MAT01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS – RESUMO

Para integrar funções racionais, assim como qualquer outro tipo de função, deve-se ter o cuidado de escolher o método mais conveniente de forma a simplificar os cálculos e minimizar as chances de erro.

O processo de integração deve ser escolhido com base no caso em que a função racional se encaixar.

1º caso: substituição ou rearranjo algébricoExemplo 1: a função derivada do denominador está presente no numerador.

∫(2x+3)

(x²+3x−5)dx u=x²+3x−5 du=(2x+3)dx = ∫

duu

= ln∣u∣+c = ln∣x²+3x−5∣+c

Exemplo 2: o integrando já está na forma de frações parciais.

∫(2x−1)

(x²+1)dx=∫ 2x

(x²+1)dx−∫ dx

(x²+1)=ln(x²+1)−arctan (x)+c

2º caso: o polinômio do denominador possui apenas raízes reais.Deve-se aplicar o método das frações parciais de forma a transformar a função racional em

uma soma de frações algébricas cujas integrais sejam conhecidas. O polinômio do denominador deve ser fatorado até que se obtenha termos irredutíveis. Após obter-se a soma de frações parciais basta integrá-las separadamente usando um método conhecido de integração.

Exemplos desse caso estão desenvolvidos na parte do resumo que trata de frações parciais.

3º caso: o polinômio do denominador possui raízes complexas.Deve-se aplicar o método do 2º caso nas partes do polinômio que contenham raízes reais.

Não se deve fatorar as partes do polinômio que contenham raízes complexas. Exemplos desse caso estão desenvolvidos na parte do resumo que trata de frações parciais.

4º caso: o polinômio do numerador tem grau maior do que o do denominador.É necessário realizar a divisão polinomial e verificar se existe necessidade de aplicação do

método descrito no 2º caso.Exemplo 1: a divisão resulta em uma função de integral conhecida.

∫(x²+x−2)

(x−1)dx (x²+x−2)÷(x−1)=(x+2)+0 = ∫(x+2)dx =

x²2

+2x+c

Exemplo 2: a divisão resulta na soma de uma função polinomial com uma função racional.

∫(3x⁴+3x³−5x²+ x−1)

(x²+x−2)dx (3x⁴+3x³−5x²+x−1)÷(x²+x−2)=(3x²+1)+

1(x²+x−2)

= ∫(3x²+1)dx+∫dx

(x²+x−2) = x³+ x+∫

dx(x²+x−2)

A integral da função racional está desenvolvida na parte do resumo que trata de frações parciais.

Elaborado por: Gustavo Fernandes

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FRAÇÕES PARCIAIS – RESUMO

A decomposição de uma função racional em frações parciais é um método algébrico que pode ser usado como ferramenta para transformar funções racionais em funções cujas integrais são conhecidas. Consiste em reescrever uma função racional em uma soma de frações.

Integral resolvida pelo método das frações parciais: ∫dx

(x²+x−2)

1º - Decompor o polinômio do denominador até se obter fatores irredutíveis. ∫dx

(x−1)(x+2)2º - Aplicar o método das frações parciais. O número de frações parciais em que o denominador será decomposto é igual ao número de fatores em que a variável x aparece.

1(x−1)(x+2)

=A

(x−1)+

B(x+2)

→ Multiplicando por (x−1)(x+2) → 1=A (x+2)+B(x−1)

3º - Determinar o valor das variáveis que estão no numerador das frações parciais. Um dos métodos que pode ser usado é a substituição da variável x por um valor que anule algum dos fatores. Após isso pode-se calcular o outro.

x=1 → 1=A (1+2)+B(1−1) → 1=3A → A=13

x=−2 → 1=A (−2+2)+B(−2−1) → 1=−3B → A=−13

4º - Substituir as frações parciais na integral e calcular usando métodos de integração conhecidos.

∫dx

(x−1)(x+2)=∫(

1/3x−1

−1/3x+2

)dx=13∫

dx(x−1)

−13∫

dx(x+2)

= 13

ln∣x−1∣−13

ln∣x+2∣+c

Outros tipos de frações parciais: Quando uma função racional de grau n é decomposta em uma soma de frações parciais

pode-se obter fatores irredutíveis de até grau n-1. Neste resumo são analisados apenas fatores lineares (item anterior) e quadráticos.

Os fatores quadráticos podem ser redutíveis (possuem raízes reais) ou irredutíveis (possuem raízes complexas). Para cada caso deve ser adotado um método diferente para a decomposição.Exemplo 1: decomposição de uma função racional com fator quadrático redutível

O termo que está elevado ao quadrado também deve ser denominador de uma fração parcial.

(2x+4 )

x³−2x²=

(2x+4)

x² ( x−2)=

Ax

+Bx²

+C

x−2

Exemplo 2:decomposição de uma função racional com fator quadrático irredutível

A fração parcial que tiver o fator quadrático no denominador terá Ax+B no numerador.(x²+x−2)

3x²−x²+3x−1=

(x²+x−2)

(3x−1)(x²+1)=

(Ax+B)

x²+1+

C3x−1

Da mesma forma as frações parciais resultam em funções cujas integrais são conhecidas.

A integração da soma de frações parciais normalmente resulta em uma expressão envolvendo ln e arctg.

Elaborado por: Gustavo Fernandes