Resolucao - Lista 3
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Fundamentos de Análise (Tutorial)
Lista 3 – Sequências Numéricas: subseqüência, sequência limitada e operações com limites.
1) Exercício 2.15 – pág. 34 do texto base. Demonstre a seguinte afirmação: se ( )na converge para um número a, então toda
subseqüência ( )kna de ( )na converge também para o mesmo valor a.
Dem: aan =lim então 0>∀ε , Nn ∈∃ 0 tal que c 0nn >∀ . Em particular todos os
termos kna com 0nnk > pertencem a ( )εε +− aa , . Então aa kn =lim .
2) Exercício 2.19 – pág. 36 do texto base.
Calcule cos1
limnn ∞→
Dem: Usando o teorema 2.18 (pág.36). Sabemos que 1cos1 <<− x Nn∈∀ então
temos que 1cos <x . Sabemos também que 01
lim =∞→ nn
. Consideremos então n
an
1= e
nbn cos= , então 0→na e nb é limitada então pelo teorema 2.18 0→⋅ nn ba .
3) Demonstre o teorema 2.20 – pág. 36 do texto base.
Dem: Livro do Elon pág. 27 (teorema 8)
4) Use o teorema 2.20 para provar que:
a) 11
lim =
+n
n
Dem: nn
n 11lim
1lim +=
+ como 11lim = e 0
1lim =
n segue que
1011
1lim =+=+n
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b) 2
1
56
73lim =
−+
n
n
Dem:
n
nn
n5
6
73
lim5673
lim−
+=
−+
como 37
3lim =+n
e 65
6lim =−n
segue que
21
63
56
73
lim5673
lim ==−
+=
−+
n
nn
n
c) 23
17
³1325
3²187317lim
5
45
=
++−+
nn
nnn
Dem:
2
53
2
245
1325
3187317
lim1325
3187317lim
n
nnnnn
nnn
+
+−+=
++−+
como 1731873
17lim 53 =+−+nnn
e 2513
25lim 2 =+n
segue que 2517
1325
3187317
lim1325
3187317lim
2
53
2
245
=+
+−+=
++−+
n
nnnnn
nnn
5) Suponha que 3lim =nx , 7lim =ny , e que 0≠ny para todo n. Determine
os seguintes limites: a) )lim( nn yx +
Dem: ( ) 1037limlimlim =+=+=+ nnnn yxyx
b)
−²
3lim
n
nn
y
xy
Dem:4918
49321
73
73
lim3
lim3
lim3
lim 2222 =−=−=−=−=
−
n
n
nn
n
nn
nn
y
x
yy
x
yy
xy
6) Exercício 2.23 – pág. 38 do texto base.
Calcule nn
a∞→
lim , sabendo que Ra∈ e para todo )1( ≥> nNn , n
aan
1<− .
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Dem: Temos quen
aan
1<− se, e somente se, n
aan
an
aan nn
1111 +<<−⇔<−<− .
Sabemos an
aan
a =
+=
− 1lim e
1lim então pelo teorema do confronto segue que o
aan =lim .
7) Demonstre as desigualdades apresentadas na seção “Importantes Desigualdades” nas páginas 38 e 39 do texto base.
A) Se r é um número real, tal que 1−≥r , então: ( ) Nnrnr n ∈∀+≤+ 11 Dem: Vamos demonstrar por indução. Para 1=n temos rr +≤+ 11 o que é verdade. Suponhamos verdadeira para n, ou seja:
( ) 11 nrnr +≤+ (*)
Provemos que vale para 1+n , ou seja, ( ) 1)1(1 1++≤++ nrrn .
De fato, pela equação temos (*) ( ) 11 nrnr +≤+ multiplicando a desigualdade por r+1 temos:
( ) ( ) ( ) ( ) 1212 1)1(1111)1(1 ++ +≤+++⇒+≤+++⇒+≤++ nnn rnrrnrnrnrrrrnr
como 02 ≥nr Nn∈∀ segue que ( ) 12 11)1(1 ++≤+++≤++ nrnrnrrrn o que mostra
que ( ) 1)1(1 1++≤++ nrrn . Sendo assim pelo princípio de indução temos que
( ) Nnrnr n ∈∀+≤+ 11 .
8) Exercício 2.26 (1) – pág. 41 do texto base.
V) Se r é um número real, tal que 0≥r , então: ( ) Nnr
nnnrr n ∈∀−++≥+ 2
)1(112
Dem: Vamos demonstrar por indução. Para 1=n temos rr +≤+ 11 o que é verdade. Suponhamos verdadeira para n, ou seja:
( ) Nnr
nnnrr n ∈∀−++≥+ 2
)1(112
(*)
Provemos que vale para 1+n , ou seja, ( )2
))(1()1(112
1 rnnrnr n ++++≥+ + .
De fato, pela equação temos (*) ( ) 2
)1(112r
nnnrr n −++≥+ multiplicando a
desigualdade por r+1 temos:
( ) ( ) 2
1)1(2
)1(1)1(12
222 r
nrrnnnnrrrr
nnnrrr n −+++++=+
−++≥++ =
( )2
)(12
22 rrnnnnnrr −+++++ como 0)( 2 ≥− rnn Nn∈∀ segue que
( ) ( ) 2
))(1()1(12
)(1)1(122
22 rnnrn
rrnnnnnrrrr n ++++≥−+++++≥++ o que
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mostra que ( )2
))(1()1(112
1 rnnrnr n ++++≥+ + . Sendo assim pelo princípio de
indução temos que ( ) Nnr
nnnrr n ∈∀−++≥+ 2
)1(112
.
9) Exercício 2.26 (2) – pág. 41 do texto base. 1) Calcular o n
nn
∞→lim .
Dem: Livro do Elon pág. 30 (exemplo14)
2) Demonstrar que ( )x
xxx n
n −=++++
∞→ 11
...1lim 2 se 1<x .
Dem: Pela dica deste exercício temo que do exercício 2.8 que
( )x
xxxx
nn
−−=++++
1)1(1
...1 2 , e do exercício 2.12(3) temos que ( ) 0lim =∞→
n
nx .
Assim temos
( )
⋅−
−
−=
−−=++++
∞→∞→∞→∞→
n
nn
n
n
n
nx
xxx
xxxx
11
lim1
1lim
11
lim...1lim 2
como xxn −
=
−∞→ 11
11
lim e 01
1lim =
⋅−∞→
n
nx
x
segue que ( )x
xxx n
n −=++++
∞→ 11
...1lim 2 .