RESOLUO DIVISO EUCLIDIANAPROBLEMA 01(a)27 5 = 22, 27 5.2 = 17, 27 5.3 = 12, 27 5.4 = 7, 27 5.5 = 2 < 5.Isto nos d q = 5 e r = 2.(b)38 7 = 31, 38 7.2 = 24, 38 7.3 = 17, 38 7.4 = 10, 38 7.5 = 3 < 7.Isto nos d q = 5 e r = 3.

PROBLEMA 02Sejam a e b, com a > b. Para dividir a por b, usando a calculadora do problema, usamos os seguintes passos:1 PASSO:Divido a por b, chegando a um nmero com parte inteira q. O nmero q o quociente da diviso de a por b. 2 PASSO:Multiplico b por q, chegando a b.q.3 PASSO:Subtraio b.q de a, chegando a r = (a - b.q). O nmero r o resto da diviso de a por b. Portanto, a = b.q + r.

Utilizando os 3 PASSOS para calcular a diviso de 3721056 por 18735.1 PASSO:Divido 3721056 por 18735, chegando a um nmero com parte inteira 198. O nmero 198 o quociente da diviso de 3721056 por 18735. 2 PASSO:Multiplico 18735 por 198, chegando a 3709530.3 PASSO:Subtraio 3709530 de 3721056, chegando a r = 11526. O nmero 11526 o resto da diviso de 3721056 por 18735. Portanto, 3721056 = 18735.198 + 11526.

PROBLEMA 03Todo nmero par pode ser escrito da forma 2k e todo mpar da forma 2k + 1.(a)SOMA DE DOIS NMEROS:1 CASO: dois pares2k1+2k2 = 2(k1+k2) = 2k3, sendo k3 = (k1+k2).2 CASO: dois mpares(2k1+1) + (2k2+1) = 2(k1+k2+1) = 2k3, sendo k3 = (k1+k2+1).3 CASO: um par e um mpar2k1 + (2k2+1) = 2(k1+k2)+1= 2k3+1, sendo k3 = (k1+k2).CONCLUSES:A soma de dois pares um par.A soma de dois mpares um par.A soma de um par e um mpar um mpar.(b)DIFERENA DE DOIS NMEROS:1 CASO: dois pares2k1-2k2 = 2(k1-k2) = 2k3, sendo k3 = (k1-k2).2 CASO: dois mpares(2k1-1) + (2k2-1) = 2(k1-k2-1) = 2k3, sendo k3 = (k1-k2-1).3 CASO: um par e um mpar(2k2+1) - 2k1 = 2(k2-k1)+1= 2k3+1, sendo k3 = (k2-k1).CONCLUSES:A diferena de dois pares um par.A diferena de dois mpares um par.A diferena de um mpar e um par um mpar.(c)PRODUTO DE DOIS NMEROS:1 CASO: dois pares(2k1).(2k2) = 2.(2k1k2) = 2k3, sendo k3=(2k1k2). 2 CASO: dois mpares(2k1-1).(2k2-1) = 4k1k2-2k1-2k2+1 = 2.(2k1k2-k1-k2)+1 = 2k3+1, sendo k3 = (2k1k2-k1-k2).3 CASO: um par e um mpar(2k2+1).(2k1) = 2.(2k1k2+k1) = 2k3, sendo k3 = (2k1k2+k1).CONCLUSES:O produto de dois pares um par.O produto de dois mpares um mpar.O produto de um par e um mpar um par.(d)POTNCIA DE UM NMERO:1 CASO: nmero par(2k1)n=2.[(2)n-1.(k1)n] = 2k3, sendo k3=(2)n-1.(k1)n.2 CASO: nmero mpar(2k1+1)n = Cn,0.(2k1)n + Cn-1,1.(2k1)n-1 + Cn-2,2.(2k1)n-2 + ... + C1,n-1.(2k1) + C0,n.(2k1)0 = = 2k1.[ Cn,0.(2k1)n-1 + Cn-1,1.(2k1)n-2 + Cn-2,2.(2k1)n-3 + ... + C2,n-2.(2k1) + C1,n-1] + C0,n = = 2k1.[ Cn,0.(2k1)n-1 + Cn-1,1.(2k1)n-2 + Cn-2,2.(2k1)n-3 + ... + C2,n-2.(2k1) + C1,n-1] + 1.Temos que (2k1+1)n = 2k3+1, com k3 = Cn,0.(2k1)n-1 +Cn-1,1.(2k1)n-2 + Cn-2,2.(2k1)n-3 +...+C1,n-1.CONCLUSES:A potncia de um par um par.A potncia de um mpar um mpar.(e)SOMA DE n NMEROS MPARES:1 CASO: n par(2k1-1)+(2k1-1)+(2k1-1)+ ... +(2k1-1) = n.(2k1-1). Como n par, recamos no caso do produto de um par por um mpar.2 CASO: n mpar(2k1-1)+(2k1-1)+(2k1-1)+ ... +(2k1-1) = n.(2k1-1). Como n mpar, recamos no caso do produto entre dois mpares.CONCLUSES:A soma de n mpares um par quando n par.A soma de n mpares um mpar quando n mpar.

PROBLEMA 04(a)a par an parIDA:a = 2k an = (2k)n = 2.(2n-1).knPortanto, se a par, ento an par.VOLTA:an = 2k a par, pois, pelo resultado do 2 CASO da letra (d) do exerccio anterior, se a fosse mpar, an seria mpar. O que conclui o que queramos mostrar.(b)Pelos resultados da letra (d) do exerccio anterior, temos que se a for par, ak ser par e se a for mpar, ak ser mpar.Pelos resultados das letras (a) e (b), temos que a soma de dois pares ou de dois mpares ser sempre um par. O que conclui o que queramos mostrar.(c)Adotando a=(2k1+1) e b=(2k2+1), teremos:a2 + b2 = (2k1+1)2 + (2k2+1)2 = 4.[(k1)2 +(k2)2 + k1 + k2)] +2 = 2.{2.[(k1)2 +(k2)2 + k1 + k2)] +1} Isso mostra que (a2 + b2) divisvel por 2.Mostrar que (a2 + b2) no divisvel por 4, equivale a mostrar que (a2 + b2)/2 mpar.De fato:(a2 + b2)/2 = 2.[(k1)2 +(k2)2 + k1 + k2)] +1Isso mostra que (a2 + b2)/2 mpar e, portanto, no divisvel por 2, como queramos mostrar. PROBLEMA 05(a)x = 5q + q/2 q/2 < 5, portando temos q = 8, 6, 4, 2 e 0. Assim x = 44, 33, 22, 11 e 0.Resposta: x = 44, 33, 22, 11 e 0

(b)x = 5q + q q < 5, portando temos q = 4, 3, 2, 1 e 0. Assim x = 24, 18, 12, 6 e 0.Resposta: x = 24, 18, 12, 6 e 0.

(c)x = 5q + 2q 2q < 5, portando temos q = 2, 1 e 0. Assim x = 14, 7 e 0.Resposta: x = 14, 7 e 0.

(d)x = 5q + 3q 3q < 5, portando temos q = 1 e 0. Assim x = 8 e 0.Resposta: x = 8 e 0.

PROBLEMA 06Se os nmeros k e w, com k > w, forem divisveis por 3, ento (k-w) tambm ser divisvel por 3.Demonstrao:Teremos que:k = 3q1 e w = 3q2 (k w) = (3q1 - 3q2) (k w) = 3.(q1 - q2).(a)Se n divisvel por 3, a primeira parte est resolvida. Caso n no seja divisvel por 3, temos que n=3q+r, com r = 1 ou 2. Se r = 1, temos que (n+2) = 3q+1+2 = 3.(q+1) e, portanto, (n+2) divisvel por 3. Se r = 2, temos que (n+1) = 3q+2+1 = 3.(q+1) e, portanto, (n+1) divisvel por 3.Para mostrar a unicidade, basta verificarmos que fazendo a subtrao de dois em dois no encontraremos um mltiplo de 3.

(b)Se n divisvel por 3, a primeira parte est resolvida. Caso n no seja divisvel por 3, temos que n=3q+r, com r = 1 ou 2. Se r = 1, temos que (n+2) = 3q+1+2 = 3.(q+1) e, portanto, (n+2) divisvel por 3. Se r = 2, temos que (n+4) = 3q+2+4 = 3.(q+2) e, portanto, (n+4) divisvel por 3.Para mostrar a unicidade, basta verificarmos que fazendo a subtrao de dois em dois no encontraremos um mltiplo de 3.(c)Se n divisvel por 3, a primeira parte est resolvida. Caso n no seja divisvel por 3, temos que n=3q+r, com r = 1 ou 2. Se r = 1, temos que (n+23) = 3q+1+23 = 3.(q+8) e, portanto, (n+23) divisvel por 3. Se r = 2, temos que (n+10) = 3q+2+10 = 3.(q+4) e, portanto, (n+10) divisvel por 3.Para mostrar a unicidade, basta verificarmos que fazendo a subtrao de dois em dois no encontraremos um mltiplo de 3.(d)Se n divisvel por 3, a primeira parte est resolvida. Caso n no seja divisvel por 3, temos que n=3q+r, com r = 1 ou 2. Se r = 1, temos que (2n+1) = 2.(3q+1)+1 = 3.(2q+1) e, portanto, (2n+1) divisvel por 3. Se r = 2, temos que (n+1) = 3q+2+1 = 3.(q+1) e, portanto, (n+1) divisvel por 3.Para mostrar a unicidade, basta verificarmos que fazendo a subtrao de dois em dois no encontraremos um mltiplo de 3.

PROBLEMA 07(a)n2 1 = (2k 1)2 1 = 4k2 4k + 1 1 = 4.k.(k 1)Como (k 1) e k so consecutivos, um deles par. Assim teremos um nmero par multiplicado por 4, o que resulta em um nmero mltiplo de 8.(b)n2 1 = (n 1).(n + 1)Se n no divisvel por 2, ento ele mpar e (n 1).(n + 1) o produto de dois pares consecutivos, isto : 2k.(2k+2) = 4k.(k+1). Como k e (k+1) so consecutivos, temos que um deles par e, portanto (n2 1) mltiplo de 8.Se n no divisvel por 3, temos que n=3q+r, com r = 1 ou 2. Se r = 1, temos que (n-1) = (3q+1)-1 = 3q e, portanto, (n-1) divisvel por 3. Se r = 2, temos que (n+1) = 3q+2+1 = 3.(q+1) e, portanto, (n+1) divisvel por 3. Assim, (n2 1) mltiplo de 3.Como (n2 1) mltiplo de 8 e de 3, temos que (n2 1) mltiplo de 24, como queramos mostrar.(c)Se n for mpar, (n2 + 2) tambm ser, no sendo divisvel por 4.Se n for par, mostrar que (n2 + 2) no divisvel por 4, equivale a mostrar que (n2+2)/2 mpar. De fato:(n2+2)/2 = (4k2+2)/2 = 2k2 + 1Como queramos mostrar.

PROBLEMA 08(a) Seja q1 o quociente da diviso de n por a e q2 o quociente da diviso de m por a. Existem (q1 q2) mltiplos de a entre m e n.

(b) q1 = 364 e q2 = 17 (q1 q2) = 364 17 = 347

(b) q1 = 364 e q2 = 49 (q1 q2) = 364 49 = 315

PROBLEMA 09Todo inteiro x pode ser escrito da forma x = 5q + r, com r = 0, 1, 2, 3 ou 4. Assim temos:x2 = (5q + r)2 = 25q2 + 10qr + r2Para r = 0, teremos:x2 = 25q2+10qr+r2 = 5w1Para r = 1, teremos:x2 = 25q2+10q.1+12 = 25q2+10q+1 = 5w2 + 1Para r = 2, teremos:x2 = 25q2+10q.2+22 = 25q2+20q+4 = 5w3 + 4Para r = 3, teremos:x2 = 25q2+10q.3+32 = 25q2+30q+9 = 5w4 + 4Para r = 4, teremos:x2 = 25q2+10q.4+42 = 25q2+40q+16 = 5w5 + 1

y3 = (5q + r)3 = 125q3 + 75q2r + 15qr2 + r3Para r = 0, teremos:y3 = 125q3 + 75q2r + 15qr2 + r3 = 5w6Para r = 1, teremos:y3 = 125q3 + 75q2.1 + 15q.12 + 13 = 5w7 + 1Para r = 2, teremos:y3 = 125q3 + 75q2.2 + 15q.22 + 23 = 5w8 + 3Para r = 3, teremos:y3 = 125q3 + 75q2.3 + 15q.32 + 33 = 5w9 + 2Para r = 4, teremos:y3 = 125q3 + 75q2.4 + 15q.42 + 43 = 5w10 + 4Se estamos considerando que x2 = y3, ento bvio que x2 e y3 tem que deixar o mesmo resto quando dividido por 5. Comparando as tabelas acima, vemos que isso s possvel para os restos 0, 1 e 4, portanto, esse inteiro s pode ser da forma 5n, 5n+1 ou 5n+4.

PROBLEMA 10(a)Caso a no seja divisvel por 3, temos que a=3q+r a2 = 9q2+6qr+r2, com r = 1 ou 2. 1. Se r = 1, temos que a2 = 9q2+6q+1 = 3.(3q2+2q)+1. 2. Se r = 2, temos que a2 = 9q2+12q+4 = 3.(3q2+4q+1)+1Isso mostra que a2 sempre deixa resto 1 na diviso por 3.

(b)Provemos por absurdo:Se 3 no divide a, ento 3 tambm no divide a2. Se 3 no divide a2, ento a2 = 3q1+1.Se 3 no divide b, ento 3 tambm no divide b2. Se 3 no divide b2, ento b2 = 3q2+1.Assim:(a2+b2) = 3q1+1 + 3q2+1 = 3.(q1+q2) + 2, o que um absurdo, pois 3|(a2+b2).

Se considerarmos que 3 divide somente um dos dois (a ou b), chegaramos a:(a2+b2) = 3q1+1 + 3q2 = 3.(q1+q2)+ 1, o que continua sendo um absurdo, pois 3|(a2+b2).Dessa forma, conclumos que 3 divide a e b.

PROBLEMA 11Se tivermos N = 6q+r, com r = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, teremos:N2 = 36q2+12qr+r2Para r = 0, teremos:N2 = 36q2 = 6.(6q2)+0Para r = 1, teremos:N2 = 36q2+12q.1+12= 6.(6q2+2q)+1Para r = 2, teremos:N2 = 36q2+12q.2+22 = 6.(6q2+4q)+4Para r = 3, teremos:N2 = 36q2+12q.3+32 = 6.(6q2+6q+1)+3Para r = 4, teremos:N2 = 36q2+12q.4+42 = 6.(6q2+8q+2)+4Para r = 5, teremos:N2 = 36q2+12q.5+52 = 6.(6q2+10q+6)+1

PROBLEMA 12N = 20q + 8 N = 5.(4q + 1)+3O resto da diviso de N por 5 3.

PROBLEMA 13Sejam os n termos consecutivos de uma PA de razo R:[a1+(k+1)R], [a1+(k+2)R], [a1+(k+3)R], ... , [a1+(k+n)R]Somando estes termos teremos:S = a1+(k+1)R + a1+(k+2)R + a1+(k+3)R + ... + a1+(k+n)R = n.a1 + n.R.k + (1+2+3+...+n).R = = n.(a1 + R.k) + [(1+n).nR]/2 Analisando a expresso, vemos que se n for mpar o termo (1+n) ser par, sendo possvel a simplificao com o denominador 2, possibilitando que a soma seja sempre divisvel por n.Se n fosse par, a simplificao iria ocorrer com o prprio n, pois (1+n) seria mpar. Ento, para que a soma fosse divisvel por n, teramos que ter a razo (R) par.

PROBLEMA 14Teremos:X = (3q1+2) e X = (4q2+2)(X 2) = 3q1 e (X 2) = 4q2

Isso significa que (X-2) mltiplo de 3 e 4, portanto mltiplo de 12.

Assim, teremos:X-2 = 12 X= 14X-2 = 24 X= 16X-2 = 36 X= 38X-2 = 48 X= 50

Portanto, o menor mltiplo de 5 procurado 50.