Curso de lgebra Linear

Curso de lgebra Linear

Abrangncia: Graduao em Engenharia e Matemtica -

Professor Responsvel: Anastassios H. Kambourakis

Exerccios de lgebra Linear - Lista 10 Transformaes Lineares no Plano e no Espao

1. Determinar as Matrizes (F) na base cannica de IR2.

i) Da Transformao Linear de Reflexo na reta da 2 Bissetriz: F(x,y)=(-y,-x);

F(1,0)=(0,-1) MF= 0 -1F(0,1)=(-1,0) -1 0ii) Da Transformao Linear de Homotetia com k=-2: F(x,y)=(kx,ky);

F(1,0)=(-2.1,-2.0)=(-2,0) MF= -2 0F(0,1)=(-2.0,-2.1)=(0,-2) 0 -2iii) Da Transformao Linear de Rotao com =135:F(x,y)=(xcos ysen, xsen + ycos);

F(1,0)=(1.cos135-0.sen135,1.sen135+0.cos135)F(1,0)=(1.- 0, 1. +0)

F(1,0)=( - )F(0,1)=(0.cos135-1.sen135,0.sen135+1.cos135)

F(0,1)=(0.- 1., 0. +1.-)

F(0,1)=( - )MF= - -iv) Da Transformao Linear de Cisalhamento Vertical, com fator b=3: F(x,y)=(x, bx+y);

Cisalhar deform-lo linearmente, ao longo do eixo x ou y, ou os dois eixos.F(1,0)=(1,3.1+0)=(1,3) MF= 1 3F(0,1)=(0,3.0+1)=(0,1) 0 12. Desenhar no plano a Imagem do quadrado ABCD, quando aplicada a Transformao F(x,y)=(2x+y,x+2y), nos seus vrtices A=(0,0); B=(1,0); C=(1,1); e D=(0,1).

F(0,0)=(2.0+0,0+2.0)=(0,0)=A

F(1,0)=(2.1+0,1+2.0)=(2,1)=BF(1,1)=(2.1+1,1+2.1)=(3,3)=C

F(0,1)=(2.0+1,0+2.1)=(1,2)=D

y

C D D C B AA B x 3. Desenhar no plano a Imagem do Tringulo ABC, quando aplicada uma Transformao de reflexo no eixo horizontal e em seguida uma transformao de reflexo na reta da 1 Bissetriz. Os vrtices do tringulo so A=(-1,-2); B=(3,5); C=(7,-3).

Transformao no eixo x, F(x,y)=(-x,y)F(-1,-2)=(1,-2)=A

F(3,5)=(-3,5)=B

F(7,-3)=(-7,-3)=C

Transformao na reta da 1 Bissetriz, F(x,y)=(y,x)

F(1,-2)=(-2,1)=A

F(-3,5)=(5,-3)=B

F(-7,-3)=(-3,-7)=C

y

B B

A

x

A A B C C

C 4. Desenhar no plano a Imagem do Tringulo ABC, quando aplicada uma Transformao de reflexo no eixo vertical e em seguida uma transformao de Rotao com =120. Os vrtices do tringulo so A=(3,5); B=(7,-3); C=(-1,-2).

Reflexo no eixo y, F(x,y)=(x,-y)

F(3,5)=(3,-5)=A

F(7,-3)=(7,3)=B

F(-1,-2)=(-1,2)=C

Rotao com =120 , F(x,y)=(x.cos-y.sen ; x.sen+y.cos)F(3,-5)=[3.(-0.5)-5.(0.86) ; 3.(0.86)-5.(-0.5)]=(-5.8,5.9)=AF(7,3)=[7.(-0.5)+3.(0.86) ; 7.(0.86)+3.(-0.5)]=(-0.9,4.5)=B

F(-1,2)=[-1.(-0.5)+2.(0.86) ; -1.(0.86)+2.(-0.5)]=(2.2,-1.8)=C

y A A

B B C

x

C C B

A5. Desenhar no plano a Imagem do Tringulo ABC, quando aplicada uma Transformao de Homotetia de k=3 e em seguida uma transformao de Cisalhamento horizontal de fator a=2.

Os vrtices do tringulo so A=(2,4); B=(6,-2); C=(0,-1).

Homotetia, F(x,y)=k.(x,y)

F(2,4)=3.(2,4)=(6,12)=A

F(6,-2)=3.(6,-2)=(18,-6)=BF(0,1)=3.(0,-1)=(0,-3)=C

Cisalhamento a=2, F(x,y)=(x+ay,y)

F(6,12)=(6+2.12,12)=(30,12)=A

F(18,-6)=(18+2.-6,-6)=(6,-6)=B

F(0,-3)=(0+2.-3,-3)=(-6,-3)=C

y _ A A _ _

_

_

_

_

_

_ A _

_

_

l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

C

_ BC C

_

_

_

B B6. Os pontos A=(2,-1), B=(6,1) e C=(x,y), so vrtices de um tringulo eqiltero. Determinar o vrtice C, utilizando a matriz de uma Transformao Linear de rotao com =60. B

AC=(C-A)=(x-2,y+1) AB=(B-A)=(4,2)A C

(AC)=(To 60).(AB) x -2 = cos60 -sen60 + 4 y+1 sen60 cos60 2 x -2 = 1/2 -- + 4 y+1 1/2 2 x -2 = 2-

y+1 2 +1

x-2=2- x=4-y+1=2 +1 y=2Portanto C=(4- , 2 )7. Calcular o vetor resultante quando o vetor v=(3,2) sujeito seqencialmente a:

i) Uma reflexo em torno da reta y=x (1 Bissetriz);

F(x,y)=(y,x)

F(3,2)=(2,3)ii) Um cisalhamento horizontal de fator 2;

F(x,y)=(x+ay,y)

F(2,3)=(2+2.3,3)=(8,3)iii) Uma contrao (homotetia) na direo do eixo Ou de fator ;

F(x,y)=k.(x,y)

F(8,3)=1/3.(8,3)=(8/3,1)

iv) Uma rotao de 90 no sentido anti-horrio.

F(x,y)=(x.cos90-y.sen90; x.sen90+y.cos90)

F(8/3,1)=(8/3.0 -1.1 ; 8/3.1 +1.0)F(8/3,1)=(-1,8/3)8. Calcular o ngulo formado pelo vetor v e sua imagem F(v), quando o espao gira (tem uma rotao) em torno do eixo dos z de um ngulo nos seguintes casos:

i) =180 e v = (3, 0, 3);

F(x,y,z)=(x.cos180-y.sen180 ; x.sen180+y.cos180; Z) v F(3,0,3)=(3.-1 -0 ; 3.0 + 0.-1 ; 3)

F(3,0,3)=(-3,0,3)F(v)arcocos = arcocos = arcocos = arcocos = = 90ii) =90 e v =().F()=(.cos90 -. sen90 ; .sen90 + . cos90 ; )F()=(.0 -. 1 ; .1 + . 0 ; )F()=( ; ; )arcocos = arcocos = arcocos = arcocos = arcocos = = 61 Centro Universitrio da FSA

Prof.: Anastassios H.K.