Ensino Superior

1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Integral Indefinida

O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.

Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:

2x

A

Determinar

dx3)2)(x(x

920x16x4x3x22

234

EXEMPLO 01

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

Integral Indefinida

Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:

222 3)(x

EDx

3x

CBx

Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:

22222

234

3)(x

EDx

3x

CBx

2x

A

3)2)(x(x

920x16x4x3x

Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2

2222

222

2222

23422

3)(x

EDx3)2)(x(x

3x

CBx3)2)(x(x

2x

A3)2)(x(x

3)2)(x(x

920x16x4x3x3)2)(x(x

Integral Indefinida

que resulta:

E)2)(Dx(x

C)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234

Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:

E)29A(6C

xE)2D3C(6B

xD)2C3B(6A

xC)(2BxB)(A920x16x4x3x2

34234

Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:

Integral Indefinida

9E26C9A

20E2D3C6B

16D2C3B6A

4C2B

3BA

A solução deste sistema resulta:

0E4D0C2B1A

Portanto:

22222

234

3)(x

4x

3x

2x

2x

1

3)2)(x(x

920x16x4x3x

Integral IndefinidaLogo:

dx3)(x

4xdx

3x

2xdx

2x

1dx

3)2)(x(x

920x16x4x3x22222

234

C2xlnCulnduu

1dx

2x

1

dxdu1dx

du

2xu

dx3)(x

x4dx

3x

2xdx

2x

1222

C3xlnCulnduu

1dx

3x

2x

dx2xdu2xdx

du

3xu

22

2

Integral Indefinida

C3)2(x

1

2u

1

12

u

2

1duu

2

1dxx3)(x

dxx2

dudx2x du3xu

dx3)(xxdx3)(x

x

2

12222

2

2222

dx3)(x

x4dx

3x

2xdx

2x

1222

E, finalmente:

C3x

23xln2xlndx

3)2)(x(x

920x16x4x3x2

222

234

Integral Indefinida

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias

EXEMPLO 02

Determinar

dxxx

13x9x23

3

O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.

13x9x

9 9x9x

xx13xx09x

2

23

2323

23

2

23

3

xx

13x9x9

xx

13x9x

fração própria

Integral Indefinida

dx

xx

13x9x9dx

xx

13x9x23

2

23

3

dxxx

13x9xdx 9

23

2

dx)1(xx

13x9xdx 9

2

2

)1(x

C

x

B

x

A

)1(xx

13x9x22

2

)1(x

C)1(xx

x

B)1(xx

x

A)1(xx

)1(xx

13x9x)1(xx 2

222

2

22

BxB)A(xC)(A13x9x 22

DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

Integral Indefinida

1B

3BA

9 CA

A = 2 B = – 1 C = 7

dx)1(x

7

x

1

x

2dx 9

2

dx)1(xx

13x9xdx 9

2

2

dx)1(x

7dx

x

1dx

x

2dx 9

2

C1xln7x

1xln2x9

Integral Indefinida

Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos

EXEMPLO 03

Determinar dx

2xxx

123

2)1)(x(xx

1

2)x(xx

1

2xxx

1223

2)(x

C

1)(x

B

x

A

2)1)(x(xx

1

2AxC)2B(AxC)B(A1 2

Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:

Integral Indefinida

12A

0C2BA

0CBA

Portanto:

6

1C

3

1B

2

1A

2)6(x

1

1)3(x

1

2x

1

2)1)(x(xx

1

E, finalmente:

Logo:

dx2x

1

6

1dx

1x

1

3

1dx

x

1

2

1dx

2xxx

123

C2xln6

11xln

3

1xln

2

1dx

2xxx

123

Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person

Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.

São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.

Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

Integral Indefinida