Statistic A
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Análise Combinatória A análise combinatória estuda o numero de possibilidades de ocorrencia de um determinado acontecimento. Princípio Fundamental da Contagem (Princípio multiplicativo) Se um acontecimento é composto de duas etapas sucessivas, independentes uma da outra, e a 1a etapa pode ocorrer de n modos e a 2a etapa pode ocorrer de m modos, então, o numero de possibilidades de ocorrência do acontecimento é n*m Mais geralmente, se uma sequência é formada por k elementos (a1, a2, ..., ak), em que a1 pode ser escolhido de n1 maneiras diferentes, a2 de n2 maneiras..., ak de nk maneira, então o numero de possibilidades é n1*n2*...*nk EX: Quantas possibilidades de bytes podemos formar? Cada bit tem duas possibilidades e cada bytes tem 8 bits: 2*2*2*2*2*2*2*2 Fatorial de um número natural Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (n!) por meio das relações: n! = n * (n-1)*(n-2)*...*(2-1) 1! = 1 0! = 1 Obs: note que n!=n*(n-1)!, nεΝ* Permutação simples Cada ordenação de n objetos é chamada permutação simples de n objetos. O número de permutações simples de n objetos distintos é representado por Pn e Pn=n! Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24 Permutação com repetição Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m. Temos: 1, 2, 3, . . . , = ! 1! ∙ 2! ∙ 3! ∙ … ∙ ! Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 5 letras da palavra ARARA. A letra A ocorre 3 vezes e a letra R ocorre 2 vezes. Cálculo para o exemplo: 1 = 3, 2 = 2 = 5, logo: ! 3,2 = 5! 3! ∙ 2! = 10
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Resumo Estatística
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AnáliseCombinatóriaAanálisecombinatóriaestudaonumerodepossibilidadesdeocorrenciadeumdeterminadoacontecimento.
PrincípioFundamentaldaContagem(Princípiomultiplicativo)Seumacontecimentoécompostodeduasetapassucessivas,independentesumadaoutra,ea1aetapapodeocorrerdenmodosea2aetapapodeocorrerdemmodos,então,onumerodepossibilidadesdeocorrênciadoacontecimentoén*mMaisgeralmente,seumasequênciaéformadaporkelementos(a1,a2,...,ak),emquea1podeserescolhidoden1maneirasdiferentes,a2den2maneiras...,akdenkmaneira,entãoonumerodepossibilidadesén1*n2*...*nkEX:Quantaspossibilidadesdebytespodemosformar?Cadabittemduaspossibilidadesecadabytestem8bits:2*2*2*2*2*2*2*2
FatorialdeumnúmeronaturalDadoumnúmeronaturaln,definimosofatorialden(n!)pormeiodasrelações:n!=n*(n-1)*(n-2)*...*(2-1)1!=10!=1Obs:notequen!=n*(n-1)!,nεΝ*
PermutaçãosimplesCadaordenaçãodenobjetoséchamadapermutaçãosimplesdenobjetos.OnúmerodepermutaçõessimplesdenobjetosdistintosérepresentadoporPnePn=n!Podemosconsiderarapermutaçãosimplescomoumcasoparticulardearranjo,ondeoselementosformarãoagrupamentosquesediferenciarãosomentepelaordem.AspermutaçõessimplesdoselementosP,QeRsão:PQR,PRQ,QPR,QRP,RPQ,RQP.ParadeterminarmosonúmerodeagrupamentosdeumapermutaçãosimplesutilizamosaseguinteexpressãoP=n!.
n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1Porexemplo,4!=4*3*2*1=24
PermutaçãocomrepetiçãoDentreosmelementosdoconjuntoC={x1,x2,x3,...,xn},faremosasuposiçãoqueexistemm1iguaisax1,m2iguaisax2,m3iguaisax3,...,mniguaisaxn,demodoquem1+m2+m3+...+mn=m.Temos:
𝑃𝑚 𝑚1,𝑚2,𝑚3, . . . ,𝑚𝑛 =𝑚!
𝑚1! ∙𝑚2! ∙𝑚3! ∙… ∙𝑚𝑛!
Anagrama:Umanagramaéuma(outra)palavraconstruídacomasmesmasletrasdapalavraoriginaltrocadasdeposição.Exemplo:Quantosanagramaspodemosformarcomas5letrasdapalavraARARA.AletraAocorre3vezesealetraRocorre2vezes.Cálculoparaoexemplo:𝑚1 = 3, 𝑚2 = 2 𝑒 𝑚 = 5,logo:
𝑃! 3,2 =5!
3! ∙ 2! = 10
PermutaçãoCircular
Éumtipodepermutaçãocompostaporumoumaisconjuntosemordemcíclica.Ocorrequandotemosgruposcommelementosdistintosformandoumacircunferênciadecírculo.Édefinidapelafórmula:𝑃𝑐 𝑚 = 𝑚 − 1 !
Exemplo1:Sejaumconjuntocom4pessoas.Dequantosmodosdistintosestaspessoaspoderãosentar-sejuntoaumamesacircularpararealizarojantarsemquehajarepetiçãodasposições?
P(4)=(4-1)!=3!=6
Exemplo2:Sejaumconjuntocom10cientistas.Dequantosmodosdistintosestescientistaspodemsentar-sejuntoaumamesacircularpararealizarumaexperiênciasemquehajarepetiçãodasposições?P(10)=(10-1)!=9!=362880
Exemplo3:5criançasdesejambrincarderoda.Dequantosmodosdistintosestascriançaspodemformararodasemquehajarepetição?P(5)=(5-1)!=4!=24
ArranjosDadoumconjuntodenelementosdistintos,chama-searranjodos“n”elementos,tomados“k”a“k(k<=n),qualqueragrupamentoordenadodekelementosdistintosescolhidosentreosnexistentes.Onumerodearranjosdenelementostomados“k”a“k”érepresentadopor𝐴!,! =evaleque𝐴!,! = 𝑛!/ 𝑛 − 𝑘 !
Combinações:Sejaumconjuntode“A”com“n”elementos.Ossubconjuntosde“A”com“k”elementosconstituemagrupamentosquesãochamadosdeelementos“k”a“k”.Onúmerodecombinaçõesde“n”elementostomados“k”a“k”érepresentadopor𝐶!,!ou(
𝑛𝑘):
𝐶!,! =𝐴!,!𝑘! =
𝑛!𝑛 − 𝑘 ! ∙ 𝑘!
Observeque:1) 𝐶!,! = 𝑛
𝑛!𝑛 − 𝑘 ! ∙ 𝑘! =
𝑛!𝑛 − 1 ! ∙ 1! =
𝑛!𝑛 − 1 ! = 𝑛
2) 𝐶!,! = 1
𝑛!𝑛 − 𝑛 ! ∙ 𝑛! =
𝑛!0! ∙ 𝑛! = 1
3) Se𝑝 + 𝑞 = 𝑛 ∴ 𝐶!,! = 𝐶!,!,istoé,𝐶!,! = 𝐶!,!!!(quandoformamosum
subconjuntode“p”elementos,formamostambémoutrosubconjuntode"𝑛 − 𝑝"elementos.𝑛!
𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝!?=
𝑛!𝑛 − (𝑛 − 𝑝) ! ∙ (𝑛 − 𝑝)! ∴
𝑛!𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝! =
𝑛!𝑝! ∙ (𝑛 − 𝑝)!
4) 𝐶!,! = 𝐶!,!𝑛!
𝑛 − 0 ! ∙ 0!?=
𝑛!𝑛 − 𝑛 ! ∙ 𝑛! ∴
𝑛!𝑛! ∙ 0! =
𝑛!0! ∙ 𝑛!
5) 𝐶!,! = 𝐶!!!,! + 𝐶!!!,!!!(RelaçãodeStifel)
𝑛!𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝! =
(𝑛 − 1)!(𝑛 − 1)− 𝑝 ! ∙ 𝑝!+
(𝑛 − 1)!𝑛 − 1 − (𝑝 − 1) ! ∙ (𝑝 − 1)!
∴
𝑛!𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝!
?=
(𝑛 − 1)!𝑛 − 1− 𝑝 ! ∙ 𝑝!+
(𝑛 − 1)!𝑛 − 1− 𝑝 + 1 ! ∙ (𝑝 − 1)! ∴
𝑛!𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝!
?=
𝑛 − 𝑝 ∙ 𝑛 − 1 !𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝! +
𝑝 ∙ 𝑛 − 1 !𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝! ∴
𝑛!𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝!
?=
𝑛 − 𝑝 + 𝑝 ∙ 𝑛 − 1 !𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝! ∴
𝑛!𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝! =
𝑛 ∙ 𝑛 − 1 !𝑛 − 𝑝 ! ∙ 𝑝!
6) 𝐶!,! + 𝐶!,! + 𝐶!,! +⋯+ 𝐶!,! = 2!
TriangulodePascal
RelaçãodeStifelCadanúmerodotriângulodePascaléigualàsomadonúmeroimediatamenteacimaedoantecessordonúmerodecima.
Portanto:
SomadeumalinhaAsomadeumalinhanotriângulodePascaléiguala .
SomadeumacolunaAsomadacoluna,notriângulodePascal,podesercalculadapelarelação.
Portanto: SimetriaOtriângulodePascalapresentasimetriaemrelaçãoàaltura,seescritodaseguinteforma:
Issosedeveaofatodeque Potênciasde11Podemosverificartambémqueexistempotênciasde11,nestetriângulo.Linha0:110=1(100)=1Linha1:111=1(101)+1(100)=10+1=11Linha2:112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121Linha3:113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331Linha4:114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641
BinômiodeNewtonOselementosdalinha“K”dotriângulodePascalsãotambémchamadosdecoeficientesbinomiaisdenumerador“k”,poiscorrespondem,ordenadamente,aoscoeficientesobtidosnodesenvolvimentobinomialde:(𝑎 + 𝑏)!
Estatística:Distribuiçãobinomial:éadistribuiçãodeprobabilidadediscretadonúmerodesucessosnumasequênciadententativas,taisque:1-Cadatentativatemexclusivamentecomoresultadoduaspossibilidades,sucessooufracasso(binomial,aquesechamadetentativadeBernoulli),e;2-Cadatentativaéindependentedasdemais,e;3-Aprobabilidadedesucessoacadatentativappermanececonstanteindependentedasdemais,e;4-Avariáveldeinteresse,oupretendida,éonúmerodesucessosknasntentativas.SeavariávelaleatóriaXquecontémonúmerodetentativasqueresultamemsucessotemumadistribuiçãobinomialcomparâmetrosnepescrevemosX~B(n,p).Aprobabilidadedeterexatamenteksucessosédadopelafunçãodeprobabilidade:
Exemplo1Trêsdadoscomunsehonestosserãolançados.Aprobabilidadedequeonúmero6sejaobtidomaisdeumavezé:Aprobabilidadedequesejaobtido2vezesmaisaprobabilidadedequesejaobtido3vezes.Usandoadistribuiçãobinomialdeprobabilidade:Acha-seaprobabilidadedequesejaobtido2vezes:
Agoraaprobabilidadedequesejaobtido3vezes:
Assim,arespostaé:
Exemplo2SejaXumavariávelaleatóriaquecontémonúmerodecarassaídasem12lançamentosdeumamoedahonesta.Aprobabilidadedesair5carasem12lançamentos, ,édadapor:
Distribuiçãonormal:
Variância:𝑉 𝑥 = 𝐸 𝑥! − 𝐸 𝑥 !
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑛 ∙ 𝑝! ∙ 𝑞!!!
𝐸 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝𝑉 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞
TambémconhecidacomodistribuiçãodeGaussouGaussiana.Descreveumaprobabilidadealeatóriacontínua.Adistribuiçãoseconcentraemtornodamédiaeésimétricaemrelaçãoàela,aáreasobreafunçãoprobabilidadeéiguala1.Afunçãodensidadedeprobabilidadedadistribuiçãonormalcommédia𝜇evariância𝜎!(deformaequivalente,desviopadrão𝜎)éassimdefinida,
𝑥 𝑥! 𝑝(𝑥) 𝑥 ∙ 𝑝(𝑥) 𝑥! ∙ 𝑝(𝑥)𝑥! 𝑥! ∙∙
𝑥!
𝑥! 1 𝐸 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑝(𝑥)(esperança/média) 𝐸 𝑥! = 𝑥! ∙ 𝑝(𝑥)
Nãoépossivelcalcularaintegraldeumpontonacurva,porissonãoépossivelcalcularaprobabilidadedeumeventoisolado.Assim,calculamosapropabilidadedecertointervalo,integrandode𝑎 − 𝑏.Reduçãode0aZ:parasimplificarenãotermosqueresolveraintegral,utilizamosumatransformaçãodo𝑥para𝑧:𝑧 = !!!
!.Atabelaaseguirmostraaarea(probabilidade)do
pontozero(media)atéo𝑧calculado.
