Resolução de Sistemas Lineares
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Resolução de Sistemas LinearesGuilherme Costa De OliveiraJonathas Luis Groetares FerreiraRenan Pereira Da Costa
Sumário Introdução Definição e desenvolvimento do
problema Resultados numéricos Conclusões Referências
Introdução 2 problemas a serem resolvidos
1. Encontrar os coeficientes de um polinômio que melhor se aproxima à função e resolver o sistema linear correspondente
2. Resolver um sistema linear 36x36
Introdução Para os dois problemas:
Calcular a matriz inversa Determinar o condicionamento das
matrizes Testar o desempenho dos métodos
aplicados
Definição e desenvolvimento do problema
Problema 1𝑓 (𝑥 )≈𝑝 (𝑥 )=𝑐𝑛 𝑥
𝑛− 1+⋯+𝑐2𝑥1+𝑐1 𝑥
0=∑𝑖=1
𝑛
𝑐 𝑖 𝑥𝑖 −1
𝑒𝑎 (𝑐1 ,𝑐2 ,⋯ ,𝑐𝑛 )=√∫01 [∑𝑖=1
𝑛
𝑐𝑖 𝑥𝑖 −1− 𝑓 (𝑥)]
2
𝑑𝑥
𝜕𝑒𝑎 (𝑐1 ,𝑐2 ,⋯ ,𝑐𝑛)𝜕𝑐𝑖
=0com 𝑖=1,2 ,…,𝑐𝑛
∑𝑗=1
𝑛
𝑐 𝑗∫0
1
𝑥 𝑗+ 𝑖−2𝑑𝑥=∫0
1
𝑓 (𝑥 )𝑥 𝑗− 1𝑑𝑥
Problema 1Sistema a ser resolvido:
A=[ 1 1/2 1/3 1/ 41/2 1 /3 1/4 1/51/3 1/ 4 1/5 1/61 /4 1 /5 1/6 1/7
] B=[ 17/1247 /6011 /20179 /420
]𝑝 (𝑥 )=𝑥3−𝑥2+𝑥1+1
Solução:
Problema 2Sistema a ser resolvido:
A36 x36×C36x1=B36x 1
Método de GaussEste método consiste em eliminar sucessivamente as incógnitas do sistema para, então, fazer a substituição dessas incógnitas no sentido .
Método do Elemento Principal𝑎11 𝑥1+¿𝑎12𝑥2+¿…+¿𝑎1𝑛𝑥𝑛=¿𝑎1𝑛+1
𝑎21𝑥1+¿𝑎22𝑥2+¿…+¿ 𝑎2𝑛 𝑥𝑛=¿ 𝑎2𝑛+1
¿……….¿…… ..…¿……… ..…¿……¿𝑎𝑛1𝑥1+¿𝑎𝑛2𝑥2+¿…+¿𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=¿ 𝑎𝑛𝑛+1¿ }
Considerar a matriz retangular aumentada e escolher o elemento diferente de zero que contém o maior valor absoluto , que não pertença ao vetor resposta, este elemento será chamado de Elemento Principal. Calcule o novo valor dos outros elementos em função do elemento principal com a fórmula: , onde i ≠ q.
Método de Iteração
𝐴=[ 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛… … … …𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
] , 𝑥=[𝑥1𝑥2…𝑥𝑛] ,𝑏=[𝑏1𝑏2…𝑏𝑛
]𝛼=[𝛼11 𝛼12 … 𝛼1𝑛
𝛼21 𝛼22 … 𝛼2𝑛… … … …𝛼𝑛1 𝛼𝑛2 … 𝛼𝑛𝑛
]𝑒 𝛽=[ 𝛽1𝛽2…𝛽𝑛 ]lim𝑘→∞
𝑥(𝑘+1 )=𝛽+𝛼 lim𝑘→∞
𝑥 (𝑘 )
Método de Seidel
𝑥𝑛(𝑘+1 )=𝛽𝑛+∑
𝑗=1
𝑛−1
𝛼𝑛𝑗 𝑥 𝑗(𝑘+1)+𝛼𝑛𝑛𝑥𝑛
(𝑘) ,(𝑘=0 ,1 ,2…)
Método de Relaxamento
∑𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥 𝑗=𝑏𝑖com 𝑖=1 ,⋯ ,𝑛
∑𝑗=1
𝑛
𝑏𝑖𝑗 𝑥 𝑗+𝑐𝑖=0com 𝑖=1 ,⋯ ,𝑛
𝑏𝑖𝑗=−𝑎𝑖𝑗𝑎𝑖𝑖 e 𝑐𝑖=−
𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
com 𝑖 , 𝑗=1 ,⋯ ,𝑛
𝑅𝑖(0)=∑
𝑗=1
𝑛
𝑏𝑖𝑗 𝑥 𝑗+𝑐 𝑖com 𝑖=1 ,⋯ ,𝑛
Resultados
Condicionamento Problema 1
m-norma: 4,3156 l-norma: 4,9161 k-norma: 3,8745
Problema 2 m-norma: 0,1000 l-norma: 0,1000 k-norma: 0,1446
Gauss Problema 1
73 somas, 66 multiplicações
t = 0,002408 s Erro = 0
Problema 2 47321 somas,
25938 multiplicações
t = 0,013239 s Erro = 0
⌊
𝐶4
𝐶3
𝐶2
𝐶1
⌋=⌊
1,0000−1,00001,00001,0000
⌋
Elemento Principal Problema 1
61 somas, 88 multiplicações
t = 0,055537 s Erro = 0
Problema 2 47916 somas,
47916multiplicações
t = 0,252705 s Erro = 0
⌊
𝐶4
𝐶3
𝐶2
𝐶1
⌋=⌊
1,0000−1,00001,00001,0000
⌋
Iteração Problema 1
Não converge
Problema 2 38 somas, 1297
multiplicações Iterações = 2 t = 0,0936 s Erro = 0
Seidel Problema 1
45712 somas, 45712 multiplicações
Iterações = 2857 t = 0,027468 s Erro = 4,9e-06
Problema 2 7776 somas, 7776
multiplicações Iterações = 2 t = 0,000933 s Erro = 0
𝐶4
𝐶3
𝐶2
𝐶1
=
0,9157−0,86830,94401,0052
Relaxamento Problema 1
29815 somas, 23880 multiplicações
Iterações = 5963 t = 1,149258 s Erro = 4,9e-06
Problema 2 518 somas, 3060
multiplicações Iterações = 38 t = 0,157202 s Erro = 0
𝐶4
𝐶3
𝐶2
𝐶1
=
0,8412−0,75070,89271,0103
ComparativoTempo de Execução (tic toc)
GaussElement
o Principal
Iteração Seidel Relaxamento
Problema 1 0,002408 0,055537 - 0,027468 1,149258
Problema 2 0,013239 0,252705 0,0936 0,000933 0,157202
Número de Iterações
Iteração Seidel Relaxamento
Problema 1 - 2857 5963
Problema 2 2 2 38
Comparativo
Gauss
Elem
ento
Prin
cipal
Itera
ção
Seid
el
Relax
amen
to0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Problema 1Problema 2
Tem
po (
s)
Conclusões
Conclusões Justificação do uso de métodos devido à
ampla aplicação do problema 1 e do grande porte do problema 2
Métodos diretos com maior exatidão, porém maior tempo de execução
O MatLab se mostrou mais uma vez um excelente software para aplicação de métodos numéricos
Obrigado!