RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: DESVENDANDO SEUS … · maquetes de uma quadra de basquete, para o estudo...

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: DESVENDANDO SEUS MISTÉRIOS ATRAVÉS DA MODELAÇÃO MATEMÁTICA

Márcia Matsumoto Lima1

Amarildo de Vicente2

RESUMO: Neste estudo analisou-se a possibilidade da modelação matemática contribuir para a melhoria no ensino de matemática e, conseqüentemente, para a compreensão e resolução dos problemas. Para a realização desta análise, foi proposta a construção de maquetes de uma quadra de basquete, para o estudo de elementos geométricos relacionados à geometria plana, tais como: ponto, reta, plano, posições relativas de retas no plano, polígonos, medidas de comprimento e de superfície, teorema de Pitágoras, escala, entre outros. A proposta visou também trabalhar os aspectos históricos relacionados ao tema e à interdisciplinaridade destes conteúdos. O trabalho experimental foi desenvolvido nas 8ª séries A e B do Colégio Estadual IV Centenário - Ensino Fundamental, e avaliado através da aplicação de um questionário investigativo sobre o gosto pela disciplina, a compreensão dos problemas propostos aos alunos e o seu nível de apropriação do conhecimento. Este questionário foi aplicado antes do desenvolvimento do trabalho e repetido após sua conclusão, o que permitiu concluir que os resultados alcançados foram excelentes.

PALAVRAS-CHAVES: Modelação matemática. Resolução de problemas. Potencialização do ensino. ABSTRACT: In this study was analyzed the possibility of the mathematical modelling tocontribute for the improvement in the mathematics teaching and, consequently, for the understanding and resolution of the problems. For the accomplishment of this analysis, was proposed the construction of models of a basketball block, for the study of geometric elements related to the plane geometry, such as: point, straight line, plan, relative positions of straight line in the plan, polygons, measures of length of the surface, Pythagorean theorem, climbs, among others. The proposal also sought to work the historical aspects related to the theme and the interdisciplinarity of these contents. The experimental work was developed in the 8th grades A and B of the Public High School IV Centenário - Basic Education, and appraised through the application of a investigativequestionnaire on the taste for the discipline, the understanding of the problems proposed at the students and their level of appropriation of the knowledge. This questionnaire was applied before the development of the work and repeated after its conclusion, the one that allowed conclude that the reached results were excellent. KEYWORDS: Mathematical Modelling. Problems Resolution. Potentiality of education.

1 Pós-graduada em Ciências pela UEM e Administração, Supervisão e Orientação Educacional pela UNOPAR. Graduada em Ciências e Matemática pela FAFIU. Professora da Rede Estadual de Ensino do Estado do Paraná. 2 Prof. Dr. do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da UNIOESTE/Cascavel.

INTRODUÇÃO

A modelagem matemática é a arte de expressar situações-problemas do nosso dia-

a-dia através de uma linguagem matemática.

É notório o grande empecilho que, ao longo de toda a humanidade, se pôs frente à

Matemática, sempre vista como uma disciplina para poucos, um grande mistério, difícil de

entender e resolver.

Com a modernização da sociedade, os avanços tecnológicos do novo milênio

exigem dos educadores na disciplina de Matemática uma atenção especial para corrigir

este problema.

Dinamizar o processo de ensino-aprendizagem em Matemática na sala de aula

vem sendo um grande desafio. A articulação e a aplicação destes conteúdos matemáticos

junto às situações do cotidiano requerem uma estratégia no plano de ação. O trabalho

com modelação Matemática e resolução de problemas pode ser uma ferramenta útil para

que tais pretensões possam ser alcançadas.

Alguns questionamentos que podem ser feitos são: Para a formação de

estudantes, a fim de que eles alcancem uma aprendizagem mais significativa, seria

pertinente aplicar a resolução de problemas através da Modelação Matemática? Poderá

realmente ela potencializar o processo ensino-aprendizagem e despertar no aluno um

maior interesse pela Matemática?

Tentando responder a estas perguntas trabalhou-se com alunos do Ensino

Fundamental na disciplina de Matemática durante o desenvolvimento do programa PDE,

de março de 2008 a Junho de 2008, com Modelação Matemática que, embasado em

Biembengut (2006, p. 29) é definida como ”favorecimento à pesquisa e posterior criação

de modelos pelos alunos, e sem desrespeitar as regras educacionais vigentes”.

Acrescenta ainda que “a condição necessária para aplicação da modelagem no ensino-

modelação é ter audácia, grande desejo de modificar sua prática e disposição de

conhecer e aprender, uma vez que essa proposta abre caminho para descobertas

significativas”. Biembengut (2005, p. 29).

O objeto de estudo foi: trabalhar com Modelação Matemática na resolução de

problemas, além de tentar promover o espírito de cooperação entre os alunos, aguçar a

intuição, a transformação de métodos empíricos em métodos científicos, criar modelos e

potencializar o ensino de matemática tornando a aprendizagem tão agradável quanto

significativa.

Os conteúdos foram trabalhados de acordo com a modelação aplicada em cada

momento, No entanto, a problemática foi sempre de situações do cotidiano para a

construção de modelos. Nesta fase investigatória foram trabalhados os conceitos de área

de figuras planas, perímetro, formas geométricas de figuras planas, escalas e proporções.

Este trabalho foi realizado com a construção de maquetes de quadras esportivas,

utilizando os conceitos citados para a construção de cada etapa. A avaliação foi feita

antes e após a aplicação da Modelação Matemática, para analisar se houve mudanças

com a execução do Plano frente à disciplina de Matemática, e quais foram os resultados

obtidos, como uma forma de corrigir e potencializar o ensino de Matemática. Durante o 3º

período do PDE, foi implementado o Plano de Trabalho no estabelecimento de ensino

Colégio Estadual IV Centenário - EFM na 8ª série, onde foram observados os resultados

obtidos para um repensar no ensino da matemática.

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS

O ensino da Matemática nos remete a grandes preocupações, entre elas a falta de

entusiasmo por parte dos alunos, o interesse pelas aulas de matemática, a dificuldade de

compreender e utilizar os conceitos dados. Uma vez que a matemática é apresentada

quase sempre desvinculada da realidade e muito abstrata, torna-se difícil despertar o

interesse, o gosto e o prazer do aluno em aprendê-la.

Hoje, busca-se a necessidade de mudança, de proporcionar aos alunos uma nova

forma de desenvolver seu potencial através da intuição, criatividade e aplicabilidade de

seus conhecimentos. E neste sentido, a Modelação Matemática vem de encontro com a

necessidade de corrigir o problema e possibilitar aos alunos a realização de análise,

discussões, apropriação de conceitos e formulação de idéias.

De acordo com Ávila (1995, p. 4) “... a razão mais importante para justificar o

ensino de Matemática é o relevante papel que essa disciplina desempenha na construção

de todo o edifício do conhecimento humano”, e é pensando na construção desse saber

que se necessita todo o empenho dos educadores para potencializar o conhecimento de

nossos alunos.

Segundo as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, Paraná (2006, p. 43), em

seus Encaminhamentos Metodológicos, a Modelagem Matemática “propõe a valorização

do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos

sobre a situação da vida” podendo assim oportunizar com este Plano de Trabalho

desenvolver cidadãos mais conscientes e criativos. Segundo Biembengut:

A Modelagem Matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo, que aprende a arte de modelar matematicamente. Isso porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problemas por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico. (BIEMBENGUT, 2005, p. 18)

Para compreender o motivo da intervenção desta proposta no ensino fundamental

de resolução de problemas. serão descritos a seguir os conceitos de Modelação

Matemática, Modelo Matemático e Modelagem Matemática, segundo Biembengut e Hein

(2005, p. 18)

Modelação Matemática consiste em desenvolver o conteúdo programático a partir

de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu próprio

modelo-modelagem.

Os objetivos são:

• Aproximar uma outra área do conhecimento da matemática;

• Enfatizar a importância da matemática para a formação do aluno;

• Despertar o interesse pela matemática ante a aplicabilidade;

• Melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;

• Desenvolver a habilidade para resolver problemas;

• Estimular a criatividade.

Modelo Matemático é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que

procura traduzir de alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação

real.

E a Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.

Este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto que para se

elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o modelador precisa ter uma

dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que

conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as

variáveis envolvidas. Dessa forma, acredita ser a matemática aplicada o caminho para a

correção do problema.

Rodney Carlos Bassanezi, um dos responsáveis pela difusão da modelagem

matemática no Brasil diz que ela é “um novo modelo de educação menos alienado e mais

comprometido com as realidades dos indivíduos e sociedades...”além de “estabelecer

relações entre os campos da matemática e os outros, evitando reproduzir modos de

pensar estanques fracionados que, a nosso ver está o futuro da formação de novos

quadros de professores e pesquisadores prontos a enfrentar o desafio de pensar a

unidade na multiplicidade” Bassanezi (2004, p. 15).

Portanto, resolver problemas utilizando a modelação matemática é o propósito para

dinamizar e dar um novo significado ao ensino de matemática.

ELABORAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO

O Material Didático escolhido para este Plano de Trabalho foi a produção de um

OAC (Objeto de Aprendizagem Colaborativo). Este material objetiva reduzir as

dificuldades dos alunos em aprender o teorema de Pitágoras da forma convencional,

através de fórmulas, e relacioná-las às suas aplicações. Objetiva ainda dinamizar a

elaboração de aulas por parte dos professores, que poderão dispor do uso das

ferramentas que o OAC proporciona como sítios, livros, revistas, atividades entre tantos

outros. Foi proposto como problematização verificar se é possível aprender o Teorema de

Pitágoras com um quebra-cabeça.

Este tema é sem dúvidas de grande importância e ao observar ao nosso redor

pode-se perceber que quase tudo possui um ângulo, e principalmente que o mundo está

cheio de ângulos retos, como por exemplo, nas portas das casas e comércios, nas mesas

e escrivaninhas, nas vidraças, nas paredes de quase todas as construções, nas molduras

dos quadros, nos livros, nas caixas, nos móveis, nas roupas e tantas outras coisas.

A matemática sempre está presente em quase tudo em nossa vida. Ela pode

nascer da necessidade do indivíduo e, portanto, poderia ser utilizada em atividades mais

dinâmicas. Uma vez que o conhecimento humano em todas as áreas passa por contínuas

mudanças e a educação anda a passos lentos, trabalhando somente com o quadro e giz,

a demonstração do teorema de Pitágoras pode se tornar muito teórica, cansativa, não se

mostrando tão atrativa quanto às experiências vivenciadas fora da escola. Seria então

possível realizar a aprendizagem do Teorema de Pitágoras de forma mais interativa,

atrativa e lúdica?

Segundo as DCE, Paraná (2006, p. 37) “Entende-se que a valorização de

definições, as abordagens de enunciados e as demonstrações de fórmulas são inerentes

à geometria. Por isso, tais práticas devem propiciar a compreensão do objeto para além

de meras demonstrações geométricas e seus aspectos formais”.

De acordo com Imenes (1997, p. 45) “O Teorema de Pitágoras vem sendo um

instrumento extremamente útil na resolução de diversas situações que a vida nos coloca".

E apesar de seus milênios continua atual e de certa forma essencial em muitas atividades

do nosso cotidiano.

Como a modelação deste artigo trabalhou com a construção de uma planta baixa da quadra esportiva de basquete, utilizou-se das diversas ferramentas deste OAC como: vídeo, leituras e jogos interativos nos sites da internet para ajudar a compreensão do teorema de Pitágoras. Adotou-se nesta prática a concepção de Lorenzato que entende:

A proposta de ensinar aritmética, geometria e álgebra integradamente pode ser útil também para atender o currículo em espiral, que recomenda voltar ao mesmo assunto várias vezes, embora com diferentes enfoques. Para muitos alunos, essa integração pode ser um apoio para a aprendizagem, pois facilita a percepção do significado de conceitos e símbolos. (LORENZATO, 2006, p. 70).

IMPLEMENTAÇÃO DA PROPOSTA DE INTERVENÇÃO NA ESCOLA

Para desenvolver este plano de implementação escolheu-se a 8ª série A do turno

matutino e 8ª série B do turno vespertino do Ensino Fundamental, turmas da mesma

série, porém bastante heterogêneas no âmbito comportamental, pois uma turma era

comportada e menos numerosa e a outra numerosa e totalmente indisciplinada.

Acreditava-se que com a turma comportada o trabalho fluísse mais facilmente, porém

houve muitas surpresas no decorrer da intervenção. A opção por trabalhar com turmas

tão distintas foi o desafio inicial da proposta de mudança e melhora no ensino destas

salas.

Para trabalhar com modelagem escolheu-se construir a maquete de uma quadra de

basquete, pesquisando o seu contexto histórico, teórico-prático, suas formas geométricas,

cálculo de perímetro e área, transformação de medidas e consequentemente como

resolver a problemática da construção da maquete.

Antes de iniciar o trabalho fez-se necessário conhecer melhor os alunos, seu interesse

pela disciplina, suas preferências, dificuldades, opiniões, seus conhecimentos

geométricos, aritméticos e algébricos e para que fosse possível obter estas informações

aplicou-se um questionário investigativo. Neste questionário investigativo procurou-se

descobrir o nível de acertos e erros em cada questão, o nível de interesse dos alunos

pelos estudos, a disciplina de sua preferência , como preferem ser avaliados, suas

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

1

O que poderia melhorar nas aulas de Matemática?

Silêncio

Trabalhos

Mais tarefas

Nada

Aluno explciar

Aulas diferentes

Não opinou0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

1


Silêncio

Trabalhos

Mais tarefa

Nada

Aluno explicar

Não opinou

Aulas diferentes

84,00%

16,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Sim Não

Se você pudesse optar pelas disciplinas estudadas na sua escola, escolheria entre elas a

Matemática?

92,20%

7,68%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

O que são retas paralelas?

principais dificuldades frente à disciplina de matemática, o nível de conhecimento

matemático antes e após a aplicação da modelação. A seguir são apresentados alguns

dos itens do questionário aplicado, bem como os resultados obtidos antes e após a

realização do trabalho.

QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO - Série: 8ª A

1) Pense e responda:

a) Em sua opinião, o que poderia melhorar nas aulas de Matemática de sua turma para torná-las mais interessantes?

Antes da Implementação PDE: Após a Implementação PDE:

b) Se você pudesse optar pelas disciplinas estudadas na sua escola, escolheria entre

elas a Matemática? Justifique. Antes da Implementação PDE: Após a Implementação PDE:

71,42%

28,58%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Sim Não


Matemática?

2) O que são retas paralelas?


3) Esta figura é um retângulo? Justifique.

0,00%

92,85%

7,15%

0,00%20,00%40,00%60,00%80,00%

100,00%

Acerto Erro Nãoopinou


84,50%

15,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

Esta figura é um retângulo?

96,00%

4,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

Qual é a diferença entre círculo e circunferência?

92,30%

7,70%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

O que se entende por quadrilátero?

80,70%

19,30%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

O losango é um quadrilátero?

64,29%

35,71%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Acertou Errou


estudar é

estudar é


10,71%

89,29%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Sim Não


estudar é

estudar é

4) Qual é a diferença entre círculo e circunferência? Antes da Implementação PDE: Após a Implementação PDE:

0,00%

100,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acertou Errou

Qual é a diferença entre círculo e circunferência?

estudar é

estudar é

5) O que se entende por quadrilátero? Dê exemplos. Antes da Implementação PDE: Após a Implementação PDE:

6) O losango é um quadrilátero? Explique. Antes da Implementação PDE: Após a Implementação PDE:

QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO - Série: 8ª B

1) Pense e responda:

a) Em sua opinião, o que poderia melhorar nas aulas de Matemática de sua turma para torná-las mais interessantes?

32,15%

67,85%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Acertou Errou


estudar é

estudar é

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

1


Nada

Geometria

Tarefas fáceis

Trabalhos

Atividades lúdicas

Mais exercícios

Silêncio

Uso da Calculadora

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

1


Nada

Geometria

Tarefas fáceis

Trabalhos

AtividadeslúdicasMais exercícios

Silêncio

Uso dacalculadora

80,00%

15,00% 5,00%

0,00%

50,00%

100,00%

Sim Não Talvez

Se você pudesse optar pelas disciplinas estudadas na escola, escolheria entre elas a

Matemática?72,00%

6,00%

22,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Sim Não Talvez


Matemática?

5,00%

95,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro


94,00%

6,00%

0,00%

20,00%

40,00%60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro


0,00%

100,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Sim Não


67,00%

33,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Acerto Erro



b) Se você pudesse optar pelas disciplinas estudadas na sua escola, escolheria entre

elas a Matemática? Justifique.


2) O que são retas paralelas?


3) 3) Esta figura é um retângulo? Justifique.


0,00%

100,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

Qual a diferença entre círculo e circunferência?100,00%

0,00%0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro

Qual a diferença entre círculo e circunferência?

40,00%60,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

Acerto Erro

O que se entende por quadrilátero?100,00%

0,00%0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Acerto Erro


45,00% 55,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

Acerto Erro

O losango é um quadrilátero?77,00%

22,00%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Acerto Erro


4) Qual é a diferença entre círculo e circunferência?


5) O que se entende por quadrilátero? Dê exemplos.


6) O losango é um quadrilátero? Explique.


Segundo Lorenzato:

... para aproveitar a vivência do aluno, é preciso conhecê-lo. Isto significa saber se ele está em condições de aprender, isto é, conhecer seu estágio de desenvolvimento físico, cognitivo, psicológico e social, o que nos remete ao Principio 5 – auscultar o aluno. (LORENZATO, 2006, p. 24)

Na primeira aplicação do questionário para a 8ª A, de acordo com as respostas

obtidas pode-se concluir que os alunos, em sua maioria, procuram a escola para

conseguir futuramente um emprego, consideram sua turma indisciplinada, gostariam de

ser avaliados por trabalhos, estudam matemática porque acham importante, sentem

dificuldades nas regras e nas quatro operações e a indisciplina dos alunos atrapalha a

aprendizagem. Quanto a sua opinião de como melhorar as aulas, citam a necessidade de

silêncio e de aulas diferentes das convencionais. Questionados sobre quais conteúdos

consideram mais importantes, a grande maioria respondeu que todos são importantes e

as demais alternaram em frações, raiz quadrada e as quatro operações. Também foram

pedidas algumas questões abertas sobre a diferença entre centímetro e centímetro

quadrado, círculo e circunferência, retas paralelas, quadriláteros, entre outros. Percebeu-

se então que o nível de acertos nestas questões foi em média de 20%.

A aplicação do primeiro questionário na 8ª B mostrou que os alunos, em sua

maioria, também buscam a escola para obter um emprego, consideram a sala organizada,

preferem ser avaliados por trabalhos e provas, acham a matemática importante para o

seu dia-a-dia sentem dificuldades em fazer operações e trabalhar com álgebra. Para

melhorar as aulas de matemática preferem atividades lúdicas e trabalhos. Os conteúdos

considerados mais importantes são: as quatro operações, potenciação e radiciação.

Nesta turma também se fez as mesmas questões abertas de conhecimento matemático

citados acima e percebeu-se que o nível de acertos foi em média de 19%. Notou-se que

em ambas as turmas o nível de conhecimento geométrico era muito baixo, necessitando

de uma significativa melhora antes da aplicação da proposta.

Para Lorenzato:

O sucesso ou o fracasso dos alunos diante da matemática depende da relação estabelecida desde os primeiros dias escolares entre a matemática e os alunos. Por isso, o papel que o professor desempenha é fundamental na aprendizagem dessa disciplina, e a metodologia de ensino por ele empregada é determinante para o comportamento dos alunos. (LORENZATO, 2006, p.01)

Em busca de conhecer melhor as turmas, as suas angústias sobre a matemática e

as suas frustrações, pediu-se aos alunos que desenhassem, em uma folha de sulfite, uma

cena de sala de aula que para eles fosse significativa, marcante, focando identificar

problemas que a matemática ao longo dos anos pudesse ter deixado, contribuindo para

bloquear um desempenho satisfatório na implementação. Percebeu-se que muitos alunos

que eram tímidos, que quase nunca se manifestavam em sala de aula, o fizeram

desenhando e escrevendo um pouco daquilo que mais os incomodavam nas aulas de

matemática. Alguns fatores observados foram:

� Fazer prova sem entender a matéria;

� Não entender a explicação;

� Dificuldade em aprender geometria;

� Dificuldade na resolução de problemas;

� Dificuldade em propriedade dos radicais;

� Professor e alunos vistos como inimigos;

� Ódio da matemática;

� Aluno sem respeito algum pelo professor;

� Dificuldade de aprendizagem;

� Indisciplina;

� Exercícios sem ligação com a realidade;

� As aulas não chamam a atenção do aluno e os alunos deixam o professor falando

sozinho;

� Desinteresse pela matemática.

Foi a partir da aplicação do 1º questionário, dos desenhos, dos depoimentos dados

pelos alunos e de debates, que se fez um planejamento de como e o que abordar neste

trabalho de implementação.

Os alunos das 8as séries são adolescentes na faixa etária de 13 a 17 anos sempre

inquietos, inconformados e dinâmicos. Vivem à procura do novo, não se sentem

contentes em receber as informações de forma tão maçante, mas gostam e podem

aprender rapidamente fazendo. Acredita-se na concepção de Lorenzato que a prática

pedagógica pode ser melhorada segundo o qual diz que:

Não há professor que não tenha recebido de seus alunos perguntas do tipo: “onde vou aplicar isso?”, “quando usarei isso?”, “por que tenho que estudar isso?”. A freqüência com que tais questões são apresentadas pelos alunos em sala de aula mostra o clamor deles por um ensino de matemática mais prático do que aquele que têm recebido. Tal pedido é plenamente justificável, pois quem de nós se sente bem fazendo algo sem saber por que o faz? (LORENZATO, 2006, p. 53)

A Modelação Matemática propõe-se auxiliar esses jovens alunos a aprender

matemática ativamente construindo esse saber.

Para iniciar este trabalho de Modelação, os alunos dividiram-se em equipes de 4 a

5 membros e pesquisaram sobre a história do basquete, sua origem, seu inventor, suas

regras, seus objetivos, quando veio para o Brasil, dimensões da quadra, quando foi

inventado e as medidas da quadra atual, verificando também o tamanho da quadra do

colégio. Os alunos utilizaram sites e livros para realizar o trabalho escrito, e em seguida

estudaram e discutiram a pesquisa, apresentando o seu trabalho para a sala. O

interessante é que os alunos perceberam os pontos em comum e acrescentaram detalhes

que outros não haviam citado. Cada equipe queria sair melhor que a outra. Percebeu-se

também um certo nervosismo, por não estarem habituados a falar nos seus trabalhos.

Conforme Sadovsky:

Desafiar um aluno significa propor situações que ele considere complexas, mas não impossíveis. Trata-se de gerar nele uma certa tensão, que o anime a ousar, que o convide a pensar, a explorar, a usar conhecimentos adquiridos e a testar sua capacidade para a tarefa que tem em mãos. Trata-se, ainda, de motivá-lo a interagir com seus colegas, a fazer perguntas que lhe permita avançar... ao lançar o desafio, sem dúvida, acreditar no potencial dos alunos, mas essa crença não pode ser inventada. Tem de estar respaldada em conhecimentos que possibilitem refletir sobre qual será o ponto de partida para a atuação. (SADOVSKY, 2007, p.14)

Como na aplicação do questionário, notou-se uma grande falta de conhecimento

geométrico. Iniciou-se então o trabalho de retomada de conteúdos como: círculo,

circunferência, diâmetro, raio, perímetro da circunferência e área do círculo, definição, sua

história e aplicabilidade no nosso cotidiano. No pátio do colégio e também em suas casas

os alunos mediram com um barbante e uma fita métrica vários objetos circulares de

diversos tamanhos. Ao retornar à sala construiu-se uma tabela colocando o seu perímetro

e o seu diâmetro. Após todos terem colocado as medidas dos seus objetos utilizou-se a

fórmula comprimento/diâmetro e observou-se que os resultados sempre ficaram próximos

a 3,14 e discutindo-se assim o surgimento do Pi. Assistiram a um vídeo com a

demonstração deste resultado e utilizaram-se de alguns materiais como: compasso,

transferidor, régua, barbante e outros objetos da sala de aula para a construção de uma

circunferência, ajudando-os a pensar e buscar saídas alternativas para chegar ao objetivo

proposto. De acordo com Lorenzato:

A experimentação facilita que o aluno levante hipóteses, procure alternativas, tome novos caminhos, tire dúvidas e constate o que é verdadeiro, válido, correto ou solução. Experimentar é valorizar o processo de construção no saber em vez do resultado dele, pois, na formação do aluno, mais importante que conhecer a solução é saber como encontrá-la. Enfim, experimentar é investigar. (LORENZATO, 2006, p. 72)

Procurou-se neste conteúdo lançar os primeiros problemas desafios. Um dos

escolhidos, que se encontra em Mori e Onaga (2006, p. 91) propõe a tentativa de

solucionar o problema de Babucha e seu pasto, uma cabra que está amarrada num canto

de um barracão de base retangular. Ela precisa esticar a corda para pastar na melhor

parte do terreno. O problema propõe que: se o barracão tem 5 m por 4 m e a corda tem 6

m, qual é a área aproximada que Babucha (a cabra) poderá pastar?

Para que todos os alunos pudessem pensar, argumentar e encontrar uma solução,

criou-se um “cantinho do desafio” que ficaria presente o tempo todo na sala. Percebeu-se

que os alunos tendem sempre a querer utilizar todos os números que aparecem no

problema, não considerando muito o que o problema está perguntando. É como se,

condicionados a resolver exercícios repetitivos, ligassem o piloto automático e

resolvessem sem interpretar, chegando a inúmeras respostas incorretas. Intrigados e

inconformados em não conseguir resolver, alguns alunos perguntaram a seus familiares,

porém também não obtiveram êxito. Na próxima aula leram várias vezes, discutiram as

possibilidades, fizeram simulações de como a cabra poderia chegar ao pasto verde e, a

partir das idéias que foram surgindo, conseguiram relacionar o conteúdo relativo à área de

círculo ao problema proposto, encontrando sua solução. E assim foram se familiarizando

com os problemas similares e de um grau maior de dificuldades. Conforme Sanny:

...o caminho da aprendizagem começa com uma dificuldade (problema) e com a necessidade de resolvê-la. Da percepção das insuficiências de respostas do próprio sujeito, desencadeia-se um movimento de busca de novas soluções (conflito cognitivo) no mundo externo. A partir daí entram em ação uma série de operações mentais que visam voltar ao estado de equilíbrio (conhecimento) nas quais hipóteses são formuladas, testadas e revisadas tantas vezes quantas necessárias até o entendimento. (SANNY, 1997, p. 49)

Em seguida estudou-se ponto, reta e plano, trabalhando com retas paralelas e

perpendiculares, polígonos, classificação de polígonos, cálculo de perímetro e área dos

polígonos. Novamente pediu-se o resgate histórico dos conteúdos apresentados um a um,

para mostrar que o conhecimento dos conteúdos não são aprendizados estanques, mas

que existem devido à necessidade de resolver problemas existentes desde a criação da

humanidade.

Ao trabalhar com ponto, reta e plano, sua utilização, e exemplificação, percebeu-se

que foi simples para eles compreenderem; em reta e plano notou-se que a minoria tinha a

noção de diferenciação de reta, semi-reta e segmento de reta e compreensão de plano.

Para melhorar o seu entendimento trabalhou-se com exemplos práticos e concretos. Para

trabalhar com retas paralelas e perpendiculares, polígonos, classificação de polígonos,

cálculo de perímetro e área dos polígonos, recorreu-se ao estudo de suas definições, bem

como à confecção de cartazes nas equipes e a discussões em plenária. Em seguida as

equipes apresentaram seus cartazes, que ficaram depois de prontos em um ponto

estratégico da sala. Procurou-se sempre iniciar as aulas com a retomada dos conteúdos

ou com uma proposta de resolução de um desafio. Além disso, cada aula era planejada

com muita antecedência, pois era necessário utilizar materiais diferentes que pudessem

ajudar na resolução da modelação como: malhas quadriculadas, geoplano, trena, régua,

quadra esportiva, etc.

A proposta foi despertando interesse tanto dos alunos, que foram perdendo a

timidez em falar, quanto de professores de outras disciplinas que começaram a olhar para

os trabalhos dos alunos e perguntar para eles se realmente sabiam o que estava ali

exposto. As expectativas cresceram ao ver que os alunos não estavam só recebendo

conhecimento, mas buscando e construindo seu conhecimento a cada vez que se

propunha uma problemática. O mais gratificante era perceber que aqueles alunos que

eram desinteressados começavam a se interessar pela matemática. A proposta começou

a ganhar credibilidade entre os colegas professores, que ficavam surpresos com o

conhecimento dos alunos sobre os conteúdos que estavam expostos em seus cartazes, e

com a coordenação, que sempre apoiou o projeto. Nesta fase também descobriram-se

talentos artísticos tanto na 8ª A como na 8ª B. Um caso interessante que aconteceu

desses talentos artísticos foi o resgate da confiança de um aluno repetente, pertencente a

8ª B, desinteressado e muito rebelde, que após se interar da proposta e da valorização

do seu talento com os desenhos, começou a participar e freqüentar as aulas todos os dias

e não mais chegar com atraso, uma atitude que não era comum na sua rotina e passou a

ser um dos principais ajudantes em todas as aulas de matemática.

O próximo passo era despertar nos alunos o interesse pelo famoso teorema de

Pitágoras. Para isto assistiram a um filme da TV Escola número 21, intitulado “O barato de

Pitágoras”, que conta a história de Pitágoras. Foi apresentado a eles um texto que

contava a necessidade dos egípcios em dividir suas terras e a aplicabilidade deste

teorema nas construções. Construiu-se com os alunos um quebra-cabeça, chamado

quebra-cabeça de Pitágoras, que serve para provar a sua fórmula. Procurou-se ligar estes

temas a notícias de jornais e revistas. Para o “cantinho do desafio” utilizou-se o problema

da Revista do Professor de Matemática, número 22, cujo tema é: De São Paulo ao Rio de

Janeiro com uma corda “ideal”. Trata-se de um problema intrigante, que prendeu a

atenção de todos. Além disso, utilizou-se a proposta de atividade do OAC número 7697.

Foi feita uma visita a uma construção próxima à escola onde os alunos entrevistaram o

mestre de obras, mediram a angulação das paredes da construção e resolveram

problemas utilizando o teorema de Pitágoras. Em um segundo momento foi realizado um

debate na sala, onde os alunos perceberam que os pedreiros, mesmo sem saber, utilizam

o teorema de Pitágoras.

Para construir a maquete o aluno deveria conhecer escala. Assim como ocorreu

com os demais conteúdos, os alunos não tinham conhecimento deste assunto. Portanto,

trabalhar com escala natural, escala de ampliação e escala de redução foi o próximo

passo para o desenvolvimento do trabalho. Para isso foram utilizados fôlderes de

construtoras e criados desenhos de plantas baixas de casas.

Paralelamente ao trabalho de adequação dos conhecimentos que eram

necessários para a implementação da proposta foi se desenvolvendo o trabalho de

construção da maquete. Os alunos, divididos em equipes, construíram em uma cartolina a

planta baixa da quadra de basquete. Ao manipularem o transferidor e compasso sentiram

dificuldades e demonstraram insegurança, recorrendo à professora. Algumas equipes

tendiam a deixar para um ou dois de uma equipe para desenhar, outras mais integradas

conseguiam dividir o trabalho e seus questionamentos entre eles. Outra dificuldade

apresentada foi em trabalhar com a divisão de números decimais e posteriormente

orientar-se nas medidas da régua, que foi outro desafio. As equipes desenvolviam seus

trabalhos em ritmos diferentes com maior ou menor destreza. Foram quatro aulas para a

construção exata da planta baixa. Na próxima aula foi desenhada a área da quadra de

basquete no isopor. Os alunos colocaram as placas de seu piso, recortadas previamente,

e desenharam novamente a planta da quadra de basquete com mais facilidade. Para

finalizar, cada equipe decorou sua maquete da forma como acharam melhor. A

imaginação “correu solta” e novamente surpreenderam com muita criatividade e talento.

A seguir são apresentados alguns exemplares das maquetes construídas pelos

alunos.

Fotografia 1 Fotografia 2

Fotografia 3 Fotografia 4

Uma das dificuldades nesta etapa foi a falta de tempo para realizá-la, tendo que

trabalhar por várias semanas em contra turno para procurar sanar as dificuldades dos

alunos. Concluída as maquetes foi realizada uma mostra dos trabalhos desenvolvidos.

Durante a intervenção todos os alunos participaram mostrando o seu trabalho de

modelagem, assim como todos os trabalhos realizados em sala. Houve a presença de

toda a comunidade escolar, dos pais de alunos e também de membros do NRE.

Todo este trabalho foi fotografado e colocado para os visitantes conhecerem suas

etapas. Na sala da mostra os alunos montaram o “cantinho do desafio” para que os

visitantes também pudessem interagir. Os alunos talentosos na arte de desenhar

expuseram seus trabalhos em painéis individuais e personalizados, o que fizeram com

que sua auto-estima crescesse. As maquetes eram apresentadas mostrando aos

visitantes a história do basquete, a possibilidade de utilizar a interdisciplinaridade na

matemática, a sua forma de construção, os conceitos matemáticos adquiridos entre

outros. Muitos alunos surpreenderam pela seriedade com que realizaram suas tarefas,

introduzindo em sua apresentação dados a mais do que foram fornecidos pela professora,

mostrando que a pesquisa tornou-se um hábito em sua vida escolar.

Para finalizar o plano de intervenção aplicou-se novamente o questionário

investigativo na 8ª A e 8ª B, a fim de verificar os resultados obtidos com a aplicação da

modelação. Verificou-se que os alunos responderam ao 2º questionário de forma muito

mais solta, segura, rápida e com muita facilidade.

Entre as questões do questionário destacam-se quatro que são bastante relevantes

nesta 2ª etapa do questionário:

• Perguntou-se aos alunos sobre o que poderia melhorar nas aulas de

matemática e a resposta foi que eles preferiam aulas diferentes das convencionais,

mostrando-se interessados em continuar com o plano.

• Quanto ao conteúdo que achavam mais importante para ser trabalhado nas

aulas de matemática, na primeira etapa 57% responderam “todos” e na segunda

etapa 96% responderam “todos”. Notou-se que a modelação contribuiu para que o

ensino se tornasse significativo para os alunos.

• Houve um crescimento sobre a opção de escolha pela disciplina de

matemática em sua grade curricular, que cresceu de 71% para 84% na segunda

etapa, percebendo um maior interesse pela disciplina.

• Analisando os acertos da 8ªA e 8ªB nas questões que envolviam

conhecimento matemático do questionário investigativo, na primeira e segunda

etapa obteve-se em média os seguintes resultados:

ACERTOS 8ªA 8ªB

Primeira etapa

20% 19%

Segunda etapa

83% 86%

Para avaliar a satisfação do trabalho entre os alunos, solicitou-se que fizessem de

conta que estavam escrevendo uma carta a uma pessoa contando o que aprenderam em

matemática durante esta implementação, os seus pontos positivos e negativos e a sua

aprovação ou não deste trabalho desenvolvido. A seguir estão apresentadas algumas

cartas que relatam o que foi mais significativo para eles neste trabalho.

Primeira carta:

Segunda carta:

Terceira carta:

CONCLUSÔES

A proposta deste trabalho era despertar o interesse dos alunos pela Matemática e

torná-la atrativa e, sobretudo, compreensível. Com o propósito de atingir estes objetivos

deste trabalho empregou-se a modelagem matemática e a resolução de problemas como

meios pedagógicos. Este objetivo foi alcançado com sucesso, conforme já relatado,

fazendo com que os alunos tomassem gosto pela matemática, a compreendessem, e a

enxergassem como algo útil em suas atividades. No entanto, ressalta-se que as

dificuldades para conseguir realizar este trabalho foram imensas. Para dar conta do tema

trabalhado, geometria, foi necessário retomar conteúdos já anteriormente vistos, o que

demandou muito esforço e muito trabalho, já que o tempo disponível para isso foi de

apenas quatro meses. Com o ótimo resultado observado após implementação da

proposta, certamente esta retomada de conteúdo seria desnecessária se tal trabalho já

tivesse sido realizado nas séries anteriores. Ademais, houve falta de tempo, falta de local

apropriado para trabalhar, falta de material, entre muitas outras coisas.

A realização deste trabalho permitiu concluir também que é preciso resgatar a

confiança e a credibilidade do ensino da matemática em nossas salas de aulas, tornar as

aulas mais atrativas e dinâmicas. O primeiro passo para transformar este ensino é

conhecer, analisar, planejar e executar de acordo com as necessidades encontradas.

Para que ocorra a aprendizagem é preciso que o indivíduo sinta a necessidade de

resolver os problemas encontrados e o professor é o responsável no ofício de arrumar

argumentos para isso. O professor que deseja desenvolver a compreensão de resolução

de problemas em seus alunos deve contribuir oferecendo oportunidades para resolvê-los.

Observando os resultados obtidos acredita-se que seja possível potencializar o ensino de

matemática com a proposta da modelação, aliada a uma boa dose de determinação,

compreensão e dedicação.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ÁVILA, Geraldo. Objetivos do Ensino de Matemática. Revista do Professor de Matemática. n. 27, p.1-9.São Paulo: 1995. BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2004. BIEMBENGUT, Maria Salete.; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo:Contexto, 2005.

DUARTE JÚNIOR, G. G. De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda ‘IDEAL’, Revista do Professor de Matemática, n. 22, p. 1-3, 1992. IMENES, Luiz Márcio. Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 13. ed. São Paulo: Scipione, 1997. LORENZATO, Sérgio. Formação de professores: Para aprender matemática. São Paulo: Autores Associados, 2006. MORI, Iracema.; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. São Paulo:

Saraiva, 2006.

PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná. Curitiba: 2006. SADOVSKY, Patricia. O ensino de matemática hoje. Enfoques, sentidos e desafios. 1.ed. São Paulo: Ática, 2007. SANNY, S. Rosa. Construtivismo e Mudança. 5.ed. São Paulo: Cortez, 1997.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: DESVENDANDO SEUS … · maquetes de uma quadra de basquete, para o estudo...

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