37568877 Analise Modal Em Uma Viga Bi Apoiada

Universidade Federal de Santa CatarinaAnlise Modal Experimental

Relatrio do Experimento 1

Aluno: Giovanni Bratti, Eng.

Professor: Roberto Jordan, Dr.Eng.

1 de setembro de 2010

1. INTRODUO

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IntroduoO relatrio a seguir apresenta um experimento realizado numa viga

bi-apoiada, na qual foi realizada uma anlise modal experimental. Este tipo de experimento comumente utilizado para a obteno de parmetros modais de estruturas, tais como autovetores formas modais, frequncias naturais autovalores e fatores de amortecimento, para serem ento utilizados em programas computacionais de engenharia, tais como Elementos Finitos, e permitir que projetos conveis de estruturas possam ser realizados. A estrutura experimentada foi excitada por um martelo de impactao, e com um transdutor de captao de respostas (acelermetro), sinais de resposta da estrutura foram lidos por um sistema de aquisio de sinais, e funes resposta em frequncia foram medidas. Um programa computacional realizou uma tcnica de anlise, no qual, atravs das curvas medidas, foram obtidos os parmetros modais da estrutura. Os resultados obtidos experimentalmente foram comparados com os resultados obtidos a partir de um desenvolvimento analtico apresentado na Seo 2, onde ento uma validao da anlise foi realizada.

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Formulao AnalticaPara obter a formulao analtica do experimento realizado, que tinha

como estrutura fsica uma viga bi-apoiada, considerou-se um modelo idealizado conforme indicado na Fig. 1 e suas propriedades constantes. A partir do Mtodo de Sistemas Contnuos, da teoria de vibraes[1], tem-se que a equao diferencial parcial que descreve o movimento da viga

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2. FORMULAO ANALTICA

Figura 1: Modelo idealizado do experimento com a viga bi-apoiada.

em exo (equao da onda) dada por 4 v(x, t) 1 2 v(x, t) = 4 x4 a t2 sendo : a4 : Rigidez de exo por massa por unidade de comprimento, dada por a4 = EI/m; E : Mdulo de elasticidade do material; I : Momento de inrcia de rea, dado por I = bh3 /12; (1)

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v(x, t) : Deslocamento transversal de um ponto x da viga no instante t. Tendo em vista que a Eq. (1) de quarta ordem, verica-se a necessidade de quatro condies de contorno espaciais para a soluo de v(x, t), onde neste caso so dadas por v(0, t) = 0 M (0, t) = EIvxx (0, t) = 0 v(L, t) = 0 M (L, t) = EIvxx (L, t) = 0 Aplicando o mtodo da separao de variveis atravs de v(x, t) = X(x)T (t) a equao da onda resulta em X (IV ) T = ou 1 XT a4 (4) (3) (2)

X (IV ) 1T = 4 = X a T

(5)

Usando a mesma separao de variveis, as condies de contorno dadas na Eq. (2) nos fornecem v(0, t) = X(0)T (t) = 0 = = = = = = = =logo logo logo logo

X(0) = 0 X (0) = 0 X(L) = 0 X (L)= 0. (6)

M (0) = EIX (0)T (t) = 0 v(L, t) = X(L)T (t) = 0

M (L) =EIX (L)T (t) = 0

Analisando a Eq. (5), podemos solucionar a equao diferencial ordin-

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ria na seguinte forma X (IV ) X(x) = 0, mais as condies de contorno dadas na Eq. (6), em x = 0 e x = L. Este problema s admite solues triviais(nulas) para 0. Portanto, para > 0, tem-se a proposta de soluo 4 4 4 4 X(x) = C1 cosh( x) + C2 senh( x) + C3 cos( x) + C4 sen( x), (8) em que a segunda derivada dada por 4 4 X (x) =C1 cosh( x) + C2 senh( x) 4 4 C3 cos( x) C4 sen( x). (7)

(9)

Aplicando, respectivamente, a primeira e a segunda condio de contorno da Eq. (6), tem-se X(0) = 0 X (0) = 0 = C1 + C3 = 0, = C1 C3 = 0. (10) (11)

Este sistema e C1 e C3 s fornece valores no nulos para estas constantes se = 0, o que implicaria em uma soluo trivial para o problema, portanto no desejada. Em consequncia, tem-se C1 = C3 = 0. Portanto a soluo ca na forma 4 4 X(x) = C2 senh( x) + C4 sen( x). (12)

Aplicando agora a terceira e a quarta condio de contorno da Eq. (6), respectivamente, tem-se X(L) = 0 X (L) = 0 4 4 = C2 senh( L) + C4 sen( L) = 0, 4 4 = C2 senh( L) C4 sen( L)= 0. (13) (14)

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Este sistema em C2 e C4 s vai possuir uma soluo no trivial (sendo que esta signicaria C2 = C4 = 0, ou seja, soluo nula) se os coecientes de C2 e C4 formarem uma matriz singular, ou seja, com determinante nulo. Esta ltima condio nos leva equao 4 4 2 senh ( L)sen( L) = 0. Fazendo (15)

= 0 ou senh ( 4 L) = 0 ter-se-ia a mesma soluo, j descartada, = 0. Assim sendo, resta apenas considerar sen( 4 L) = 0, o que fornece4

n L = n

,

n = 1, 2, 3, ...

(16)

ou ento

n4 4 n = 4 L

,

n = 1, 2, 3, ...

(17)

Com sen( 4 L) = 0, voltando para as Eq. (13) e Eq. (14), obtm-se C2 = 0. Portanto, as autofunes cam simplesmente na forma Xn (x) = sen nx L , n = 1, 2, 3, ... (18)

Na soluo de T (t) deve-se buscar a equao T + a4 T = 0 a partir da Eq. (5), sendo que substituindo-se o valor de tem-se n4 4 a4 T (t) + T (t) = 0, L4 cuja soluo fornece n2 2 a2 n2 2 a2 Tn (t) = D1n cos t + D2n sen t . L2 L2

(19)

(20)

Assim, a autofuncao de x e de t, ligada a cada autovalor n , dada por nx vn (x, t) = sen L n2 2 a2 n2 2 a2 D cos t + D2n sen t . 1n L2 L2

(21)

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3. DESCRIO DO EXPERIMENTO

Finalmente, tem-se a soluo nal admitindo a srie

v(x, t) =n=1

vn (x, t),

(22)

em que os valores de D1n e de D2n so obtidos em funo das distribuies iniciais e de deslocamento transversal de velocidade transversal dos pontos da viga(condies iniciais). Do desenvolvimento acima percebe-se que existem vrias formas da viga vibrar livremente, que so as formas dos modos de vibrao, dadas pelas funes Xn (x), apresentadas na Eq. (18). A cada uma destas formas existe uma frequncia natural de vibrao, n , que o multiplicador da varivel t nas Eq. (20) e Eq. (21), ou seja, a frequncia natural dada por: n2 2 a2 n = L2 (23)

Na Seo 4 so apresentados os resultados obtidos experimentalmente com os obtidos atravs dos clculos das formulaes analticas aqui desenvolvidas, usando para isso as propriedades da estrutura medida, que so: L = 0.800mm, b = 0.056mm, h = 0.005mm, E = 210GPa (Ao) e = 7800kg/m3 .

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Descrio do ExperimentoO experimento teve por objetivo realizar uma anlise modal experi-

mental de uma viga bi-apoiada ilustrada pela Fig. 2, obtendo com isso, na faixa de frequncia de 0 a 512Hz, os modos de vibrao e suas respectivas frequncias naturais. Para isso, foram utilizados os seguintes equipamentos de medio/programa: 1 Acelermetro PCB-Piezotronics6


Figura 2: Ilustrao da viga experimentada.

Modelo:352A21 Srie:86995 Sensibilidade:0.942 mV/ms2 . Para mais detalhes, ver Anexo A. 1 Martelo de Impactos PCB-Piezotronics Modelo:086c05 Srie:19347 Sensibilidade:0.23 mV/N. Para mais detalhes, ver Anexo B. 1 Cabo de medio com conector BNC-UNF 10-32 (Para o acelermetro). 1 cabo de medio com conector BNC-BNC (Para o martelo). 1 Analisador de Sinais LMS Scadas Programa: LMS Test.Lab verso 8A Mdulos: Impact Testing e Modal Analysis. 1 Microcomputador Intel Dual-Core com 2GB de memria RAM.7


A cadeia de instrumentos e aparelhos utilizados ilustrada na Fig. 3, onde observa-se que a viga possui condies de contorno bi-apoiado prximas das extremidades, e observa-se tambm que no meio da viga possuem duas pequenas chapas transversais viga que no so levadas em considerao na anlise modal.

Figura 3: Cadeia de instrumentos e aparelhos.

Antes de iniciar a aquisio dos sinais, foram realizados alguns ajustes nas conguraes do mdulo Impact Testing do programa LMS Scadas. Abaixo destacado alguns dos principais ajustes: Nomeao do arquivo (projeto), AME_viga_25082010; Associao dos canais com os transdutores a serem utilizados (Transdutor de fora do Martelo de impacto no canal de entrada 1 e acelermetro no canal de entrada 2); Ajuste das sensibilidades dos transdutores;8


Ajuste da direo dos sinais/tipo de transdutor (-z para a fora; -z para acelermetro; ambos do tipo ICP); Ajuste do ganho (range dinmico) para permitir que a faixa dinmica utilizada pelo sistema de aquisio seja distribuda de acordo com a intensidade do sinal medido; Ajuste dos parmetros de aquisio: Faixa de frequncia de 0 at 512 Hz; Nmero de linhas espectrais de 2048 linhas; Resoluo na frequncia de 0, 25 Hz; Tempo de aquisio de 4s; Trigger com o sinal do martelo com um nvel de 7mV em slopeup e um pr-trigger de 0,01s; Janela force (tambm chamada transiente) para o sinal da fora, com um cuto de 4,5% (percentual do sinal que captado pela janela); Janela exponencial para o sinal de acelerao, com um decaimento de 10%; Nmero de amostras para a mdia igual a 3 de medies por ponto; Ajuste para que a funo resposta em frequncia (inertncia) instantnea, funo resposta em frequncia mdia, coerncia e a o sinal no tempo para a fora e acelerao fossem visualizados, e que a funo resposta em frequncia mdia fosse salvas; Nas Fig. 4 e Fig. 5 so mostrados alguns dos parmetros acima citados que foram congurados no mdulo Impact Testing do TEST. LAB.9


Figura 4: Ajustes do parmetros dos canais no TEST.LAB.

Figura 5: Parmetros congurados no TEST.LAB.

Para medir os pontos de resposta e excitao, a viga foi dividida em 34 pontos, identicados na Fig. 6 junto com suas cotas, onde foi excitada em diferentes pontos atravs do martelo de impacto, e a resposta foi obtida atravs do acelermetro num ponto xo da estrutura (ponto 3), afastado de 0,1m do apoio da esquerda, ponto este escolhido estrategicamente para

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fugir das primeiras linhas nodais. Como pode ser visto na Fig. 6, os pontos de medio esto distribudos em duas linhas ao longo da viga, cuja nalidade foi de tentar captar os modos de exo e alguns modos de toro.

Figura 6: Ilustrao dos pontos medidos e suas coordenadas, e as dimenses da viga em metro, cuja espessura de 0,005m.

Devido a viga ter condio de contorno bi-apoiada, como pode ser observado na Fig. 6, os pontos 1,18,17 e 34 no foram excitados por serem pontos de deslocamento nulo. Assim, todos os demais pontos foram impactados, onde para cada impactao, foi medida a resposta no acelermetro xado no ponto 31 . Desta maneira, foram obtidas 30 funes resposta em frequncia. Aps serem feitos os ajustes no mdulo Impact Testing, realizou-se uma vericao do sinal de fora com relao ao tipo de ponteira do martelo. Segundo Jordan[2], o nvel de densidade espectral de potncia (PSD) da fora no deve cair mais que 10dB na faixa de frequncia de interesse com relao ao valor inicial. Assim, utilizando uma ponteira de borracha, constatou-se que a PSD da fora num nvel de 10dB abaixo do valor inicial (f = 0Hz), a frequncia era de 200Hz, o que era inapropriado para a faixa de interesse (512Hz). Utilizando uma ponteira de Nylon, vericou-se que na frequncia de 512Hz a queda era menor que 10dB (Fig. 7), o qual estava de acordo com o indicado.Os pontos que foram impactados estavam localizados na parte superior da viga, j o ponto de resposta na parte inferior da viga.1

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Figura 7: Autospectrum do sinal de fora.

Feitas estas etapas, uma geometria simplicada da estrutura em anlise foi construda no programa (Fig. 8), conforme os pontos ilustrados na Fig. 6, e posteriormente os dados medidos foram associados esses pontos para construo das formas modais.

Figura 8: Modelo simplicado da estrutura em anlise.

Terminada a etapa de ajustes e vericao dos sinais/funes, foram realizadas as medies das inertncias, onde ilustrado uma etapa da medio na Fig. 9.12


Figura 9: Tela de visualizao das FRFs, fase, autospectrum, coerncia e sinais no tempo.

Com todos os 30 pontos medidos (2-16, 19-33), atravs do mdulo Modal Analysis, foi realizada a anlise das formas modais e as respectivas frequncias naturais. Para realizar esta anlise, o programa carregou todas as FRFs medidas, fazendo uma espcie de soma das curvas. Assim, foram geradas equaes em que o programa comparou com as curvas medidas quais eram as possveis solues. Num processo iterativo, as solues foram se repetindo e a estimativa do erro foi caindo, e ento o programa indicou que a soluo correspondeu a um possvel modo real de vibrao da estrutura. Estes provveis modos de vibrao so indicados por um "s", conforme pode ser visualizado na curva de estabilizao ilustrado na Fig. 10.a e na curva de indicao de modos (Fig. 10.b) que acontece quando a queda da curva em azul coincide com o pico da curva em vermelho. Analisando a Fig. 10.a, verica-se que o programa indica com "s"alguns pontos que no coincidem com os picos da curva soma (curva vermelha), indicando que estes pontos correspondem aos modos computacionais, que13


Figura 10: (a)Curva de Estabilizao (de 0-200Hz). (b)Curva de indicao de Modos.

so caracterizados por elevados fatores de amortecimento e baixas constantes modais. Ento, para determinar quais so os modos reais de vibrao da estrutura, cabe ao operador clicar sob os "s"que coincidem com os picos da curva soma para que assim sejam extrados os parmetros modais14

4. ANLISE DOS RESULTADOS

da viga. Depois de todo este processamento, pde-se ento gerar a curva modal synthesis, curva azul apresentada na Fig. 11.

Figura 11: Curva de Sntese Modal.

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Anlise dos ResultadosAtravs da formulao analtica apresentada na Seo 2, utilizando o

programa computacional MATLAB, as formas modais e as respectivas frequncias naturais foram calculadas para os cinco primeiros modos de exo, utilizando para isso, as propriedades da estrutura2 . As comparaes dos valores das frequncias naturais calculadas pelo mtodo analtico com as obtidas experimentalmente, so apresentadas na Tabela 1 e suas formas modais na Fig. 12. Como foram medidas duas linhas de pontos, tornou-se possvel a obteno experimental de dois modos de toro, onde as frequncias naturaisUm detalhe que deve ser notado que na estrutura fsica existiam duas chapas transversais prximas ao meio da viga(Fig. 2), as quais no foram levadas em considerao na formulao analtica.2

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Deslocamento Transversal

1 0.5 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Comprimento 0.5 0.6 0.7 0.8


1 0.5 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Comprimento 0.5 0.6 0.7 0.8


1 0.5 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Comprimento 0.5 0.6 0.7 0.8


1 0.5 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Comprimento 0.5 0.6 0.7 0.8


1 0.5 0 0.5 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Comprimento 0.5 0.6 0.7 0.8

Figura 12: Cinco primeiros modos de vibrao de exo da viga. (a)Analtico (curva em azul). (b)Experimental (superfcie em marrom).

so apresentados na Tabela 2 e as formas modais na Fig. 13 e Fig. 14. Vericando a Fig. 10, observa-se que nas frequncias de 121 e 126Hz16

4. ANLISE DOS RESULTADOS Tabela 1: Comparao dos valores de frequncias naturais de exo obtidas. Modo 1 2 3 4 5 fn Analtico [Hz] 18,38 73,53 165,43 294,10 459,54 fn Experimental [Hz] 17,78 69,32 155,12 264,17 413,45 Erro [%] -3,27 -5,72 -6,23 -10,18 -10,03

Tabela 2: Comparao dos valores de frequncias naturais de toro obtidas. Modo 1 2 fn Experimental [Hz] 220,00 335,14

Figura 13: Primeira forma modal de toro.

Figura 14: Segunda forma modal de toro.

existem dois indicativos de modos. Segundo o Prof. Jordan, esses dois valores so referentes ao primeiro modo de exo de cada chapa transversal viga. Pode-se observar na Tabela 1 e na Fig. 15 que o erro percentual cresce17


em mdulo at o quarto modo.

12 10 |Erro| [%] 8 6 4 2 1

2

3 Modo

4

5

Figura 15: Erro percentual entre a frequncia natural analtica com a experimental.

O erro percentual apresentado na Fig. 15, pode estar relacionado com a diferena que existe entre o modelo real e o analtico. Como comentado anteriormente, existem duas chapas acopladas no centro da viga, ilustradas na Fig. 16a, que no foi levada em considerao nos clculos analticos, e outro detalhe que deve ser vericado que, a viga real est apoiada com apoios distanciados de 0.800m, porm, alm desse apoios, a viga possui um comprimento excedente, como pode ser observado na Fig. 16b. Esses dois detalhes podem ser os principais responsveis pela discrepncia dos resultados obtidos, onde, devido adio de massa, os valores de frequncia naturais se tornam mais baixos. Uma pequena frao de massa adicionada estrutura tambm est associada com a massa do acelermetro xado 18


viga. a Fig. 17 apresenta um fotograa do experimento realizado.

(a) Detalhe das chapas acopladas viga.

(b) Detalhe do comprimento excedente viga.

Figura 16: Detalhes que no so considerados no modelo analtico.

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5. CONCLUSES

Figura 17: Fotograa do experimento realizado.

5

ConclusesAtravs das comparaes realizadas na Seo 4, pode-se vericar a va-

lidade do modelo analtico, que representou bem as formas modais e as respectivas frequncias naturais da viga bi-apoiada. Pode-se observar que os valores das frequncias naturais experimentais tiveram valores menores que os valores analticos. Estas diferenas podem ser explicadas devido ao fato de a viga real ter uma quantidade de massa maior que a calculada analiticamente. Algumas diculdades foram encontradas na realizao do experimento, dentre as quais, se citam: escolha de sensores adequados (tal como o tipo de ponteira do martelo), habilidade em operar o programa de medio, manter coerncia nas impactaes realizadas, habilidade para que no houvesse duplo impacto nas marteladas, dentre outras. Este trabalho de fundamental importncia no fato de o aluno estar vericando a validade a teoria de vibraes aprendida na sala de aula e tambm com relao as diculdades e os detalhes do experimento em que o estudante deve estar atento para que tenha resultados coerentes.20

Referncias[1] JORDAN, R. Apostila de fundamentos de vibraes. UFSC, Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica, 2009.(Citado na pgina 1)

[2] JORDAN, R. Apostila de analise modal experimental. UFSC, Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica, 2010.(Citado na pgina 11)

ANEXO A -- Especicaes do Acelermetro

DATASHEET

352A21 AccelerometerSpecification: PerformanceSensitivity ( +/-15% ) Measurement Range Frequency Range (+/-5%) Frequency Range (+/-10%) Frequency Range (+/-3dB ) Resonant Frequency Broadband Resolution (1 to 10KHz) Non-Linearity [1] Transverse Sensitivity

English10mV/g +/-500 g pk 1.0 to 10K Hz 0.7 to 13K Hz 0.3 to 20K Hz >=50 KHz 0.002g rms

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