Aula 10-Resolução de Sistemas Lineares Por Eliminação Gaussiana

8/18/2019 Aula 10-Resolução de Sistemas Lineares Por Eliminação Gaussiana

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Cálculo Numérico

Sistemas LinearesMétodos Diretos

Eliminação Gaussiana

João Paulo Gois

Universidade Federal do ABC

1

1Apresentação baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Análise Numérica(Burden & Faires)

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Roteiro

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Roteiro

1 Notação e Terminologia Básica

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Roteiro


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Operações para simplificar um Sistema Linear de Equações

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Roteiro


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Operações para simplificar um Sistema Linear de Equações3 Processo de Eliminação Gaussiana

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Roteiro


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Operações para simplificar um Sistema Linear de Equações3 Processo de Eliminação Gaussiana

4 Processo de Eliminação Gaussiana com Retro-substituição

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Introdução

Sistema Equações Lineares

Vamos considerar os Métodos Diretos para resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas.

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Introdução


Vamos considerar os Métodos Diretos para resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas.Tal sistema tem a forma:

E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ...

... ...

E n : an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn

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Introdução


Vamos considerar os Métodos Diretos para resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas.Tal sistema tem a forma:

E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ...

... ...

E n : an,1x1 + an,2x2 +· · ·

+ an,nxn = bnNeste sistema são dadas as constantes ai,j , i, j = 1, 2, · · · , n e bi,i = 1, 2, · · · , n.Precisamos determinar x1, · · · , xn.

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Introdução

Métodos Diretos e Erros de Arredondamento

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Introdução

Métodos Diretos e Erros de ArredondamentoMétodos diretos teoricamente fornecem a solução exata dosistema em um número finito de passos;

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Introdução


Na prática, a solução obtida conterá erros de arredondamento

que está envolvido com a aritmética (em ponto-flutuante)usada;

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Introdução




Analisando o efeito deste erro de arredondamento edeterminando formas de mantê-lo sobre controle serão osprincipais componentes desta apresentação

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Introdução




Analisando o efeito deste erro de arredondamento edeterminando formas de mantê-lo sobre controle serão osprincipais componentes desta apresentação

Primeiramente vamos apresentar notações e terminologias

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Matrizes e Vetores

Matriz

Uma matriz n×m (n por m) é um arranjo retangular de elementoscom n linhas e m colunas.



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Matrizes e Vetores

Matriz

Uma matriz n×m (n por m) é um arranjo retangular de elementoscom n linhas e m colunas.

Notação

A notação de uma matriz n×m será por letras maiúsculas (por ex.

A) e as entradas ma matriz serão letras minúsculas com subscritosduplos (por ex. ai,j) para se referir ao elemento a que pertence alinha i e coluna j.

A = [ai,j ] =

a1,1 a1,2 · · · ai,m

a2,1 a2,2 · · · a2,m...

... ...

...an,1 an,2 · · · an,m

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Matrizes e Vetores

Vetor: um caso especial de matrizA matrix 1× n:

A = [a1,1 a1,2 · · · a1,n]

é uma matriz linha ou vetor linha de dimensão n e a matriz n× 1:

A =

a1,1a2,1

...

an,1

é uma matriz coluna ou vetor coluna de dimensão n.

M i V



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Matrizes e Vetores

Vetor: um caso especial de matriz

Usualmente um ı́ndice é omitido para representar vetores:

A = [a1 a2 · · · an]

ou

A =

a1a2...

an

M t i V t M t i E did

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Matrizes e Vetores: Matrix Expandida

Matriz Expandida (1/2)

Uma matrix n×

(n + 1) pode ser usada para representar o sistemalineara1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ... ... ...

an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn


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Matrizes e Vetores: Matrix Expandida

Matriz Expandida (1/2)

Uma matrix n× (n + 1) pode ser usada para representar o sistemalinear

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ... ... ...

an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn

Primeiro construindo

A = [ai,j ] =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n

... ...

... ...

an,1 an,2 · · · an,n

e b =

b1b2...bn


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Matrizes e Vetores: Matriz Expandida

Matriz Expandida (2/2)Então a seguinte nova matriz [A, b]:

[A, b] =

a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2

... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n bn

onde a reta vertical é usada para separar os coeficientes das

incógnitas dos valores do lado direito das equações


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Matriz Expandida (2/2)Então a seguinte nova matriz [A, b]:

[A, b] =

a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2

... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n bn

onde a reta vertical é usada para separar os coeficientes das

incógnitas dos valores do lado direito das equaçõesA matriz [A, b] é chamada de matriz expandida.


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Representação do Sistema Linear

No que segue, a matriz n× (n + 1)

[A, b] =

a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2

... ...

. . . ...

...

an,1 an,2 · · · an,n bn


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Representação do Sistema Linear

No que segue, a matriz n× (n + 1)

[A, b] =

a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2

... ...

. . . ...

...

an,1 an,2 · · · an,n bn

será usada para representar o sistema linear

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ...

... ...

an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn

Simplificando um Sistema de Equacões Lineares



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Simplificando um Sistema de Equaçoes Lineares

O Sistema Linear

Considerando novamente o Sistema Linear

E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

E 2

: a2,1x1

+ a2,2x2

+ · · ·+ a2,nxn = b

2...

... ...

...


onde são dadas as constantes ai,j para i, j = 1, · · · , n e bi parai = 1, 2, · · · , n


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O Sistema Linear

Considerando novamente o Sistema Linear

E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ...

... ...


onde são dadas as constantes ai,j para i, j = 1, · · · , n e bi parai = 1, 2, · · · , nPrecisamos determinar x1, · · · , xn.

Simplificando um Sistema Linear

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Simplificando um Sistema LinearOperações posśıveis

Podemos usar três operações para simplificar um sistema linear:


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1 Equação E i pode ser multiplicada por uma constante não-nula λcom a equação resultante sendo usada no lugar de E i:

E i ← λE i


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E i ← λE i

2

A Equação E j pode ser multiplicada por qualquer constante λ eadicionada a Equação E i e a equação resultante é trocada por E i:

E i ← λE j + E i




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E i ← λE i

2

A Equação E j pode ser multiplicada por qualquer constante λ eadicionada a Equação E i e a equação resultante é trocada por E i:

E i ← λE j + E i

3 Duas linhas E i e E j podem ser permutadas:

E i ↔ E j

Através de uma sequência destas operações, o sistema linear será transfor-mado em um novo sistema linear mais fácil de se resolver e com mesma

solução.


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Exerćıcio

As quatro equações:

E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1E 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3E 2 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

serão resolvidas para x1, · · · , x4.


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S p S s q ¸ s s

Exerćıcio




Usaremos primeiro E 1 para eliminar a incógnita x1 das equaçõesE 2, E 3 e E 4 realizando:

Simplificando um Sistema de Equações Lineares



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p q ¸

Exerćıcio




Usaremos primeiro E 1 para eliminar a incógnita x1 das equaçõesE 2, E 3 e E 4 realizando:

E 2 ← E 2 − 2E 1

E 3 ← E 3 − 3E 1

E 4 ← E 4 + E 1




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p q ¸

E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1Exerćıcio - Continuação (2/5)

Por exemplo, na segunda equação

E 2 ←

E 2−

2E 1




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p q ¸

E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1Exerćıcio - Continuação (2/5)

Por exemplo, na segunda equação

E 2 ← E

2− 2E

1

produz

2x1 + x2 − x3 + x4 − 2(x1 + x2 + 3x4) = 1− 2(4)

que simplifica o resultado mostrado como E 2 em

E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7


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Exerćıcio - Continuação (3/5)

Similarmente, para as Eq. E 3 e E 4, obtemos o novo sistema linear:


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E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : − 4x2 − x3 − 7x4 = −15E 4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8




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E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : − 4x2 − x3 − 7x4 = −15E 4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8

Por simplicidade, manteremos os mesmos nomes E 1, · · · , E 4


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Neste novo sistema, E 2 é usado para eliminar as incógnitas x2 deE 3 e E 4, realizando as operações E 3 ← E 3−4E 2 e E 4 ← E 4+3E 2.Isto resulta no sistema:


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E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : + 3x3 + 13x4 = 13E 4 : − 13x4 = −13


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E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : + 3x3 + 13x4 = 13E 4 : − 13x4 = −13

Este último sistema de equações é agora conhecido como formatriangular (ou reduzida) e pode ser resolvido pelo processo de retro-substituição .


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Como E 4 implica que x4 = 1, podemos utilizá-lo para encontrar x3em E 3:


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x3 = 1

3(13− 13x4) =

1

3(13− 13) = 0


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x3 = 1

3(13− 13x4) =

1

3(13− 13) = 0

Continuando, por E 2 temos:

x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = −(−7 + 5 + 0) = 2

Finalmente, por E 1:

x1 = 4− 3x4 − x2 = 4− 3− 2 = −1.

Logo a solução [x1 x2 x3 x4]t = [−1 2 0 1]t

Construindo um Sistema para Resolver um Sistema

Li

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Linear

Resumindo

E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1E 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3

E 2 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Converter para a forma expandida

[A, b] =

1 1 0 3 42 1 -1 1 13 -1 -1 2 -3-1 2 3 -1 4


Li

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Linear

Reduzir para a forma triangular

1 1 0 3 42 1 -1 1 13 -1 -1 2 -3-1 2 3 -1 4

⇔

1 1 0 3 40 -1 -1 -5 -70 0 3 13 130 0 0 -13 -13


Li

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Linear

Reduzir para a forma triangular

1 1 0 3 42 1 -1 1 13 -1 -1 2 -3-1 2 3 -1 4

⇔

1 1 0 3 40 -1 -1 -5 -70 0 3 13 130 0 0 -13 -13

A matriz final pode ser então transformada em seu sistema linear

correspondente, e as soluções para xi pode ser obtidas. Este proce-dimento é chamado Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição .

Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição

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Passos básicosA Eliminação Gaussiana aplicada a um Sistema Linear:

E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

... ...

... ...


será dada da seguinte forma.


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Passos básicos


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Passos básicosPrimeiro transforme na matrix expandida Ã

˜A = [A, b] =

a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+1a2,1 a2,2 · · · a2,n a1,n+1

... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n a1,n+1

onde A denota a matriz dormada pelos coeficientes.


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Passos básicosPrimeiro transforme na matrix expandida Ã

˜A = [A, b] =

a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+1a2,1 a2,2 · · · a2,n a1,n+1

... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n a1,n+1

onde A denota a matriz dormada pelos coeficientes.

As entradas da (n + 1)-ésima coluna são os valores de b, i.e.

,ai,n+1 = bi para i = 1, · · · , n.


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Passos básicos


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Passos básicos

Considerando que a1,1 = 0, nós realizamos as operações

correspondentes a

E j ← E j − (a j,1/a1,1)E 1, para cada j = 2, 3, · · · , n.

para eliminar os coeficientes x1 de cada uma destas linhas.


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Passos básicos


correspondentes a



Embora as entradas nas linhas 2, 3, · · · , n são esperadasmudar, para facilitar a notação, nós novamente chamaremosas entradas da i-ésima linha e j-ésima coluna por ai,j


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Passos básicos


correspondentes a



Embora as entradas nas linhas 2, 3, · · · , n são esperadasmudar, para facilitar a notação, nós novamente chamaremosas entradas da i-ésima linha e j-ésima coluna por ai,j

Com isto em mente, nós repetimos o procedimento sequencialpara i = 2, 3, · · · , n− 1 e realizamos a operação:

E j ← E j − (a j,i/ai,i)E i, para cada j = i + 1, i + 2, · · · , n

desde que ai,i = 0.


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Passos básicos


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Passos básicos

Isto elimina (muda coeficiente para zero) xi em cada linhaabaixo da i-ésima para todos os valores de i = 1, 2, · · · , n− 1


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Passos básicos


A matriz resultante tem a forma:

˜̃A =

a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+1

0 a2,2 · · ·

a2,n a1,n+1... . . .

. . . ...

...0 · · · 0 an,n a1,n+1

onde, exceto a primeira linha, os valores de ai,j não são

esperados coincidirem com a matriz original Ã.


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Passos básicos


A matriz resultante tem a forma:

˜̃A =

a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+10 a

2,2 · · · a

2,n a

1,n+1... . . .

. . . ...

...0 · · · 0 an,n a1,n+1

onde, exceto a primeira linha, os valores de ai,j não são

esperados coincidirem com a matriz original Ã.A matriz ˜̃A representa um sistema linear equivalente aooriginal.


Passos básicos

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Passos basicos

O novo sistema linear triangular:

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn = a1,n+1a2,2x2 + · · · + a2,nxn = a2,n+1

. . . ...

.... .

.

...

.... . .

... ...

an,nxn = an,n+1

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Passos básicos

Resolvendo a (n−1)−ésima equação para xn−1 e usando a variávelconhecida xn temos:

xn−1 = an−1,n+1 − an−1,nxn

an−1,n−1


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Passos básicos

Resolvendo a (n−1)−ésima equação para xn−1 e usando a variávelconhecida xn temos:

xn−1 = an−1,n+1 − an−1,nxn

an−1,n−1

Continuando este processo, obtemos:

xi = ai,n+1 − ai,nxn − ai,n−1xn−1 − · · · − ai,i+1xi+1

ai,i

= ai,n+1 −n

j=i+1 ai,jx jai,i

para cada i = n − 1, n− 2, · · · , 2, 1.


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Descrição mais precisaEliminação Gaussiana é descrita mais precisamente, emboramais complicada, formando uma sequência de Matrizes Ã(1),Ã(2), · · · , Ã(n), onde Ã(1) é a matriz Ã dada inicialmente e Ã(k),

para cada k = 2, 3, · · · , n tem entradas a(k)

i,j da forma:

a(k)i,j

=

a(k−1)i,j

quando i = 1, 2, · · · , k − 1 e j = 1, 2, · · · , n + 1

0 quando i = k, k + 1, · · · , n e j = 1, 2, · · · , k − 1

a(k−1)i,j

−a(k−1)i,k−1

a(k−1)k−1,k−1

a(k−1)k−1,j

quando i = k, k + 1, · · · , n e j = k, k + 1, · · · , n + 1


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Descrição mais precisa

Assim,

˜ A(k ) =

a(1)11 a

(1)12 a

(1)13 · · · a

(1)1,k −1 a

(1)1k · · · a

(1)1n

...............

...................

a(1)1,n+1

........

................

0 ..

.

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a22(2).

.

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.

.

.

..

a(2)23 · · · a

(2)2,k −1 a

(2)2k · · · a

(2)2n a

(2)2,n+1

......

......

a(k −1)k −1,k −1 a(k −1)

k −1,k · · · a(k −1)

k −1,n a(k −1)

k −1,n+1

0 a(k )kk · · · a

(k )kn a

(k )k ,n+1

......

......

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 a(k )

nk · · · a(k )nn a

(k )n,n+1

representa o sistema linear equivalente para os quais a variável xk−1foi eliminada das equações E k, E k+1, · · · , E n.


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O procedimento irá falhar se um dos elementos

a(1)1,1, a

(2)2,2, a

(3)3,3, · · · , a

(n−1)n−1,n−1, a

(n)n,n for zero devido ao passo

E i ← E i −a(k)i,k

a(k)k,k

E k

não poder ser realizado (isto ocorre se um dos elementos

a(1)1,1, a

(2)2,2, a

(3)3,3, · · · , a

(n−1)n−1,n−1 é zero) ou se a retro-substituição não

poderá ser feita (no caso de a(n)n,n = 0).




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O procedimento irá falhar se um dos elementos

a(1)1,1, a

(2)2,2, a

(3)3,3, · · · , a

(n−1)n−1,n−1, a

(n)n,n for zero devido ao passo

E i ← E i −a(k)i,k

a(k)k,k

E k

não poder ser realizado (isto ocorre se um dos elementos

a(1)1,1, a

(2)2,2, a

(3)3,3, · · · , a

(n−1)n−1,n−1 é zero) ou se a retro-substituição não

poderá ser feita (no caso de a(n)n,n = 0). O sistema pode ter solução,

mas a técnica para encontrar deve ser alterada.

Ilustração do Método de Eliminação de Gauss

Exemplo

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Vamos supor o sistema em sua forma expandida:

Ã = Ã(1) =

1 -1 2 -1 -82 -2 3 -3 -201 1 1 0 -21 -1 4 3 4


Exemplo

http://find/


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Ã = Ã(1) =

1 -1 2 -1 -82 -2 3 -3 -201 1 1 0 -21 -1 4 3 4

Realizando as operações

E 2 ← E 2 − 2E 1;E 3 ← E 3 −E 1;E 4 ← E 4 − E 1

temos


Exemplo

http://find/


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Ã = Ã(1) =

1 -1 2 -1 -82 -2 3 -3 -201 1 1 0 -21 -1 4 3 4

Realizando as operações

E 2 ← E 2 − 2E 1;E 3 ← E 3 −E 1;E 4 ← E 4 − E 1

temos

Ã(2) =

1 -1 2 -1 -80 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12


http://find/


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Ã(2) =

1 -1 2 -1 -8

0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12


http://find/


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Ã(2) =

1 -1 2 -1 -8

0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12

O elemento a(2)

2,2 é zero. Logo o procedimento não pode

continuar na presente forma.


http://find/


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Ã(2) =

1 -1 2 -1 -8

0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12

O elemento a(2)



Mas operações E i ↔ E j são permitidas. Logo uma busca é

feita nos elementos a(2)3,2 e a

(2)4,2 para encontrar o primeiro

elemento não zero.


http://find/


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Ã(2) =

1 -1 2 -1 -8

0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12

O elemento a(2)



Mas operações E i ↔ E j são permitidas. Logo uma busca é

feita nos elementos a(2)3,2 e a

(2)4,2 para encontrar o primeiro

elemento não zero.

Como a(2)3,2 = 0, a operação E 2 ↔ E 3 é realizada para se obteruma nova matriz


http://find/


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Ã(2) =

1 -1 2 -1 -80 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12


http://find/


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Ã(2) =

1 -1 2 -1 -80 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12

Operação E 2 ↔ E 3

Ã(2)p

=

1 -1 2 -1 -80 2 -1 1 60 0 -1 -1 -4

0 0 2 4 12


http://find/


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Ã(2)p

=

1 -1 2 -1 -80 2 -1 1 60 0 -1 -1 -40 0 2 4 12

Como x2 já está eliminado em E 3 e E 4, ˜A

(3)

será ˜A

(2)p

, e o cálculocontinua com a operação E 4 ← E 4 + 2E 3, dando:

Ã(4) =

1 -1 2 -1 -80 2 -1 1 6

0 0 -1 -1 -40 0 0 2 4


http://find/


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Solução

x4 = 4

2 = 2

x3 = [−4− (−1)x4]

−1

= 2

x2 = [6− x4 − (−1)x3]

2 = 3

x1 = [−8− (−1)x4 − 2x3 − (−1)x2]

1

= −7

Observações

http://find/


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Observações

O l il(k)

0 l

http://find/


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O exemplo ilustra que se a(k)k,k = 0 para algum

k = 1, 2, · · · , n− 1

Observações

O l il(k)

0 l

http://find/


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O exemplo ilustra que se a(k)k,k = 0 para algum

k = 1, 2, · · · , n− 1Na k-ésima coluna de Ã(k−1), da k-́esima a n-́esima linha, éprocurado o primeiro elemento não-nulo.

Observações

O l il t(k)

0 l

http://goforward/http://find/http://goback/


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O exemplo ilustra que se a( )k,k = 0 para algum


Se a(k) p,k = 0 para algum p, com k + 1 ≤ p ≤ n, então a

operação é relizada para obter ˜A(k−1)p

.

Observações

O e e lo il st a e se(k)

0 a a al

http://find/


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operação é relizada para obter ˜A

(k−1)p

.O procedimento pode então ser continuado para formar Ã(k),e assim por diante;

Observações

O exemplo ilustra que se a(k)

0 para algum

http://find/


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(k−1)p


Se a(n) p,k = 0 para todo p. Pode ser mostrado que o sistema

linear não possui uma única solução e o procedimento pára.

Observações

O exemplo ilustra que se a(k)

= 0 para algum

http://find/


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O exemplo ilustra que se ak,k = 0 para algum




(k−1)p


Se a(n) p,k = 0 para todo p. Pode ser mostrado que o sistema

linear não possui uma única solução e o procedimento pára.

Finalmente se a(n)n,n = 0, o sistema linear também não tem

solução única e novamente o procedimento pára.

Observação – Maior Cautela

http://find/


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http://find/


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Suponha um número x̃ = x + aproximado onde x é a parteexata e é uma parte aproximada.


http://find/


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Se dividirmos por um número y muito pequeno (oumultiplicarmos por um muito grande),


http://find/


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Teremos xy + y.


http://find/


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Teremos xy + y.

Logo y terá um erro muito grande.


http://find/


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Teremos xy + y.

Logo y terá um erro muito grande.

Neste caso é recomendável que o pivotamento com a linhaque contém o maior número encontrado, não pelo primeiro.Neste caso, o erro é mantido pequeno, podendo evitar

problemas de propagação de erro .

Algoritmo

Entrada: Número de incógnitas e equações n; a matriz expandida

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gA = [ai,j ], onde 1 ≤ ı ≤ n e 1 ≤ j ≤ n + 1

Sáıda: Solução [x1, x2, · · · , xn]

Passo 1 Para i = 1, · · · , n− 1 faça Passos 2− 4 (Processo deEliminação)

Passo 2: Seja p o menor inteiro com i ≤ p ≤ n e ap,i = 0, Se nenhum inteiro P pode serencontrado IMPRIMA(’não existe solução’) e pare o processoPasso 3 Se p = i, então faça Ei ↔ Ep

Passo 4: Para j = 1 + 1, · · · , n faça Passos 5 e 6:

Passo 5: Faça mj,i = aj,i/ai,iPasso 6: Faça Ej ← Ej −mj,iEi

Se an,n = 0 IMPRIMA(’não existe solução única’);

Faça xn = an,n+1/an,n (Ińıcio da retro-substituição)

Para i = n − 1, · · · , 1 faça xi =ai,n+1 −

nj=i+1 ai,jxj

/ai,i

Sáıda [x1, · · · , xn]
http://find/

Aula 10-Resolução de Sistemas Lineares Por Eliminação Gaussiana

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