes e número de iogurtes).

Nos exemplos acima, encontramos problemas que se resolvem em princípio:

♣ por uma multiplicação – exemplo 1

♣ por uma divisão – exemplo 2

♣ por uma regra de três – exemplo 3

Para entendermos a diferenciação dos três tipos de solução dos problemas, vamos

analisá-los sob dois aspectos, segundo Vergnaud (1991):

28

Por exemplo, problema 3 :Três novelos de lã pesam 200 gramas. Se necessitarem 8

novelos para fazer uma blusa, quanto pesa essa blusa?

A resolução desse problema está demonstrada na Figura 1, a seguir:

NOVELOS GRAMAS

Fonte: Vergnaud (1991).

Figura 1- Modelo da resolução do problema.

Esta análise vertical, segundo Vergnaud, (1991) centraliza-se na noção de operador-

escalar (sem-dimensão), que faz passar de uma linha a outra em uma mesma categoria de

medidas:

Primeira etapa: da mesma maneira que passa de 3 novelos a 1

novelo(dividindo em 3), passa do peso de 3 novelos (200 gramas), ao peso de

um novelo(y valor unitário).

Segunda etapa: da mesma maneira que passa de um novelo a 8 novelos

(multiplicação por oito), passa do peso de um novelo (y gramas) ao peso de 8

novelos(x gramas).

Podemos afirmar que passa diretamente de 3 novelos a 8 novelos, multiplicando pelo

operador fracionário 8/3, que não é nada mais que a aplicação sucessiva de dois operadores :

3 e . 8. O mesmo operador fracionário também passa do peso de 3 novelos (200 gramas), ao

peso de 8 novelos ( x gramas).

Vergnaud (1991) afirma que a noção de fração é introduzida aqui a partir da noção de

operador, e corresponde a composição de dois operadores multiplicativos simples, uma

29

divisão e uma multiplicação. O operador fracionário obtido neste exemplo é uma fração

complexa. Há casos no qual o operador resultante da composição é um operador simples: é o

caso do exemplo 2, onde a composição de : 3 e . 12 dá o operador simples . 4

Esta análise vertical que acabamos de fazer não é simples. Não acaba, todavia, a

questão do isomorfismo de medidas; resulta que há que completar com uma análise

(horizontal) da noção de função linear, que veremos a seguir.

O mesmo problema, anteriormente resolvido pela análise vertical, também pode

chegar a solução pela análise horizontal, conforme se demonstra na Figura 2, a seguir:

NOVELOS GRAMAS

3 f 200

8 f x


Figura 2 - Análise Hor izontal

Esta análise horizontal (Vergnaud,1991) está centrada na noção f (operador-função)

que faz com que uma categoria passe a outra.

Primeira Etapa: O operador-função f que faz passar de 8 novelos a x gramas, é

o mesmo que o que faz passar de 3 novelos a 200 gramas.

Segunda Etapa: Este operador –função na é outra coisa que a multiplicação por

uma razão:

Ponto de chegada Ponto de partida

Há, pois, que encontrar esse operador sobre a linha acima, onde é possível, como se

apresenta na Figura 3 a seguir:

Novelos Gramas

3 . 200/3 200

3 novelos . 200 gramas = 200 gramas

3 novelos

30

Figura 3 - Operador Escalar

e aplicaria em seguida, a 8 novelos para encontrar:

Fonte : Vergnaud (1991).

Esta análise horizontal se situa em um nível conceitual, segundo Vergnaud (1991)

muito elaborado e é por outro lado, a razão das dificuldades encontradas pelas crianças para

compreender a noção de função. Se a noção de correspondência não apresenta nenhuma

dificuldade, nem a sua representação em forma de tabela, a análise dessa correspondência em

termos de função é mais delicada, pois a mesma implica não só na noção de relação numérica,

mas igualmente a de quociente de dimensões (neste caso, gramas/novelos)

A busca de f, operador que passa de 3 novelos a 200 gramas, é facil itada pelo fato de

se descobrir que é, também, o operador no qual faz passar de 1 novelo ao peso de um novelo e

que f tem então o mesmo valor numérico que o peso unitário obtido aplicando a 200 gramas

ao operador : 3, como podemos verificar na Figura 4, a seguir:

NOVELOS GRAMAS


Figura 4 - Análise Hor izontal - função

A relação entre esses problemas e os problemas desta pesquisa reside na manipulação

dos valores inseridos em problemas de multiplicação.É um aspecto importante na

determinação dos níveis de dificuldades de um problema. Por exemplo: “Comprei 3m de

x gramas = 8 novelos . 200 / 3 gramas/novelos

31

tecido por R$ 27, 00, quanto gastarei para comprar 6m?” é mais fácil do que a pergunta

“quanto gastarei para comprar 5m ?” , pois a primeira pergunta permite uma solução aditiva

muito mais simples. Ou seja, na primeira pergunta teremos (3 m + 3m = 6 m, chegando ao

resultado de R$ 54,00)

A manipulação dos valores inseridos em problemas de multiplicação é um aspecto

importante na determinação dos níveis de dificuldades de um problema.Observamos que a

segunda pergunta também pode ser resolvida por uma estratégia que irá evitar a estratégia

aditiva, quando há utilização dos números racionais: o preço de 3 metros é dividido por 3,

encontrando-se o valor unitário, o qual é multiplicado por 5 a seguir. Problemas como estes

são tratados na escola antes do ensino da regra de três; entretanto na atividade profissional,

encontramos alguns professores que parecem tratá-los como problemas de multiplicação e

divisão, não os relacionando ao conceito de proporções.

2.4 A resolução de problemas

Muitas vezes, nos inquietamos diante de questões como:

- O que é um problema?

- Como vincular um problema à Matemática?

- O que é e como se deve trabalhar em sala de aula com resolução de problemas?

Pode-se pensar em problema como uma situação que exige do aluno uma reflexão,

uma análise, um resgate de situações similares que o próprio aluno já tenha solucionado. Tais

atitudes por parte do aluno podem servir como base para que ele encontre a solução desse

problema.

Veremos a seguir, algumas etapas que precisam ser cumpridas, para a resolução de

problemas.

Mayer (apud GRÉGOIRE, 2000) distingue quatro etapas no processamento de um

problema matemático: tradução de um problema, integração do problema, planificação de

solução e execução de solução.

32

a) A tradução de um problema

A tradução do problema exige do sujeito competências que a psicologia da educação

matemática pode explicar. Existe o sentido descritivo e qualitativo do problema em língua

vernácula, descritivo e qualitativo e que deve ser transformado numa representação

quantitativa matemática. Existe, ao mesmo tempo, a necessidade de fazer o contrário: partir

da representação matemática para a forma vernácula sem perder as relações matemáticas

internas. São na verdade operações psicológicas, não gratuitas, e desenvolvidas no processo

da construção do conhecimento.Para isto, a escola deveria desempenhar um papel importante.

Cada proposição do problema é traduzida numa representação interna. Essa tradução

supõe conhecimentos lingüísticos e conhecimentos factuais (por exemplo, uma libra de

manteiga equivale a 500 g). Constata-se que as crianças pequenas costumam ter dificuldades

em representar proposições relacionadas, por exemplo: João tem três bolas de gude, Paulo tem

cinco a mais do que João. Quantas bolas de gude Paulo tem? Freqüentemente, as crianças

formam uma representação estática da situação (Paulo tem 5 bolas) e não dinâmica(bolas de

Paulo = 5 + bolas de João).

O registro matemático desempenha um papel importante na resolução dos problemas.

A maneira como o aluno compreende, interpreta as relações matemáticas é de fundamental

importância para a escolha de qual estratégia irá utilizar para a sua resolução.

b) A integração do problema

As proposições do problema são dispostas juntas em uma representação coerente. Isso

supõe o conhecimento de esquemas, isto é, formas típicas de problemas. Partindo do

enunciado lingüístico, nem sempre essa integração é simples. Por exemplo, os três enunciados

a seguir devem levar à mesma operação aritmética ( 3 + 5 = ...), mas o primeiro problema

revela-se muito mais simples de integrar do que os dois seguintes. Vejamos: a) João tem 3

bolas. Paulo lhe dá 5 a mais. Quantas bolas João tem agora? b) João tem 3 bolas. Paulo tem 5

bolas. Quantas bolas eles têm junto? c) João tem 3 bolas. Paulo tem 5 bolas a mais do que

João. Quantas bolas Paulo tem?

As várias formas de representar um problema lingüisticamente são características

fundamentais.Este fato deve-se à relevância na tomada de decisão do sujeito em como deve

integrar determinado problema, mesmo sendo um problema mais simples ou mais trabalhoso

33

para a sua resolução.

c) A planificação da solução

O indivíduo elabora uma estratégia de resolução de um problema que se traduz num

enunciado matemático. Por exemplo, durante a aprendizagem da álgebra, os alunos adquirem

um conhecimento estratégico relativo à hierarquia das operações a serem efetuadas: primeiro

os parênteses; a seguir as potências; após, as multiplicações e as divisões; por fim, as adições

e subtrações.

Existem diversas estratégias de solução para a planificação da solução de um

problema. A proporcionalidade já estudada nas séries iniciais do ensino fundamental dá ao

sujeito alguns artifícios para algum tipo de estratégia que ele irá buscar para a resolução de

problemas.

d) A execução da solução

Os cálculos são feitos conforme a estratégia escolhida. Por exemplo, pode-se resolver

uma adição: a) recontando tudo; b) contando a partir do primeiro número do enunciado; c)

contando a partir do número maior. Nos sujeitos com mais idade, o cálculo pode ser evitado

com a lembrança de “ fatos aritméticos” , ou seja, resultados de operações freqüentes

memorizadas ao longo do tempo.

Dependendo da estratégia escolhida, pode-se observar se os alunos empregam um

pensamento formal multiplicativo, ou se ainda estão empregando estratégias aditivas.Podemos

entender se há uma relação de proporcionalidade, no tipo de estratégia escolhida, se houve

uma intuição de pensar em termos de proporcionalidade.

O problema não se resume em ensinar, mas, sobretudo, em como ensinar. O conteúdo

de proporcionalidade da 6ª série nos programas de matemática em nossas escolas é ensinado,

geralmente, por meio da estratégia de forma costumeira (algoritmo da regra de três, por

exemplo), que pouco deve contribuir para o desenvolvimento do raciocínio proporcional.

Como conseqüência da necessidade do ensino desse conteúdo e dos resultados

insatisfatórios que têm sido atingidos por meio de procedimentos tradicionais, há a

necessidade de se alcançar novas alternativas de ensino para se trabalhar esse conceito.

34

Dentro desse contexto, é que nos propomos a trabalhar com sujeitos do ensino

fundamental e médio, para verificar se as estratégias que os adolescentes util izam como

solução de problemas de proporção, demonstram indícios de que eles entendam o conceito de

proporção.

Na seqüência relataremos como se trabalhou metodologicamente esse estudo.

35

3 METODOLOGIA

Conforme exposto na introdução, este estudo se propõe a responder as seguintes questões

de pesquisa:

a) Quais as estratégias que os alunos das 6ª e 8 ª séries do ensino fundamental e da 2 ª

série do ensino médio estão util izando para resolver diferentes problemas que

envolvem o conceito de proporção?

b) Nas estratégias utilizadas pelos sujeitos, que procedimentos revelam que eles

estabelecem relações entre as classes e as quantidades expressas no enunciado?

Tendo em vista responder a essas questões, optou-se pelo encaminhamento

metodológico apresentado a seguir:

3.1 Sujeitos

Participaram desta pesquisa 82 alunos: 26 e 21 alunos, respectivamente da 6ª e 8ª

série do ensino fundamental e 35 alunos da 2ª série do ensino médio, de um colégio particular

da cidade de Itajaí, SC.

Foram escolhidas estas séries em função do ensino sistemático da proporcionalidade

na escola, sobretudo do ensino do uso do algoritmo da regra de três, que é uma estratégia

aprendida nos programas de matemática. Como esse trabalho sistemático é realizado nessa

escola, na 6ª série, mas não tinha sido realizado, ainda, na época da coleta de dados,

escolhemos a 6 ª série por incluir alunos que não tinham passado por esse ensino sistemático

da escola. A 8ª série foi escolhida porque os alunos já haviam estudado num tempo ainda

recente. Finalmente, na 2ª série do ensino médio, porque esse ensino estava mais distante, mas

também porque eram alunos que estavam trabalhando com esse algoritmo na disciplina de

Química e isso poderia trazer uma nova informação.

Interessava-nos comparar as estratégias que os alunos tinham aprendido no ensino não

36

sistemático, com as estratégias que a própria escola estava ensinando, como por exemplo, o

algoritmo da regra de três.

3.2 Instrumentos de coleta de dados

Foi apresentado aos 82 alunos um instrumento com problemas multiplicativos

adaptados de Vergnaud (1991), do tipo isomorfismo de medidas.

Esses problemas foram formulados levando-se em consideração várias condições,

conforme observado na Figura 5 seguinte:

Figura 5: Condições que foram consideradas na elaboração dos problemas de proporção utilizados no instrumento da pesquisa

Como pode ser observado na Figura 5, os problemas de proporcionalidade

multiplicativos, do tipo isomorfismo de medidas, foram organizados levando-se em

PROBLEMAS DE PROPORÇÃO

DIRETA INVERSA

UNITÁRIA MÚLTIPLA NÃO MÚLTIPLA

MÚLTIPLA UNIDADE

DIFERENTE

UNITÁRIA UNIDADE

DIFERENTE

NÃO MÚLTIPLA UNIDADE

DIFERENTE

MESMA UNIDADE

UNIDADE DIFERENTE

MESMA UNIDADE

UNIDADE DIFERENTE

MESMA UNIDADE

UNIDADE DIFERENTE

37

consideração duas grandes categorias, de acordo com a relação de proporção: grandezas11

diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Dentro de cada uma

dessas categorias, foram consideradas três subcategorias, levando em consideração as relações

numéricas:

- Unitária: quando temos como referência no enunciado do problema a unidade;

- Múltipla: quando há relação de multiplicidade entre os valores numéricos das

grandezas util izadas problema;

- Não múltipla: quando não há uma relação de multiplicidade entre os valores

numéricos das grandezas

Dentro dessas subcategorias, no caso da categoria envolvendo grandezas diretamente

proporcionais, ainda foram consideradas duas condições: problemas envolvendo a mesma

unidade de medida e problemas envolvendo unidades de medida diferentes.

Portanto, foram apresentados aos alunos, no total, 9 (nove) problemas das duas

categorias: da primeira categoria (grandezas diretamente proporcionais), foram 06 problemas

e da segunda categoria (grandezas inversamente proporcionais), 03 problemas. Vejamos a

seguir:

1ª categoria:

- 02 (dois) problemas de proporção direta unitária, um com a mesma unidade

(kg com kg) e outro com unidades diferentes (kg com litro).

- 02 (dois) problemas de proporção direta múltipla (6 kg e 24 kg, isto é, 24 é

múltiplo de 6 ), sendo um com a mesma unidade e outro com unidades

diferentes.

- 02 (dois) problemas de proporção direta não múltipla (ex. 6 kg e 27 kg, ou

seja, 27 não é múltiplo de 6), sendo um com a mesma unidade e outro com

unidades diferentes

11 Grandeza: Algo que pode ser medido. Comprimento, temperatura, tempo e área são exemplos de grandezas. (IMENES, p.291,1998.)

38

2ª categoria:

- 01(um) problema de proporção inversa unitária

- 01(um) problema de proporção inversa múltipla

- 01(um) problema de proporção inversa não múltipla

3.3 Procedimento de coleta e de registro dos dados

Os formulários foram apresentados individualmente aos alunos, em sala de aula.

Foram utilizadas em cada série, duas aulas seguidas dos professores de matemática

para a aplicação do questionário e o formulário f oi aplicado pelo próprio pesquisador, em

maio de 2003. Tomaram-se os seguintes cuidados:

1º) que todas as respostas corretas às questões fossem números inteiros.

2º) que houvesse seis tipos de formulários diferentes quanto à ordem de apresentação

dos problemas, pois eles foram organizados util izando-se um quadrado latino,

procurando, com isto, evitar a interferência de efeitos de ordem no resultado.

Apesar deste cuidado, não podemos afirmar que os problemas tenham sido resolvidos

na ordem de apresentação, pois os alunos podiam virar as folhas e começar a fazer primeiro o

que melhor lhes conviesse.

Todos os alunos presentes em sala de aula participaram da aplicação.

3.4 Procedimento de análise dos dados

Para analisarmos os dados apresentados pelos alunos nas soluções dos problemas de

proporção, foram consideradas as seguintes análises:

39

a) análise quantitativa: os problemas foram comparados em relação ao grau de dificuldade

com base no número de acertos e de erros.

b) análise quali tativa: observamos quais as estratégias util izadas pelos alunos das três séries,

para a solução dos problemas nas respectivas categorias e subcategorias;

c) análise quantitativa: verificamos e comparamos em cada estratégia, o número e o

percentual de acertos de cada série.

40

4 ANÁLISE DO DESEMPENHO

A Tabela 1 mostra, em média o desempenho dos alunos, por série, em todos os

problemas. Tabela 1 - Médias de desempenho por sér ie, de acordo com as categor ias e subcategor ias dos problemas

Problemas de proporção

Unitár ia Múltipla Não múltipla

6ª 8ª 2ª TOT 6ª 8ª 2ª TOT 6ª 8ª 2ª TOT TOT

Direta 0,95 0,79 0,97 0,90 0,86 0,63 0,97 0,82 0,71 0,68 0,91 0,77 0,83

I nversa 0,67 0,74 0,88 0,76 0,43 0,48 0,56 0,49 0,01 0,32 0,53 0,31 0,52

Total 0,81 0,76 0,93 0,83 0,64 0,55 0,76 0,65 0,41 0,50 0,72 0,54 0,67

A existência, ou não, de diferenças significativas entre as médias apresentadas na

Tabela 1 foi verificada por meio de uma Análise de Variância para Medidas Repetidas

(MANOVA), tendo como fatores intra-sujeitos a categoria (Direta X Inversa) e a

subcategoria (Unitária X Múltipla X Não-Múltipla) e, como fator inter-sujeitos, a Série (6ª X

8ª X 2ª). A Tabela 2, à seguir, mostra os resultados dessa análise de variância nos intra-

sujeitos e inter-sujeitos

Tabela 2 - Resultados da análi se de var iância considerando os fatores intra-sujeitos e inter-sujeitos

Fonte de variância CATEGO-RIA

SUBCATE-GORIA

Soma de quadrados gl

Média dos quadrados F Sig.

CATEGORIA (DiretaXInversa) Linear 10,04 1 10,04 51,63 ,000

CATEGORIA * SERIE Linear ,98 2 ,49 2,50 ,089

Erro (CATEGORIA) Linear 13,81 71 ,19

SUBCATEGORIA (Unitária X Múltipla X Não-múltipla)

Linear 5,89 1 5,89 51,92 ,000

SUBCATEGORIA * SERIE Linear ,52 2 ,26 2,29 ,109

Erro (SUBCATEGORIA) Linear 8,05 71 ,11

CATEGORIA * SUBCATEGORIA Linear Linear 1,72 1 1,72 14,40 ,000

CATEGORIA* SUBCATEGORIA * SERIE

Linear Linear 5,15E-03 2 2,58E-03 ,02 ,979

Erro (CATEGORIA*SUBCATEGORIA)

Linear Linear 8,46 71 ,12

41

Como podemos observar na Tabela 2, existe um efeito significativo do fator Categoria

[F(1,71) = 51,63; p< 0,001], confirmando que os alunos tiveram um desempenho

significativamente melhor nos problemas de proporção direta (média = 0,83), do que nos de

proporção inversa (média = 0,52), o que pode ser observado na Tabela 1. Esse melhor

desempenho nos problemas de proporção direta foi registrado em todas as séries, como pode

ser verificado pela ausência de um efeito significativo de interação “Categoria X Série”

[F(2,71) = 2,50; p = 0,089] (tabela 2).

Contrastando o desempenho nas três subcategorias, verificamos que o melhor

desempenho foi registrado na unitária (média = 0,83) e o pior foi registrado na não múltipla

(média = 0,54). Essa diferença de desempenho nas três subcategorias é significativa, como

pode ser confirmado na Tabela 2 [F(2,71) = 51,92; p < 0,001]. Esta tendência ocorreu em

todas as séries, como pode ser verificado pela ausência de um efeito significativo de interação

“Subcategoria X Série” [F(2,71) = 2,28; p = 0,109] (tabela 2).

Comparando as subcategorias (unitária, múltipla e não-múltipla) dentro de cada

categoria (direta e inversa), verifica-se que, tanto na categoria direta como na inversa, o

melhor desempenho foi registrado na subcategoria unitária (médias = 0,90 e 0,76,

respectivamente) e o pior foi observado na subcategoria não múltipla (médias = 0,77 e 0,31,

respectivamente) (tabela 1). Entretanto, o efeito da subcategoria é maior nos problemas de

proporção direta do que nos problemas de proporção inversa, como pode ser confirmado pelo

efeito significativo de interação “Categoria X Subcategoria” [F(1,71) = 14,40; p < 0,001]

(tabela 2). Isto sugere que, na subcategoria unitária, é mais provável do que nas outras

subcategorias, que os alunos usem, eficazmente, diferentes estratégias de resolução,

resultando em um maior número de acertos, sobretudo em problemas de proporção inversa.

Assim, a média de acertos nos problemas de proporção inversa unitária é de 0,76, enquanto

nos de proporção inversa múltipla é de 0,49 e nos de proporção inversa não múltipla é de

apenas 0,31.

A comparação das médias do conjunto dos problemas, nas três séries, mostra que,

como era esperado, a 2ª série teve o melhor desempenho (média = 0,80), enquanto que o

desempenho nas outras duas séries foi muito semelhante (média = 0,61 para a 8ª série e média

= 0,62 para a 6ª série). A análise de variância mostra que existe um efeito significativo de

Série (vide tabela 3).

42

Tabela 3. Resultados da análise de var iância mostrando o efeito do fator inter -sujeitos Sér ie

Fonte Soma de quadrados

gl Média de quadrados

F Sig.

Intercept 190,36 1 190,36 489,55 ,000 SERIE 4,05 2 2,03 5,21 ,01 Erro 27,61 71 ,39

O teste post-hoc de Schefé confirma que esse efeito se deve à diferença entre as médias

da 2ª e da 8ª séries (dif. = 0,20; p< 0,03) assim como da 2ª e da 6ª séries (dif. = 0,18; p <

0.04). A inexistência de diferença no desempenho da 6ª e da 8ª séries (aliás, o desempenho na

6ª foi ligeiramente melhor) foi inesperada, já que, ao contrário da 6ª série, a 8ª já tinha

recebido o ensino sistemático de problemas de proporção em sala de aula. Esse resultado pode

ter várias explicações, mas o desenho desta pesquisa não permite tirar qualquer conclusão a

esse respeito. Certamente não podemos concluir que o ensino de proporção não teve qualquer

efeito, já que se trata de turmas diferentes e desconhecemos qual era o conhecimento dos

alunos da 8ª série sobre esse assunto, quando eles cursavam a 6ª série.

43

5 ANÁLISE DAS ESTRATÉGIAS

A seguir,serão demonstradas as estratégias utilizadas para a solução dos problemas de

proporcionalidade encontradas na literatura:

1) Operação Ar itmética: os alunos chegam a solução do problema, utilizando uma

operação aritmética simples, por meio da multiplicação ou divisão.

Vergnaud (1985), cita essa estratégia como modelo dos problemas multiplicativos da

aritmética escolar.

Exemplos: a) O preço de uma caneta é R$ 0,50. Qual o preço de 6 canetas?

6 . 0,50 = R$ 3,00 (resposta do problema)

b) Um marceneiro monta um guarda-roupa em 12 horas. Quantos horas levarão 4

marceneiros para montar o mesmo guarda-roupa?

12 : 4 = 3 horas (resposta do problema)

2) Adição sucessiva: os alunos separam as duas grandezas, e irão estabelecer uma

relação de proporção por meio da adição e vão calculando as duas grandezas conjuntamente

até chegar à resposta do problema.

Essa estratégia é descrita por Nunes e Bryant (1997) como uma progressão aritmética

entre dois conjuntos.

Exemplo: Comprei 3 metros de tecido por R$ 13,50. Quanto pagarei por 12 metros?

3m ------- R$ 13,50

6m ------- R$ 27,00

9m ------- R$ 40,50

12 m ------- R$ 54,00 (resposta do problema)

3) Fator de Proporção: é quando os alunos estabelecem um fator de proporção

dentro da mesma grandeza, para, em seguida, aplicá-lo na outra grandeza.

É dita por Vergnaud (1991) como sendo a utilização de uma lei unár ia, onde os

44

alunos estabelecem uma relação dentro da mesma grandeza, para posteriormente acharem o

fator que vai determinar a relação proporcional.

Exemplo: Três máquinas fabricam diariamente 200 peças. Para fabricar 1600 peças

diariamente, quantas máquinas iguais a essa seriam necessárias?

1600 : 200 = 8

8 . 3 = 24 máquinas (resposta do problema)

ou ainda,

200 . 8 = 1600

3 . 8 = 24 máquinas (resposta do problema)

Obs: 8 é o fator de proporção

4) Valor Unitár io: é um tipo de estratégia pela qual os alunos chegam ao resultado do

problema, estabelecendo uma relação entre as grandezas, encontrando o valor unitário.

VERGNAUD (1991), descreve essa estratégia como sendo a utilização de uma lei

binár ia, onde os alunos irão estabelecer uma relação entre as grandezas diferentes, por

exemplo: litros e minutos, quilômetros e horas etc.

Exemplo: Um automóvel percorre 300 km em 3 horas. Mantendo a mesma velocidade,

quantos quilômetros percorrerá em 7 horas?

300 km : 3 h = 100 km/h

100 km/h . 7 h = 700 km (resposta do problema)

5) Regra de Três: é quando envolve o algoritmo: a/x = b/c, sendo dados a, b e c o

aluno determina o termo desconhecido x. Esse tipo de estratégia é descrito por Vergnaud

(1991) e encontrado na maioria dos livros didáticos, sendo geralmente ensinada nas escolas.

Exemplo: O piso de um salão com 60 m² foi recoberto por 1 341 ladrilhos iguais. Se o salão

tivesse apenas 20 m², quantos desses ladrilhos seriam usados?

60 m² ----- 1341 ladrilhos

20 m² ----- x ladrilhos

45

60 / 20 = 1341 / x

60 x = 20 . 1341

x = 26 820 / 60

x = 447 ladr ilhos (resposta do problema)

6) Totalidade: segundo Oliveira, Guimarães & Luz (1998) é quando os alunos

resolvem o problema como se fossem dois subproblemas. Primeiro, o aluno encontra o valor

referente ao todo, após, aplica esse valor encontrado na segunda pergunta do problema. Essa

estratégia só é encontrada nos problemas de proporção inversa.

Exemplo: Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com

80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 120 cm de largura,

quantas peças seriam usadas para forrar as mesmas paredes?

80 . 21 = 1680

1680 : 120 = 14 peças de papel (resultado do problema)

7) Diferença: é quando os alunos estabelecem uma adição entre as quantidades de

classe do problema, isto é, por meio de uma subtração entre os valores numéricos das classes

do problema.

Segundo Carraher (1986), ao resolverem certos problemas, utilizavam um procedimento

inadequado para a situação, não estabelecendo uma relação multiplicativa entre as classes do

problema.

Exemplo: Para obter 18 litros de vinho são necessários 40 kg de uvas. Quantos quilos da

mesma uva são necessários para se obter 63 litros de vinho?

18 litros -------- 40 kg

63 litros -------- ? 40 – 18 = 22

63 – 22 = 41 kg ( solução incorreta)

ou ainda

18 + 22 = 40

63 + 22 = 85 kg (solução incorreta)

Apresentaremos, na seqüência, uma prévia descrição detalhada de cada problema,

46

seguida de um confronto entre o que se esperava encontrar e o que foi encontrado em relação

às estratégias de resolução.

Para analisar os problemas, util izaremos como base as subcategorias definidas de

acordo com as relações numéricas.

5.1 – 1ª Categor ia: Problemas de proporção direta

5.1.1. Subcategoria 1 – (problemas de proporção direta unitária)

Problema 1: Proporção Direta Unitár ia Mesma Unidade ( DUMU): problema em

que um dos dados numéricos contem a unidade; as grandezas são diretamente proporcionais e

com mesma unidade de medida.

Exemplo: Em uma feira trocou-se 1 kg de batata por 3 kg de laranjas. Com 5 kg de

batatas, quantos quilos de laranjas poderiam ser trocados?

Problema 2: Proporção Direta Unitár ia Unidade Diferente ( DUUD) : problema

em que um dos dados numéricos contem a unidade; as grandezas são diretamente

proporcionais e com unidades de medidas diferentes.

Exemplo: Para obter 1 litro de vinho são necessários 2 kg de uva. Quantos quilos da

mesma uva são necessários para obter 63 li tros de vinho?

5.1.1.1 Expectativas de solução

Esses dois problemas são bem semelhantes, pois eles apresentam a unidade como fator

principal para sua resolução. Esperava-se que os estudantes conseguissem resolvê-los, por

meio de uma operação ar itmética (multiplicação), que é uma estratégia que envolve um fator

de proporção, mas de forma implícita.

Os problemas 1 e 2 diferenciam-se apenas quanto às unidades de medidas utilizadas:

no problema 1 as unidades envolvidas são as mesmas o quilograma (kg), enquanto que no

47

problema 2, temos unidades diferentes, li tro (l) e quilograma (kg).

Esperava-se que tanto os estudantes da sexta série como os da oitava série tivessem

certa facil idade na sua resolução, pois sendo os dois problemas do tipo unitário, e 1(um) é

divisor de todo número natural, eles deveriam estabelecer essa relação como princípio básico

para a sua resolução.

Os sujeitos do ensino médio poderam util izar a regra de três como estratégia de

resolução, por estarem utilizando essa estratégia na aula de química.

5.1.1.2 Estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção direta unitária

Na seqüência, apresentaremos a Tabela 4, que mostra as estratégias utilizadas pelos

alunos das três séries na resolução de problemas de proporção direta unitária (subcategoria 1).

Tabela 4 - Percentual relativo à util ização de cada estratégia; por tipo de problema e por série na solução

dos problemas de proporção direta unitár ia

TIPOS DE PROBLEMAS DUMU – Problema de proporção direta

unitár ia mesma unidade DUUD – Problema de proporção direta

unitár ia unidade diferente ESTRATÉGIAS UTILIZADAS 6ª

N=26 8ª

N=21 2ª

N=35 TOT 6ª N=26

8ª N=21

2ª N=35 TOT

Fator de proporção 3,85 19,04 5,71 8,54 7,70 19,04 2,86 8,54

Adição sucessiva 11,54 23,81 2,86 10,98 19,22 23,81 5,71 14,63

Valor unitário

Regra de três 14,29 85,71 40,23 14,29 91,43 42,68

Operação aritmética 57,69 9,52 5,71 23,17 61,53 14,29 23,18

PRE

VIS

TA

S

Diferença 7,69 19,05 7,32 3,85 19,05 6,10

Decomposição-correspndência-operação:com ou sem

representação pictórica 4,76 1,22 4,76 1,22

Não

Pre

vist

as

Não identificada 7,69 2,44

Não registrada 11,54 9,52 6,10 7,70 4,76 3,66

Branco

TOTAL 100 100 100 100 100 100 100 100

.

48

Conforme observamos na Tabela 4, o percentual relativo à util ização de cada

estratégia por tipo de problema e por série, na solução dos problemas de proporção direta

unitária, obtivemos:

Estratégias previstas que foram utilizadas: A estratégia do tipo operação

ar itmética foi a que ocorreu acentuadamente na 6ª série , nos dois tipos de problemas de

proporção direta unitária.

Na expectativa da solução apresentada, anteriormente, para esses tipos de problemas,

esperava-se que a maioria dos alunos do ensino fundamental e médio usassem essa estratégia.

Como observamos na Tabela 4, isso ocorreu somente na 6ª série. Na seqüência,

demonstraremos como o aluno BG, da 6ª série, utilizou essa estratégia:

O percentual de alunos da 6 ª série que utilizaram, como solução essa estratégia, foi

quase equivalente para as duas condições: problema de proporção direta unitária mesma

unidade (DUMU) 57,69 % e de proporção direta unitária unidade diferente (DUUD) 61,53 %;

dos 26 alunos, 15 deles utilizou a estratégia do tipo operação aritmética no primeiro problema

e, no segundo problema, 16 alunos. Na 8ª série, o uso dessa estratégia, nos dois tipos de

problemas, foi bem inferior: 9,52 % no problema de proporção direta unitária mesma unidade

(dos 21 alunos, apenas 2 alunos) e 14,29 % no problema de proporção direta unitária unidade

diferente (dos 21 alunos, apenas 3 alunos).

Talvez possamos explicar essa diferença maior em prol da 6 ª série, por ser este um

problema protótipo, quando se estuda a multiplicação nas séries iniciais do ensino

fundamental. É provável que, na 6ª série, os alunos ainda não tivessem se defrontado com

muitos problemas diferentes, onde esta estratégia fosse insuficiente.

A segunda estratégia mais util izada nos registros dos alunos da 6ª série e a mais

utilizada na 8ª série para a solução dos problemas diretos unitários foi a adição sucessiva. A

49

seguir, registramos como o aluno AC, da 8ª série utilizou essa estratégia no problema de

proporção direta unitária mesma unidade:

Como observamos na Tabela 4, isso ocorreu em percentual pequeno: apenas 3 dos 26

alunos (11,54 %), na 6 ª série e somente 5 dos 21 alunos (23,81 %) da 8ª série, no problema

de proporção direta unitária mesma unidade; no problema de proporção direta unitária

unidade diferente, dos 26 alunos da 6 ª série, 4 alunos a utilizaram (15,38 %) e, finalmente, na

8 ª série, dos 21 alunos, apenas 5 alunos (23,81 %) .

A estratégia do tipo valor unitár io não foi registrada como solução pelos alunos nos

problemas unitários, já que ela é desnecessária porque já temos o valor unitário. Vejamos o

problema 1:Em uma feira trocou-se 1 kg de batata por 3 kg de laranjas. Com 5 kg de batatas,

quantos quilos de laranjas poderiam ser trocados?

Observamos que não há necessidade de saber quantos quilos de laranjas podem ser

trocados por 1 kg de batata, pois já é um dado constante do enunciado do problema. Logo,

não se utiliza essa estratégia, pois o primeiro passo dela é reduzi -se à unidade para a solução.

O fator de proporção é uma estratégia utilizada com mais freqüência pelos alunos da

8ª série, em relação às outras séries nos dois tipos de problemas de proporção direta unitária:

dos 21 alunos, 4 alunos em cada tipo de problema, buscaram a solução util izando essa

estratégia. No problema de proporção direta unitária unidade diferente, o aluno BW da 8ª

série, chegou à solução do problema util izando essa estratégia da seguinte forma:

50

Na 2 ª série do ensino médio, predominou a utilização da regra de três como

estratégia de solução para os problemas de proporção direta unitária.Observamos que dos 35

alunos desta série, 30, (85,71 %) utilizaram essa estratégia no problema de proporção direta

unitária mesma unidade e, 32 (91,43%) a util izaram no de proporção direta unitária unidade

diferente.Na época da aplicação, os alunos dessa série estavam utilizando essa estratégia

como solução nas atividades da disciplina de Química. No seu término, houve por parte de

alguns alunos um questionamento: “os problemas apresentados para resolução não são de

regra de três?” Questionando-os, eles afirmaram que estavam utilizando-a em Química.

Na 8ª série, dos 21 alunos, apenas 3 (14,29%), registram a regra de três em cada um

dos dois tipos de problema de proporção direta unitária. Pode se pensar que quando o

professor de nossas escolas ensina essa estratégia para a solução dos problemas de

proporcionalidade, eles resolvem naquele momento, não utilizando mais após certo período de

tempo. Parece ser um processo mecânico, sem a compreensão do conceito, a forma como é

apresentado o algoritmo da regra de três, não havendo um entendimento do aluno, buscam

outros caminhos para resolver esses problemas e não a formalidade ensinada em nossas

escolas.

Uma outra estratégia utilizada nos registros de 2 alunos da 6ª série e 4 alunos da 8ª

série, nos dois problemas de proporção direta unitária, foi a diferença entre duas grandezas

Para entendermos melhor, vamos tomar como exemplo o registro do aluno LE da 6ª série no

problema de proporção direta unitária mesma unidade:

51

Para chegar à solução do problema, observamos que, em seu registro, ele estabeleceu

uma diferenciação entre as grandezas: 1 kg de batata consigo trocar por 3 kg de laranjas; são 2

kg a mais; logo, com 5 kg de batatas eu preciso de dois quilos a mais, chegando a 7 kg ,

resultado encontrado por ele, mas que não é a resposta correta.

No problema de proporção direta unitária unidade diferente, o aluno LC, da 8ª série,

registrou essa estratégia da seguinte forma:

Em seu registro, a maneira de raciocínio é semelhante a do aluno anterior; apenas há

um procedimento diferenciado de resolução, mas ele estabelece uma relação de diferença a

partir do dado numérico do enunciado até chegar à pergunta do problema.

Estratégias não previstas que foram utilizadas: uma estratégia não prevista é a que iremos

chamar de decomposição-cor respondência-operação com representação pictór ica: é

quando o aluno estabelece uma relação entre o valor numérico de duas classes, util izando

também forma de registro diferente: a representação pictórica associada à representação

52

numérica.

Esse tipo de estratégia é utilizado como solução, nesse grupo de problemas, pela aluna

Da, da 8ª série. A seguir, será mostrado como ela encontrou a solução no problema de

proporção direta unitária mesma unidade.

Observamos, no seu registro, que cada 3 kg de laranjas é representado por uma figura

para corresponder o equivalente à troca de 1 kg de batata: percebemos que cada “monte” de 3

kg de laranjas é trocado por 1 kg de batata. Para obter-se 5 kg de batata, que é a pergunta do

problema, a aluna Daniela juntou 5 montes de 3 kg de laranjas. Uma operação aritmética

simples: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 (ou 5 x 3) que é igual a 15 kg.

A estratégia que chamamos de não identificada, foi util izada como registro de

solução por 2 alunos da 6ª série no problema direto unitário mesma unidade. Essa estratégia,

assim nomeada, é aquela onde não conseguimos identificar as relações que eles estabelecem

com os dados numéricos no enunciado do problema.

Conforme a Tabela 4, encontramos situações em que o aluno apenas registrou o

resultado do problema, utilizando a estratégia que chamamos de não registrada. Como foi

registrado somente o resultado, não temos como explicar por quais procedimentos o aluno

utilizou para chegar à resposta do problema, ou se ele utilizou apenas o cálculo mental.

5.1.1.3 Eficácia das estratégias util izadas por tipo de problema nos problemas de proporção direta unitária

A seguir, apresentaremos a Tabela 5 que representa os resultados de cada série, quanto

ao percentual de acertos, conforme as estratégias util izadas por tipo de problema, na solução

de problemas de proporção direta unitária.

53

Tab

ela

5 -

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PREVISTAS

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0 1

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00

3

3 1

00,0

0

B

ranc

o

54

Conforme Tabela 5, anteriormente mostrada, observamos que a estratégia operação

ar itmética foi utilizada como solução desses problemas com 100% de acertos na 6ª e 8ª série

do ensino fundamental e na 2ª série do ensino médio: 15 alunos da 6ª série; dois da 8ª série e

dois da 2ª série, no problema de proporção direta unitária mesma unidade; e seis alunos das

três séries, utilizaram f eficazmente essa estratégia no problema de proporção direta unitária

unidade diferente.

A estratégia fator de proporção, também foi util izada com sucesso por três alunos da

6ª série e oito alunos da 8ª série nos dois tipos problema de proporção direta unitária; na 2ª

série do ensino médio, dois alunos a util izaram eficazmente no problema de proporção direta

unitária mesma unidade e um aluno no problema de proporção direta unitária unidade

diferente.

A adição sucessiva foi uma estratégia utilizada eficazmente por quase todos os alunos

das três séries, como mostra a Tabela 5. Apenas um aluno da 8ª série a usou de maneira

ineficiente.

Outra estratégia prevista util izada como solução desses problemas foi a regra de três.

Na 8ª série, de três alunos, dois a utilizaram com sucesso (66,67%) nesse grupo de problemas;

já, na 2ª série, dos 30 alunos, 29 (96,97%) foram eficientes quanto à sua util ização.

Observamos que na 2ª série houve um percentual elevado quanto à eficiente utilização, apenas

um aluno não chegou à solução correta.

A seguir, registramos como o aluno FH, da 2ª série, utilizou essa estratégia

incorretamente:

No seu registro, observou-se que, verticalmente, houve procedimento incorreto quanto

à representação numérica das grandezas do problema. Na primeira coluna, escreveu 3 kg de

55

laranjas com 5 kg de batatas.

Sabe-se que para a utilização da regra de três deve haver um procedimento correto

quanto à representação numérica do problema: kg de batatas com kg de batatas um sob outro

e kg de laranjas com kg de laranjas um sob outro. Nota-se que há, por parte de alguns alunos

de nossas escolas, uma simples memorização dessa estratégia, sem que estabeleçam uma

relação de proporcionalidade com os dados numéricos. Simplesmente, utili zam o algoritmo da

regra de três mecanicamente.

Uma outra estratégia prevista no problema de proporção direta unitária mesma

unidade, foi a diferença utilizada por dois e quatro alunos da 6ª e 8ª série, respectivamente.

Essa estratégia revela que não há entendimento do conceito de proporcionalidade envolvido

no enunciado do problema. No problema de proporção direta unitária unidade diferente essa

estratégia é utilizada por um e quatro alunos da 6ª e 8ª série respectivamente.A aluna AJ, da

8ª série, utili zou essa estratégia, como veremos a seguir:

A estratégia não prevista, utilizada eficazmente pela aluna Da, da 8ª série, é a que

chamamos de decomposição-cor respondência-operação com representação pictór ica

apresentada anteriormente. Em seu registro de solução, observamos a eficácia dessa nova

estratégia. A correspondência que ela estabelece entre os elementos das duas classes e a forma

como representa pictoricamente essas relações permitem-lhe encontrar e tornar explícito

(visualmente) o fator de proporção, mostrando que ela compreende o conceito de

proporcionalidade.

Dois alunos da 6ª série util izaram estratégias não identificadas e não obtiveram êxito

na solução do problema. Um desses alunos é a BA, da 6ª série, que fez o seguinte registro:

56

Finalmente, nessa subcategoria, observamos a possível utilização do cálculo mental

por meio da estratégia que chamamos de não registrada. Dos cinco alunos da 6ª e 8ª série

que apenas registraram o resultado, dois alunos (40%) chegaram à resposta correta no

problema de proporção direta unitária mesma unidade. No outro tipo de problema dessa

subcategoria, os três que utilizaram essa estratégia, tiveram sucesso no uso da mesma. Pela

experiência profissional, já observamos situações semelhantes, em certos conteúdos, como

solução de problemas em matemática nos quais se percebe que há uma certa dificuldade de

alguns alunos quanto à transferência de seu raciocínio mental para o papel. Em várias

situações em sala de aula, perguntando a esses alunos: “Como chegaram à resposta correta?”

Eles expuseram o procedimento correto explanando oralmente, mas tinham dificuldade em

relatar esses procedimentos por escrito.

5.1.2 - Subcategoria 2 (problemas de proporção direta múltipla)

Problema 3: Proporção Direta Múltipla Mesma Unidade (DMMU): quando entre

as quantidades do problema, os valores numéricos são múltiplos, as grandezas são

diretamente proporcionais e com a mesma unidade de medida.

Sabe-se que 8 kg de café cru resultam em 6 kg de café torrado.Quantos kg de café cru

devem ser levados ao forno para obtermos 24 kg de café torrado?

57

Problema 4 : Proporção Direta Múltipla Unidade Diferente (DMUD): quando

entre as quantidades do problema, os valores numéricos são múltiplos, as grandezas são

diretamente proporcionais, porém, as unidades de medidas são diferentes.

Com 20 kg de uva obtém-se 9 li tros de vinho. Quantos quilos da mesma uva seriam

necessários para obter 27 litros?


Esperávamos que, na resolução desses dois problemas, os alunos util izariam a

estratégia

fator de proporção.

O agrupamento desses dois tipos de problemas deve-se ao fato, de uma das

quantidades colocadas no enunciado ser múltipla da outra, ou seja, no problema 3, 24 é

múltiplo de 6 e no problema 4, 27 é múltiplo de 9. Com isso, uma parcela razoável dos alunos

iria encontrar o fator de proporção para resolverem.

Esperava-se alguma dificuldade na resolução destes problemas na sexta série, pois

não estudaram em seus programas, grandezas diretamente proporcionais até a presente

aplicação da pesquisa, isto é, têm uma noção da proporção das séries iniciais do ensino

fundamental, mas não estudaram sistematicamente esse conteúdo.

Na oitava série, eles já estudaram este conteúdo (grandezas diretamente

proporcionais). Logo, esperava-se um bom desempenho nessa tarefa.

Finalmente, na segunda série do ensino médio, acreditava-se que o desempenho seria

bom, pois os alunos já tiveram uma boa noção da relação de proporcionalidade.

5.1.2.2 Estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção direta múltipla

Na seqüência, apresentaremos na Tabela 6, as estratégias utilizadas pelos alunos das

três séries na resolução de problemas de proporção direta múltipla em cada problema

(subcategoria 2).

58

Tabela 6 - Percentual relativo á util ização de cada estratégia por tipo de problema e por sér ie na solução

dos problemas de proporção direta múltipla

TIPOS DE PROBLEMAS DMM U – Problema do proporção direta

múltipla mesma unidade DMUD – Problema do proporção direta

múltipla unidade diferente ESTRATÉGIAS UTILIZADAS 6ª

N=26 8ª

N=21 2ª

N=35 TOT 6ª

N=26 8ª

N=21 2ª

N=35 TOT

Fator de proporção 38,46 28,58 19,52 73,07 33,34 31,72

Adição sucessiva 15,39 23,81 10,97 7,69 23,81 8,54

Valor unitário 5,71 2,44 3,85 4,76 8,57 6,09

Regra de três 9,52 91,43 41,46 9,52 91,43 41,46

PRE

VIS

TA

S

Diferença 26,92 23,81 2,86 15,85 3,85 19,05 6,09

Decomposição-correspndência-operação:com ou sem

representação pictórica 4,76 1,22 4,76 1,22

Não

Pre

vist

as


Não registrada 11,54 9,52 6,10 11,54 3,66

Branco 7,69 2,44

TOTAL 100 100 100 100 100 100 100 100

Conforme observamos na Tabela 6, referente ao percentual relativo da utilização de

cada estratégia, por tipo de problema e por série na solução dos problemas de proporção direta

múltipla, obtivemos:

Estratégias previstas que foram util izadas: Verificamos que a estratégia fator de

proporção é a mais utilizada pelos alunos como solução nessa subcategoria de problemas na

6ª e 8ª série do ensino fundamental: dos 26 alunos da 6ª série, 10 (38,46%) a utilizaram no

problema de proporção direta múltipla mesma unidade e 19 (73,07%) no problema de

proporção direto múltipla unidade diferente. Na 8ª série, houve um decréscimo quanto à

utilização dessa estratégia, em relação à 6ª série: dos 21 alunos, seis (28,58%) util izaram-na

no problema de proporção direta múltipla mesma unidade e sete (33,34%) no problema de

proporção direta múltipla unidade diferente. A seguir, apresentaremos essa estratégia como

solução do problema de proporção direta múltipla unidade diferente, utilizada pela aluna BA,

da 6ª série:

59

A aluna encontrou o fator 3 que determina a relação proporcional: triplicando a

quantidade de litros de vinho, triplica a quantidade de uva necessária para obter essa

quantidade de vinho, chegando à solução correta.

Citado anteriormente como expectativa de solução nessa subcategoria de problemas,

observamos que os alunos buscaram, por meio da estratégia do fator de proporção, o caminho

para chegar ao resultado.

A adição sucessiva foi utilizada como solução dos problemas de proporção direta

múltipla: quatro alunos no problema de proporção múltipla mesma unidade e, dois alunos, no

problema de proporção direta múltipla unidade diferente, entre os 26 alunos da 6ª série. Dos

21 alunos da 8ª série, cinco deles utilizaram essa estratégia em cada tipo de problema de

proporção direta múltipla. A aluna AC, da 8ª série, registrou essa estratégia em um dos

problemas, demonstrado a seguir:

Ela iniciou o procedimento de resolução, a partir dos valores numéricos apresentados

no problema (8 kg de café cru corresponde a 6 kg de café torrado). Somando na coluna de

café torrado constantemente 6 kg (6 kg + 6kg = 12 kg , 12 kg + 6kg = 18 kg e 18kg + 6kg =

24 kg) e na coluna de café cru constantemente 8kg (8kg + 8kg = 16 kg , 16 kg + 8kg = 24 kg

e 24 kg + 8kg = 32 kg) ela chegou por meio de uma adição sucessiva, à solução correta de 32

kg de café cru, que é a quantidade correspondente necessária para se obter 24 kg de café

torrado.

Outra estratégia que surge somente no problema de proporção direta múltipla unidade

60

diferente na 6ª e 8ª séries é a do valor unitár io: apenas um aluno de cada série, utili zou essa

estratégia como solução.

A regra de três surge com um percentual ainda menor nos problemas de proporção

direta múltipla (tabela 6), em relação aos problemas de proporção direta unitária (tabela 4):

dois alunos (9,52%) da 8ª série, util izaram essa estratégia em cada tipo de problema,

conforme Tabela 5.

Na 2ª série do ensino médio, apenas duas estratégias foram util izadas como solução

dessa subcategoria de problemas: o valor unitár io e a regra de três.

Na estratégia do valor unitár io, dos 35 alunos, dois (5,71%) util izaram no problema

de proporção direta múltipla mesma unidade e, três (8,57%) no problema de proporção direta

múltipla unidade diferente. Na seqüência, registraremos a utilização dessa estratégia pela

aluna DaR da 8ª série.

A aluna DaR encontrou o valor unitário 2,22... Kg / l (quilograma por litro), utilizando

a divisão (20 kg : 9 litros), quantidades dadas no problema. Com o resultado dessa divisão

(2,22...) ela soube que 1 kg de uva obtém 2,22... litros de vinho e como era necessário saber

quantos quilos de uva precisavam para obter 27 litros, multiplicou esse valor por 27 que

resultou a solução correta de 60 kg.

A regra de três novamente foi util izada predominantemente pelos alunos dessa série:

32 alunos (91,43%) registraram essa estratégia como solução em cada tipo de problema dessa

subcategoria.

Uma estratégia utilizada nos registros de sete alunos (26,92%) e um aluno (3,85%), no

problema de proporção direta múltipla mesma unidade e, cinco alunos (23,81%) e quatro

alunos (19,05%) no problema de proporção direta múltipla unidade diferente, respectivamente

na 6ª e 8 ª séries, foi a diferença entre duas grandezas, já citada na subcategoria 1(problemas

de proporção direta unitária).

Estratégias não previstas que foram utilizadas: A estratégia não prevista e que chamamos

61

de decomposição-cor respondência-operação com representação pictór ica, relatada

anteriormente na sub-categoria 1, foi utilizada como solução, nesse grupo de problemas, pela

mesma aluna Da, da 8ª série. A seguir mostraremos como ela encontrou a solução do

problema de proporção direta múltipla mesma unidade:

A estratégia não identificada aparece como solução no registro de um aluno da 8ª

série (4,76%), no problema de proporção direta múltipla unidade diferente.

Notamos na Tabela 6, que a estratégia que nós chamamos de não registrada surge

novamente como vimos na subcategoria 1, na solução dos problemas dessa subcategoria: dos

26 alunos da 6ª série, três (11,54%) utilizaram-na em cada tipo de problema de proporção

direta múltipla . Na 8ª série, essa estratégia é utilizada por dois (9,52%), dentre os 21alunos,

no problema de proporção direta múltipla mesma unidade.

Finalmente, nessa subcategoria de problemas, com um percentual menor, houve

apenas dois alunos da 6ª série que não responderam (deixaram em branco, conforme

observamos na tabela 6) .

5.1.2.3 Eficácia das estratégias util izadas por tipo de problema nos problemas de proporção direta múltipla

Na seqüência, apresentaremos a Tabela 7 que representa os resultados de cada série,

quanto ao percentual de acertos conforme as estratégias utilizadas por tipo de problema na

solução de problemas de proporção direta múltipla.

62

Tab

ela

7 -

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B

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0 0,

00

2 0

0,00

63

Conforme a Tabela 7, observamos que a estratégia fator de proporção proporcionou

a resolução bem sucedida a quase todos os alunos que a util izaram (23 em 26).

Na 6ª série de 10 alunos, nove chegaram à solução correta no problema de proporção direta

múltipla mesma unidade; e, de 19, 18 alunos resolveram, com sucesso, o problema de

proporção direta múltipla unidade diferente. Na 8ª série esse número reduziu-se ainda mais:

dos 13 alunos que a utilizaram nos dois problemas dessa subcategoria, apenas 9 obtiveram

sucesso.

A seguir, o registro da aluna KE, da 8ª série, que não chegou a solução correta do

problema, utilizando a estratégia do fator de proporção:

Observamos que a aluna dividiu 24 kg de café torrado por 8 kg de café cru e após

multiplicou esse resultado (3) por 6 kg, isto é, fez essa operação com classes diferentes (café

torrado e café cru). Ela deveria ter operacionalizado a divisão com quantidades de mesma

classe (24 kg de café torrado por 6 kg de café torrado) para obter o fator de proporção 4 e

posteriormente, multiplicado por 8 kg de café cru, que é a pergunta do problema ,chegando à

solução correta.

Como esses problemas são de proporção múltipla, muitos alunos conseguem encontrar

o fator de proporção, porém, alguns alunos não procedem de maneira correta para encontrar o

fator de proporção, como vimos o registro da aluna KE, da 8ª série.

Nessa subcategoria de problemas, não encontramos registro da estratégia do fator de

proporção em nenhum aluno da 2ª série do ensino médio, conforme vemos na tabela 6.

A adição sucessiva foi uma estratégia totalmente eficaz quanto ao seu uso pelos

alunos da 8ª série, nos dois problemas dessa subcategoria: dos cinco alunos que a utilizaram

em cada problema, todos (100%) obtiveram sucesso. Com a 6ª série não ocorreu o mesmo:

64

dos 4 alunos que a util izaram, apenas 1 (25%), chegou ao resultado correto no problema de

proporção direta múltipla mesma unidade e, de dois alunos, apenas um (50%) obteve êxito no

problema de proporção direta múltipla unidade diferente. Na seqüência, demonstraremos o

registro do aluno DT, da 6ª série, que não obteve êxito com o uso dessa estratégia.

Ele iniciou o procedimento de resolução com os dados do problema (1 kg de batata

troca-se por 3 kg de laranjas) e depois, corretamente, verificou se duplicar kg de batata então

duplicará kg de laranja (3 kg + 3 kg = 6 kg). No próximo procedimento, na 2ª coluna

(laranjas) deveria ter somado (6 kg + 3kg) e não 6kg + 2kg como fez, não operacionalizando,

corretamente, a adição sucessiva.

A estratégia do valor unitár io foi util izada com 100% de sucesso pelos alunos da 2ª

série do ensino médio (dois alunos nos problemas de proporção com mesma unidade e três

nos problemas com unidades diferentes).

Na 6ª e 8ª série do ensino fundamental, no problema de proporção direta múltipla

unidade diferente, um aluno da 6 ª e um da 8ª série utilizaram essa estratégia, porém não

chegando ao resultado correto.

Outra estratégia prevista util izada como solução desses problemas foi a regra de três.

Na 8ª série, os 2 alunos a util izaram com eficácia nos dois tipos de problemas de dessa

subcategoria.

Dos 32 alunos que utilizaram essa estratégia em cada tipo de problema de proporção

direta múltipla da 2ª série do ensino médio, todos (100%) foram eficientes na sua utilização.

Além desse tipo de estratégia ser encontrado na maioria dos livros didáticos e

geralmente ensinado em nossas escolas, eles estavam utilizando-a no momento da aplicação

dos problemas, em outra disciplina de seus programas, a Química.

65

Nos problemas de proporção direta múltipla, a estratégia da diferença foi utilizada por

sete e cinco alunos da 6ª e 8ª série respectivamente; por um aluno da 2ª série, no problema de

proporção direta múltipla mesma unidade; por um e quatro alunos da 6ª e 8ª séries

respectivamente, no problema de proporção direta múltipla unidade diferente. Novamente,

observamos nessa subcategoria de problemas a ineficácia dessa estratégia, que mostra que os

alunos não conseguem estabelecer uma relação de proporcionalidade entre as grandezas

envolvidas no problema.

A estratégia não prevista, decomposição-cor respondência-operação com

representação pictór ica, como vimos anteriormente, aparece como solução também nos

problemas de proporção direta múltipla pela aluna Da, da 8ª série, como observamos na

Tabela 7.

Outra estratégia que surge nessa subcategoria de problemas é a não registrada: dos 5

alunos que a util izaram da 6ª e 8ª séries, dois alunos (40%) obtiveram a solução correta no

problema de proporção direta múltipla mesma unidade, e dos três alunos da 6ª série, na

resolução do problema de proporção direta múltipla unidade diferente, apenas um chegou ao

resultado correto.

Finalizando essa segunda subcategoria de problemas de proporção direta múltipla,

dois alunos da 6ª série não resolveram o problema de proporção direta múltipla mesma

unidade.

5.1.3 - Subcategoria 3 (problemas de proporção direta não múltipla)

Problema 5 : Proporção Direta Não Múltipla Mesma Unidade (DÑMMU): onde

em cada classe, os valores numéricos não são múltiplos e as grandezas são diretamente

proporcionais, com a mesma unidade de medida.

Com 8 kg de café cru resultam 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café crus

devem ser levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado?

Problema 6 : Proporção Direta Não Múltiplo Unidade Diferente (DÑMUD) : onde

em cada classe, os valores numéricos não são múltiplos e as grandezas diretamente

proporcionais, têm unidades de medidas diferentes.

Uma torneira bem aberta despeja 30 li tros de água em 2 minutos. Quantos minutos

66

essa torneira levaria para despejar 75 li tros?


A estratégia já encontrada na literatura, e que deverá ser utili zada pelos alunos como

solução desses dois tipos de problema é a estratégia valor unitário.

Novamente, o diferencial dos dois problemas tem relação com as unidades, pois no

problema 5 estamos relacionando kg com kg e no problema 6, litros com minutos.

Quanto à questão do desempenho na resolução dos problemas citados acima, espera-se

que tanto os alunos, da sexta série como os da oitava série encontrariam mais dificuldade no

problema 5, pois no problema 6 há uma espécie de redução à unidade (valor unitário), ou seja,

se despeja 30 li tros em 2 minutos, acreditava-se que o aluno iria perceber que em 1 minuto

despejará 15 litros e, sendo que 15 é múltiplo de 75, ficaria mais fácil achar a resposta

correta.

Na segunda série, acreditávamos que ocorreria o que já foi citado nos problemas da

subcategoria anterior, pelo fato de terem uma noção bem melhor de proporção e devido à

utilização do algoritmo da regra de três em outra disciplina (Química).

Finalmente, acreditávamos que um outro tipo de estratégia encontrada nos livros

didáticos e que os alunos de 8ª série do ensino fundamental e 2 ª série do ensino médio se

utilizariam, é a regra de três, o que não deveria ocorrer na 6 ª série, pois não aprenderam a

utilização desse algoritmo.

5.1.3.2 Estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção direta não múltipla

Conforme observamos na Tabela 8 do percentual relativo à utilização de cada

estratégia por tipo de problema e por série na solução dos problemas de proporção direta não

múltipla, obtivemos:

67

Tabela 8 - Percentual relativo à util ização de cada estratégia por tipo de problema e por série na solução dos problemas de proporção direta não múltipla

TIPOS DE PROBLEMAS

DNMMU – Problema do proporção direta não múltipla mesma unidade

DNMUD – Problema do proporção direta não múltipla unidade diferente

ESTRATÉGIAS UTI IZADAS

6ª N=26

8ª N=21

2ª N=35 TOT 6ª

N=26 8ª

N=21 2ª

N=35 TOT

Fator de proporção 19,23 33,33 14,63 15,38 33,35 2,86 12,19

Adição sucessiva 15,38 14,29 8,54 15,38 9,52 7,32

Valor unitário 8,57 3,66 42,31 19,05 11,43 23,17

Regra de três 9,52 88,57 40,24 9,52 85,71 37,80

PRE

VIS

TA

S

Diferença 30,77 28,58 2,86 18,29 4,76 1,22

Decomposição-correspondência-operação: com ou sem representação pictórica

4,76 1,22 3,85 9,52 3,70

Não

Pre

vist

as


Não registrada 23,08 7,32 19,22 9,52 8,54

Branco 7,69 9,52 4,88 3,85 4,76 2,44

TOTAL 100 100 100 100 100 100 100

Estratégias previstas que foram utilizadas: Nessa última subcategoria de problemas

de proporção direta, a presença da estratégia fator de proporção não é tão acentuada: dos 26

alunos da 6ª série, cinco (19,23%) utilizaram essa estratégia no problema de proporção direta

não múltipla mesma unidade e quatro (15,38%) no problema de proporção direta não múltipla

unidade diferente. Na 8ª série, dos 21 alunos, sete (33,33%), a utilizaram em cada tipo de

problema dessa subcategoria.E na 2ª série do ensino médio, essa estratégia surge no registro

de um aluno, no problema de proporção direta não múltiplo unidade diferente. Nesse índice

inferior em relação às subcategorias anteriores do uso acreditamos dever-se ao fato de que

eles não conseguem, usando essa estratégia, encontrar o fator de proporção, pois os valores

numéricos do problema não são múltiplos.

A seguir, temos a demonstração do aluno MV, da 6ª série, que util izou a estratégia do

fator de proporção corretamente:

68

A adição sucessiva é encontrada como estratégia de solução, por quatro alunos da 6ª

série em cada tipo de problema não múltiplo; na 8ª série por três alunos (14,29%) no

problema de proporção direta não múltipla mesma unidade e, por dois alunos (9,52%) no

problema de proporção direta não múltiplo unidade diferente.

A estratégia valor unitár io é util izada somente por dois alunos da 2ª série do ensino

médio no problema de proporção direta não múltiplo mesma unidade. No outro tipo de

problema dessa subcategoria (proporção direta não múltipla unidade diferente), como

previsto, esta estratégia foi mais freqüente: dos 26 alunos da 6ª séries, onze (42.,32%),

utilizaram essa estratégia ; na 8ª série, dos 21 alunos, quatro (19,05%) e na 2ª série, dos 35

alunos, também quatro, (11,43%) a util izaram. Para evidenciar o uso dessa estratégia,

registraremos a seguir, como a aluna DaR, da 8ª série, chegou à solução do problema

Um percentual elevado de alunos da 2ª série util izou a regra de três como solução.

Dos 35 alunos, 31 (88,57%) no problema de proporção direta não múltipla mesma

unidade e 30 (85,71%) no problema de proporção direta não múltiplo unidade diferente. Já na

8 ª série, dos 21 alunos, apenas dois (9,52%), a util izaram em cada tipo de problema, nessa

69

subcategoria.

A estratégia da diferença foi utilizada novamente nos registros de oito alunos

(30,77%); seis alunos (28,58%) e um aluno (2,86%) no problema de proporção direta não

múltipla mesma unidade, respectivamente na 6ª e 8 ª séries do ensino fundamental e na 2ª

série do ensino médio. No problema de proporção direta não múltiplo unidade diferente,

apenas 1 aluno da 8ª série a utilizou.

Na seqüência, o registro detalhado da aluna AC, da 8ª série, que por meio da diferença

chegou à solução incorreta:

Estratégias não previstas que foram utilizadas: encontramos no problema de

proporção direta não múltipla unidade diferente, a estratégia não prevista que chamamos de

decomposição-cor respondência-operação sem representação pictór ica: é a mesma idéia

de raciocínio apresentada pela aluna Da na página seguinte, porém sem representação

pictórica.Conforme observamos na Tabela 8, 1 aluno da 6 ª série (3,85%) e 1 aluno da 8ª série

(4,76%) utilizaram essa nova estratégia. A aluna Am, da 6 ª série, util izou essa estratégia

nesse tipo de problema, conforme seu registro a seguir:

Ela decompôs o número 75 em três parcelas: 30 + 30 + 15, fazendo uma

correspondência de cada parcela ao tempo que gasta (30 litros, 2minutos; 30 litros 2 minutos e

15 litros 1 minuto).A escolha dessa decomposição do número 75 deve-se ao fato de que 30

70

litros é o valor numérico citado no problema, que equivale a 2 minutos. Então, ela percebeu

que uma parcela de 30 litros mais outra parcela de 30 litros é equivalente a 4 minutos (tempo

que levaria para despejar 60 litros). Para completar os li tros restantes do total de 75 litros, ela

percebeu que faltavam 15 litros, que é justamente a metade dos 30 litros, que levam 2

minutos; logo, 15 litros é equivalente a 1 minuto. Observamos a estratégia de solução

interessante apresentada por essa aluna.

A aluna Da, da 8ª série, também utilizou a estratégia decomposição-

cor respondência-operação com representação pictór ica nessa última subcategoria de

problemas de proporção direta, mas com representação pictórica. A seguir, a solução

interessante utilizada por ela:

Apenas um aluno da 6ª série usou a estratégia que chamamos de não identificada no

problema de proporção direta não múltipla mesma unidade.

Um percentual considerável de alunos da 6ª série utilizou a estratégia não registrada:

seis (23,08%) dos 26 alunos, registraram apenas o resultado no problema de proporção direta

não múltipla mesma unidade e cinco no problema de proporção direta não múltipla unidade

diferente.Na 8ª série, isso já não ocorreu: dos 21 alunos, apenas 2 (9,52%) registraram apenas

o resultado.

Para finalizarmos essa subcategoria de problemas, alguns alunos da 6ª e da 8ª séries

não fizeram registro nenhum, conforme observamos na Tabela 8.

5.1.3.3 Eficácia das estratégias util izadas por tipo de problema nos problemas de proporção direta não múltipla

Na seqüência, apresentaremos a Tabela 9 referente à eficácia no uso dessas estratégias

nessa subcategoria de problemas.

71

Tab

ela

9 -

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2ª S

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00

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96,

87

PREVISTAS

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00

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0,0

0

2 0

0,0

0

72

Conforme a Tabela 9, nessa subcategoria de problemas, o uso da estratégia fator de

proporção não foi tão eficaz em relação às subcategorias anteriores: na 6ª série, dos 5 alunos,

que a utilizaram apenas um (20%) e na 8ª série dos sete alunos, quatro (57,14%) acertaram a

solução do problema de proporção direta não múltipla mesma unidade. No outro tipo de

problema dessa subcategoria, de quatro alunos da 6ª série, dois (50%) e da 8ª série, dos sete

alunos, novamente quatro (57,14%), tiveram sucesso quanto ao uso dessa estratégia. Nessa

última subcategoria de problemas de proporção direta, percebeu-se a dificuldade que os alunos

encontram em determinar esse fator de proporcionalidade. Como os problemas desse grupo

são do tipo não múltiplo, muitos não conseguem estabelecer a relação numérica entre os dados

do problema, não encontrando esse fator. Observamos a seguir, como o aluno PH, da 6ª série,

tentou por meio da estratégia do fator de proporção, chegar à solução do problema, não

obtendo sucesso.

Um percentual de rendimento melhor observamos na utilização da adição sucessiva.

Dos sete alunos da 6ª e 8ª série, quatro (57,14%) chegaram à solução correta do problema de

proporção direta não múltipla mesma unidade; e, no problema de proporção direta não

múltipla unidade diferente, dos seis alunos dessas séries, cinco (66,67%) chegaram à solução

correta do problema.

No problema de proporção direta não múltipla mesma unidade, a única série em que os

alunos utilizaram a estratégia do valor unitár io, com 100% de acertos, foi a 2 ª série do

ensino médio: dos 3 alunos, todos foram eficientes ao utilizá-la. No outro problema dessa

subcategoria, essa estratégia surge como solução nos registros dos alunos das três séries. Além

desse fato, foram eficientes quanto à utilização da estratégia do valor unitário: de 11 alunos da

6ª série, todos (100%); de quatro alunos da 8ª série todos (100%) e 4 quatro alunos da 2ª série,

três (75%), chegaram à solução correta no problema de proporção direta não múltipla unidade

73

diferente.

Outra estratégia prevista utilizada como solução desses problemas foi a regra de três.

Na 8ª série, os dois alunos(100%) que a util izaram tiveram sucesso nos dois tipos de

problemas de proporção múltipla.

Dos 31 alunos da 2ª série do ensino médio que utilizaram essa estratégia no problema

de proporção direta não múltipla mesma unidade, 30 (96,66%) tiveram sucesso.

No problema de proporção direta não múltipla unidade diferente, dos 29 que a util izaram, 28

(96,55%) chegaram à resposta correta do problema.

A estratégia da diferença foi util izada por oito e seis alunos da 6ª e 8ª séries,

respectivamente, e um aluno da 8ª série, no problema de proporção direta não múltipla

unidade diferente. Percebe-se o desconhecimento por parte de vários alunos, do conceito de

proporcionalidade implícito no problema.

Nas estratégias não previstas os alunos que utilizaram a estratégia que chamamos de

decomposição-cor respondência-operação: com ou sem representação pictór ica, todos

obtiveram sucesso nessa subcategoria de problemas.

Apenas em um aluno da 6ª série, não conseguimos identificar qual a estratégia

utilizada e, ainda, de maneira ineficiente como mostra a Tabela 9.

Outra estratégia que surge nessa subcategoria de problemas é a não registrada: dos

seis alunos que a utilizaram na 6ª série, um aluno (16,67%) foi eficiente no problema de

proporção direta não múltipla mesma unidade e, dos sete alunos da 6ª e 8ª séries no problema

de proporção direta não múltipla unidade diferente, apenas quatro (57,14%) responderam

corretamente.

Finalizando essa última subcategoria, seis alunos da 6ª e 8ª série não resolveram os

problemas de proporção direta não múltipla.

5.2 - Discussão Das Estratégias Utili zadas Pelos Alunos Nos Problemas De Proporção Direta

O Quadro 2 a seguir, sintetiza as estratégias mais utilizadas em cada problema por série, que apresentaremos a seguir:

74

Quadro 2 – Síntese das estratégias mais freqüentes, por série, em cada tipo de problema de proporção direta

Legenda:

O Quadro 2 mostra que no ensino fundamental os alunos da 8ª série utilizaram várias estratégias para resolver os problemas de proporção direta. Na 6ª série, a diversificação das estratégias ocorreu com menor intensidade.Na 2ª série do ensino médio, vemos que foi

– – – –

–

OA Operação ar itmética estratégia eficaz (mais de 70% de acer tos) FP Fator de proporção

AS Adição Sucessiva estratégia parcialmente eficaz (de 50% a 70 %) Di Diferença RT Regra de Três estratégia ineficaz (infer ior a 50%)

75

foi predominante o uso da estratégia regra de três .

Fazendo uma análise quanto ao sucesso alcançado com a utilização das estratégias nas

três séries (6ª e 8ª séries do ensino fundamental e 2 ª série do ensino médio) nessa primeira

categoria de problemas, observamos que na 8 ª série, os alunos que passaram pela instrução

formal do estudo das proporções,não evidenciaram um melhor rendimento nos resultados com

o uso das estratégias em relação à 6 ª série, na qual os alunos ainda não passaram por essa

instrução formal. Aliás, observando o Quadro 2 apresentado anteriormente, os alunos da 6ª

série obtiveram um melhor desempenho com o uso das estratégias nessa categoria de

problemas que os alunos da 8ª série.

Na 2ª série foi significativo o uso da estratégia regra de três, simultaneamente no

momento que esses alunos estavam utilizando esse algoritmo na aula de Química. Nota-se que

isso geralmente ocorre, quando os alunos estão utilizando naquela ocasião determinado

conteúdo e, posteriormente, eles esquecem buscando outras estratégias de solução. Como

vimos no Quadro 2, na 8 ª série, onde essa estratégia não foi evidente na solução dos

problemas. Segundo Kamii (1995) alguns alunos resolvem os problemas usando a

algoritmização, sem perceber as relações de proporcionalidade envolvidas. Esses alunos que

foram submetidos à instrução formal do conteúdo de proporção, mesmo assim demonstraram

que não compreendem tal conteúdo.

O uso de outra estratégia, a diferença, demonstra que em certos tipos de problemas de

proporcionalidade os alunos manifestam que não compreendem o conceito de

proporcionalidade, não dão conta que a proporcionalidade é uma relação multiplicativa e sim

uma relação aditiva. Segundo Carraher (1986) o aluno não examina o significado do

problema e das operações que realiza, levando ao erro, revelando que as suas tentativas de al

resolver os problemas, podem ser compreendidas como tentativas de manipulação dos dados,

sem uma análise do significado do problema.

Foi possível observar no registro de solução dos problemas de proporção direta não

múltipla (última subcategoria de problemas diretos), principalmente no ensino fundamental,

que os alunos buscaram uma estratégia de solução para os problemas, mas utilizaram uma

definição contrária de como resolver problemas: somente realizar operações numéricas sobre

os dados como se operacionalizar problemas pudesse ser traduzido em descobrir a operação

adequada. Isso demonstra, como vimos no registro de alunos, fortes indícios de que eles não

compreendem o conceito de proporcionalidade.

76

5.3 – 2ª Categor ia: Problemas de proporção inversa

5.3.1. Subcategoria 1 – (problema de proporção inversa unitária)

Problema 7 : Proporção Inversa Unitár ia Unidade Diferente (IUUD): problema

em que uma das quantidades de classe do problema, contém a unidade e as grandezas são

inversamente proporcionais.

Se 1 operário constrói uma casa em 300 dias, quantos dias levarão 20 operários para

construir a mesma casa?


Nesse problema, uma estratégia em que provavelmente os alunos se apoiariam, era a

citada nos problemas de proporção direta unitária, a operação ar itmética (divisão).

Tanto na sexta série como na oitava série, esperávamos um desempenho razoável,

sendo que temos a unidade como ponto de partida, mas não poderíamos afirmar, como

hipótese, que os alunos estabeleceriam uma relação inversa entre as grandezas envolvidas, isto

é, se compreenderiam que 20 operários levarão menos tempo que um operário.

Com relação aos alunos da 2ª série do ensino médio, nessa subcategoria, esperávamos

um desempenho inferior em relação a subcategoria 1 ( problemas de proporção direta

unitária), uma vez que no momento da aplicação dos problemas eles estavam estudando em

Química proporção direta e não proporção inversa.

5.3.1.2 Estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção inversa unitária unidade diferente

A seguir, apresentaremos o resultado obtido por meio da Tabela 10, do percentual

relativo da utilização de cada estratégia por série na solução do problema de proporção inversa

unitária unidade diferente.

77

Tabela 10 - Percentual relativo à utilização de cada estratégia por sér ie na solução do problema de

proporção inversa unitár ia unidade diferente

TIPO DE PROBLEMA IUUD – Problema de proporção inversa unitária unidade diferente ESTRATÉGIAS UTILIZADAS

6ª N=26

8ª N=21

2ª N=35

TOT

Fator de proporção 3,85 52,40 31,43 28,05

Adição sucessiva 3,85 1,22

Operação aritmética 65,37 23,80 25,71 37,80

Valor unitário

Regra de três 3,85 4,76 34,29 17,07

Totalidade 7,69 4,76 3,67

PRE

VIS

TA

S

Diferença 9,52 2,44

Não

Pr

evis

tas

Não identificada

Não registrada 11,54 2,86 4,88

Branco 3,85 4,76 5,71 4,88

TOTAL 100 100 100 100

Estratégias previstas que foram utilizadas: a estratégia operação ar itmética foi

utilizada pela maioria dos alunos da 6ª série: dos 26 alunos, 17 (65,37%) a utilizaram. Na 8ª

série, dos 21 alunos, apenas cinco (23,80%) e da 2ª série do ensino médio dos 35 alunos, nove

(25,71%) utilizaram essa estratégia como solução no problema de proporção inversa unitária.

Um desses alunos é a BR, da 2ª série, que registrou da seguinte forma:

78

Na 8ª série, a maioria dos alunos utilizou a estratégia do fator de proporção: dos 21

alunos, onze (52,40%) e na 6ª série apenas um aluno (3,85|%). Na 2ª série do ensino médio, 11

alunos (31,43%) também util izaram essa estratégia.

A adição sucessiva foi usada por apenas um aluno da 6ª série (1,22%) do total de

alunos das três séries.

Nessa primeira subcategoria dos problemas de proporção inversa, não foi tão evidente

a util ização da estratégia da regra de três pelos alunos da 2ª série do ensino médio: dos 35

alunos, 12 (34,29%), usaram essa estratégia como solução. Na 8ª série, esse reduziu para

4,76%,ou seja, foi util izada por apenas um aluno dessa série.

Como vimos nas Tabelas 4, 6 e 8 nos problemas de proporção direta, a utilização da

regra de três foi utilizada pela maioria dos alunos da 2ª série. Nessa primeira subcategoria de

problemas de proporção inversa, isso não ocorre. A razão desse percentual menor é que no

momento da aplicação dos problemas, os alunos estavam usando essa estratégia na disciplina

de química em seus programas, e que lá, os problemas apresentados eram de proporção direta.

Esse fato nos leva a crer, que muitos alunos buscaram outras estratégias para a solução do

problema, tendo em vista que esse problema é de proporção inversa.

A estratégia da totalidade aparece como a segunda mais usada pelos alunos da 6ª

série: dos 26 alunos, dois (7,69%), a util izaram. Um aluno da 8ª série (4,76%), usou essa

estratégia como solução do problema de proporção inversa unitária. A seguir, veremos essa

estratégia registrada por esse aluno (NA, da 8ª série):

79

O registro do aluno NA mostra que em seu procedimento de resolução busca o valor

total e após aplica esse valor a pergunta do problema, ou seja: (multiplica 1 por 300 e esse

resultado divide por 20) obtendo a solução correta.

Das três séries, apenas 2 alunos da 8ª série utili zaram como solução a estratégia da

diferença o que representa 2,44% do total de alunos dessa série.

Estratégias não previstas que foram utilizadas: a estratégia do tipo não registrada

foi utilizada por três alunos da 6ª série (11,54%) e, um aluno da 2ª série (2,86%).

Um aluno em cada série do ensino fundamental e 2 alunos da 2ª série do ensino médio

não responderam o problema de proporção inversa unitária.

5.3.1.3 Eficácia das estratégias utilizadas por série no problema de proporção inversa unitária unidade diferente

Na Tabela 11 a seguir, registraremos o percentual de eficácia das estratégias util izadas

por série na solução do problema de proporção inversa unitária unidade diferente.

80

Tabela 11 - Eficácia das estratégias utilizadas na solução do problema de proporção inversa unitár ia unidade diferente

IUUD - Problema de proporção inversa unitária unidade diferente

6ª SÉRIE 8ª SÉRIE 2ª SÉRIE TOTAL

ACERTOS ACERTOS ACERTOS ACERTOS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS

N F %

N F %

N F %

N F %

Fator de proporção 1 1 100,0 11 10 90,91 11 10 90,91 23 21 91,30

Adição sucessiva 1 0 0,00 1 0 0,00

Operação aritmética 17 16 94,12 5 5 100,0 9 9 100,0 31 30 96,77

Valor unitário

Regra de três 1 0 50,00 1 1 100,0 12 9 75,00 14 10 71,43

Totalidade 3 0 0,00 1 1 50,00 4 1 25,00

PRE

VIS

TA

S

Diferença 2 0 0,00 2 0 0,00

Não

Pr

evis

tas Não identificada

Não registrada 3 0 0,00 1 1 100,00 4 1 25,00

Branco 1 0 0,00 1 0 0,00 2 0 0,00 4 0 0,00

Na solução desse problema, entre os alunos que util izaram a estratégia operação

ar itmética chegaram à solução correta: na 6ª série, dos 17 alunos, dezesseis (94,12%); dos

cinco alunos da 8ª série, todos (100%) e na 2ª série dos 9 alunos, todos.

A estratégia fator de proporção foi util izada com eficácia por um aluno da 6ª série.

Dos 11 alunos da 8ª e também da 2ª série, 10 foram eficientes na util ização dessa estratégia.

Um aluno da 6ªº série usou, ineficientemente, a estratégia da adição sucessiva.

A regra de três foi utilizada por 13 alunos (8ª e 2ª séries), sendo que 10 alunos

(76,92%) encontraram a solução correta nessa subcategoria de problema; já na 6ª série, o

único aluno que a utilizou, não obteve sucesso.

A aluna KS, da 6ª série, utilizando essa estratégia, não operacionalizou corretamente,

como mostra o seu registro a seguir:

81

Observamos que, ela registra que 1 operário leva 300 dias para construção da casa

( 1 : 300) depois, representa que 20 : (20 : x ) que é o termo desconhecido da equação. Em

seguida, por meio da operação multiplicação (300 . 20 ) não obtém sucesso na solução desse

problema. Ela não percebe que para chegar à solução correta, deveria dividir 330 por 20

(300 : 20), considerando que é uma problema de proporção inversa.

Dos quatro alunos (três da 6ª série e um da 8ª série) que util izaram a estratégia

totalidade, apenas o aluno da 8ª série chegou a solução correta (ver página 70) .

Nessa subcategoria de problema de proporção inversa, somente dois alunos da 8ª série

utilizaram a estratégia da diferença como solução.

Apenas registraram o resultado quatro alunos da três séries (três alunos da 6ª série e

um da 2ª série), sendo que apenas um (25%) obteve êxito na resposta.

Não fizeram nenhum registro, deixaram em branco quatro alunos (um da 6ª e 8ª série

e 2 dois da 2ª série), conforme Tabela 11.

5.3.2 Subcategoria 2– (problema de proporção inversa múltipla)

Problema 8 : Proporção Inversa Múltiplo Unidade Diferente (IMUD): onde em

uma das quantidades da classe, os valores numéricos são múltiplos e as grandezas são

inversamente proporcionais

Se 8 eletricistas instalam a rede elétrica de um edifício em 30 dias, quantos dias

levarão 24 eletricistas para instalar a mesma rede elétrica?

82


Uma estratégia que já foi registrada na literatura, nos problemas de proporção inversa,

e que devemos encontrar como solução nessa subcategoria, é a totalidade.

Nas duas séries do ensino fundamental, acreditávamos que não terriam um

desempenho razoável, por duas razões:

1) Problema de proporção inversa que envolve grandezas inversamente proporcionais,

são poucos familiares principalmente na 6ª série, que não tinham estudado esse

tópico ainda.

2) Não podiam reduzir à unidade, isto é, 4 eletricistas levarão 15 dias, 2 eletricistas

levarão 7 dias e meio, e 1 eletricista ? A resposta não levará a um número inteiro.

Na segunda série do ensino médio, esperávamos um resultado razoável, tendo em vista

a fase onde eles se encontravam, já mais avançada, podendo buscar outros caminhos que

acreditávamos, os levassem à resposta correta do problema.

Na seqüência, apresentaremos na Tabela 12, o percentual relativo da util ização de

cada estratégia por série na solução do problema de proporção inversa múltipla unidade

diferente.

83

Tabela 12 - Percentual relativo à util ização de cada estratégia por sér ie na solução do problema de proporção inversa múltipla unidade diferente

TIPO DE PROBLEMA

IMUD – Problema de proporção inversa múltipla unidade diferente ESTRATÉGIAS UTILIZADAS 6ª

N=26 8ª

N=21 2ª

N=35 TOT



Valor unitário 9,52 2,86 3,66

Regra de três 4,76 37,13 17,07

Totalidade 7,69 9,52 4,88

PRE

VIS

TA

S

Diferença 9,52 2,86 3,66

Não

Pr

evis

tas

Não identificada

Não registrada 19,23 14,29 2,86 10,97

Branco 3,85 9,52 2,86 4,88

TOTAL 100 100 100 100

Estratégias previstas que foram utilizadas: o fator de proporção aparece,

novamente, como a estratégia mais util izada nessa segunda subcategoria de problema de

proporção inversa: dos 26 alunos da 6ª série, 16 (61,54%); dos 21 alunos da 8ª série, nove

(42,87%) e dos 35 alunos da 2ª série do ensino médio, 18 (51,43%) registraram como solução

do problema de proporção inversa múltipla unidade diferente. É uma estratégia descrita por

Vergnaud (1991), de grande utilização na solução de problemas de proporção.

Das três séries, apenas dois alunos da 6ª série util izaram a estratégia adição sucessiva.

O valor unitár io é uma estratégia que surge nos registro de 3 alunos (dois da 8ª série e

um da 2ª série).

O uso da estratégia regra de três para solução do problema de proporção inversa

múltipla unidade diferente: nessa subcategoria de problema foi quase o mesmo percentual

utilizado na subcategoria anterior (tabela 10) no problema inverso unitário unidade diferente.

Nessa subcategoria, um aluno (4,76%), da 8ª série e 13 alunos (37,13%), da 2ª série

utilizaram essa estratégia. Na seqüência, demonstraremos como a aluna BB, da 2ª série do

84

ensino médio, chegou à solução correta com o uso da estratégia da regra de três:

Dois alunos da 6ª série e dois da 8ª série do ensino fundamental, util izaram a estratégia

da totalidade como solução do problema de proporção inversa múltipla unidade diferente.

Apresentaremos na seqüência, um desses registros, do aluno RL, da 8ª série:

Uma outra estratégia não previstas que encontramos foi a da diferença como solução

do problema com quase o mesmo percentual que na subcategoria anterior: dois alunos da 8ª

série (9,52%) e apenas um aluno da 2ª série (2,86%).

Estratégias não previstas que foram utilizadas: Um percentual mais elevado que na

subcategoria anterior, é o que verificamos com a utilização da estratégia não registrada: dos

26 alunos da 6ª série, cinco (19,23%); dos 21 alunos da 8ª série, três (14,29%) e dos 35 alunos

da 2ª série, um (4,86%), apenas registraram a resposta.

Das três séries, quatro alunos (um da 6ª série, dois da 8ª série e um na 2ª série) não

responderam nada nesse tipo de problema.

85

5.3.2.3 Eficácia das estratégias utilizadas por série no problema de proporção inversa múltipla unidade diferente.

A seguir, a Tabela 13, quanto à eficácia das estratégias utilizadas, por série, na solução

do problema de proporção inversa múltipla unidade diferente.

Tabela 13 - Eficácia das estratégias utilizadas por série na solução do problema de proporção inversa

múltipla unidade diferente

IMUD - Problema de proporção inversa múltipla unidade diferente



N F %

N F %

N F %

N F %


Adição sucessiva 2 0 0,00

Valor unitário 2 0 0,00 1 0 0,00 3 0 0,00

Regra de três 1 1 100,00 13 8 61,54 14 9 64,29

Totalidade 2 0 0,00 2 2 100,00 4 2 50,00

PRE

VIS

TA

S

Diferença 2 0 0,00 1 0 0,00 3 0 0,00

Não

Pr

evis

tas Não identificada

Não registrada 5 1 20,00 3 1 33,33 1 1 100,00 9 3 33,33

Branco 1 0 0,00 2 0 0,00 1 0 0,00 4 0 0,00

Nessa subcategoria não foi tão eficiente a util ização pelos alunos da estratégia do fator

de proporção em relação à subcategoria anterior: dos 16 alunos, sete (43,75%); dos nove

alunos, cinco (55,56%) e dos 18 alunos, 12 (66,67%) da 6ª, 8ª e 2ª séries, respectivamente,

obtiveram sucesso, chegando à resposta correta do problema de proporção inversa múltipla

unidade diferente. Comparando com a subcategoria anterior, o percentual dos alunos que

utilizaram eficientemente essa estratégia foi bem inferior nessa subcategoria.

Observaremos a seguir, como o aluno LE , da 6ª série, utilizou essa estratégia de forma

incorreta:

86

Observamos em seu registro, que esse aluno encontrou o fator de proporção (3),

corretamente, só que na 2ª operação não deveria ter multiplicado esse fator por 30, tendo em

vista que esse problema é de proporção inversa (grandeza inversamente proporcional).

A estratégia da adição sucessiva surgiu como solução nessa subcategoria de problema,

no registro de dois alunos da 6ª série, levando-os à solução incorreta.

Aparece, nessa subcategoria, a estratégia do valor unitár io utilizada por 2 alunos da 8ª

série e apenas 1 da 2ª série do ensino médio, sendo que nenhum deles chegou à resposta

correta.

A regra de três foi utilizada por 14 alunos (um da 8ªsérie e 13 alunos da 2ª série),

sendo que nove alunos (64,29%) encontraram a solução correta nesse tipo de problema.

Na 2ª série do ensino médio, observamos o registro da aluna DV, que util izou

incorretamente essa estratégia.

87

Dos dois alunos da 6ª série, nenhum chegou ao resultado esperado do problema

utilizando a estratégia da totalidade. Mas, na 8ª série, os dois alunos que a utilizaram,

responderam corretamente ao problema.

Nessa subcategoria de problema inverso, somente 3 alunos ( dois da 8ª série e um da 2ª

série) util izaram a estratégia da diferença como solução desse tipo de problema. Estratégia

esta sem eficiência para se chegar à resposta correta do problema.

Nove alunos registraram apenas o resultado (cinco da 6ª série, três da 8ª série e um da

2ª série), sendo que 3 (33,33%), responderam corretamente.

Quatros alunos não fizeram qualquer tipo de registro.

5.3.3 Subcategoria 3– (problema de proporção inversa não múltipla)

Problema 9 -Proporção Inversa Não Múltipla Unidade Diferente (IÑMUD):

onde em uma das classes, os valores numéricos não são múltiplos e as grandezas são

inversamente proporcionais

Na construção de uma casa 5 pedreiros levam 48 dias. Quantos dias levarão 12

pedreiros?


Tratando-se de um problema de proporção inversa não múltipla, novamente

acreditávamos que os alunos utilizassem a mesma estratégia esperada na subcategoria 2, a

totalidade.

Esse problema é o que poderá gerar um grau de dificuldade bem maior em relação aos

demais apresentados anteriormente, principalmente nas duas séries do ensino fundamental.

Além das duas razões apresentadas na subcategoria 2, também temos que 12 não é múltiplo de

5, impedindo que os alunos descubram o fator de proporção.

88

5.3.3.2 Estratégias utilizadas pelos alunos no problema de proporção inversa múltipla unidade diferente

A Tabela 14, a seguir, refere-se à última subcategoria dos problemas de proporção

inversa, que representa o percentual relativo da util ização de cada estratégia, por série, na

solução do problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente.

Tabela 14 - Percentual relativo à utilização de cada estratégia por sér ie na solução do problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente

TIPO DE PROBLEMA

INMUD – Problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente ESTRATÉGIAS UTILIZADAS 6ª

N=26 8ª

N=21 2ª

N=35 TOT



Valor unitário 11,54 2,86 4,88

Regra de três 9,52 37,14 18,29

Totalidade 7,69 9,52 2,86 6,10

PRE

VIS

TA

S

Diferença 9,52 2,86 3,66

Aditi va-inversa 7,69 2,44

Não

Pre

vist

as

Não identificada

Não registrada 26,92 4,76 2,86 10,97

Branco 7,69 4,76 5,71 6,10

TOTAL 100 100 100 100

Estratégias previstas que foram util izadas: nessa última subcategoria dos problemas

de proporção inversa, a estratégia fator de proporção foi utilizada por nove alunos (34,62%)

da 6ª série. Esse percentual foi quase metade em relação ao problema de proporção inversa

múltipla da subcategoria anterior. Na 8ª série, houve um percentual maior nessa subcategoria

em relação a anterior: 13 alunos (61,92%). Dos 35 alunos da 2ª série, 16 (45,71%) util izaram

essa estratégia para chegar a solução do problema. Nessa série, apenas dois alunos a menos a

utilizaram em relação ao problema de proporção inversa múltipla.

A aluna Da, da 8ª série, chegou a solução do problema, da seguinte forma:

89

Das três séries, um aluno da 6ª série utilizou a estratégia adição sucessiva.

O valor unitár io é uma estratégia que surge nos registro de quatro alunos, três da 6ª

série (11,54%) e um da 2ª série (2,86%).

Dois alunos da 8ª série (9,52%) e 13 alunos da 2ª série (37,14%), registraram o uso da

estratégia regra de três para a solução do problema de proporção inversa não múltipla

unidade diferente. O percentual total foi quase o mesmo comparando com o problema de

proporção inversa múltipla.

Os mesmo percentuais de alunos da 6ª e 8ª séries do ensino fundamental utilizaram a

estratégia da totalidade como solução do problema de proporção inversa não múltipla

unidade diferente, em relação ao problema de proporção inversa múltipla.

Encontramos a diferença como estratégia de solução de problemas envolvendo o

conceito de proporcionalidade, também com o mesmo percentual de solução quanto à

utilização do problema nessa subcategoria em relação à subcategoria 2.

Estratégias não previstas que foram utilizadas: Verificando o procedimento utilizado por

dois alunos da 6ª série, identificamos uma outra estratégia não prevista na literatura como

solução do problema de proporção inversa não múltiplo unidade diferente, a qual chamamos

de aditiva-inversa: o aluno parte de uma grandeza dada no problema, observando quantas

vezes esse valor “se repete” (função aditiva) na outra grandeza pedida, mas de forma inversa,

e verifica nas classes (pedreirosXdias), calculando quanto falta para completar o valor

perguntado, por meio de uma relação aditiva e não uma relação multiplicativa.

A seguir, o registro dos alunos JC e LF, respectivamente da 6ª série, que chegaram ao

resultado correto nessa subcategoria de problema da seguinte forma:

90

Eles partiram do princípio que consideram o seguinte: se 5 pedreiros levam 48 dias,

então 10 pedreiros (5 pedreiros + 5 pedreiros) levam 24 dias dando um certo sentido

inverso.Só que a pergunta que se quer no problema não é encontrar quantos dias levarão 10

pedreiros e sim 12 pedreiros. Observe que eles anotaram que faltam 2 pedreiros, e que, para

chegar ao resultado dessa pergunta, registraram que a cada pedreiro a mais levaria 2 dias a

menos(função inversa) para construir a casa por meio da divisão mental 24 : 12 (24 dias por

12 pedreiros) e pela relação : se 1 pedreiro leva 2 dias a menos, então 2 pedreiros levam 4 dias

a menos, chegando ao resultado que 12 pedreiros levarão 20 dias. Nesses dois tipos de

91

raciocínio utilizado por esses alunos, coincidentemente chegaram ao resultado correto nessa

relação numérica. Mas como observamos no registro do primeiro aluno 1 operário a mais

levaria 2 dias a menos, não obtemos a proporcionalidade como uma relação multiplicativa e

sim aditiva. Observamos também que eles estabeleceram uma relação inversa entre as

grandezas, ou seja, quanto mais pedreiros tiverem menos dias levarão para a construção da

casa, buscando uma autonomia para chegar a solução correta.

Na estratégia do tipo não registrada, 7 alunos da 6ª série (26,92%) e um aluno em

cada série ( 8ª e 2ª série) anotaram somente o resultado.

Cinco alunos da três séries (dois da 6ª série, um da 8ª série e dois da 2ª série) não

registram nada nesse tipo de problema.

A seguir, a Tabela 15 mostra a eficácia das estratégias util izadas, por série, na solução

do problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente.

5.3.3.3 Eficácia das estratégias utilizadas por série no problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente.

Tabela 15 - Eficiência das estratégias util izadas por série na solução do problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente

INMUD - Problema de proporção inversa não múltiplo unidade diferente



N F %

N F %

N F %

N F %


Adição sucessiva 1 0 0,00 1 0 0,00

Valor unitário 3 0 0,00 1 0 0,00 4 0 0,00

Regra de três 2 1 50,00 13 8 61,54 15 9 60,00

Totalidade 2 0 0,00 2 2 100,00 1 1 100,00 5 3 60,00

PRE

VIS

TA

S

Diferença 2 0 0,00 1 0 0,00 3 0 0,00

Aditi va-inversa 2 2 100,00 2 2 100,00

Não

Pre

vist

as

Não identificada

Não registrada 7 0 0,00 1 0 0,00 1 0 0,00 9 0 0,00

Branco 2 0 0,00 1 0 0,00 2 0 0,00 5 0 0,00

92

A ineficiência dos alunos na util ização dessa subcategoria da estratégia do fator de

proporção foi bem evidente: dos nove alunos da 6ª série, apenas um aluno e dos 13 alunos da

8ª série, apenas três alunos obtiveram êxito na solução do problema chegando à resposta

correta. De todas as subcategorias de problemas de proporção direta e inversa apresentadas,

essa foi a que obteve o menor percentual de acertos, nessas séries.

A seguir, evidenciaremos o registro do aluno RR, da 8ª série, que utilizou

ineficientemente essa estratégia:

O procedimento util izado por esse aluno, foi o mesmo citado anteriormente na outra

subcategoria. Ele dividiu 48 dias por 12 pedreiros, obtendo o resultado quatro (4), como se 48

dias fosse o tempo levado por um pedreiro. Como já relatamos, para encontrar o fator de

proporção deveria operacionalizar com as mesmas classes.

Na 2ª série, a maioria dos alunos que utilizaram essa estratégia, chegou à resposta

correta: dos 16 que a utilizaram, 10 alunos obtiveram sucesso.

Apareceu, nessa subcategoria, a estratégia do valor unitár io utilizada por três alunos

da 6ª série e apenas um da 2ª série, sendo que nenhum deles obteve êxito quanto ao resultado.

A regra de três foi utili zada por 15 alunos (dois da 8ªsérie e 13 alunos da 2ª série),

sendo que nove alunos (60%) dessas séries, encontraram a solução correta nesse tipo de

problema.

Observamos na Tabela 15, que dos 13 alunos da 2ª série cinco foram ineficientes

quanto ao uso dessa estratégia. A seguir, demonstraremos como o aluno FH, dessa série, não

encontrou a solução correta do problema:

93

Para utilizar essa estratégia nos problema de proporção inversa, esse aluno deveria

inverter uma das grandezas para depois operacionalizá-la. Como observamos em seu registro,

ele não o fez, resolvendo o problema da mesma forma que usou nos problemas de proporção

direta.

Cinco alunos nas três séries usaram a totalidade como estratégia de solução no

problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente, sendo que três deles (dois da 8ª

série e um da 2ª série) encontraram a resposta correta.

Nessa subcategoria de problema de proporção inversa, somente três alunos (dois da 8ª

série e um da 2ª série) utilizaram a estratégia da diferença como solução desse tipo de

problema, estratégia essa sem eficiência para se chegar à resposta correta do problema.

Sobre a estratégia aditiva-inversa comentada anteriormente, os dois alunos da 6ª série

que a util izaram chegaram à resposta correta coincidentemente, o que não podemos afirmar

que essa estratégia seria eficiente em outros tipos de problemas em que os valores numéricos

fossem outros.

Nove alunos registraram, apenas, o resultado (cinco da 6ª série, três da 8ª série e um

da 2ª série), sendo que 3 (33,33%), responderam corretamente.

Quatro alunos não fizeram nenhum tipo de registro.

5.4 Discussão das Estratégias Utili zadas Pelos Alunos nos Problemas de Proporção Inversa

Na seqüência, o Quadro 3 sintetiza as estratégias mais util izadas em cada problema,

por série, nessa categoria.

94

Quadro 3 - Síntese das estratégias mais freqüentes, por série, em cada tipo de problema de proporção inversa

Legenda:

Nessa categoria de problemas, o Quadro 3 mostra que nas três séries as estratégias

mais utilizadas são apenas três: operação aritmética, fator de proporção e regra de três.

Interessante observar que nas três subcategorias de problemas inversos (unitário, múltiplo e

não múltiplo), houve uma diversificação dessas estratégias, o que não ocorreu com

intensidade nos alunos do ensino fundamental.

Na subcategoria 1 (problema de proporção inversa unitária unidade diferente)

esperava-se o uso da estratégia operação aritmética (divisão), mas conforme Tabela 10, foi

mais evidente o uso dessa estratégia somente na 6 ª série. Os alunos da 8 ªsérie e 2 ª série do

ensino médio, também utilizaram essa estratégia, mas na 8ª série o percentual maior de alunos

usaram a estratégia do fator de proporção e, na 2 ª série, a regra de três e o fator de proporção

foram a mais predominantes.

Em relação a subcategoria 2 (problema de proporção inversa múltipla unidade

diferente), a estratégia prevista da totalidade que esperávamos que os alunos utilizassem na

OA – Operação ar itmética estratégia eficaz (mais de 70% de acer tos) FP – Fator de proporção estratégia parcialmente eficaz (de 50% a 70 %)

RT – Regra de Três

estratégia ineficaz (infer ior a 50%)

95

solução desse problema, não se confirmou. Como demonstrado na Tabela 14, um percentual

reduzido de alunos das duas séries do ensino fundamental utilizou essa estratégia. Foi evidente

o uso da estratégia do fator de proporção pelos alunos das três séries, como solução do

problema nessa subcategoria.

Na subcategoria 3 (problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente), a

estratégia da totalidade, que esperávamos que os alunos util izassem na solução do problema,

novamente não se confirmou a sua evidência (tabela 14). Os alunos das três séries utilizaram

mais a estratégia do fator de proporção como solução do problema. Na 2ª série do ensino

médio, verificou-se uma certa predominância do uso da estratégia regra de três.

Quanto à eficácia do desempenho na util ização das estratégias previstas, demonstrado

nas Tabelas, 11, 13 e 15, na subcategoria 1 (tabela 11), houve um percentual maior de alunos

que obtiveram sucesso no uso das estratégias fator de proporção e operação aritmética

(divisão). É interessante observar que em relação à estratégia esperada nessa subcategoria

como estratégia de solução, dos poucos alunos que a utilizaram, nenhum deles chegou à

solução correta do problema.

Na segunda subcategoria, a Tabela 13 mostra que a estratégia fator de proporção, a

mais utilizada pelos alunos das três séries, não levou a um percentual significativo de sucesso.

Um percentual inferior quanto ao nível de desempenho dos alunos do ensino

fundamental, verificou-se no problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente

(subcategoria 3), pelos alunos das duas séries do ensino fundamental que utilizaram a

estratégia do fator de proporção.

Nessa categoria de problemas, observamos que os alunos encontraram uma certa

dificuldade em chegar à solução correta dos problemas. Na subcategoria 1, o índice de acertos

foi significativo, pois a resolução do problema é mais fácil que nas outras subcategorias de

problemas inversos, já que um dos valores numéricos do problema era a unidade (um) e por

meio da estratégia operação aritmética eles chegam ao resultado tranqüilamente. Mas, nas

outras subcategorias (proporção direta múltipla e direta não múltipla), os alunos que

utilizaram as estratégias previstas, vários deles não conseguiam estabelecer uma relação de

proporcionalidade entre as classes estabelecidas nos problemas. No problema de proporção

inversa não múltipla (tabela 15), esse fato foi ainda mais evidente, tendo em vista o grau de

dificuldade, comentado na expectativa de solução do presente estudo. Observamos, inclusive,

que alunos do ensino médio demonstraram por meio de estratégias previstas, que foram

utilizadas, não compreendendo que no problema em questão está implícita a

proporcionalidade inversa que é um dos conteúdos trabalhados no ensino fundamental. Por

96

exemplo, a estratégia da regra de três: os alunos que a util izaram 5 (cinco) da 2ª série não

chegaram à solução correta. O aluno FH, que util izou essa estratégia nessa série (página 84),

não conseguiu identificar que o problema era de proporcionalidade inversa. Ele aplicou o

algoritmo da regra de três, não estabelecendo uma inversão (grandeza inversamente

proporcional) nos valores numéricos em uma das classes. Na maioria de nossas escolas, é a

estratégia mais util izada e que é encontrada nos livros didáticos.

Segundo Schliemann e Carrraher (1983) o algoritmo das proporções (regra de três) é

uma solução muito genérica; implica em uma regra para apresentar os números no papel e

para calcular, ambas distanciadas do significado. O Quadro 3 demonstra que a estratégia da

regra de três foi eficaz, apenas, no primeiro problema dessa categoria(inverso unitário); já nos

outros problemas, não houve essa eficácia util izando essa estratégia.

Finalizando essa categoria de problemas, o Quadro 3 demonstra que o desempenho das

estratégias não foi expressivo na 8ª série e na 2ª série, demonstrando que também nessa

categoria de problemas, alunos que tinham passado por esse conteúdo, tiveram dificuldade

para chegar à solução dos problemas, não conseguindo estabelecer uma relação de

proporcionalidade entre as classes do problema, ou seja, não observaram que entre essas

classes há uma relação multiplicativa.

97

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A problemática do estudo foi o de identificar que aspectos serão indícios na

compreensão do conceito de proporcionalidade, nas estratégias utilizadas por adolescentes que

freqüentam o ensino regular na solução de problemas que envolvem esse

conceito.Investigamos alunos de 6ª e 8ª series do ensino fundamental e da 2ª série do ensino

médio, com intuito de observar inicialmente quais as estratégias que esses alunos utilizam na

resolução de diferentes problemas que envolvem conceitos de proporcionalidade e

posteriormente verificar se nessas estratégias de solução util izadas que procedimentos revelam

que eles estabelecem relações entre as classes e as quantidades expressas no enunciado.Da

análise dos dados obtidos dos alunos da 6ª série, podemos perceber que alunos que não

passaram, ainda, pela instrução formal da proporcionalidade e não conhecem o algoritmo da

regra de três, são capazes de usar os seus conhecimentos anteriores, para construir novas

ferramentas que possibilitem a resolução do problema.

Percebemos com a prática profissional, que os alunos resolvem problemas de

matemática, buscando vários caminhos (estratégias) para chegar à solução correta. Quando os

alunos se apropriam do significado dos problemas, eles os resolvem por meio de estratégias

construídas a partir dos conhecimentos anteriores.

Alunos de 8ª serie, que passaram pela instrução formal da proporcionalidade e que

conhecem o algoritmo da regra de três, são também capazes de usar os seus conhecimentos

anteriores. Observando os resultados das soluções corretas, principalmente nos problemas de

proporção direta, os alunos da 6ª série obtiveram resultados superiores em relação à 8ª série.

Esse fato nos pareceu surpreendente, e pode ter sido devido à forma como o conteúdo de

proporção das séries iniciais foi trabalhado em sala de aula, pois esses alunos usaram

estratégias bem interessantes para se chegar à resposta Outro fator que deve ser relevante, é

que os alunos da 8ª série praticamente abandonaram o algoritmo da regra de três como

estratégia para a sua resolução. Buscaram diferentes estratégias, para chegar à solução do

problema.

Dessa forma é interessante salientarmos a importância de a escola considerar esse

conhecimento, não se preocupando, apenas, com o ensino de algoritmos.

Observando as estratégias utilizadas pelos alunos da 2ª série do ensino médio para

resolverem os problemas de proporção direta, percebemos que a estratégia mais utilizada pela

grande maioria dos alunos foi a regra de três. Primeiro, por esse ser um algoritmo que, se o

98

aluno sabe aplicar é eficiente e rápido; segundo, porque os alunos dessa turma estavam

utilizando no momento da realização da aplicação da pesquisa na disciplina de Química. Nos

problemas de proporção inversa, vários alunos util izaram o algoritmo da regra de três, de

maneira incorreta e outros não utilizaram esse algoritmo (tabelas 11,13 e 15). Isso nos leva a

crer que esse algoritmo foi utilizado mecanicamente, sem percepção das relações de

proporcionalidade envolvidas nos problemas, fornecendo-nos indícios de que desconhecem o

conceito de proporção, como vimos, por exemplo, no registro dos alunos DV, da 2ª série (p.

86) e RR da 8ª série (p. 92).

Como já vem sendo citada pela literatura, Carraher (1986) e Freudenthal (1981) a

utilização mecânica de um algoritmo leva o aluno, muitas vezes, a perder a capacidade de se

apropriar do significado de um problema, levando-o a se preocupar, apenas, com os cálculos a

serem feitos, sem uma análise das respostas desses cálculos.

Quanto as nossas questões iniciais do presente estudo de: identificar e

descrever as estratégias que os alunos das 6 ª e 8 ª séries do ensino fundamental e da 2 ª série

do ensino médio estão utilizando para resolver diferentes problemas que envolvem o conceito

de proporcionalidade e de verificar nas estratégias de solução utilizadas pelos sujeitos, que

procedimentos revelam que eles estabelecem relações entre as classes e as quantidades

expressas no enunciado temos a dizer que nas duas categorias de problemas (proporção direta

e inversa) identificamos as várias estratégias encontrada na li teratura em que os alunos se

apoiaram para chegar à solução correta dos problemas. De acordo com o tipo de problema,

buscaram a estratégia que melhor lhes conviessem.

Na categoria dos problemas de proporção direta, os alunos do ensino fundamental

transitaram nas várias estratégias previstas para solucionar os problemas. No ensino médio, os

alunos sustentaram a solução dos problemas prioritariamente pela estratégia da regra de três.

A estratégia não prevista decomposição-cor respondência-operação: com ou sem

representação pictór ica utilizada por alguns alunos do ensino fundamental, mostraram outros

caminhos alternativos de solução para os problemas de proporcionalidade. Seria interessante

que essa descoberta de caminhos alternativos de resolução de problemas de

proporcionalidade, fosse incentivada e valorizada pelas nossas escolas.

Na outra categoria, nos problemas de proporção inversa, no ensino fundamental os

alunos também diversificaram o uso das estratégias. Nessa categoria, a estratégia da regra de

três, já não foi predominantemente utilizada na resolução dos problemas. Como vimos nas

Tabelas 10,12 e 14, esses alunos buscaram também nas outras estratégias, um caminho para

chegar à solução dos problemas.

99

Na categoria de problema de proporção inversa não múltipla, comentado na última

subcategoria de problemas, e que nas estratégias de soluções relatamos como o problema com

grau maior de dificuldade, surgiu a estratégia não prevista aditiva-inversa, como nova

maneira dos alunos chegarem à solução dos problemas de proporcionalidade, porém, já

comentado que a maneira de raciocinarem para chegarem ao resultado no problema de

proporção inversa não múltipla unidade diferente foi mera coincidência. Mas o caminho

utilizado com o uso dessa nova estratégia é significativo, onde os alunos buscaram autonomia

para chegarem ao resultado correto.

Os procedimentos que eles util izaram para solucionar os problemas por meio das

estratégias previstas e não previstas, mostraram que os alunos estabelecem relações de

primeira ordem, mas nas relações de segunda ordem (relações entre relações), eles muitas

vezes, não conseguem reconhecer a proporcionalidade como uma relação multiplicativa, como

vimos nos registros de vários alunos no presente estudo. Segundo Carraher (1986), é possível

que a educação matemática atual esteja desenvolvendo nos alunos uma definição da situação

de resolução de problemas que não os estimule a refletir sobre o significado dos problemas,

mas apenas em descobrir a operação correta. Nos registros dos alunos, percebemos nas

respostas, que alguns deles ignoram, às vezes, o significado do problema. Eles não

estabeleceram uma relação de proporcionalidade entre as classes e os valores numéricos

expressos no problema.

A utilização de diversas estratégias na escola poderia dar maior oportunidade para os

alunos atribuírem significado à resolução de problemas, mostrando-lhes que a matemática faz

parte do seu cotidiano. Isso significa que o aluno, quando chega à escola, traz consigo alguns

conceitos matemáticos. Compete aos professores identificar esses conceitos e dar continuidade

a esse processo construtivo, de forma dinâmica e com questões que tenham significado para a

vida do aluno, isto é, que ele possa util izar essas questões no seu dia-a-dia. Afinal, a

matemática está aí, como a vida.

100

7 REFERÊNCIAS

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8 ANEXOS

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ANEXO A - Lista dos Problemas

P1. Em uma feira trocou-se 1 kg de batata por 3 kg de laranjas. Com 5 kg de batatas quantos quilos de laranjas poderiam ser trocados? (DUMU) * (Isomorfismo de medidas)

P2. Para obter um litro de vinho são necessários 2 kg de uva. Quantos quilos da mesma uva são necessários para obter 63 li tros de vinho? (DUUD) * (Isomorfismo de medidas)

P3. Sabe-se que 8 kg de café cru resultam em 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café

crus devem ser levados ao forno para obtermos 24 kg de café torrado? (DMMU)*(Isomorfismo de medidas)

P4. Com 20 kg de uva obtém-se 9 litros de vinho. Quantos quilos da mesma uva seriam

necessários para obter 27 litros? (DMUD)* (Isomorfismo de medidas) P5. Com 8 kg de café cru resultam 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café crus devem

ser levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado? (DÑMMU) * (Isomorfismo de medidas)

P6. Uma torneira bem aberta despeja 30 litros de água em 2 minutos. Quantos minutos essa

torneira levaria para despejar 75 lit ros? (DÑMUD) * (Isomorfismo de medidas) P7. Se 1 operário constrói uma casa em 300 dias, quantos dias levarão 20 operários para

construir a mesma casa (IUUD) (Isomorfismo de medidas) P8. Se 8 eletricistas instalam a rede elétrica de um edifício em 30 dias, quantos dias levarão

24 eletricistas para instalar a mesma rede elétrica? (IMUD)*(Isomorfismo de medidas) P9. Na construção de uma casa 5 pedreiros levam 48 dias. Quantos dias levarão 12

pedreiros? (IÑMUD) * (Isomorfismo de medidas) ____________________________________ DUMU – Problema de proporção direta unitária mesma unidade DUUD – Problema de proporção direta unitária unidade diferente DMMU – Problema de proporção direta múltipla mesma unidade DMUD – Problema de proporção direta múltipla unidade diferente DÑMMU – Problema de proporção direta não múltipla mesma unidade DÑMUD – Problema de proporção direta não múltipla unidade diferente IUUD – Problema de proporção inversa unitária unidade diferente IMUD – Problema de proporção inversa múltipla unidade diferente IÑMUD – Problema de proporção inversa não múltipla unidade diferente

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