8/16/2019 Resumo - Eq. Dif. Ordinárias

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Resumo – Equações Dif. Ordinárias

Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são

funções e a equação envolve derivadas destas funções. Numa

equação diferencial em que a incógnita é uma função y(t), t é a

variável independente e y é a variável dependente.

Classificação

(i) Tipo

a) ordinária: ela é ordinária se as funções incógnitas forem funçõesde somente uma variável.

b) quando as funções incógnitas forem funções de várias variáveis.

(ii) Ordem

Uma equação diferencial pode ser de 1ª, 2ª,...., n-ésima ordem

dependendo da derivada de maior ordem presente na equação.

(iii) Linearidade

Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma

linear na equação, isto é, as incógnitas e suas derivadas aparecem em

uma soma em que cada parcela é um produto de alguma derivada

das incógnitas com uma função que não depende das incógnitas.

ao ( t ) y+a1 (t ) dydt  +a2 (t ) . d

2

 yd t 2 +…+an ( t ) . d

n

 yd t n = f (

Equações Ordinárias de 1ª Ordem

São equações que podem ser escritas como:

 F (t , y , y ' )=0

O problema:

{

dy

dt  = f (t , y )

 y (t o )= yo

É chamado de problema de valor inicial (PVI).

Equações lineares de 1ª Ordem

As equações dif. Ord. Lineares de 1ª ordem são equações que podem

ser escritas como:

dy

dt  + p ( t ) y=q(t )

Equações em que p(t)=0:

dy

dt  =q (t )

  y (t )=∫ q (t ) dt +C Caso geral:

Para o caso geral, devemos pegar uma função u(t )  chamada

defator integrantepara que quando multiplicarmos toda a equação

por essa função, cheguemos a um caso semelhante ao de p(t)=0.

Essa função é dada por:

u ( t )=e∫ p (t ) dt 

E com isso prosseguimos a mesma forma que resolveríamos no caso

em que p(t)=0.

d

dt  [u ( t ). y (t ) ]=u (t ) . q(t )

Equações Separáveis

As equações separáveis são equações que podem ser escritas na

forma:

g ( y ) dy

dx=f  ( x )   g ( y )dy=f  ( x ) dx

Sendo h ( y )=∫ g ( y ) dt  . Então:dh ( y )

dy  =g ( y)

Substituindo g(y) na primeira equação, temos:

dh

dy .

 dy

dx=f ( x )

Mas pela Regra da Cadeia:

d

dx [h [ y ( x ) ] ]=dh

dy .

dy

dx

Assim:

d

dx {h [ y ( x ) ] }=f  ( x)

Integrando:

h [ y ( x ) ]=∫ f  ( x) dx+C As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser

vistas como curvas de nível da função:

 F ( x , y )=h [ y ( x ) ]−∫ f  ( x ) dx

Equações Exatas

As equações exatas são equações que podem ser escritas na forma:

 M ( x , y )+ N  ( x , y ) dy

dx=0

Em que as funções M(x,y) e N(x,y) satisfazem

∂ M 

∂ y =

∂ N 

∂ x  (condição necessária)

Existe uma função ψ ( x , y )  tal que:

 M ( x , y )=∂ψ 

∂ x e N  ( x , y )=∂ ψ 

∂ y

Onde:

ψ ( x , y )=∫ M ( x , y )dx+h ( y)Onde o h(y) encontramos derivando a função acima em relação a y e

igualando a N(x,y).

Quando não satisfazer a condição necessária, devemos multiplicar a

primeira equação por uma função u(x), que será chamada defator

integrante, para que cheguemos em uma outra equação em que seja

satisfeita a condição necessária.