VESTIBULAR UFRGS 2020 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA

Questão 26

2 2

0 ,a c a c

I Se entãob d b d

−

2

. .

.

.

a c

b d

a c c c

b d d d

a c c

b d d

2

. .

.

.

a c

b d

a a c a

b b d b

a a c

b b d

2

2

.

.

a cFazendo x

b d

cx

d

ax

b

=

2 2

( )a c

Então Vb d

0, 0a c a

II Se entãob d b

− +

0,

0,

c a c ase

d b d b

c a c ase

d b d b

+

+

, ( )Logo a afirmativa é F

Por atribuição:

40

4 1 331 1 0 ( )

1 3 3 30

3

a a

c ab bF

c c d b

d d

= −

+ = − + = − = − − =

:

2

2

aIII onde a é par e b é par

b

a x x a

b y y b

−

=

=

2( )

2

a x x a xfoi reduzida a F

b y y b y= =

Por atribuição:

8

10

a

b

=

=

8 2.4 4( )

10 2.5 5F= =

27)

1 1 1 11 . 1 . 1 ... 1

2 3 4 100

1 2 3 4 5 98 99 1 1. . . . ... . ( )

2 3 4 5 6 99 100 100 10A

− − − −

= =

28)

2

2

1 2

2 2 2

2

Re 1

2 8 0

( 2) ( 2) 4.1.( 8)

2

2 4 32 2 36

2 2

2 6 8 44 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

4 2 4 2

1 1( )

4 16

solução

x x

x

x

x x x

a b

C

− − =

− − − − −=

+ = =

= = = = − = −

+ = + = −

−

= − =

2

2 2

Re 2

2 8 0

1 1

2 1

8 4

1 1 1 1( )

4 16

solução

x x

raízes a e b

A soma dos inversos das raízes é dada por

b a S b cS P

a b ab P a a

S

P

Ca b

− − =

++ = = = − =

= = −−

+ = − =

29)

Utilizando a Lei dos Cossenos: 30)

31)

2 2 2

2

2

2

2

3 5 2.3.5.cos(150 )

9 25 2.3.5. os(30 )

39 25 2.3.5.

2

9 25 3.5.( 3)

34 15 3

34 15 3 ( )

o

o

x

x c

x

x

x

x E

= + −

= + − −

= + − −

= + − −

= +

= +

2

2 2

2

2

2 2 2 2.

22 2

2

d =

=

=

= =

=

1 2

2 1 ( )

x

x A

+ =

= −

:

2.

32.

2

3 1 3 3

3 1

hexág

hexág

hexág

Altura do hexágono

H x

H

H

x

=

=

= = =

= −

:

.

2

1

2

triâng

triâng

Área do triângulo

base alturaA

xA

=

= ( )

:

1

2

1 3 1

2

3 1( )

2

triâng

triâng

triâng

Área do triângulo

xA

A

A B

=

−=

−=

32)

33)

2 2 2

2

2 2

2

4 4

32

2.4

2.4

4 2

(

)

h

h

h

h

h

ou utilizar a diagonal

quadrado

= +

=

=

=

=:

2

4 4 2

2

8 2 ( )

Área do Triângulo

base alturaA

A

A C

=

=

=

( )

3

3 3

2

3

1

33

3

33

3

2 8

.. .2

. 2 2

3 3 3 3

3.3

1( )

8 8

pirâmides

cubo

cubo

basepirâmide

pirâmides

pirâmides

cubo

VRazão

V

V a a

a a ah a

A h aV

aV a

V aRazão A

V a

=

= =

= = =

= =

= = =

34) 35)

2

2

.6 .448

3 3

.6 .224

3 3

48 24

24

P

bPmaior

bPmenor

P Pmaior Pmenor

P

V

A hV

A hV

V V V

V

= = =

= = =

= − = −

=

2

2

.4 .632

3 3

.2 .68

3 3

32 8

24

Q

bQmaior

bQmenor

Q Qmaior Qmenor

Q

V

A hV

A hV

V V V

V

= = =

= = =

= − = −

=

241

24

( )

p

Q

VRazão

V

Razão

B

=

= =

3 3

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

1 ( )

3

2

y x

y x

x

x corte no x

corte no y

−

= −

=

=

= −

25

3

25

3

25

3

15 15( )

2 2

3

2

y x

y x

x

x corte no x

corte no y

− +

= − +

− = −

= − =−

= −

( ) ( )2 2

3 3 9

: (3, 3)

: 3

x y

Centro C

Raio r

− + −

=

2 2

3 2(

2 3

sin ), .

( 90 ).

1:

4

. .3 9( )

4 4 4

o

Os coeficientes angulares são e invertidos e com

ais opostos então as retas são perpendiculares

ângulo de entre elas Isso faz com que a

área marcada seja da área do círculo

rA C

−

= = =

36)

37)

8

.

2

Re

( ) :

12 8

8 12

2 3

2

3

APDE

APQ

A x

x yA

lação entre x e y

semelhança de triângulos

x y

x y

x y

xy

=

=

=

=

=

=2 2 2

2

2.

2 1 23 .2 3 2 6 3

:

( ) 8 ( )3

APQ

xx

x x xA

Função da área

xA x x D

= = = =

= −

*

( ) 1

( ) :

f x x

f x x tem o gráfico abaixo

= +

=

( ) 1 " "

:

f x x desloca uma unidade para

a ESQUERDA

= +

*

( ) 1

( ) :

g x x

g x x tem o gráfico abaixo

= − −

= ( ) 1

:

1 :

" "

:

g x x

negativo antes do módulo

inverte a concavidade

fora do módulo

desloca uma unidade para

a BAIXO

= − −

−

( ) ( ) :f x e g x no mesmo sistema cartesiano

( )

, log ( ) ( ) ,

, ,

( )

Observa se que f está acima de g em toda a

sua extensão o f x g x para todo x

ou ainda para todo x

E

−

− +

38) 39)

1

6

: 120

: 10

Meia vida horas

Concetração inicial C mg

Horário inicial horas

− =

=

1

.

1Pr

2

1exp .

2

, :

1( ) ,

2

x

Meia vida é o tempo necessário para a redução da massa pela metade

Isso gera uma ogressâo Geométrica de razão q ou uma função

onencial decrescente com a base da potência igual a

Elaborando a função temos

C x C

−

=

=

1( ) ,

. ( 6 )

onde C x é a concentração C é a concentração inicial

e x representa o número de períodos cada período é igual a horas

int :O número de períodos pode ser obtido pelo processo uitivo

5

:8

:

1( ) 120

2

1( ) 120

32

120( )

32

15( ) 3,75

4

( ) 3,75 ( )

Substituindo se

C x

C x

C x

C x

C x mg C

−

=

=

=

= =

=

Pr 2.

( 2 )

Pode se perceber que trata se de uma

ogressão Aritmética de razão r

aumento de palitos a cada etapa

− −

=

1

:

( 1).

245 3 ( 1).2

245 3 ( 1).2

2421

2

121 1

122 ( )

n

Empregando se a Fórmula do Termo Geral

a a n r

n

n

n

n

n C

−

= + −

= + −

− = −

= −

+ =

=

40)

41) 42)

1

1 2

1

1

1 1 11 ... , ,

2 4 8

lim inf

.

112

1 1 2

1 11 2 2 2

1 11

2 2

A distância entre os pontos P e B

resulta da soma ou seja

é igual ao ite da soma dos initos

termos de uma PG

a aS q

q a

S S PB

+ + +

= = = =−

= = = = =

−

:

Aplicando o Teorema de Pitágoras

no triângulo retângulo obtido

2 2 2

1 2

2 2 2

2

1 2

5

5 ( )

hip cat cat

AB

AB

AB E

= +

= +

=

=

( )5 2

:

log 2

log3

min log 288.

log 288 log 2 .3

5.log 2 2.log3

5 2 ( )

Dados

x

y

Deter ar o valor de

x y B

=

=

=

= +

= +

( )

( )

( ) ( ) ( )

3

3 2

3 2

33 2

3

( )

( ) 3 3 1

3 3 1 2 :

3 3 1 1 . :

( ) 1 ,

( ) 1 . 1 . 1 . ,

det min

f x x

g x x x x

x x x é o cubo da soma de termos

x x x x Então

g x x que também pode ser escrita como

g x x x x Nessa forma fatorada

de cada fator pode se er ar uma raiz

estabelecendo

=

= + + +

+ + +

+ + + = +

= +

= + + +

−

1 2 3

:

1 0

1 1:

1, 1 1

igualdade a zero

x

x raiz tripla igual a

x x e x

+ =

= − −

= − = − = −

:

, int

tan .

tan ,

( )

Gráfico

Quando uma raíz tem multiplicidade

ímpar a curva ercepta o eixo x

genciando o no valor da raiz

Por to o gráfico correto está na

alternativa D

−

43) 44)

( )

( )

( )

( ) 2. ( ) 2.cos( )

:

245 2. 45 2

2

2cos 45 2.cos 45 2

2

( ) 2. ( ) 2.cos( )

( ) 2. 45 . 2.cos 45 .cos

( ) 2 45 . cos 45 .cos

( ) 2 cos .cos 45 . 45

( ) 2.cos 45

o o

o o

o o

o o

o o

o

f x sen x x

Considerando

sen sen

f x sen x x

f x sen sen x x

f x sen sen x x

f x x sen x sen

f x x

= +

= =

= =

= +

= +

= +

= +

= −

exp cos

"1":

( ) 2.1 2 ( )

O valor máximo pode ser obtido

substituindo se a ressão do

por

f x B

−

= =

,

cos

, ,

exp

cos " 1" "1";

Para esse tipo de questão quando a função

é descrita em seno ou seno e solicita se

o valor máximo ou o valor mínimo na prática

pode se substituir a ressão em seno ou

em seno por e por o menor valor

obtido corresponde ao mín

−

−

−

.

imo e o maior

corresponde ao máximo

2 2

2 2

:

20 400

, ,

int .

. .10 100

400 100 ( )

quadrado

círculo

sombreada

A área do quadrado central

é dada por

A

A parte não sombreada desse quadrado

corresponde a dois semicírculos ou seja

é igual a um círculo eiro

A r

A D

Também poderi

= = =

= = =

= −

:

100(4 )sombreada

a estar na forma

A = −

45) 46)

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

1 2

1 4

: 0

1 0 4

1 4

1 4

1 2

1 2 1 2

3 1

x y

Corte no eixo x fazer y

x

x

x

x

x x

x x

+ + =

=

+ + =

+ =

+ =

+ =

+ = − + =

= − =

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

2

1 2

1 4

: 0

0 1 4

1 4

4 1

3

3

3 3

x y

Corte no eixo y fazer x

y

y

y

y

y

y y

+ + =

=

+ + =

+ =

= −

=

=

= − =

inf :A partir dessas ormações obtém se o esboço do gráfico−

1

1

2

2 3 13

2

b hA

A

=

= =

2

2

2

2 3 33 3 3 3 3 4 3 ( )

2políg

b hA

A A D

=

= = = + =

7

2 9

. . .: min

( )

:

det min 0 0 :

1 10

2

2

2 0

2 2 ( )

x y

a y

S P D Sistema Possível e Deter ado

Uma única solução

Condição necessária

er ante principal D

a

a

a

a a E

+ =

+ =

−

47) 48)

, ,

3,3

6

3,3

6

min :

36

3

!

! ! !

6! 6.5.4.3!

3! 3! 3! 3!

5.4 20

a b c

n

Ca hos de A até C

Subir vezes etotal

direita vezes

S S S D D D

nP

a b c

P

P

=

=

= =

= =

, ,

2,4

6

2,4

6

min :

26

4

!

! ! !

6! 6.5.4!

2! 4! 2! 4!

3015

2

a b c

n

Ca hos de C até B

Subir vezes etotal

direita vezes

S S D D D D

nP

a b c

P

P

=

=

= =

= =

min

( ) : Pr :

20 15 300 ( )

Total de ca hos de A até B

passando por C aplicando o incípio Fundamental da Contagem

n D= =

( )f

P Et

=

( ), 60,6

6 60 :

(

mod ,

) :

!

! !n p

Total de possibilidades para escollher

quaisquer números dentre

Como a ordem dos escolhidos não

ifica a escolha feita trata se

de combinações

nC C

p n p

−

= =−

, ,

6 .

Possibilidades favoráveis ou seja

quando todos os escolhidos são primos

( ), 17,6

, ,

6 :

!

! !n p

Possibilidades favoráveis ou seja

quando todos os escolhidos são primos

nC C

p n p= =

−17,6

60,6

( ) ( )Cf

P E At C

= =

49)

30 ( )

:

( ).

Re Pr : 2 int

Total de alunos quantidade par

Se a quantidade de elementos da distribuição é ÍMPAR a mediana é o termo central

dados organizados em ordem crescente ou decrescente

gra ática Divide se o total por e pega se o próximo eir

=

− − . ,

31 : 31 : 2 15,5. 16

:

. ( ).

Re

o

o Por exemplo

com elementos A mediana é o elemento

Se a quantidade de elementos da distribuição é PAR a mediana é média aritmética

dos dois termos centrais dados organizados em ordem crescente ou decrescente

gr

=

Pr : 2 int .

, 30 : 30 : 2 15. 15 16

.

o o

a ática Divide se o total por e pega se o quociente e o próximo eiro

Por exemplo com elementos A mediana é a média entre o e o

elemento

− −

=

, .

15 16 .

15 6 (15 5 10 )

16 8 ( )

6 87,0 ( )

2

30 ,

o o

o o o o

o

Na tabela do exercício os dados já estão em ordem crescente

A mediana será a média entre o e o elemento

elemento nota

elemento nota é próximo valor na tabela

md md B

Observe as notas como co

= = +

=

+= =

:mplemento resolutivo

50)

2019 30

2020 40

10

I

Diferença

−

→

→

=

100.1030 100% 33,3% ( 20%) ( )

30

10 %

x mais de V

x

−−−− = =

−−−−

2017 15

2019 30

2017 15, 2019

100%. 2017,

15, sup 100% ( )

II

menos de

Se em fosse exatamente em ter se ia o dobro

que gera um aumento de Mas como em tem se

menos de a porcentage de aumento é erior aos V

−

→

→

− −

−

2012 3

2016 12

. 300%.

18.100 18002010 12 12 100% 150%

12 12

2019 30 18 %

18

III

Quadruplicou o valor de armazenamento Significa um aumento de

x

x

A diferença é

−

→

→

→ −−−− = = =

→ −−−−

2012 2016 ( )

( )

No período de a o crescimento percentual foi maior V

E