RESPOSTA DE UMA VIGA COM CAMADA VISCOELÁSTICA À EXCITAÇÃO PELA BASE

Carlos d’ Andrade Souto

1, Ravena Elise Cortez

2, Everaldo de Barros

3

1 Instituto de Aeronáutica e Espaço, São José dos Campos, Brazil, carloscdas@iae.cta.br

2 UNESP, Faculdade de Engenharia de Guaratingetá, Depto de Física e Química, Guaratingetá, Brazil, ravena.cortez@gmail.com 3 Instituto de Aeronáutica e Espaço, São José dos Campos, Brazil, everaldoeb@iae.cta.br

Resumo: A análise da resposta dinâmica de uma viga com material viscoelástico permite obter o módulo de elasticidade e o amortecimento deste material. Neste trabalho a resposta de uma viga com uma camada de material viscoelástico a deslocamentos prescritos é calculada analiticamente. As curvas obtidas são comparadas com as obtidas experimentalmente Palavras-Chave: Vibrações, viscoelástico, aplicações de engenharia

1. INTRODUÇÃO

Aeronaves e veículos espaciais são submetidos a elevados níveis de vibrações, seja de origem estrutural como a causada por movimentação de partes móveis de motores, seja de origem acústica como a causada pela exaustão de gases em alta velocidade. Estes veículos possuem estruturas compostas em boa parte por painéis que são bastante sensíveis a vibrações e oscilações da pressão externa. No caso de veículos lançadores de satélites, os níveis de pressão sonora durante a decolagem podem atingir valores entre 140 e 160 dB. O ruído é transmitido para as cavidades internas do veículo por meio da vibração dos painéis estruturais. Tal nível de ruído pode afetar a integridade de equipamentos eletrônicos embarcados ou mesmo da carga útil.

Com o objetivo de reduzir vibrações, camadas de materiais viscoelásticos, cujas propriedades como módulo de elasticidade e amortecimento variam com a frequência de excitação, são aplicadas em partes dessas estruturas a fim de reduzir os níveis de vibração e ruídos internos.

Ensaios que permitem obter o módulo de elasticidade e amortecimento de materiais viscoelásticos em função da freqüência consistem em obter as funções de resposta em freqüência de vigas de aço ou alumínio engastadas e recobertas com o material que se deseja analisar. A viga é excitada na extremidade livre preferencialmente de forma que não haja contato físico entre o dispositivo excitador e a viga. O módulo de elasticidade e o amortecimento da viga composta (metal+viscoelástico) são calculados nos picos da função de resposta em freqüência obtida [1]

Equações desenvolvidas por Ross, Kerwin e Ungar [2] permitem calcular o módulo de elasticidade e o amortecimento do material viscoelástico a partir de valores medidos da viga composta. Como mostrado por alguns autores, uma viga excitada diretamente por um “shaker” de

forma que este lhe imponha deslocamentos transversais também pode ser utilizada [3,4]. Neste trabalho a resposta em freqüência de uma viga metálica com e sem uma camada de material viscoelástico submetida a deslocamentos prescritos em uma extremidade é calculada por meio da equação de viga. As curvas calculadas são comparadas com as obtidas experimentalmente.

2. EQUAÇÃO DA VIGA

2.1. Equação diferencial da viga A equação diferencial que governa as vibrações

transversais de uma viga é [5] :

2

2

2

2

2

2 ),()(),(

),()(

t

txyxmtxf

x

txyxEI

x ∂

∂=+

∂

∂

∂

∂−

(1)

Se f(x,t)=0 a solução da equação acima é da forma:

)cos(4)senh(3)cos(2)sen(1),( xCxCxCxCtxY ββββ +++= (2)

onde:

EI

m24 ω

β =

E-módulo de elasticidade I-Momento de inércia da seção transversal da viga m-massa por unidade de comprimento ω-freqüência

(3)

As constantes C1, C2, C3 e C4 são determinadas a partir

das condições de contorno da viga. Para uma viga com deslocamento prescrito Yo na sua extremidade esquerda (x=0) e livre na extremidade direita (x=L) as condições de contorno são:

0)(

0)(

0)(

)0(

3

3

2

2

0

==

===

==

=

LxLx

x

dx

xYd

dx

xYd

dx

xdYYoxY

(4)

806

http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0205

A aplicação das condições de contorno na Eq. (2) fornecerá um sistema de 4 equações e 4 incógnitas que resolvido fornecerá as constantes C1, C2, C3 e C4.

A razão entre a o deslocamento transversal da viga em x=L e x=0 é:

oY

LxY )( = (5)

2.2. Modelo R-K-U

O modelo desenvolvido por Ross, Kerwin e Ungar permite analisar o comportamento de uma viga composta por uma viga base metálica e uma camada de material viscoelástico obtendo a rigidez flexural (EI) e o amortecimento (η) de uma viga equivalente [4]:

)(2

)2(_

)_5.0(12

)5.0_(12

)1(

)11(

*

2211

2122

2

11

2

212

3

22

2

11

3

11

22

*

2

1

*

1

2

*

21

*

1

HEHE

HHHEHEnh

nhHHbHbH

I

HnhbHbH

I

jEE

jEE

onde

IEIEEI

+

++=

−++=

++=

+=

+=

+=

η

η

(6)

Onde E1 e η1 são o módulo de elasticidade e amortecimento do metal e E2 e η2 são o módulo de elasticidade e amortecimento do viscoelástico, H1 e H2 são as espessuras do metal e do viscoelástico respectivamente e b é a largura da viga. A parte real de EI* fornece o módulo de rigidez flexural EI e a razão entre a parte imaginária e real de EI* fornece o amortecimento η. Introduzindo EI e η da viga equivalente em β na Eq.(3) pode-se calcular o deslocamento transversal da viga equivalente em x=L.

3. ENSAIOS REALIZADOS

Foram realizados ensaios com duas réguas de aço inox cujas propriedades são descritas na Tab 1.

Tabela 1 – Propriedades da viga

Propriedade Símbolo Valor Unidade

Comprimento L 120 mm

Módulo de elasticidade E 2,1x1011

N/m2

Massa específica ρ 7700 Kg/m3

Espessura H1 0.5 mm

Largura b 11,80 mm

As réguas são mostradas na Fig. 1. Os equipamentos utilizados no ensaio são mostrados na Fig.2: “shaker”, amplificador de potência, analisador de sinais – conectado a um PC (não mostrado). Um detalhe de uma viga montada no “shaker” é mostrada na Fig.3. Pode-se observar os acelerômetros montados no engaste e na ponta livre da viga. O material viscoelástico utilizado foi o autoadesivo VHB da 3M, com uma espessura de 1mm e cuja massa específica é 795 Kg/m

3 . O módulo de elasticidade e o amortecimento em

função da freqüência deste material foram obtidos de [6].

Fig. 1 – Réguas de aço inox ensaiadas

Fig. 2 – Equipamentos utilizados no ensaio

Fig. 3 – Régua montada no “shaker”

807

O “shaker” aplicou um deslocamento de conteúdo espectral aleatório (ruído branco) e foram obtidas respostas em freqüência de 0 a 3000 Hz com uma resolução em freqüência de 0,12 Hz. O programa de análise de sinais forneceu a função de transferência entre os deslocamentos na extremidade e no engaste (Y(x=L)/Y(x=0)).

4 RESULTADOS

Nos cálculos analíticos considerou-se Y(x=0)=Yo=1mm (Eq. (5)). As Figs. 4 e 5 comparam os resultados analíticos e experimentais da viga sem e com material viscoelástico respectivamente. Como amortecimento (η) do metal adotou-se 0,015.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

20

40

60

80

100

120

Freq [Hz]

Y/Y

o

analitico-s/viscoexperimental-s/visco

Fig 4 - Resultados analíticos e experimentais da viga sem material viscoelástico

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Freq [Hz]

Y/Y

o

analitico-c/viscoexperimental-c/visco

Fig 5 - Resultados analíticos e experimentais da viga com material viscoelástico

5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Observando-se as curvas das Figs. 4 e 5 percebe-se a satisfatória concordância entre os resultados analíticos e experimentais, principalmente da viga sem viscoelástico. No caso da viga com viscoelástico, o modelo analítico apresentou uma maior discrepância nas amplitudes (superestimando-as) e mesmo na freqüência do quinto modo.

Pretende-se como passos futuros do presente trabalho realizar a análise de uma viga metal+viscoelástico+metal (sanduíche), realizar análise numérica por elementos finitos e estudar o efeito da variação de temperatura nas propriedades do material viscoelástico.

REFERÊNCIAS

[1] ASTM E756-05 “Standard Test Method for Vibration Damping Properties of Materials”, ASTM International 2011.

[2] A.D. Nashif, D.I.G. Jones, J.P. Henderson, “Vibration Damping” Jonh Wiley & Sons, 1985.

[3]DOI J.L. Wojtowicki, L. Jaquen, R. Panneton “A new

approach for the measurement of damping properties of materials using the Oberst beam,” Review of Scientific Instruments, 75 (8), págs 2569-2574, 2004.

[4]DOI F. Cortés, M. J. Elejabarrieta “Viscoelastic materials

characterisation using the seismic response”, Materials and Desig, 28, págs 2054-2062, 2007.

[5] L. Meirovitch “Elements of Vibration Analysis – International Student Edition” McGraw-Hill, 1977

[6] F.S. Barbosa, R.C. Battista, “Modelagem no domínio do tempo e da freqüência de estruturas com camadas viscoelásticas amortecedoras” XXIX Jornadas Sudamericanas de Ingeniería Estructural, Punta del Este, Uruguay, 2000 .

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