Revisão de Estatística Aplicada a...

Revisão de Estatística Aplicada aFinanças

INTRODUÇÃO

A revisão que apresentaremos destina-se a examinar conceitos importantes

de Estatística, que tornem possível a compreensão do conteúdo do livro de forma

aprofundada. O conhecimento de Estatística1 é importante para as diversas áreas de

estudo do livro e, em particular, para o cálculo do Value-at-Risk e para o estudo de

opções. Na seção E8 apresentaremos alguns tópicos de Finanças, que interagem

com o estudo dos diversos temas abordados no livro.

Os leitores que já possuem conhecimentos de Estatística e de Finanças pode-

rão estudar ou rever apenas os tópicos que julgarem necessários.

Não temos a intenção de esgotar os temas abordados na revisão (isto deman-

daria um espaço excessivo), e o leitor poderá recorrer a literaturas específicas a

respeito dos temas em que desejar se aprofundar.

A respeito da simbologia utilizada na revisão, adotamos a convenção da maio-

ria dos livros de Estatística, de representar os conjuntos por letras maiúsculas e os

elementos dos conjuntos por letras minúsculas. Diferentemente do restante do livro,

utilizaremos o símbolo “ . ” (ponto) para representar a operação de multiplicação

(no restante do livro utilizamos o símbolo “x” para representar essa operação).

Para facilitar a compreensão dos conceitos apresentados, diversas vezes cons-

truiremos duas definições desses conceitos. A primeira será informal, com o objeti-

vo de facilitar a compreensão de modo mais intuitivo, e a segunda definição será

construída de modo mais tradicional.

E1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS

As variáveis aleatórias podem ser definidas da forma a seguir:

Uma Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemática

que associa um único número real a cada possível resultado (que pode

ser numérico ou não numérico) de um experimento aleatório.

Quando esse experimento aleatório ocorre em relação ao tempo, também se

utiliza o termo “variável estocástica” como substututo de variável aleatória.

1 Na seção E7 (página 473) mostraremos algumas definições do termo “Estatística”.

426 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1

Considere um experimento aleatório (estocástico) cujos possíveis resultados

sejam representados pelo conjunto S (espaço amostral). Uma função X que associa a

cada elemento de S (cada resultado possível do experimento aleatório) um único

número real é denominada Variável Aleatória (VA). Por exemplo, se s ∈ S, haverá

um número real x que seja função de s e que é representado pela expressão x(s).

Alguns autores consideram a denominação Variável Aleatória não apro-

priada, na medida em que ela se refere a uma Função Matemática de Experi-

mento Aleatório.

O experimento aleatório pode ser numérico ou não numérico, mas as ima-

gens da função matemática (resultados da variável aleatória) são necessariamente

números reais que ocorrerão de forma aleatória.

Quando o experimento aleatório for numérico, a variável aleatória será a

identidade que associa a cada possível resultado (numérico) do experimento alea-

tório um número igual.

Exemplo E1.1 – Represente a variável aleatória X que associa ao experi-

mento aleatório lançamento de duas moedas o resultado numérico igual ao número

de caras (K) obtidas no lançamento (a face coroa será representada pela letra C).

Resposta - Na figura E1.1, a seguir, podemos visualizar o conjunto de possí-

veis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, a variável aleatória X

e o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2}.

S Função X Sx

(variável aleatória)

KK 2

KC 1

CK

CC 0

onde:

S = domínio da função (conjunto de argumentos da função). Os argumen-

tos ocorrem de forma aleatória;

Sx = contradomínio da variável aleatória (conjunto de números reais assumi-

dos pela variável aleatória X). Os números reais de Sx também ocor-

rem de forma aleatória.

DDD 01

K K

KC

CK

CC

S SxFunção X


2

1

0

Figura E1.1 Variável Aleatória Unidimensional

Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 427

E1.1 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL

Uma Função de Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemáti-

ca que associa um número real a cada resultado da variável aleatória unidimensional

X, que também é um número real.

Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado (número

real) da variável aleatória unidimensional X. Portanto, para cada número real x,

haverá um número real z, que é função de x, ou seja, z = z(x).

Como uma variável aleatória é uma função de um experimento aleatório,

uma função de variável aleatória é, na verdade, uma função de outra função. Dessa

forma, os possíveis resultados de Z, z(x(s)) também serão função de s.

Exemplo E1.2 – Represente uma função de variável aleatória Z, que é

função da variável aleatória X considerada no exemplo E1.1, que associe um núme-

ro real z a cada número real x, de modo que z = 100 . x.

Resposta - Podemos observar que, neste exemplo, Z é uma função linear de

variável aleatória, na medida em que varia a uma razão constante de 100 unidades

para cada unidade de variação de x.

Na figura E1.2, podemos visualizar o conjunto de possíveis resultados do

experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, o conjunto de possíveis resultados da

variável aleatória X {0, 1, 2} e o conjunto de possíveis resultados da função de

variável aleatória Z {0, 100, 200}.

S Função X Sx Função Z de Sz

(variável aleatória) VA Unidimensional

KK 2 200

KC 1 100

CK

onde:

S = domínio da VA X;

Sx = contradomínio da VA X e domínio da função de VA Z;

Sz = contradomínio da função de VA Z.

DDD 02

KK

KC

CK

CC

2

1

0

S SzFunção X


Função Z de

VA Unidimensional

200

100

0

Sx

Figura E1.2 Função de Variável Aleatória Unidimensional


E1.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Uma Variável Aleatória X será discreta se o seu contradomínio Sx (conjunto

de resultados da variável aleatória) for finito ou infinito enumerável.

Ex.: Sx= { x1, x

2,...,x

n }, Sx = { 0, 1, 2 }

Sx = { x1, x

2,...,x

n...}, Sx = Z (conjunto dos números inteiros), etc.

onde:

xi ∈ ℜ (conjunto dos números reais).

E1.2.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Uma Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta é uma Fun-

ção Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência (número pertencente ao

intervalo [0,1]) a cada possível resultado (número real) da Variável Aleatória.

Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível valor de X, que cha-

maremos de xi

2 , será associado um número p (xi) que será igual à probabilidade

de que X seja igual a xi. Essa probabilidade será chamada de P (X=x

i).

Os números p(xi) devem satisfazer às seguintes restrições:

>> 01

onde:

t = número de elementos do contradomínio de X, ou seja, a quantidade

total de xi

3.

Portanto a Função de Probabilidade de X (que também pode ser chamada de

Distribuição de Probabilidade de X) será a função matemática p que associe uma

probabilidade de ocorrência para todos os elementos de Sx e que satisfaça às restri-

ções previamente definidas.

>> 01 p(xi) ≥ 0 para todo x

i ∈ Sx

Σ p(xi) = 1

t

i=1

2 É importante estar atento para a diferença entre o X maiúsculo, que representa avariável aleatória, e o x minúsculo, que representa os valores numéricos que a variá-vel aleatória pode assumir.

3 Note que está implícita, nas duas condições apresentadas, a hipótese de que0 ≤ p(x

i) ≤ 1 para todo x

i ∈ Sx.


A representação de uma função de probabilidade pode ser efetuada por sua

expressão matemática, por uma tabela (ou figura), ou por um gráfico.

Exemplo E1.3 – Represente a função de probabilidade associada à quanti-

dade de caras que ocorrem no lançamento de duas moedas (não viciadas), das três

formas mencionadas.

Respostas:

Expressão Matemática

P(X=2) = 1/4

P(X=1) = 1/2

P(X=2) = 1/4

Tabela

DDD 3 Figura

S Função X Sx P (X=xi)

(variável aleatória) (função de probabilidade)

Gráfico

1/2

0 0 2 x

p (x)

1

1/4

DDD 03

KK

KC

CK

CC

2

1

0

SFunção X


P (X=Xi)

(função de probablidade)

1/4

1/2

1/4

Sx


E1.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Uma Variável Aleatória X será contínua se o seu contradomínio

Sx (conjunto de resultados da variável aleatória) for infinito não

enumerável.

Ex.: [0,1], ℜ, ℜ+, etc.

E1.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

CONTÍNUA

Convenciona-se chamar a distribuição de probabilidade de uma variável ale-

atória contínua de função densidade de probabilidade (fdp). Na seção anterior vi-

mos que, para as variáveis aleatórias discretas, a distribuição de probabilidade deno-

mina-se função de probabilidade.

Uma Função Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória

Contínua é uma Função Matemática que associa aos intervalos dos

possíveis resultados da Variável Aleatória (intervalos de números reais)

um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado

da Variável Aleatória pertencer aos intervalos especificados.

Uma Função Densidade de Probabilidade f de uma Variável Aleatória contí-

nua X deve satisfizer às seguintes condições:

>> 02

Note que o contradomínio Sx da VA X poderá conter um limite inferior (li)

e um limite superior (ls) em que li e ls sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo

das condições anteriores, poderemos afirmar que:

>> 03

Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados em deter-

minado intervalo ]a , b[ ∈ Sx, ou seja, P (a < x < b), deveremos calcular a

>> 02 f (x) ≥ 0 para todo x ∈ Sx

∫ f(x) dx = 1

+∞

-∞

>> 03

l s

∫ f(x) dx = 1l i


proporção da área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, em relação à

área total da fdp. Como a área total da fdp é igual a 1, P (a < x < b) será igual à área

da fdp que está situada entre os argumentos a e b, que é igual à integral4 da fdp, do

limite inferior (a) ao limite superior (b), conforme mostrado na expressão a seguir:

>> 04

b

Como P (X = b) = ∫ f(x) dx = 0, ou seja, como a área de uma linha é igual a

zero, serão verdadeiras as seguintes igualdades:

P (a < x < b) = P (a ≤ x < b) = P (a < x ≤ b) = P (a ≤ x ≤ b)

Exemplo E1.4 – Admita que o Banco Central de um país estabeleceu uma

banda cambial, na qual a moeda do país possa ter sua cotação em relação ao dólar

variando de 2,80 a 3,00 unidades monetárias. Considere que a probabilidade de a

cotação pertencer a qualquer intervalo de mesma amplitude seja igual. A fdp asso-

ciada a essa variável aleatória pode ser representada pela expressão a seguir:

f (x) = 1/(2,00 – 1,80) para 2,80 ≤ x ≤ 3,00

= 0 para qualquer outro valor de x

onde:

x = cotação da moeda.

Calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e

2,88 e construa uma figura que represente a fdp da VA X.

Resposta - A probabilidade será igual à área da fdp entre os argumentos

2,84 e 2,88. Como a fdp admitida neste exemplo possui imagem constante,

>> 04 P (a < x < b) =a

b

∫ f(x) dx

+∞

∫ f(x) dx−∞

a

b

∫ f(x) dx

1= =

a

b

∫ f(x) dx

4 Aos leitores que não tenham conhecimento de cálculo, sugerimos ver conceitos e aplica-

ções iniciais de derivadas e de integrais de funções em livros de cálculo. A integral de uma

função é representada pelo símbolo “ ∫ “ e representa uma função que, ao ser derivada, será

igual à função original. Há diversas regras para o cálculo de integrais e que na maior parte

das vezes permitem os seus cálculos de forma direta. Entretanto, há funções que foram

bastante trabalhosas para que se conseguisse calcular suas integrais, e outras para as quais

até os dias atuais ainda não se conseguiu efetuar os seus cálculos. Quando são especificados

um limite inferior e um limite superior para a integral (integral definida), o seu conhecimen-

to permite o cálculo da área da função entre os limites especificados. Entretanto, na maio-

ria dos exemplos utilizados nesta Revisão de Estatística será possível calcular as áreas das

funções densidade de probabilidade (fdp) sem a necessidade de calcular as suas integrais.

b


basta multiplicar a altura pela base do retângulo para calcular a sua área, ou

seja, 1/(3,00 – 2,80) . (2,88 - 2,84) = 5 . 0,04 = 20%.

A fdp e a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e

2,88 podem ser representadas no gráfico a seguir:

A figura que representa a fdp da VA X é a seguinte:

DDD 4

Neste exemplo, como o resultado do experimento aleatório é numérico, a

variável aleatória representa a função identidade entre o seu domínio e o seu

contradomínio.

E1.4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MISTAS

Variáveis Aleatórias Mistas são variáveis aleatórias cujos resultados possam

assumir valores específicos com determinada probabilidade ou possam pertencer a

determinados intervalos com determinada probabilidade.

DDD 04

3,00

2,80

Sf(x)

(fdp)

Função X


3,00

2,80

Sx

2,80 3,00 x

5

0 2,80 3,00 x

f (x)

2,84

5

2,88

f(x)


Um bom exemplo de variável aleatória mista nos mercados derivativos é o

preço (prêmio) de uma opção de compra na data de seu vencimento. Considere uma

opção de compra que permita a seu comprador (titular da opção) adquirir uma ação,

cujo preço seja uma variável aleatória contínua, por R$ 10. Admitindo que a proba-

bilidade de o preço da ação ser igual ou inferior a R$ 10 (na data do vencimento da

opção) é igual a 40% e que a probabilidade de o preço da ação pertencer ao inter-

valo ]R$ 10, +∞[ (na data do vencimento da opção) é igual a 60%, a opção terá

40% de probabilidade de valer R$ 0 e terá 60% de probabilidade de ter valor

pertencente ao intervalo ]0,+∞[ na data de seu vencimento.

E1.5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA

Uma Função de Distribuição Acumulada de uma Variável Aleatória

é uma Função Matemática que associa a cada possível resultado da

variável aleatória (número real) a probabilidade de que os resultados

da variável aleatória (números reais) sejam menores ou iguais aos

possíveis resultados.

Seja X uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma função de distribui-

ção acumulada de X é uma função F que associa um número F(x) para todo x ∈ ℜ,

de modo que F(x) represente a probabilidade da VA X ser igual ou menor a x.

Portanto:

F (x) = P (X ≤ x)

Desse modo, a função de distribuição acumulada de um valor real x (possível

valor da variável aleatória X) terá como resultado (imagem) a probabilidade de a

variável aleatória assumir um valor menor ou igual a x.

Propriedades de uma Função de Distribuição Acumulada

F (- ∞) = 0

F (+ ∞) = 1

F (x) é sempre não decrescente

F (b) - F (a) = P (a < x ≤ b)

F (b) - F (a - Lim x) = P (a ≤ x ≤ b)

x→0+


E1.5.1 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

DISCRETAS

É obtida pela expressão matemática a seguir

>> 05

Exemplo E1.5 – Calcule a função de distribuição acumulada da variávelaleatória igual ao número de caras no lançamento de uma moeda e a representegraficamente.

Respostas:

F (x) = 0 para x < 0

= 1/4 para 0 ≤ x < 1

= 3/4 para 1 ≤ x < 2

= 1 para x ≥ 2

Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:

E1.5.2 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

CONTÍNUAS

É obtida pela expressão matemática a seguir:

>> 06 x

>> 06 F (x) = ∫ f(x) dx

x

-∞

>> 05 F (x) = Σ p(xi), para todo x

i ≤ x

i

0 x

f (x)

1 2

1

3/4

1/4


Observe que a derivada da função de distribuição acumulada é igual à função

densidade de probabilidade de x , para todo x onde F (x) seja derivável, ou seja:

>> 07

Exemplo E1.6 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável

aleatória considerada no exemplo E1.4 e a represente graficamente.

Respostas:

F (x) = 0 para x < 2,80

= 5 . (x -2,80) se 2,80 ≤ x ≤ 3,00

= 1 para x > 3,00

Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:

Exemplo E1.7 - Charada. Este exemplo foi apresentado pela autora Marilyn

vos Savant (cujo endereço eletrônico é www.askmarilyn.com) em uma coluna do

jornal americano “Parade Magazine”. O exemplo se tornou bastante conhecido pois

diversos estatísticos americanos escreveram para a autora afirmando que a sua res-

posta estava incorreta. Portanto, é possível que alguns leitores também a considerem

incorreta em um primeiro momento.

Em um programa de auditório, um indivíduo ganha o direito de participar de

um jogo no qual poderá ganhar um carro. O jogo consiste na escolha, por parte do

jogador, de uma entre três portas, sendo que atrás de apenas uma das portas há o

carro. Atrás das outras duas portas há um bode. Portanto, o jogador tem que esco-

lher uma entre as três portas, objetivando acertar aquela que tenha um carro atrás.

Logicamente, a probabilidade inicial de acerto do jogador é igual a 1/3.

>> 07 d= f(x)

0 x

f (x)

1,80 2,00

1

F (x)

dx


a) Após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa

mostra ao jogador uma das portas que ele não escolheu e que tem um bode atrás. Em

seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.

Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?

Resposta - Sim, pois ele passaria a ter probabilidade de 2/3 de ganhar o

carro se efetuasse a troca.

Se você não concorda com essa resposta procure refletir um pouco antes de

seguir adiante.

Acrescentamos ao problema original o item b) a seguir, com o objetivo de

ajudar a esclarecer o item a).

b) Considere agora que, após o jogador escolher uma das portas, o apresentador

do programa sorteie uma das três portas para abrir. Admita que o resultado do sorteio

tenha sido uma porta que o jogador não escolheu e que, ao ser aberta, tem um bode

atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.

Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?

Resposta - Ele deveria ser indiferente à troca, pois a probabilidade de ga-

nhar o carro seria de 1/2 em cada alternativa.

O objetivo de termos mostrado este exemplo é o de alertar que, muitas vezes,

a dificuldade na resolução de alguns problemas ou situações do mundo real, não

está nos conhecimentos de Estatística, mas sim na clareza, ou na compreensão das

premissas dos problemas. De fato, a maioria das pessoas tende a responder ao item

a) como se ele fosse o item b), mas, no mundo real, em um programa de auditório,

o apresentador tem o conhecimento prévio de onde está o carro e a sua escolha da

primeira porta, a ser mostrada ao jogador e ao público, não seria aleatória. Com o

objetivo de proporcionar mais emoção, aumentar a duração e elevar a audiência do

programa, o apresentador escolheria uma das duas portas que não levasse ao carro e

que não tivesse sido escolhida.

Se você ainda não se convenceu quanto à resposta do item a), repare que,

admitindo que o apresentador necessariamente escolheria uma porta diferente da

que o jogador tivesse escolhido e que não tivesse o carro, a probabilidade de o

jogador ganhar se ele não alterasse a sua escolha inicial continuaria sendo igual a

1/3. Conseqüentemente, a probabilidade complementar de o jogador ganhar, ou

seja, se alterasse a porta escolhida, passaria a ser igual a 2/3.


E2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL DEVARIÁVEIS ALEATÓRIAS

E2.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA PELAS

PROBABILIDADES DE OCORRÊNCIA

Variáveis Aleatórias Discretas

A esperança matemática de uma variável aleatória discreta é igual à pondera-

ção dos números que a variável aleatória poderá assumir, pelas probabilidades de

ocorrência dos números. Trata-se, portanto, de uma média aritmética ponderada

dos xi, em que os fatores de ponderação são as suas probabilidades de ocorrência:

>> 08

Variáveis Aleatórias Contínuas

A definição de esperança matemática de uma variável aleatória contínua é

análoga à utilizada para variáveis aleatórias discretas, sendo que as probabilidades

de ocorrência são as dos intervalos de valores e não as dos valores individuais. Desse

modo, é necessário calcular a integral da variável aleatória multiplicada por sua

fdp, conforme mostrado a seguir:

>> 09

Variáveis Aleatórias Mistas

A esperança matemática é obtida da forma a seguir:

>> 10

E2.2 MODA

Para VA discretas, a moda pode ser definida como o resultado mais prová-

vel. Portanto a moda é o resultado da VA para o qual a função de probabilidade

apresenta o maior valor. Por exemplo, a moda da função de probabilidade do

exemplo E1.3 é igual a 1, pois é nesse resultado que a função de probabilidade

atinge o maior valor que é igual a 1/2.

>> 09 E (x) = ∫ x . f(x) dx

+∞

−∞

>> 08E (x) = Σ x

i . p(x

i) para todo x

i ∈ Sx

n

i=1

>> 10 E (x) = Σ xi . p(x

i) + ∫ x . f(x) dx para todo x

i ∈ Sx

n l s

i=1l i


Para VA contínuas, a moda pode ser definida como o resultado da VA para o

qual a função densidade de probabilidade apresenta o maior valor.

Podem existir distribuições de probabilidade amodais, como, por exemplo, a

fdp do exemplo E1.4, e distribuições de probabilidade com mais de uma moda

(distribuições bimodais, trimodais, etc.).

E2.3 MEDIANA E PERCENTIS

A mediana é o valor para o qual a função de distribuição acumulada é igual a

0,5. Para VA contínuas, a mediana divide a área da fdp em duas metades com valor

de 0,5. Portanto há 50% de probabilidade de a VA se situar acima ou abaixo da

mediana.

Os cem percentis de uma VA são os valores para os quais a função de distri-

buição acumulada tem valores iguais a 1%, 2%,...,100%. Portanto o 50º percentil

é igual à mediana da distribuição de probabilidade.


E3 MEDIDAS DE DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE

E3.1 VARIÂNCIA


O segundo momento centrado na média de uma distribuição é conhecido

como variância. A variância de uma população de n elementos pode ser calculada

de acordo com a fórmula a seguir:

>> 11(E3.1a)

Esta fórmula pode ser reescrita da seguinte forma:

>> 12

XX

então, podemos reescrever a variância da forma a seguir:

σ 2 = E [ x

2 ] - E [ x ] 2 (E3.1b)

Para calcular a variância de uma variável aleatória discreta que tenha função

de probabilidade conhecida deve-se utilizar a fórmula a seguir:

>> 13 (E3.1c)

Esta fórmula também pode ser reescrita como a (E3.1b).

A variância de uma amostra de n elementos pode ser calculada de acordo

com a fórmula a seguir:

>> 13 σ2 = Σ (xi - E[x]2 . p(x

i))

n

i=1

>> 12

σ2 =

Σ (xi

2 - 2 . xi . E[x] + E[x]2)

n

i=1

Σ (xi

2 - 2 . E[x] . xi + E[x]2)

n

i=1

n n=

Σ (xi

2) - n . (2 . E[x]2 + E[x]2)n

i=1

n=

n

= - E[x]2

Σ (xi

2)i=1

n

=

σ2 =i=1

Σ (xi - E[x])2

n

n

>> 11


>> 14


A variância de uma função densidade de probabilidade f(x) deve ser calcula-

da de acordo com a fórmula a seguir:

>> 15

ou

σ2 = E [x

2] - E [x]2

Esta última fórmula é igual à fórmula (E3.1b).

Variáveis Aleatórias Mistas

A variância de uma distribuição de probabilidade que seja parcialmente dis-

creta e parcialmente contínua deve ser calculada da forma a seguir:

>> 16

Esta última fórmula também é igual à fórmula (E3.1b).

E3.2 DESVIO PADRÃO

O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.

O desvio padrão de uma população de n elementos pode ser calculado como

a raiz quadrada da fórmula (E3.1a) como mostrado a seguir:

σ = [ σ2 ] 1/2

>>16 σ2 = Σ (xi - E[x])2 + ∫ x2 . f (x) dx - ∫ x . f (x) dx

ou

σ2 = E [x

2] - E [x]2

n+∞

i=1 -∞

+∞

-∞

2

>> 14 s2 =

n

i=1

n - 1

Σ (xi - E[x])2

>> 15∫ x2 . f (x) dx - ∫ x . f (x) dx

2

σ2 =

+∞

−∞

+∞

−∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡


O desvio padrão de uma variável aleatória com função de probabilidade co-

nhecida também pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1c) como

mostrado a seguir:

σ = [ σ2 ] 1/2

O desvio padrão de uma amostra de n elementos pode ser calculado como a

raiz quadrada da fórmula (E3.2) como mostrado a seguir:

s = [ s2 ] 1/2

E3.3 VOLATILIDADE DE UM ATIVO

A volatilidade pode ser definida como uma medida de dispersão.

A forma convencionada para mensurar e comparar a volatilidade das di-

ferentes variáveis é por meio do cálculo dos desvios padrão das variáveis.

Por exemplo, a volatilidade dos diferentes preços unitários (PUs) de ne-

gociação de um título público em determinado dia será o desvio padrão das

diferentes cotações do título.

Entretanto, quando se trata de medir a volatilidade de uma variável

ao longo de diferentes dias, convencionou-se medir a volatilidade da

variável como o desvio padrão dos retornos diários da variável, medidos

em taxas logarítmicas, observados ao longo de determinado período

de tempo (janela temporal).

Ao observarmos uma série histórica de preços de determinado ativo, po-

deremos medir o retorno médio e a volatilidade do ativo:

• o retorno médio ( r ) é igual à média dos retornos logarítmicos ocor-

ridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir:

>> 17

• a volatilidade é igual ao desvio padrão dos retornos ocorridos ao longo de

t dias considerados, como mostramos a seguir:

r = Σ

onde:

ri = Ln

t

i=1

r i

n

Pt

Pt-1

, ou seja, é o retorno logarítmico diário.( )


>> 18

A tabela 22.1 do seção 22.5 ilustra o cálculo da volatilidade de uma ação apartir dos seus 20 retornos logarítmicos mais recentes. Na seção 22.8 mostramosoutras alternativas para estimar a volatilidade futura de ativos a partir dos retornosocorridos no passado.

Observe que, se o preço do ativo (Pt) caísse para um valor bastante pequeno

(próximo a zero), o retorno logarítmico do ativo tenderia a -∞. Esta é a forma maisutilizada de mensuração de retornos, na medida em que se mostra coerente com arealidade, ao admitir que o retorno logarítmico do ativo possa assumir valores de

-∞∞∞∞∞ a +∞∞∞∞∞ e que o seu preço possa assumir apenas valores positivos.Conforme será visto nas seções E4.2.3 e E4.2.4, no estudo de Finanças

tradicionalmente admite-se que o retorno de um ativo medido em taxaslogarítmicas tenha função densidade de probabilidade (fdp) normal. É matema-ticamente demonstrável que esta hipótese eqüivale a admitir que o preço doativo tenha fdp lognormal.

Os retornos medidos em taxas efetivas (Ri) devem ser calculadas da for-

ma a seguir:

>> 19

Note que, se o preço do ativo (P t) caísse para um valor bastante pequeno

(próximo a zero), o retorno efetivo tenderia a -1 (ou - 100%).

E3.4 ASSIMETRIA

O coeficiente de assimetria pode ser definido a partir do terceiro momentocentrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:

>> 20

A assimetria informa se uma distribuição de probabilidade tende a apresentaros valores altos ou os valores baixos mais distante da média. Quando a assimetriafor positiva, a distribuição deverá apresentar cauda à direita; quando a assimetria for

>> 19 Pt - P

t-1

Pt-1

Ri =

>> 20 Σ (xi - E[x])3

i=1

n

nAss =

σ3

>> 18σ = Σ

_t

i=1

(r i - r )2

n - 1

1/2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡


negativa, a distribuição deverá apresentar cauda à esquerda; e, quando a assimetriafor nula, a distribuição deverá ser simétrica em relação à sua média.

E3.5 CURTOSE

O coeficiente de curtose pode ser definido a partir do quarto momento centradona média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:

>>21

A curtose informa se uma distribuição de probabilidade é achatada ou não.Por exemplo, uma distribuição uniforme que apresente probabilidade constante apre-sentará curtose muito baixa, ao passo que uma distribuição de probabilidade queapresente um pico de probabilidade no meio e uma queda brusca de probabilidadenas pontas apresentará uma curtose elevada.

Como parâmetro de comparação, adotou-se a curtose da distribuição normalque é igual a 3.

Convencionou-se chamar as distribuições de probabilidade achatadas (apre-sentam curtose abaixo de 3) de platicúrticas; as distribuições de probabilidade queapresentam curtose maior do que 3, de leptocúrticas; e as distribuições de probabi-lidade que apresentam curtose igual a 3, de mesocúrticas.

É importante ressaltar que o fato de uma distribuição ser achatada (platicúrtica)não significa que ela terá variância elevada, assim como as distribuições que têmcurtose elevada (leptocúrticas) não terão necessariamente variância baixa. Paraexemplificar a afirmação anterior, vale mencionar que uma distribuição normalapresenta curtose igual a 3, independentemente de qual seja a sua variância.

˜Σ (x

i - E[x])4

i=1

n

nCurt =

σ4


E4 Distribuições de Probabilidade Importantes

E4.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL

Seja uma variável aleatória discreta Y que associa apenas um de dois resulta-dos (números) possíveis a cada experimento aleatório. Há, portanto, apenas doisresultados possíveis para Y: y

1 e y

2. Convenciona-se chamar um dos dois resultados

de sucesso e o outro de fracasso. Se o experimento aleatório ao qual a VA Y estáassociada for repetido n vezes, poderá ocorrer o máximo de n sucessos e o mínimode zero sucessos.

Uma Função de Probabilidade Binomial X associa a x (número deocorrência de sucessos) a probabilidade de o resultado sucesso ocorrerx vezes em n repetições do experimento aleatório (portanto 0 ≤ x ≤ n).

A função de probabilidade binomial pode ser representada pela expressãomatemática de análise combinatória a seguir (combinação):

>> 22

onde:x = número de ocorrências do resultado favorável (sucesso) em n repetições;p = probabilidade de ocorrência do sucesso;q = 1 - p = probabilidade de ocorrência do resultado desfavorável (fracasso).

Por exemplo, a função de probabilidade binomial correspondente ao número decaras no lançamento de seis moedas não viciadas pode ser representada no gráfico a seguir:

>> 22 P (X=x) = C . px . qn-x =

n

x

6/64

0 42 x

p (X=x)

1/64

3 5 6

15/64

20/64

1/64

6/64

15/64

1

n!

(n-x)! . x!. px . qn-x


É fácil demonstrar que:

E [X] = n . pσ2 X = n . p . q

Esta distribuição será útil para estudarmos o modelo binomial de precificaçãode opções no capítulo 20.

Exemplo E4.1 – Admita que o preço de uma ação siga um caminho aleató-rio em que haja 50% de probabilidade de ocorrer alta e 50% de probabilidade deocorrer baixa a cada período, conforme mostrado a seguir:

• probabilidade de 50% de ocorrer alta de 20% em taxa logarítmica;

• probabilidade de 50% de ocorrer queda de 20% em taxa logarítmica.

Calcule a função de probabilidade do retorno em taxa logarítmica e a funçãode probabilidade do retorno em taxa efetiva após decorridos 6 períodos e faça a suarepresentação gráfica.

Respostas:

Deixaremos que o leitor efetue os cálculos. Os retornos logarítmicos e efeti-vos com suas respectivas probabilidades de ocorrência são os seguintes:

Retornos Retornos Probabilidades

Logarítmicos Efetivos

120,00% 232,01% 1,56%

80,00% 122,55% 9,38%

40,00% 49,18% 23,44%

0,00% 0,00% 31,25%

-40,00% -32,97% 23,44%

-80,00% -55,07% 9,38%

-120,00% -69,88% 1,56%


As funções de probabilidade podem ser representadas nos gráficos a seguir:

À medida que se aumenta o número de períodos, a função de probabilidade

do retorno logarítmico tende para uma fdp normal e a função de probabilidade do

fator de retorno efetivo 1 + R (e do preço) tende para uma fdp lognormal. As fdp

normal e lognormal serão estudadas nas seções E4.2.3 e E4.2.4, a seguir.

E4.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS

E4.2.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE UNIFORME

Uma Função Densidade de Probabilidade Uniforme possui imagem constante.

Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Logarítmicas

Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Efetivas

1,56%

9,38%

23,44%

31,25%

23,44%

9,38%

1,56%

-100% -50% +0% +50% +100% +150% +200% +250%

T axas de Retorno E fe tivas

Probabilidades

1,56%

9,38%

23,44%

31,25%

23,44%

9,38%

1,56%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

-120% -80% -40% +0% +40% +80% +120%

Tax as de R etor nos Logar ítm icas

Probabilidades


Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor emum intervalo [x

a ; x

b]. Se a probabilidade de ocorrer um valor em um intervalo de

tamanho L ∈ [xa ; x

b] é a mesma para qualquer outro intervalo do mesmo tamanho

que pertença a [xa ; x

b], então X será uniformemente distribuída.

A função densidade de probabilidade uniforme pode ser representada pelaexpressão a seguir:

f (x) = 1/(xb -

xa) para

x

a ≤ x ≤ x

b

= 0 para qualquer outro valor de x.

Graficamente, a fdp uniforme pode ser representada da seguinte forma:

É fácil demonstrar que:

E4.2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE TRIANGULAR

Uma Função Densidade de Probabilidade Triangular apresenta o formato triangular.

Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor emum intervalo [x

a ; x

b]. Uma função densidade de probabilidade será triangular

quando for definida pela expressão a seguir:

f (x)= 2/(xb -

xa)/(x

v - x

a) . (x - x

a) para

x

a ≤ x ≤ x

v

= 2/(xb -

xa)-2/(x

b - x

a)/(x

b - x

v) . (x - x

v) para x

v < x ≤ x

b


onde:x

v = argumento em que a fdp possui o maior valor, ou seja, é a moda da fdp.

>> 23 E [x] =x

a + x

b

2

0 xa

x

f (x)

xb

1

xa - x

b


A fdp triangular possui o formato semelhante ao mostrado no gráfico a seguir:

Se o triângulo for isósceles, ou seja, se xv estiver eqüidistante de x

a e de x

b, é

fácil demonstrar que:

E [x] = xv =

x

a + x

b

2

Exemplo E4.2 – Admita a situação de banda cambial do país mencionadono exemplo E1.4. Considere que haja uma fdp triangular simétrica para o intervalode cotações possíveis, que vai de 2,80 até 3,00. Neste caso, como a fdp é simétri-ca, o x

V será igual ao ponto médio da fdp, que é igual a 2,90. Mostre qual a fdp

associada a essa variável aleatória e calcule a probabilidade de a cotação da moedaestar situada entre 2,84 e 2,88.

Respostas:

A fdp pode ser representada pela expressão a seguir:

f (x) = 2/(3 - 2,80)/(2,90 - 2,80) . (x - 2,80) para 2,80 ≤ x ≤2,90

= 2/(3 - 2,80) - 2/(3-2,80)/(3-2,90) . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3

= 0 para qualquer outro

valor de x

ou

f (x) = 100 . (x - 2,80) para

2,80 ≤ x ≤ 2,90

= 10 - 100 . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3


A probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 seráigual à área da fdp entre os argumentos 2,84 e 2,88, ou seja:

0 xa

x

f (x)

xb

2

xb - x

a

xv


>> 24

Graficamente, a fdp pode ser representada da forma a seguir:

onde:x = cotação da moeda.

E4.2.3 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL

(OU DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS)

Esta função densidade de probabilidade será bastante utilizada ao longo dolivro e é de grande importância para o estudo de mercados derivativos, de Finançase de diversas outras áreas, devido às constatações de que:

• aproxima-se das distribuições de probabilidade observadas dos retornos,medidos em taxas logarítmicas, de diversas variáveis, como, por exemplo, ações,taxas de câmbio e commodities. Também representa boa aproximação para as pro-babilidades de ocorrência de diversos fenômenos da natureza;

• pelo teorema do limite central (a ser estudado na seção E6.8), quando umafunção de variável aleatória resulta da soma de n variáveis aleatórias independentese identicamente distribuídas (quaisquer que sejam os formatos das suas distribuiçõesde probabilidade) e n → ∞, esta função de variável aleatória (n-dimensional) terádistribuição de probabilidade tendendo à normal;

0 2,80 x

f (x)

3,00

10

2,84 2,88 2,90

24%

∫ 100 . x - 280 dx = 100 .

= 100 .

2,88

2,84

x2

2- 280 . x =

2,88

2,84

2,882

2- 280 . 2,88 - 100 .

2,842

2- 280 . 2,84 = 0,24 = 24%( )


Variável Aleatória X

Probabilidade

1

σ . 2.∏f (x) = . e

-1/2 . ((x-μ)/σ)2

para todo - ∞ < x < + ∞

• em decorrência do teorema do limite central, a distribuição normal servecomo aproximação de distribuições importantes, como, por exemplo, a distribui-ção binomial, quando é considerado um grande número de repetições;

• em decorrência do teorema do limite central, as distribuições das médias edas proporções em grandes amostras tendem a ser normalmente distribuídas.

A Variável Aleatória Contínua X será normalmente distribuída sepossuir a Função Densidade de Probabilidade a seguir:

onde μ e σ são a média e o desvio padrão da variável aleatória,respectivamente.

A fdp normal apresenta o formato de um sino, como pode ser observado nográfico a seguir:

A análise da função densidade de probabilidade permite concluir que umadistribuição normal:

• é simétrica em relação à média (que será igual à mediana e à moda);

• apresenta freqüência máxima em x = μ (a moda é igual a μ);

Gráfico E4.4 Função Densidade de Probabilidade Normal

+ ∞− ∞


• apresenta pontos de inflexão em x’ = μ - σ e x’’ = μ + σ;

• apresenta domínio de - ∞ até + ∞;

• tende a zero quando x → - ∞ e quando x → + ∞.

Ao efetuar a integral da função, ou consultando-se uma tabela de distribui-ção normal, ou utilizando-se uma planilha eletrônica, observa-se que a área sob acurva normal (a integral da curva normal) para os intervalos especificados na colu-na da esquerda, a seguir, apresenta os valores mostrados na coluna da direita:

[(μ - σ) ; (μ + σ)] = 68,29% da área total (que é igual a um)

[(μ - 2 . σ) ; (μ + 2 . σ)] = 95,43% da área total (que é igual a um)

[(μ - 3 . σ) ; (μ + 3 . σ)] = 99,73% da área total (que é igual a um)

E4.2.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL PADRONIZADA

E CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INTERVALOS

O cálculo da probabilidade de ocorrência de um valor pertencente a umdado intervalo de uma fdp pode ser feito, integrando-se a fdp nesse intervalo.No caso da fdp normal, esse cálculo é trabalhoso devido à complexidade dafórmula. Alternativamente, utilizam-se tabelas, que facilitam o cálculo, ou fun-ção estatística de aplicativos de computador, como, por exemplo, a funçãoDIST.NORM(x) do aplicativo Excel.

A construção das tabelas está baseada na padronização das fdp normais.A fdp normal padronizada possui média μ = 0 e desvio padrão σ = 1. Paratransformar-se uma fdp normal em uma fdp normal padronizada, deve-se pro-ceder a uma mudança de variável. A variável aleatória X deve ser alterada para avariável aleatória Z. Os possíveis resultados z da VA Z são obtidos pela seguintetransformação linear:

>> 26

Portanto:

E (z) = 0

σ z

= 1

A VA Z pode ser vista como uma função linear da VA X. Por exemplo,

>> 26

z =x - μ

x

σx


se x tiver média 10 e desvio padrão 2 (utiliza-se a simbologia N ~ (10,2)),z terá média 0 e desvio padrão 1 (N ~ (0,1)). Graficamente, pode-se percebera seguinte relação entre x e z:

A transformação linear altera a média e o desvio padrão da variável aleatória Xpara a média e o desvio padrão da variável aleatória Z, mas mantém a fdp de z comouma fdp normal, que, neste caso, será a fdp normal padronizada N ~ (0,1).

As tabelas que disponibilizam a área sob a fdp normal padronizada geralmenteapresentam os valores entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. Como a curva ésimétrica em torno de z = 0, torna-se possível obter-se a área entre quaisquer valoresde z. No aplicativo Excel, o valor de z é obtido na função estatística DIST.NORMP(z),que retorna o valor correspondente à área sob a fdp normal padronizada de - ∞ até z.

E4.2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE LOGNORMAL

Seja Y uma variável aleatória que possui função densidade deprobabilidade normal com média μ e desvio padrão σ. A variávelaleatória X = eY

apresentará função densidade de probabilidade

lognormal e será representada pela expressão a seguir:

Como e (base dos logaritmos neperianos, que possui valor aproximado de2,718) elevado a qualquer valor resulta sempre em número positivo, uma fdp lognormal

0 x

z

μx

=10

θ tg θ = 1/σx = 1/2

1

x . σ . 2.∏

- 1

2 . σ2. e

. (ln x - μ)2

para x > 0f(x)=


admite apenas valores positivos (conforme vimos na seção anterior, uma fdp normaladmite valores positivos e negativos pertencentes ao conjunto dos números reais).

A fdp lognormal apresenta cauda à direita, como pode ser observado nográfico a seguir:

GGG13 Gráfico E4.5

+ ∞

Como uma fdp lognormal X é definida a partir dos parâmetros de uma fdpnormal Y, a média e a variância da fdp lognormal são definidas a partir da média eda variância da fdp normal, conforme mostrado pelas expressões a seguir:

>> 28

É de grande importância observar que, quando a variável aleatória Y(normal) apresentar μ = 0, a variável aleatória X (lognormal) apresentarávalor esperado positivo igual a eσ2/2.

Esta observação é de fundamental importância para o desenvolvimento dosmodelos de precificação de opções, binomial e de Black&Scholes, e para a precificaçãopor meio da metodologia de Simulação Monte Carlo (os modelos citados encon-tram-se nos capítulos 20 a 26) e, também, para o cálculo do Value at Risk a partirdas metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo (capítulos 11, 12, 29 e 30).

Também é possível definir os parâmetros da distribuição normal a partir dadistribuição lognormal:

E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal

0 Variável Aleatória X +

Probabilidades

Gráfico E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal

σ2

x = e . e - 1

E [x] = e

(μ + σ2

)

(μ + σ2

)

( )2

2

2

σ2

0 +


( )μ = Ln E[x]

σ2 = Ln σ

x

2 + E[x]2

A distribuição lognormal é bastante utilizada para o ajustamento da variável

preço de ativos negociados no mercado financeiro, como, por exemplo, o preço das

ações, a cotação de moedas e o preço de commodities. Como se sabe, os preços dos

ativos não pode cair abaixo de zero, e a probabilidade de que seus preços atinjam

valores muito altos ou próximos a zero é bastante reduzida. Como se pode observar

no gráfico E4.5, essas características são coerentes com a fdp lognormal.

O modelo de precificação de opções de Black&Scholes, que propiciou o

prêmio Nobel de Economia de 1997 aos pesquisadores Scholes e Merton, e que será

estudado do capítulo 22 ao 25, parte da premissa de que a fdp dos preços dos ativos

é lognormal.

A aceitação de que a variável aleatória preço de um ativo tenha

função densidade de probabilidade lognormal implica a aceitação de

que o retorno do ativo medido em taxas logarítmicas tenha função

densidade de probabilidade normal.

A relação entre o preço de um ativo lognormalmente distribuído e o seu

retorno, medido em taxas logarítmicas, normalmente distribuído, será explorada

em diversas partes do livro.

σx

2 + E[x]2

E[x]2( )


E5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS

E5.1 DEFINIÇÃO

Uma Variável Aleatória Bidimensional é um conjunto de duas

Funções Matemáticas que associa um par ordenado de números reais a

cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento

aleatório. Portanto os possíveis pares ordenados de números reais

ocorrerão de forma aleatória.

Considere um experimento aleatório cujos possíveis resultados sejam repre-

sentados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam duas variáveis aleatórias, X1 e

X2, sendo que cada uma associa um número real a cada elemento de S. Por exem-

plo, se s ∈ S, haverá um número real x1, que é função de s (x

1 (s)), e um número

real x2, que é função de s (x

2 (s)). O par (X

1,X

2) é denominado variável aleatória

bidimensional.

onde:

S = domínio da VA X1 , da VA X

2 e da VA bidimensional (X

1,X

2)

(conjunto de argumentos das funções). Os argumentos ocorrerão

de forma aleatória;

Sx1

= contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X1;

Sx2

= contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X2;

Sx1 . Sx

2 = contradomínio (conjunto dos pares ordenados de números reais

possíveis de ocorrer) da VA bidimensional (X1,X

2).

S VA Bidimensional (X1 X

2)

VA X1

VA X2

s

Sx1

x1 = x

1(s)

Sx2

x2= x

2(s)

Figura E5.1 Variável Aleatória Bidimensional


Observe que o contradomínio da VA bidimensional (X1,X

2), ou seja, o con-

junto de pares ordenados possíveis de serem obtidos, tem que ser representado em um

plano bidimensional. Os resultados aleatórios da variável aleatória bidimensional

(x1,x

2) representam seqüências ordenadas (de segunda ordem) de números reais e,

por isto, esses resultados aleatórios também são conhecidos como vetores5 aleatórios.

E5.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL

Uma Função de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função

Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da

variável aleatória bidimensional (par ordenado de números reais).

Seja Z uma função que associa um número a cada resultado da variável

aleatória bidimensional (X1,X

2). Portanto, para cada par ordenado aleatório de

números reais (x1,x

2), haverá um número z, que é função do resultado aleatório

(x1,x

2), ou seja, z = z (x

1,x2). Como uma variável aleatória é função de um expe-

rimento aleatório, uma função de variável aleatória bidimensional é, na verdade,

uma função de duas funções. Dessa forma, Z = Z (X1(s),X

2(s)) também é função

do experimento aleatório.

DDD 6 Figura E5.2

onde:

S = domínio da VA X1, da VA X

2 e da VA bidimensional (X

1,X

2). Os

argumentos ocorrerão de forma aleatória;

DDD 06

Sfunção de

VA Bidimensional

Z=Z (X1 , X

2)VA X

1

VA X2

s

S x1

x1 = x

1(s)

x2 = x

2(s)

S x2

z= z (x1 , x

2)

5 Um vetor é uma seqüência ordenada de números ou de variáveis. Também se pode

definir vetor como um ponto do espaço vetorial de ordem n. Por exemplo, a seqüência

ordenada de números [-1,5 , 4] é um ponto do espaço vetorial ℜ2, assim como a

seqüência ordenada [1, -3 , 4 , 5,32] é um ponto do espaço vetorial ℜ4.

Figura E5.2Figura E5.2 Função de Variável Aleatória Bidimensional

S z


Sx1= contradomínio da VA X

1;

Sx2= contradomínio da VA X

2;

Sz = contradomínio da função de variável aleatória bidimensional Z.

Por exemplo, se o administrador de um fundo aplicou recursos dos cotistas,

comprando 50 ações da empresa A cujo preço inicial é de R$ 2 e 80 ações da

empresa B cujo preço inicial é de R$ 1, o patrimônio líquido inicial (PLt+0

) do

fundo é igual à soma do valor de mercado das ações A e das ações B, portanto

PLt+0

= R$ 100 + R$ 80 = R$ 180. Como os volumes financeiros da ação A

(VA) e da ação B (V

B) após decorrido um período temporal são iguais aos seus

volumes iniciais acrescidos de seus retornos efetivos e estes retornos decorrem do

experimento aleatório negociação das ações A e B em pregão, o PL pode ser visto

como uma função (linear) da variável aleatória bidimensional (RA,R

B), onde R

A

representa o retorno aleatório efetivo da ação A e RB representa o retorno aleató-

rio efetivo da ação B.

A figura a seguir representa as relações de causa e efeito da variável

aleatória bidimensional (RA,R

B) com a função de variável aleatória

bidimensional PL.

DDD 7 Figura E5.3

Neste exemplo, como os retornos efetivos das ações não podem ser inferi-

ores a -100%, os preços das ações não podem ser negativos e o Spl (conjunto de

valores que o patrimônio líquido poderá atingir após a realização do pregão) não

apresenta valores negativos.

Em contrapartida, o exemplo E5.1, a ser apresentado na seção E5.7, ilus-

trará a situação de uma instituição que, por alavancar recursos de terceiros, apre-

sentará a possibilidade de ter o patrimônio líquido negativo.

DDD 07

S

função de

VA Bidimensional

PL=PL (RA ,R

B)

VA RA

VA RB

s

S RA

RA = R

A(s)

R2 = R

2(s)

S RB

pl=pl (RA ,R

B)

= R$ 100 . RA +80 . R

B

+ plt+0

S pl

Figura E5.3 Função de Variável Aleatória Bidimensional

Retornos Efetivos das Variáveis Aleatórias A e B


E5.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

BIDIMENSIONAL

Uma Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória

Bidimensional é uma Função Matemática que associa uma

probabilidade de ocorrência a cada possível resultado (par ordenado

de números reais) de uma variável aleatória bidimensional discreta.

Seja (X1,X

2) uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja P uma fun-

ção que associa a cada possível resultado (par ordenado de números reais) de (X1,X

2),

que chamaremos de (x1,x

2j), um número p(x

1i,x

2j) que seja igual à probabilidade

de que (X1,X

2) seja igual a (x

1,x

2j). A função P é denominada função de probabili-

dade conjunta da variável aleatória bidimensional (X1,X

2). A probabilidade de que

(X1,X

2) seja igual a (x

1,x

2j) é representada pela simbologia P(X

1= x

1 , X

2=x

2j) e é

igual ao número p(x1i,x

2j).

Os números p(x1i,x

2j) devem satisfazer às seguintes restrições:

>> 29

onde t1 e t

2 são os números de elementos dos contradomínios de X

1 e de X

2

respectivamente.

A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta:

DDD 8 Figura E5.4

A função de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional

tem que ser expressa em um gráfico tridimensional, como o seguinte, que se refere

ao lançamento conjunto de duas moedas e de um dado:

DDD 08

P Função de

Probabilidade Conjuntada VA Bidimensional

(X1 ,X

2)

S x1

x1 = x

1(s)

x2 = x

2(s)

S x2

p=p (x1 ,x

2)

S p

VA Bidimensional(X

1, X

2)S

VA X

VA Y

s

>> 29 p(x1i,x2j) ≥ 0 para todo (x

1i,x2j) ∈ ℜ2

Σ Σ p(x1i,x2j) = 1

j=1 i=1

t 1 t 2

Figura E5.4 Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional


GGG14 Gráfico E5.1

E5.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL

ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL

Uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória

Bidimensional é uma Função Matemática que associa às áreas dos possíveis

resultados da Variável Aleatória contínua (conjuntos de pares ordenados)

um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da

Variável Aleatória pertencer às áreas especificadas (subconjuntos de ℜ2).

Seja uma variável aleatória bidimensional contínua (X1,X

2). Sejam [x

1a,x

1b]

e [x2c,x

2d] dois intervalos de valores de X

1 e X

2, respectivamente. A função densi-

dade de probabilidade conjunta dessa variável será a função f que associar à área

[x1a

,x1b

] . [x2c,x

2d] a probabilidade de que os possíveis valores de (X

1,X

2) per-

tençam simultaneamente ao intervalo [x1a

,x1b

] e ao intervalo [x2c,x

2d], ou seja,

pertençam à área [x1a

,x1b

] . [x2c,x

2d].

A função f deve satisfazer às seguintes condições:

12

3 S1

S2

S3

S4S5

S6

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

Pro

bab

ilid

ad

e d

e O

co

rrên

cia

do

s P

ares O

rd

en

ad

os

Nº de Coroas

Face de um Dado

E5.1 Função de Probabilidade ConjuntaGráfico E5.1 Função de Probabilidade Conjunta de VA Bidimensional Discreta


f (x1,x

2) ≥ 0 para todo (x

1, x

2) ∈ ℜ2

Note que o contradomínio de X1 (Sx

1) poderá conter um limite inferior li e um

limite superior ls em que lix1 e lsx

1 sejam constantes e o contradomínio de X

2 (Sx

2)

poderá conter um limite inferior li e um limite superior ls em que lix2 e lsx

2 sejam

constantes. Neste caso, sem prejuízo das condições mencionadas, poderemos afirmar que:

>> 31

Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados si-

multaneamente no intervalo [x1a

, x2b

] (P (x1a

< x1 < x

2b)) e no intervalo

[x2c , x

2d] (P (x

2c < x

2 < x

2d)), deve-se resolver a integral dupla a seguir:

>> 32

A função densidade de probabilidade conjunta tem que ser expressa em um

gráfico tridimensional.

Por exemplo, a função densidade de probabilidade conjunta de uma variável

aleatória bidimensional (X1,X

2) quando as variáveis aleatórias unidimensionais X

1 e X

2

são independentes e normalmente distribuídas tem um formato semelhante ao seguinte:

GGG15 Gráfico E5.2

+∞

∫ ∫ f(x1 , x

2) dx

1 dx

2 = 1

+∞

-∞

>> 31

∫ ∫ f(x1 , x

2) dx

1 dx

2 = 1

l s x1 lsx2

lix1 lix2

>> 32

∫ ∫ f(x1, x

2) dx

1 dx

2

x 1 b x 2 d

x1a x2c

-∞

Variável Aleatória Normal Bidimensional

1

4

7

10

13

16

19

S1S2

S3S4

S5S6

S7S8

S9S10

S11S12

S13S14

S15S16

S17S18

S19S20

S21

0,000%

0,001%

0,002%

0,003%

0,004%

0,005%

0,006%

0,007%

0,008%

0,009%

0,010%

Pro

bab

ilid

ades

Co

nju

nta

s

Variável Aleatória X1 Normalmente Distribuída VA X 2

Norm

almente D

istrib

uída


1

4

7

10

13

16

19

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17S18 S19

S20 S21

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

Pro

bab

ilid

ades

Co

nju

nta

s

Outro exemplo de função densidade de probabilidade conjunta de umavariável aleatória bidimensional (X

1,X

2) quando as variáveis aleatórias

unidimensionais X1 e X

2 são independentes e lognormalmente distribuídas pode

ser observado no gráfico a seguir:GG16 Gráfico E5.3

E5.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

BIDIMENSIONAL

Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável AleatóriaBidimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência a cadapossível resultado da Função de Variável Aleatória Bidimensional(número real).

Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de uma funçãoZ de variável aleatória bidimensional discreta (X

1,X

2) um número p, de modo que

p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z ser igual a z. A função P

é a função de probabilidade da função Z de variável aleatória bidimensional (X1,X

2).

A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas:

Variável Aleatória X1 Lognormalmente Distribuída

VA X2 L

ogno

rmalm

ente

Dist

ribuí

da

Variável Aleatória Lognormal Bidimensional


Se a variável aleatória bidimensional (X1,X

2) for contínua, a função densidade

de probabilidade da função de variável aleatória Z associará aos intervalos dos possíveisresultados de Z (intervalos de números reais) um número p, de modo que p seja igual àprobabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer aos intervalos especificados.

5.6 DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS

Sabemos que uma variável aleatória bidimensional (X1,X

2) corresponde à

associação de duas variáveis aleatórias unidimensionais, X1 e X

2, conforme mostra-

do na figura E5.1. A fim de obtermos as distribuições de probabilidade de X1 e de

X2 separadamente, deveremos trabalhar com as distribuições de probabilidade mar-

ginais de X1 e de X

2.


>> 33 (E5.1a)

(E5.1b)


>> 34 (E5.2a)

>> 33 p(x1i) = p(X

1=x

1i) = Σ p (x

1i; x

2j) = 1 para todo x

2j ∈ Sx

2

q(x2j) = p(X

2=x

2j) = Σ p (x

1i; x

2j) = 1 para todo x

1i ∈ Sx

1

t 2

j=1

t 1

i=1

>> 34

g(x1) = ∫ f (x

1; x

2) dx

2

+∞

-∞

S Sx1

Sx2

Sz

z = z (x1, x

2)

VA (X1 X

2)

VA X1

VA X2

Função de

da VA Bidimensional

(X1,X

2)

Função de

Probabilidade

P=P(z)

p=p(z)

x1 = x

1(s)

x2 = x

2(s)

s

Figura E5.5 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional


(E5.2b)

É importante ressaltar que o conhecimento de uma distribuição de probabili-dade conjunta de uma variável aleatória bidimensional (X

1; X

2), discreta ou contí-

nua, permite que sejam determinadas as distribuições marginais de X1 e de X

2.

Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não permite, em geral, a

determinação da distribuição de probabilidade conjunta de (X1,X

2). Isso será possí-

vel quando X1 e X

2 forem independentes.

Também é de fundamental importância ressaltar que o conhecimentodas distribuições de probabilidade marginais não permite, em geral, adeterminação da distribuição de probabilidade P da função Z de variávelaleatória bidimensional (X

1,X

2). Desse modo, o conhecimento das

distribuições de probabilidade de RA e de R

B ilustradas na figura E5.5 não

permite, em geral, determinar a distribuição de probabilidade do PL.

Conforme estudaremos nos capítulos 11 e 12, a metodologia da Simulação

Monte Carlo permite estimar a distribuição de probabilidade do PL, a partir do

conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias

unidimensionais.

E5.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

Sejam duas variáveis aleatórias discretas, X1 e X

2. Se os eventos X

1=x

1 e X

2=x

2

são independentes entre si para todo x1 e x

2, então X

1 e X

2 serão ditas variáveis aleató-

rias independentes. Quando duas variáveis aleatórias são independentes entre si, a pro-babilidade de determinado par ordenado ocorrer é igual ao produto das probabilidadesde ocorrência de cada valor isoladamente, conforme mostrado na expressão a seguir:

P (X1=x

1, X

2=x

2) = P (X

1=x

1) . P (X

2=x

2) (E5.3a)

Quando duas variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a pro-babilidade de determinado resultado (x

1i,x

2j) pertencer à área [x

1a,x

1b] . [x

2c,x

2d]

é igual ao produto das probabilidades de x1i pertencer ao intervalo [x

1a,x

1b] e de x

2j

pertencer ao intervalo [x2c , x

2d], conforme mostrado na expressão seguinte:

P (x1i ∈ [x

1a,x1b], x

2j ∈ [x

2c,x2d]) = P(x

1i ∈ [x

1a,x1b]) . P (x

2j ∈ [x

2c,x2d]) (E5.3b)

>> 34

h(x2) = ∫ f (x

1; x

2) dx

1

+∞

-∞


A seguir, apresentaremos um exemplo que possibilitará a utilização dos con-ceitos estudados até este ponto para calcular o Value at Risk de um banco que captarecursos de terceiros.

Exemplo E5.1 – Admita que o patrimônio líquido de um banco seja uma

função da variável aleatória bidimensional (RA,R

B), sendo R

A a variável aleatória

retorno efetivo da ação A e RB a variável aleatória retorno efetivo da ação B.

Considere que o banco possua 5 unidades da ação A em seu ativo e que tenhauma unidade da ação B no seu passivo (possua dívida indexada ao preço daação B). No instante inicial o preço de mercado da ação A era de R$ 1 e o preçode mercado da ação B era de R$ 4. O banco possui também um ativo permanen-te de R$ 3, cujo valor permanece constante ao longo do tempo. Portanto opatrimônio líquido deverá apresentar o valor inicial de R$ 4.

O balanço do banco no instante inicial t+0 pode ser representado da formaa seguir:

Ativo Passivo

Ativo Circulante Passivo Circulante

5 . PA = R$ 5 1 . P

B = R$ 4

Ativo Permanente Patrimônio Líquido

R$ 3 R$ 4

O patrimônio líquido do banco pode ser representado pela seguinte função

linear de variável aleatória bidimensional:

PL = f (RA,R

B) = V

A . R

A + V

B . R

B + PL

t+0

= R$ 5 . RA - R$ 4 . R

B + R$ 4

Considere que as variáveis aleatórias dos retornos efetivos, RA e R

B, sejam

independentes entre si. Desse modo, o valor do ativo e o valor do passivo serãonúmeros aleatórios e independentes entre si, sendo o valor do PL após decorrido umperíodo (no instante t+1) a diferença entre os valores do ativo e do passivo.

Com o objetivo de possibilitar a percepção dos resultados de forma intuitiva,vamos admitir que as variáveis aleatórias R

A e R

B tenham funções de probabilidade

bastante simples, como mostramos a seguir:


Funções de Probabilidade das VA

P (RA = -100%) = 1/4 P (R

B = -75%) = 1/6

P (RA = 0%) = 1/2 P (R

B = -50%) = 1/6

P (RA = +100%) = 1/4 P (R

B = -25%) = 1/6

P (RB = 0%) = 1/6

P (RB = +25%) = 1/6

P (RB = +50%) = 1/6

Perguntas:

a) qual a função de probabilidade conjunta da VA bidimensional (RA , R

B)?

b) qual a probabilidade de RA ser igual a 0% e de R

B ser igual a - 50%,

simultaneamente (P (RA = 0% , R

B = -50%))?

c) qual a função de probabilidade do PL (que, neste exemplo, é uma funçãolinear de variável aleatória bidimensional)?

d) qual a probabilidade de o PL ser igual a +R$ 7 (P (plt+1

= +R$ 7))?

e) qual o PL crítico, a partir do qual há 2/24 de probabilidade de ocorreremos menores valores do PL e, conseqüentemente, acima do qual há 22/24 de ocorre-rem os maiores valores do PL?

Respostas:

a) A tabela a seguir mostra a função de probabilidade conjunta (RA , R

B), ou

seja, a probabilidade de ocorrência de cada par ordenado (RA , R

B):

A função de probabilidade conjunta está representada no gráfico E5.1, daseção E5.3.

b) Conforme se pode observar na função de probabilidade conjunta (RA , R

B),

P (RA = 0%; R

B = -50%) = 2/24.

RA\R

B

- 100%

0%

+100%

TOTAIS f2(R

B)

-75%

1/24

2/24

1/24

4/24

-50%

1/24

2/24

1/24

4/24

-25%

1/24

2/24

1/24

4/24

0%

1/24

2/24

1/24

4/24

+25%

1/24

2/24

1/24

4/24

+50%

1/24

2/24

1/24

4/24

TOTAIS f1(R

A)

6/24

12/24

6/24

1


c) A tabela a seguir representa a função de variável aleatória do PL e mostraos seus valores, que são decorrentes dos pares ordenados (R

A , R

B):

A função de probabilidade do PL será a seguinte:

A função de probabilidade da função de variável aleatória bidimensional doPL pode ser representada no gráfico a seguir:

PL t+1

Possíveis

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Probabilidades

de Ocorrência

1/24

1/24

1/24

1/24

1/24

3/24

2/24

2/24

2/24

2/24

3/24

1/24

1/24

1/24

1/24

1/24

RA\R

B

-100%

0 %

+100%

-75%

+2

+7

+12

-50%

+1

+6

+11

-25%

0

+5

+10

0 %

-1

+4

+9

+25%

-2

+3

+8

+50%

-3

+2

+7


Observe que a função de probabilidade da função de variável aleatória

bidimensional é unidimensional, ao passo que a função de probabilidade conjunta

da variável aleatória bidimensional é bidimensional.É interessante notar que a combinação de uma função de probabilidade

unidimensional unimodal (função de probabilidade da VA RA) e de outra amodal

(função de probabilidade da VA RB) resultou em uma função de probabilidade bimodal

para a função de probabilidade da VA bidimensional (RA,R

B).

Isto nos dá uma idéia de como pode ser difícil estimar funções de probabili-dade para o PL quando conhecermos apenas as distribuições de probabilidade dasvariáveis nas quais uma instituição mantenha posições. Geralmente não se conheceas distribuições de probabilidade do PL, mas apenas as distribuições de probabilida-de das variáveis que influenciam seu valor.

d) P (PL= + R$ 7) = P(RA = 0%; R

B = -75%) + P(R

A = +100%; R

B = +50%)

= 2/24 + 1/24 = 3/24

Podemos observar que há duas combinações de valores do ativo e do passivo(dois pares ordenados de retornos) que geram o mesmo PL6 .

e) O patrimônio líquido crítico em t+1 (PLc t+1

) que separa os 2/24 pioresresultados do PL dos demais resultados é o PL = - R$ 2. Como será visto adiante, adiferença entre o PL

t+0 (+R$ 4) e o PL

c t+1 (-R$ 2) é igual ao Value at Risk do banco,

ao nível de significância de 2/24 (aproximadamente 8,33%). Há, portanto, 8,33%

de probabilidade de a perda ser igual ou maior do que R$ 4 - (-R$ 2) = R$ 6.

0 +4+2 PL em R$

f (PL)

+1

1/24

+5

2/24

3/24

+10+7-2 -1-3 +8 +9+6 +11+12

1/24

3/24

6 Como se sabe, dois argumentos de uma função podem ter a mesma imagem. A recípro-

ca não é verdadeira, ou seja, cada par ordenado gera um, e somente um, valor de PL.

Ex. E5.1 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional Discreta

+3


Retornaremos a este exemplo no capítulo 12 (exemplo 12.6 da sação 12.4.1),quando, então, iremos comparar o cálculo do Value at Risk deste exemplo com os Value

at Risk obtidos de acordo com as metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo.

E5.8 COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS

A covariância é uma medida que informa o quanto duas variáveis são associ-adas. Esta é uma medida dimensional, ou seja, varia à proporção que variem asunidades de medida das duas variáveis para as quais a covariância estiver sendocalculada. Portanto a covariância pode assumir valores pertencentes ao conjunto dosnúmeros reais (ou seja, pode assumir valores de -∞ até +∞).

• Para duas variáveis aleatórias discretas, a covariância é obtida pela fórmulaa seguir:

>> 36

(E5.4a)

(E5.4b)

• Para duas variáveis aleatórias contínuas, a covariância é obtida pela fórmu-la a seguir:

>> 37

E5.9 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO

Seja t uma constante e X uma variável aleatória. Considere a função linear devariável aleatória unidimensional Y = t . X. A variância e o desvio padrão de Ypodem ser obtidos a partir da variância e do desvio padrão da variável aleatória X,conforme mostrado a seguir:

VAR [Y] = VAR (t . X) = t2 . VAR [X] (E5.5a)

σ Y = σ (t . X) =⏐ t ⏐ . σ X (E5.5b)

>> 36

+∞ +∞ +∞ +∞

j=1 i=1 j=1 i=1

COV (X1,X2) = σ X

1X2 = Σ Σ x

1i . x

2j . p(x

1i;x2j) - Σ x

1i . p (x

1i;;x2j) . Σ x

2j . p(x

1i;x2j)

= E (X1 . X

2) - E (X

1) . E (X

2)

= E [(X1 - μx

1) . (X

2 - μx

2)]

>> 37

COV (X1,X2) = σ X

1X2 = ∫ ∫ x

1 . x

2 . f(x

1;x2) dx

1dx2 - ∫ x

1 . f(x

1;x2) dx

2 . ∫ x

2 . f(x

1;x2) dx

1

= E (X1 . X

2) - E (X

1) . E (X

2)

= E [(X1 - μx

1) . (X

2 - μx

2)]

+∞+∞ +∞ +∞

-∞ -∞ -∞ -∞


E5.9.1 VARIÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL

Sejam X1 e X

2 duas variáveis aleatórias e a e b duas constantes. Considere a

função de variável aleatória bidimensional Y = X1 + X

2. Pode-se afirmar que:

VAR (Y) = VAR (X1 + X

2) = VAR [X

1] + VAR [X

2] + 2 . COV (X

1,X2)

Se Y = X1 - X

2 , então:

VAR (Y) = VAR (X1 - X

2) = VAR [X

1] + VAR [X

2] - 2 . COV (X

1,X2)

Se Y = a . X1 + b . X

2 , então:

VAR(Y)=VAR (a . X1 + b . X

2) = a2 . VAR [X

1] + b2 . VAR [X

2] + 2 . a . b . COV (X

1,X2)

Se Y = a . X1 - b . X

2 , então:

VAR(Y)=VAR (a . X1 - b . X

2) = a2 . VAR [X

1] + b2 . VAR [X

2] - 2 . a . b . COV (X

1,X2)

Se X1 e X

2 são variáveis aleatórias independentes entre si, então:

COV (X1 , X

2) = 0

Se Y = a . X1 + b . X

2 , então:

VAR(Y) = VAR (a . X1 + b . X

2) = a2 . VAR [X

1] + b2 . VAR [X

2]

Se Y = a . X1 - b . X

2 , então:

VAR(Y) = VAR (a . X1 - b . X

2) = a2 . VAR [X

1] + b2 . VAR [X

2]

Os desvios padrão das funções de variáveis aleatórias bidimensionais sãoiguais às variâncias elevadas a ½.

E5.10 CORRELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS

De forma análoga à covariância, a correlação também é uma medida doquanto duas variáveis aleatórias são associadas.

Diferentemente da covariância, a correlação é uma medida adimensional, ouseja, não varia à proporção que variem as unidades de medida das duas variáveispara as quais a correlação estiver sendo calculada.


O fato de a correlação ser adimensional favorece que ela seja bem mais

utilizada do que a covariância para medir a associação entre os ativos.

A correlação pode assumir valores pertencentes ao intervalo [-1 ,+1].

• Seja (X1,X2) uma variável aleatória bidimensional. O coeficiente de correla-

ção ρ entre X1 e X

2 é definido como:

>> 41 (E5.7)

Da mesma forma que é necessário estimar as volatilidades futuras dos ativos

a partir das volatilidades passadas, também é indispensável que se estimem as corre-

lações futuras entre os ativos a partir de suas correlações passadas, para que se possa

calcular o risco de PLs que sejam influenciados por mais de uma variável.

Exemplo E5.2 – Considere que dois ativos, A e B, possuem os retornosefetivos esperados e as volatilidades mostrados a seguir:

Ativo E [Retorno Efetivo] σσσσσanual anual

A 10% 18%

B 20% 22%

Se um aplicador decidir alocar 50% de seu capital em cada um dos ativosapresentados, qual será a esperança de retorno e o risco, se os ativos tiverem corre-lações iguais a ρ=1, ρ=0,2, ρ=0 e ρ= -1?

Respostas:

O retorno esperado de um conjunto de posições é igual à média dos retornosde cada posição, ponderada pelas participações das posições em relação aos seusvalores iniciais.

Portanto, independentemente da correlação entre as variáveis, a esperança deretorno do conjunto de posições (a esperança de retorno do PL) será:

E [Retorno do PL] = 0,5 . 10% + 0,5 . 20% = 15%

Para calcular o risco, devem-se aplicar as propriedades das variâncias e dosdesvios padrão das funções de variáveis aleatórias bidimensionais apresentadasanteriormente:

>> 41E (X

1 . X

2) - E (X

1) . E (X

2)

σ X1 . σ X

2

COV (X1,X

2)

σ X1 . σ X

2

=ρ =


σ PL = [0,52 . σ2

A + 0,52 . σ2

B + 2 . 0,5 . 0,5 σ

AB]1/2

= [0,52 . σ2

A + 0,52 . σ2

B + 2 . 0,5 . 0,5 ρ

AB . σ

A . σ

B]1/2

Para ρ = 1, o risco será igual a:

σ PL = [0,52 . 0,18 2 + 0,52 . 0,222 + 2 . 0,5 . 0,5 . 1 . 0,18 . 0,22] 1/2

= [0,0081 + 0,0121 + 0,0198] 1/2

= [0,04] 1/2

= 0,20 = 20%

Para ρ = 0,2, o risco será igual a:

σ PL = [0,52 . 0,182 + 0,52 . 0,222 + 2 . 0,5 . 0,5 . 0,2 . 0,18 . 0,22] 1/2

= [0,0081 + 0,0121 + 0,00396] 1/2

= [0,02416] 1/2

= 0,155435 = 15,5435%

Para ρ = 0, o risco será igual a:

σ PL = [0,52 . 0,182 + 0,52 . 0,222 + 2 . 0,5 . 0,5 . 0 . 0,18 . 0,22] 1/2

= [0,0081 + 0,0121 + 0] 1/2

= [0,0202] 1/2

= 0,142127 = 14,2127%

Para ρ = -1, o risco será igual a:

σ PL = [0,52 . 0,182 + 0,52 . 0,222 + 2 . 0,5 . 0,5 . -1 . 0,18 . 0,22]1/2

= [0,0081 + 0,0121 - 0,0198]1/2

= [0,0004]1/2

= 0,02 = 2,00%

Podemos observar que o risco do aplicador, que é igual à volatilidade dopatrimônio líquido de sua aplicação, reduz-se, à medida que se reduz a correlaçãoentre os ativos A e B.

A seguir, desenvolveremos um pouco mais o exemplo apresentado, a fim deilustrar a redução de risco obtida a partir da diversificação das aplicações.


A tabela a seguir mostra diversas combinações para as proporções dos ativosA e B na composição do balanço, supondo ρ = 0,20.

Para obter a combinação dos ativos A e B que proporciona a menor variânciapossível, quando se admite a possibilidade de ficar captado em um e aplicado nooutro, deve-se derivar a fórmula de variância do PL em relação à participação doativo A no PL (denominaremos essa proporção de x) e igualar a derivada a zero paraobter a condição de primeira ordem, conforme mostrado a seguir:

>> 44

Como a derivada parcial segunda é positiva, a condição de segunda ordem ésatisfeita e, conseqüentemente, ao igualar a derivada parcial primeira a zero, tere-mos um ponto de mínimo8 , conforme mostramos a seguir:

7 Se houver alguma dúvida de que a derivada parcial segunda é positiva sugerimos confe-

rir novamente as propriedades de variância da seção E5.9.1, tendo em mente que a

variância de uma variável é sempre positiva. Se a variância for nula trata-se de uma cons-

tante.

8 Se a derivada parcial segunda fosse negativa, tratar-se-ia de um ponto de máximo.

Lembramos que há casos em que são necessários outros cálculos para saber se determina-

do ponto representa um máximo ou mínimo da função.

>> 44

A derivada parcial segunda seria igual a:

=∂ VAR[x . A + (1-x) . B]

∂ x∂ (x2 . VAR [A] + (1-x)2 . VAR [B] + 2 . x . (1-x) . COV(A,B))

∂ x

= 2 . x . (σ2 B + σ2 A - 2 . COV (A,B)) - 2 . σ2 B + 2 . COV (A,B)

∂2 VAR[x . A + (1-x) . B]

∂ x2

= 2 . (σ2 B + σ2 A - 2 . COV (A,B)) > 0 7

Balanço

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

Proporção

do Ativo A

2,00

1,50

1,00

0,80

0,60

0,40

0,20

0,00

-0,50

-1,00

Proporção

do Ativo B

-1,00

-0,50

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,50

2,00

Retorno

Esperado

0%

5%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

25%

30%

Desvio

Padrão

38,25%

27,04%

18,00%

15,88%

15,23%

16,25%

18,66%

22,00%

32,42%

44,08%


>> 45 (E5.8)

Por exemplo, efetuando esse cálculo para o caso em que ρ = 0,2, obtém-se:

Conseqüentemente, ao aplicar 0,6232 no ativo A e 0,3768 (1 - 0,6232) noativo B, obtém-se a combinação de posições que proporciona a menor volatilidadepossível no PL. Com essas proporções, o risco e o retorno esperado do PL será:

σ PL= [0,62322 . 0,182 + 0,37682 . 0,222 + 2 . 0,6232 . 0,3768 . 0,2 . 0,18 . 0,22]1/2

= [0,0126 + 0,0069 - 0,0037]1/2

= [0,02317]1/2

= 0,1522 = 15,22%

E [Retorno] = 0,6232 . 10% + 0,3768 . 20% = 13,77%

Os resultados da tabela podem ser visualizados no gráfico a seguir:

Do exemplo anterior, podemos depreender as seguintes conclusões:

x =0,222 - 0,2 . 0,18 . 0,22

0,222 + 0,182 - 2 . 0,2 . 0,18 . 0,22

>> 45x =

σ2 B - COV (A , B)

σ2 B + σ2 A - 2 . COV (A , B)

σ

E[Retorno]

20,0%

13,77%

10,0%

0 % 15,22% 18% 22%

B8

B7

B6

B5

B4

Bmín

.

.

.

.

.

.

.

B3

Ex. E5.1 Relação Entre Retorno Esperado e Risco de Diferentes Balaços

= 0,6232


• para um aplicador avesso ao risco, os balanços B1 e B

2 são ineficientes, na medida

em que é possível obter balanços com mesmos riscos e maiores retornos esperados;

• para um aplicador avesso ao risco, balanços que possuam proporções aplicadasno ativo B maiores do que aquela contida em Bmín (balanço com o menor desviopadrão) serão eficientes, na medida em que não é possível obter balanços com maiorretorno esperado, para um dado nível de risco.

Exemplo E5.3 – Determine as proporções de A e de B que minimizam avariância do retorno do aplicador do exemplo anterior, considerando que as corre-lações entre os ativos sejam iguais a +1 ou -1. Calcule o risco (desvio padrão) e oretorno esperado do aplicador, considerando as proporções encontradas.

Resposta - Se ρ = +1, a proporção a ser aplicada no ativo A deve ser igual a:

Conseqüentemente, devem-se aplicar 550% do PL no ativo A e - 450% doPL no ativo B (devem-se captar 450% do PL no ativo B)9 .

A volatilidade do PL será igual a:

σ PL = [5,52 . 0,182 + (- 4,5)2 . 0,222 + 2 . 5,5 . (- 4,5) . (+1) . 0,18 . 0,22]1/2

= [0,9801 + 0,9801 - 1,9602]1/2

= [0]1/2

O retorno esperado do PL será igual a:

E [Retorno] = 5,5 . 10% + (-4,5) . 20% = - 35,00%

Se ρ = -1, a proporção a ser aplicada no ativo A deve ser igual a:

>>50

Conseqüentemente, devem-se aplicar 55% do PL no ativo A e 45% do PL noativo B.

>> 500,222 - (-1) . 0,18 . 0,22

0,222 + 0,182 - 2 . (-1) . 0,18 . 0,22x = = 0,55

>> 48

0,222 - (+1) . 0,18 . 0,22

0,222 + 0,182 - 2 . (+1) . 0,18 . 0,22x = = 5,5

9 Os livros de Finanças, tradicionalmente, tratam a captação como posição Short Seller, ou

seja, posição vendida a descoberto no ativo B.


A volatilidade do PL será igual a:

σ PL = [5,52 . 0,182 + 0,452 . 0,222 + 2 . 0,55 . 0,45 . 0,2 . 0,18 . 0,22]1/2

= [0,0098 + 0,0098 - 0,0196]1/2

= [0]1/2

= 0 = 0%

O retorno esperado do PL será igual a:

E [Retorno] = 0,55 . 10% + 0,45 . 20% = +14,50%

É possível demonstrar que:

Sempre que dois ativos possuírem ρ = -1 ou ρ = +1, haveráuma combinação entre ambos que proporciona volatilidade do PL

igual a zero. Conforme veremos ao longo do livro, ao adotar acombinação de posições que torne a volatilidade da combinaçãode posições nula, o administrador de risco estará efetuando hedgede uma posição com a outra.

Podem-se visualizar os resultados obtidos, no gráfico abaixo:

σ

E [Retorno]

20,0%

14,5%

13,77%

10,0%

0 %

- 35,00%

18%

ρ = + 0,2

ρ = +1

ρ = -1

15,22% 22%

Ex. E5.3 Relação Entre Retorno Esperado e Risco Considerando-se Diferentes Correlações


A linha reta ilustra o caso em que dois ativos sejam perfeitamentecorrelacionados (ρ = +1). Nesse caso não há o efeito diversificação, embora sejapossível montar hedges perfeitos ao combinar posições ativas e posições passivascom os dois ativos. Por exemplo, considerando que o preço do dólar a termo tenhacorrelação igual a +1 com o preço do dólar à vista, ao vender dólar a termo estar-se-á efetuando hedge do dólar à vista que esteja no ativo.

O efeito diversificação pode ser percebido pela comparação da linha retacom as curvas à sua esquerda (quando ρ = -1, a combinação de diferentes propor-ções forma as retas mostradas no gráfico anterior).

Vale lembrar que nem sempre a curva possui pontos à esquerda do ativo quetem menor variância, nas composições de posições em que haja aplicações em am-bos os ativos. Isso dependerá do grau de correlação entre os ativos (por exemplo,quando ρ = +1, isto não ocorre).


DDD 10

S

s

Sx1

x1 = x

1(s)

Sx2

x2 = x

2(s)

Sxn

xn = x

n(s)

VA (X1 X

2,...,X

n)

VA X1

. . .

VA X2

VA Xn

E6 Variáveis Aleatórias N-Dimensionais e oTeorema do Limite Central

E6.1 DEFINIÇÃO

As variáveis aleatórias multidimensionais (ou multivariadas) de ordem n po-dem ser definidas da seguinte forma:

Uma Variável Aleatória N-Dimensional é um conjunto de n FunçõesMatemáticas que associa uma seqüência ordenada de n números reaisa cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimentoaleatório. Portanto as possíveis seqüências ordenadas de números reaisocorrerão de forma aleatória.

Considere uma experiência aleatória cujos possíveis resultados sejamrepresentados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam n variáveis aleatóriasunidimensionais, X

1,X

2,...,X

n, em que cada uma associa um número real a

cada elemento de S. Por exemplo, se s ∈ S, haverá um número x1, que é

função de s (x1 (s)), um número x

2, que é função de s (x

2 (s)),..., e um

número xn, que é função de s (x

n (s)). A seqüência ordenada (X

1,X

2,...,X

n)

é denominada variável aleatória n-dimensional. Os resultados aleatórios davariável aleatória n-dimensional (x

1,x

2,...,x

n) representam seqüências orde-

nadas de números reais e, por isto, esses resultados aleatórios também sãoconhecidos como vetores aleatórios (pontos do espaço vetorial ℜn).

Figura E6.1Figura E6.1 Variável Aleatória N-Dimensional


onde:S = domínio da VA X

1, da VA X

2,..., da VA X

n e da VA

(X1,X

2,...,X

n), ou seja, é o conjunto de argumentos das

funções. Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;

Sxi

= contradomínio da VA Xi, ou seja, é o conjunto de números

reais possíveis de serem obtidos pela variável aleatória Xi;

(Sx1,Sx

2,...,Sx

n) = contradomínio da variável aleatória n-dimensional, ou seja,

é o conjunto de vetores de números reais possíveis de seremobtidos pela variável aleatória n-dimensional (X

1,X

2,...,X

n).

E6.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA N-DIMENSIONAL

Uma Função de Variável Aleatória N-Dimensional é uma FunçãoMatemática que associa apenas um número real a cada resultado davariável aleatória n-dimensional (seqüência ordenada de números reais).

Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado da variávelaleatória (X

1,X

2,...,X

n). Portanto, para cada seqüência ordenada (x

1,x

2,...,x

n),

haverá um número z, que é função do resultado aleatório (x1,x

2,...,x

n), ou seja,

z = z (x1,x

2,...,x

n). Dessa forma, Z = Z (X

1(s),X

2(s),...,X

n(s)) é uma função

de variável aleatória n-dimensional, na medida em que o seu resultado é função den variáveis aleatórias que dependem do resultado do experimento aleatório.

A figura a seguir representa uma função de variável aleatória n-dimensional.

DDD 11 Figura E6.2

DDD 11

S

s

Sx1

x1 = x

1(S)

Sx2

x2 = x

2(S)

Sxn

. . .

xn = x

n(S)

z = z (x1, x

2,..., x

n)

VA (X1 X

2,...,X

n)

VA X1

. . .

VA X2

VA Xn

Função de

da VA n-dimensional

(X1,X

2,...,X

n)

Figura E6.2Figura E6.2 Função de Variável Aleatória N-Dimensional

Sz


onde:S = domínio da VA X

1, da VA X

2,..., da VA X

n e da VA (X

1,X

2,...,X

n).

Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;

Sxi = contradomínio da VA X

i;

Sz = contradomínio da função de variável aleatória n-dimensional (conjun-to de números reais possíveis de serem obtidos por Z).

O conceito apresentado nesta sação é de grande importância para oestudo do risco de mercado, na medida em que o patrimônio líquidode uma instituição pode ser visto como uma função de variável aleatórian-dimensional. A variável aleatória n-dimensional será o conjunto deretornos efetivos das variáveis que influenciam o PL.

A respeito do conceito de função de variável aleatória n-dimensional, valeainda lembrar que:

• quando z = z(x1,x

2,...,x

n) varia linearmente em decorrência de alterações

nos xi, trata-se de um balanço composto de posições lineares (como, por exemplo,

ações ou moedas), e, portanto, o PL será uma função linear de variável aleatórian-dimensional;

• quando z = z(x1,x

2,...,x

n) varia de forma não-linear em decorrência de

alterações nos xi , trata-se de um balanço composto de posições não-lineares (como,

por exemplo, opções de compra, opções de venda e títulos de renda fixa prefixadosou pós-fixados, que variam de forma não-linear em decorrência de alterações noretorno efetivo do ativo-objeto ou na taxa de juro), e, portanto, o PL será uma funçãonão-linear de variável aleatória n-dimensional.

E6.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA

Uma Função de Probabilidade Conjunta associa uma probabilidadede ocorrência a cada possível resultado (seqüência ordenada de númerosreais) de uma variável aleatória n-dimensional discreta.

Seja (X1,X

2,...,X

n) uma variável aleatória n-dimensional discreta. Seja P

uma função que associa a cada possível vetor de (X1,X

2,...,X

n), que chamaremos

de (x1,x

2,...,x

n), um número p (x

1,x

2,...,x

n) que represente a probabilidade de

que (X1,X

2,...,X

n) seja igual a (x

1,x

2,...,x

n).

A função P é a função de probabilidade conjunta da variável aleatórian-dimensional (X

1,X

2,...,X

n).


A probabilidade de que (X1,X

2,...,X

n) seja igual a (x

1,x

2,...,x

n) é represen-

tada pela simbologia P(X1=x

1,X

2=x

2,...,X

n=x

n) e é igual ao número p(x

1,x

2,...,x

n).

Os números p(x1,x

2,...,x

n) devem satisfazer às seguintes restrições:

onde os t1, t

2,...t

n são os números de elementos dos contradomínios das

VA X1,X

2,...,X

n respectivamente.

A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta.

DDD 12 Figura E6.3

E6.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA

Uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta N-Dimensional éuma Função Matemática que associa aos possíveis resultados da VariávelAleatória (seqüências ordenadas de números reais) um número p, demodo que p seja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatóriapertencer aos subconjuntos especificados do espaço vetorial ℜ

n.

Seja uma variável aleatória n-dimensional contínua (X1,X

2,...,X

n). Sejam

[x1a

,x1b

], [x2c,x

2d],...,[x

ne,x

nf] n intervalos de números reais de X

1,X

2,...,X

n,

respectivamente. A função densidade de probabilidade conjunta da VA n-dimensionalserá a função f que associar ao subconjunto do espaço vetorial ℜn, delimitado por

p(x1,x

2,...,x

n) ≥ 0 para todo (x

1,x

2,...,x

n) ∈ ℜn

Σ Σ ... Σ p(x1a

,x2b

,...,xnc) = 1

t 1 t 2 tn

a=1 b=1 c=1

S

s

Sx1

x1 = x

1(s)

Sx2

x2 = x

2(S)

Sxn

. . .

xn = x

n(S)

Sz

p = p(x1, x

2,..., x

n)

VA (X1 X

2,...,X

n)

VA X1

. . .

VA X2

VA Xn

P Função de

Probabilidade Conjunta

da VA n-dimensional

(X1,X

2,...,X

n)

Figura E6.3 Função de Probabilidade Comjunta de VA N-Didimensional


([x1a

,x1b

], [x2c , x

2d],..., [x

ne , x

nf]), a probabilidade de que as possíveis

seqüências ordenadas de números reais (x1,x

2,...,x

n) pertençam simultaneamente

ao intervalo [x1a,x

1b], ao intervalo [x

2c,x

2d],..., e ao intervalo [x

ne,x

nf], ou seja,

pertençam ao subconjunto do espaço vetorial ℜn.

A função f deve satisfazer às seguintes condições:

>> 53

Note que o contradomínio de Xi (Sx

i) poderá conter um limite inferior li e

um limite superior ls em que lixi e lsx

i sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo

das condições acima, poderemos afirmar que:

>> 54

Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores pertencentessimultaneamente ao intervalo [x

1a,x

1b] (P (x

1a < x < x

1b)), ao intervalo

[x2c,x

2d] (P (x

2c < x < x

2d)),..., e ao intervalo [x

ne,x

nf] (P (x

ne < x < x

nf)),

deveremos resolver a integral de ordem n, a seguir:

>> 55

Conforme vimos na seção E1.2.1, para representar graficamente uma distri-buição de probabilidade unidimensional é necessário um gráfico bidimensional e,de acordo com o que vimos na seção E5.3, para representar graficamente umadistribuição de probabilidade bidimensional é necessário um gráfico tridimensional.

Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias dedimensão igual ou superior a três não são possíveis de seremrepresentadas graficamente, pois isso exigiria gráficos de dimensãoigual ou superior a quatro. Entretanto este fato não possui qualquerinfluência e não reduz a utilização ou a análise das funções deprobabilidade conjuntas de dimensão igual ou superior a três.

>> 55 ∫ ∫ ... ∫ f(x1, x

2,..., x

n) dx

1 dx

2...dx

n = 1

x1b x2d xnf

x1a x2c xne

f(x1,x

2,...,x

n) ≥ 0 para todo (x

1,x

2,...,x

n) ∈ ℜn

∫ ∫ ... ∫ f(x1,x

2,...,x

n) dx

1 dx

2...dx

n = 1

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

>> 54 ∫ ∫ ... ∫ f(x1, x

2,..., x

n) dx

1 dx

2...dx

n = 1

lsx1 lsx2 lsxn

lix1 lix2 lixn


E6.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

N-DIMENSIONAL

Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável AleatóriaN-Dimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência paracada possível resultado (número real) da Função de Variável AleatóriaN-Dimensional.

Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de umafunção Z de variável aleatória n-dimensional discreta um número p, de modo que pseja igual à probabilidade de Z ser igual a z. A função P é a função de probabilidade

da função de variável aleatória n-dimensional (X1,X

2,...,X

n).

A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas:

Se a variável aleatória n-dimensional (X1,X

2,...,X

n) for contínua, a função

densidade de probabilidade da função de variável aleatória Z associará a cada inter-valo dos possíveis resultados de Z (intervalos de números reais) um número p, demodo que p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer aointervalo especificado.

É de grande importância para o estudo de risco de mercado ressaltar os se-guintes pontos:

S

S

Sx1

x1 = x

1(s)

Sx2

x2 = x

2(s)

Sxn

. . .

xn = x

n(s)

Sz

z = z (x1, x

2,..., x

n)

VA (X1 X

2,...,X

n)

VA X1

. . .

VA X2

VA Xn

Função de

da VA n-dimensional

(X1,X

2,...,X

n)

Função de

Probabilidade

P=P(z)

p=p(z)

Figura E6.4Figura E6.4 Função de Probabilidade de Função de VA N-Didimensional


• o conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatóriasX

i não permite (em geral) que se determine a distribuição de probabilidade de Z.

Portanto o conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias

que influenciam um balanço geralmente não permite que se determine a distribui-

ções de probabilidade do PL;

• para calcular o risco do PL de acordo com a metodologia analítica (a serapresentada no capítulo 11), é necessário admitir uma distribuição de probabilidade

substituta da verdadeira distribuição de probabilidade do PL (proxy da distribuiçãode probabilidade verdadeira do PL), dado que esta última não é (em geral) conhecida;

• a maneira de se estimar o formato da verdadeira distribuição de probabili-

dade do PL a partir do conhecimento das distribuições de probabilidade das variá-

veis aleatórias unidimensionais que influenciam o PL é por meio da metodologia da

Simulação Monte Carlo (a ser apresentada no capítulo 11). Essa metodologia, alémde estimar o formato da verdadeira distribuição de probabilidade do PL, permite ocálculo do risco do PL sem que seja necessário admitir uma proxy da distribuiçãode probabilidade verdadeira do PL.

E6.6 DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS

De forma análoga às distribuições marginais de uma variável aleatóriabidimensional, também é possível obter as distribuições de probabilidade de X

1, de

X2,..., e de X

n separadamente, a partir da distribuição de probabilidade conjunta da

VA (X1,X

2,...,X

n).


Para variáveis aleatórias discretas, as distribuições marginais são obtidas apartir das seguintes fórmulas:

>> 56


p(x1a) = p(X

1=x

1a) = Σ Σ ... Σ p (x

1a,x

2b,...,x

ne) = 1 para todo (x

2b,...,x

ne) ∈ ℜn-1

q(x2b) = p(X

2=x

2b) = Σ Σ ... Σ p (x

1a,x

2b,...,x


1a, x

3c,...,x

ne) ∈ ℜn-1

>> 56

e=1

t 2 t 3 tn

t 2 t 3 tn

b=1 c=1 e=1

a=1 c=1

..................................................................................................................

r(xne) = p(X

n=x

ne) = Σ Σ ... Σ p (x

1a, x

2b,...,x

n-1d, x


1a,...,x

n-1d) ∈ ℜn-1

d=1

t 1 t 2 tn-1

a=1 b=1


Para variáveis aleatórias contínuas, as distribuições marginais são obtidas apartir das seguintes fórmulas:

>> 57

De forma análoga às variáveis aleatórias bidimensionais, o conheci-mento de uma distribuição de probabilidade conjunta de variáveis aleatóriasn-dimensionais possibilita que sejam determinadas as distribuições marginaisdas variáveis aleatórias unidimensionais que compõem as variáveis aleatóriasn-dimensionais. Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não per-

mite, em geral, a determinação da distribuição de probabilidade conjunta da

variável aleatória n-dimensional. Isto será possível quando as variáveis aleatóri-as unidimensionais forem independentes.


Sejam n variáveis aleatórias discretas, X1,X

2,...,X

n. Se os eventos X

1=x

1,

X2=x

2,...,X

n=x

n são independentes entre si para todo x

1,x

2,...,x

n, então X

1,X

2,...,X

n

serão ditas variáveis aleatórias independentes. Quando n variáveis aleatórias sãoindependentes entre si, a probabilidade de determinada seqüência ordenada de valo-res ocorrer é igual ao produto das probabilidades de ocorrência de cada valor isola-damente, conforme mostrado na expressão a seguir.:

P (X1=x

1,X

2=x

2,..., X

n=x

n) = P(X

1=x

1) . P(X

2=x

2) . ,..., . P(X

n=x

n)

Quando n variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a proba-bilidade de determinado resultado (x

1,x

2,...,x

n) pertencer ao subconjunto do espa-

ço vetorial ℜn ([x1a,x

1b],[x

2c,x

2d],...,[x

ne,x

nf]) é igual ao produto das probabili-

dades de x1 pertencer ao intervalo [x

1a,x

1b], de x

2 pertencer ao intervalo [x

2c,x

2d]

e de xn pertencer ao intervalo [x

ne,x

nf], conforme mostrado na expressão a seguir:

>> 57 ∫ ∫ ... ∫ f(x1,x

2,...,x

n) dx

2 dx

3...dx

n = 1

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞g(x

1) =

∫ ∫ ... ∫ f(x1,x

2,...,x

n) dx

1 dx

3...dx

n = 1

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞h(x

2) =

∫ ∫ ... ∫ f(x1,x

2,...,x

n) dx

1 dx

2...dx

n-1=1

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞l(x

n) =

................................................................


>> 58

E6.8 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

O teorema do limite central (também conhecido como teorema central dolimite) é útil quando se deseja avaliar resultados que são decorrentes da soma de umnúmero grande de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas(independentes e com mesmas distribuições de probabilidade), mesmo quando asdistribuições de probabilidade das variáveis aleatórias são desconhecidas.

Sejam as variáveis aleatórias independentes X1,X

2,...,X

n com distribuições

de probabilidade idênticas (portanto as variáveis aleatórias são independentes eidenticamente distribuídas –iid–), com E (x

i) = μ e variância = σ2. Seja ∑ uma

função de variável aleatória n-dimensional, igual à soma das variáveis aleatóri-as individuais.

Portanto ∑ é definida pela expressão a seguir:

>> 59

De acordo com o teorema do limite central, à medida que n aumenta(n → ∞), a distribuição de probabilidade de ∑ tende para uma distribuição de

probabilidade normal com média n . μ e variância n . σ2 independentemente

de qual seja a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias Xi .

Como um corolário do teorema do limite central, a média dos xi

tenderá a ser normalmente distribuída, à medida que n aumenta (n→∞),independentemente de qual seja a distribuição de probabilidade decada variável aleatória X

i , dado que a média é igual ao somatório

dividido por n.

É importante observar que, para a avaliação do risco de uma instituição cujo

balanço seja influenciado por diversas variáveis aleatórias, não se pode aplicar o

teorema do limite central, na medida em que as variáveis que influenciam um balan-

ço não são independentes, nem tampouco identicamente distribuídas.

>> 58 P (x1 ∈ [x

1a,x

1b],x

2 ∈ [x

2c,x

2d],...,x

n ∈ [x

ne, x

nf]) =

P (x1 ∈ [x

1a,x

1b]) . P(x

2 ∈ [x

2c,x

2d] ) . ,..., . P (x

n ∈ [x

ne,x

nf])

∑ = Σ xi

n

i=1


E6.9 VARIÂNCIA DE FUNÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

N-DIMENSIONAIS

Na seção E5.9, vimos como medir a variância de funções lineares de variá-veis aleatórias bidimensionais. Nesta seção, veremos como medir a variância defunções lineares de variáveis aleatórias n-dimensionais. Consideraremos que as vari-áveis aleatórias sejam os retornos efetivos R

i de n variáveis que influenciam o

patrimônio líquido de um balanço e que a sensibilidade da função às mudanças devalores das variáveis (os coeficientes angulares da função) sejam os volumes iniciaisdas variáveis (q

i . P

i) que influenciam o balanço, sendo q

i a quantidade e P

i o preço

e da variável aleatória i.Seja R

1,R

2,...,R

n um conjunto de n variáveis aleatórias e sejam V

1, V

2,...,V

n

os respectivos volumes financeiros (Vi = q

i . P

i) das variáveis nas quais uma instituição

mantém posições lineares ativas (Vi>0) e posições lineares passivas (V

i<0). O

patrimônio líquido pode ser visto como uma função linear da variável aleatória

n-dimensional [R1,R

2,...,R

n] e pode ser representado pela expressão a seguir:

PL = V1 . (1+R

1) + V

2 . (1+R

2) +...+ V

n . (1+R

n)

= V1 . R

1 + V

2 . R

2 +...+ V

n . R

n + PL

t+0

sendo PLt+0

o valor inicial do patrimônio líquido.

A esperança matemática do PL será:

E[PL] = V1 .

E[R1] + V

2 . E[R

2] +...+ V

n . E[R

n] + PL

t+0(E6.1)

Como a variância do PLt+0

= 0 (a variância de uma constante é nula), avariância do PL pode ser calculada como:

VAR(PL) = VAR(V1 . R

1 + V

2 . R

2 +...+ V

n . R

n) = (E6.2a)

V1

2 . VAR[R1] + V

2

2 . VAR[R2] +...................................+ V

n

2 . VAR[Rn]

+ 2 . V1

. V2 . COV(R

1,R2) + 2 . V

1

. V3

. COV(R1,R3)+...+ 2 . V

1 . V

n . COV(R

1,Rn)

+...............0...............…..+ 2 . V2 . V

3 . COV(R

2,R3)+...+ 2 . V

2 . V

n . COV(R

1,Rn)

.......................................................................................................................

+..............0............…......+...............0.........................+ 2 . Vn-1

. Vn . COV(R

n-1,Rn)


Esta fórmula resulta da soma da variância individual de cada variável aleató-ria, multiplicada por seu volume ao quadrado, mais a covariância individual de cadavariável com as demais variáveis multiplicadas pelos respectivos volumes. ComoCOV(R

1,R

2) = COV(R

2,R

1), a COV(R

1,R

2) + COV(R

2,R

1) será igual a 2 . COV(R

1,R

2).

Portanto a variância total de um PL é igual à soma das variânciasindividuais das variáveis, multiplicadas pelos volumes das variáveisao quadrado, mais as covariâncias de cada variável com as demaisvariáveis multiplicadas pelos respectivos volumes das variáveis.

Alternativamente, a variância do PL poderia ser obtida da forma algébricamostrada a seguir (evidentemente os resultados obtidos seriam os mesmos):

>>62 (E6.2b)

As seções a seguir apresentam mais duas formas alternativas de apresentar aequação do cálculo da variância do PL, que são bastante usuais, por facilitarem avisualização do cálculo.

E6.9.1 UTILIZAÇÃO DAS MATRIZES DE VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA

Com o objetivo de facilitar a visualização da variância de uma função de vari-ável aleatória n-dimensional, é bastante comum a utilização de uma matriz (arranjoretangular de números ou de variáveis) de variância-covariância para representar avariância da função de variável aleatória n-dimensional mostrada na seção anterior.

Com objetivos didáticos, vamos apresentar, inicialmente, a variância da soma

σ2PL = E [(PL -

E[PL])2]

= E [( Σ Vi . (1+R

i) - Σ V

i . E[1+R

i])2]

= E [( Σ Vi . ((1+R

i) - Σ E[1+R

i]))2]

= E [( Σ Vi . ((R

i) - Σ E[R

i]))2]

= E [Σ Vi2 . (R

i - Σ E[R

i])2 + 2 . Σ Σ V

i . V

j (R

i - E[R

i]) . (R

j - E[R

j])]

= Σ Vi2 . E (R

i - Σ E[R

i])2 + 2 . Σ Σ V

i . V

j E[(R

i - E[R

i]) . (R

j - E[R

j])]

= Σ Vi2 σ

i2 + 2 . Σ Σ V

i . V

j . COV (R

i,R

j)

i<j

n

i=1 i<j

n

i=1 i<j


das variáveis e, posteriormente, incluiremos os volumes, positivos ou negativos, querepresentam as aplicações líquidas ou captações líquidas nas diversas variáveis.

Seja Y a função de variável aleatória n-dimensional, a seguir:

Y = R1 + R

2 +...+ R

n

Calculando as variâncias e as covariâncias entre as variáveis, sem consideraros volumes aplicados ou captados nas variáveis R

i , obtém-se a variância da função

de variável aleatória Y, conforme mostrado a seguir:

VAR [Y] = VAR [R1+ R

2+...+R

n] = soma10 dos termos da matriz a seguir:

σ11

σ12

........ σ1n

σ21

σ22

........ σ2n

......................

σn1

σn2

........ σnn

onde:σ

ii = σ

i2 = variância da variável R

i;

σij = covariância da variável R

i com a variável R

j.

Portanto a diagonal principal da matriz é constituída pelas variâncias dasvariáveis, e os demais elementos da matriz são as covariâncias entre as variáveis.

Considerando uma constante que multiplica cada variável (as constantes po-sitivas representam os volumes iniciais das aplicações, e as constantes negativasrepresentam os volumes iniciais das captações em cada variável), obtém-se a seguin-te função linear de variável aleatória n-dimensional:

PL = V1 . R

1 + V

2 . R

2 +...+ V

n . R

n + PL

t+0

Como a variância do PLt+0

= 0, a variância da função de variável aleatórian-dimensional do PL pode ser visualizada em uma matriz de variância-covariância,como a mostrada seguir:

VAR [PL] = VAR [V1 . R

1 + V

2 . R

2+...+ V

n . R

n] = soma dos termos da matriz

a seguir:

10 É freqüente o erro de considerar que a variância da função de variável aleatórian-dimensional seja o determinante da matriz de variância-covariância.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


V12 . σ

12 V

1 . V

2 .

σ

12 ......... V

1 . V

n . σ

1n

V2 . V

1 . σ

21 V

22 . σ

22 .............. V

2 . V

n . σ

2n

................................................................ (E6.2c)

Vn . V

1 . σ

n1 V

n . V

2 . σ

n2 ......... V

n2 . σ

n2

A volatilidade do PL é igual à raiz quadrada da variância do PL:

σPL = [σ2 PL]1/2

Para evitar cálculos com números muito elevados (há bancos e empresas quepossuem bilhões de unidades monetárias aplicados ou captados em determinadasvariáveis), é comum dividir-se o volume das variáveis pelo valor do PL inicial, deforma que as constantes que multiplicam as variáveis aleatórias passem a represen-tar os pesos nas variáveis nas quais se está aplicado ou captado.

Seja ai os pesos nas variáveis aleatória R

i nas quais se está aplicado ou capta-

do e seja φ a função de variável aleatória n-dimensional que é igual à soma dospesos das variáveis a

i multiplicados pelas variáveis aleatórias R

i , conforme mostra-

do nas equações a seguir:

>> 63

A variância da função (linear) de variável aleatória n-dimensional φ podeser calculada pelo método da matriz de variância-covariância, conforme mostradoa seguir:

σ2 φ = σ2 [a1 . R

1 + a

2 . R

2+...+ a

n . R

n] = soma dos termos da matriz a seguir:

a12 . σ

12 a

1 . a

2 . σ

12......... a

1 . a

n . σ

1n

a2 . a

1 . σ

21a

22 . σ

22 ......... a

2 . a

n . σ

2n

................................................................ (E6.3a)

an . a

1 . σ

n1a

n . a

2 . σ

n2......... a

n2 . σ

n2

Neste caso, a variância calculada será igual à variância de uma unidade mo-

netária do PL.Como a volatilidade é igual à raiz quadrada da variância e como a volatilidade

de uma constante (valor do PL inicial) multiplicada por uma variável (φ) é igual ao

>> 63a

i =

φ = a1 . R

1 + a

2 . R

2 +...+ a

n . R

n

qi . P

i

PL

Vi

PL=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


valor absoluto da constante multiplicada pela volatilidade da variável, a volatilidadedo PL será igual à volatilidade de uma unidade monetária, multiplicada pelo valorabsoluto inicial do PL, conforme mostrado na equação a seguir:

σ PL = | PL | . σ φ (E6.4)

Este método que considera os pesos das variáveis em relação ao PL inicial ébem mais prático (reduz o tamanho das contas) do que o cálculo que considera osvalores das variáveis e será um dos utilizados para calcular a volatilidade dos PLs

dos balanços a serem apresentados no capítulo 12.

E6.9.2 UTILIZAÇÃO DAS MATRIZES DE CORRELAÇÕES

Outra alternativa para calcular a variância do PL é por meio da utilização damatriz de correlações entre as variáveis que influenciam o PL.

Conforme vimos na seção E5.10, ao dividir a covariância entre duas variáveispelo produto dos desvios padrão das variáveis, obtém-se a correlação entre as duasvariáveis. Portanto, ao dividir cada elemento da matriz de variância-covariância peloproduto dos desvios padrão das respectivas variáveis sobre as quais foram calculadasas covariâncias, obtêm-se as correlações entre as variáveis.

A correlação entre n variáveis pode ser visualizada em uma matriz de corre-lações, como a mostrada a seguir:

ρ11

ρ12

........ ρ1n

1 ρ12

........ ρ1n

ρ21

ρ22

........ ρ2n

ρ21

1 ........ ρ2n

.................... = ......................

ρn1

ρn2

........ ρnn

ρn1

ρn2

.......... 1

onde:ρ

ii = 1 (trata-se da correlação de uma variável com ela mesma);

ρij = correlação da variável R

i com a variável R

j.

A variância do PL é igual ao produto do vetor linha, com as volatilidades dasvariáveis multiplicadas por seus volumes, pela matriz de correlações, e desta matrizpelo vetor coluna, com as volatilidades das variáveis multiplicadas por seus volu-mes, conforme mostramos a seguir:

σ2 [PL] = σ2 [V1 . R

1+ V

2 . R

2 + ... + V

n . R

n] =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


[V1 . σ

1 V

2 . σ

2 ... V

n . σ

n] . 1

ρ

12 ... ρ

1nV

1 . σ

1

ρ21

1 ... ρ2n

V2 . σ

2

................................ .

... (E6.2d)ρ

n1 ρ

n ... 1 V

n . σ

n

A volatilidade do PL é igual à raiz quadrada da variância do PL, conformemostrado a seguir:

σPL = [σ2PL]1/2

Utilizando o método dos pesos ai nos quais se está aplicado ou captado em

cada variável aleatória Ri e sendo φ a função de variável aleatória n-dimensional,

que é igual à soma dos pesos das variáveis, multiplicados pelas variáveis aleatóriasR

i, a variância da função de variável aleatória n-dimensional φ pode ser calculada

pelo método da matriz de correlações, conforme mostrado a seguir:

σ2 [φ] = σ2 [a1 . R

1 + a

2 . R

2 +...+ a

n . R

n] =

[a1 . σ

1 a

2 . σ

2 ... a

n . σ

n] . 1 ρ

12 ... ρ

1na

1 . σ

1

ρ21

1 ... ρ2n

a2 . σ

2

.................... . ... (E6.3b)

ρn1

ρn ... 1 a

n . σ

n

Novamente, a variância calculada será igual à variância de uma unidade

monetária.

Também mantém-se o cálculo da volatilidade do PL:

σ PL = |PL| . σ φ


Sejam X1,X

2,...,X

n n variáveis aleatórias independentes. Como as

covariâncias entre as variáveis é igual a zero, a variância da função de variávelaleatória n-dimensional PL = V

1 . R

1 + V

2 . R

2 + ... + V

n . R

n + PL

t+0 é igual a:

>> 64VAR (PL) = VAR (V1 . R

1 + V

2 . R

2 + ... + V

n . R

n)

= V1

2 . VAR [R1] + V

2

2 . VAR [R2] +...+ V

n

2 . VAR [Rn]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡


Portanto o desvio padrão será igual a:

>> 65

E6.10.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES E IDENTICAMENTE DISTRIBUÍDAS

Sejam X1,X

2,...,X

n n variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas (iid) com variância igual a σ2. Neste caso a função de variável alea-tória Y = X

1 + X

2 +...+ X

n apresenta a variância e a volatilidade mostradas a seguir:

>> 66 (E6.5a)

(E6.5b)

Portanto a variância aumenta linearmente com o número de variáveis iid, e a

volatilidade aumenta proporcionalmente à raiz quadrada do número de variáveis iid.

E6.11 VARIÂNCIA DO VALOR ESPERADO

Seja uma variável aleatória X com variância σ2. Se o experimento aleatórioao qual a VA está associada for repetido n vezes, o valor esperado de x, E[x] (que éigual à média aritmética de X), terá a seguinte variância:

>> 67 (E6.6)

Para demonstrar esta relação, utiliza-se o conceito de que:

>> 68

>> 65 σ PL = [VAR (V1 . R

1 + V

2 . R

2 + ... + V

n . R

n)]1/2

= [V1

2 . VAR [R1] + V

2

2 . VAR [R2] +...+ V

n

2 . VAR [Rn]]1/2

>> 66 VAR Y = VAR (X1 + X

2 +...+ X

n) = n . VAR [X

i] = n . σ2

σ Y = σ (X1 + X

2 +...+ X

n) = n . σ X

i = n . σ

>> 67 VAR [E[x]] =σ2

n

>> 68E[x] = 1/n . ∑ x

i

n

i=1

Como:

VAR ∑ xi = n . σ2

e

VAR 1/n . ∑ xi = [1/n]2 . n . σ2 = 1/n . σ

x

2

n

i=1[ ]

[ ]n

i=1


então:

VAR [E[x]] = 1/n . σ2

cqd (como queríamos demonstrar)

Como se pode perceber, a variância do valor esperado tende para zero, à

medida que n tende para infinito. Esta propriedade será utilizada para demonstrar aLei dos Grandes Números.

E6.12 A DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEFF, A LEI DOS GRANDES NÚMEROS E A

SIMULAÇÃO MONTE CARLO

A Desigualdade de Tchebycheff

Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua) com esperança matemá-tica igual a E[x] e desvio padrão σ x

. Considerando-se um valor ε ≥ 0, a desigualda-de de Tchebycheff estabelece um limite superior para a probabilidade de um valorobtido aleatoriamente se situar a uma distância maior do que ε vezes o desviopadrão da variável, conforme mostrado pela fórmula a seguir:

>> 69 (E6.7)

Esta desigualdade é útil, na medida em que, mesmo que não se conheça adistribuição de probabilidade de x, porém conhecendo-se a sua média e o seu desviopadrão, é possível estabelecer limites para a probabilidade de ocorrência de valoresde x dentro (ou fora) de determinada faixa em torno da esperança da variável, cor-respondentes a ε desvios padrão.

A Lei dos Grandes Números

Seja X uma variável aleatória e x um dos possíveis resultados do experimen-to. Admita que o experimento aleatório ao qual X está vinculada seja repetido nvezes, sendo que o resultado de uma repetição independe dos resultados das outrasrepetições. Ao contar a quantidade de vezes que o possível resultado x ocorreu (n

x)

e dividi-lo pela quantidade total de repetições (n), obtém-se a razão nx /n, que é

denominada freqüência relativa do resultado x (f’x).

>> 69

P ⏐x - E[x]⏐ ≥ ε . σx ≤ 1/ε2


A Lei dos Grandes Números assegura que a freqüência relativade ocorrência de um possível resultado x de uma variável aleatóriaconverge para a probabilidade de ocorrência do resultado x, àmedida que é aumentado o número de repetições do experimentoao qual a variável aleatória está associada.

Para demonstrar a Lei dos Grandes Números, utiliza-se a desigualdade deTchebycheff, como mostrado a seguir.

Aplicando as relações de esperança e de variância do valor esperado mostradasna seção anterior, ao conceito de freqüência relativa, obtemos as seguintes relações:

>> 70

Demonstração da Lei dos Grandes Números

Segundo a desigualdade de Tchebycheff, para qualquer ε > 0 teremos:

>> 71

Escolhendo ε = δ . n /σx

, sendo δ um valor, e substituindo ε na fórmulaanterior, obtém-se:

P [|f’x - p | ≥ δ] ≤ 1/(δ . n / σ x)

2

ou

P [|f’x - p | ≥ δ] ≤ (σ

x /δ . n )2

ou

P [|f’x - p | ≥ δ] ≤ σ2

x /(δ2 . n)

concluímos, então, que:

Lim P [⏐ f’x - p⏐ ≥ δ] ≤ σ2

x /(δ2 . n) = 0 (E6.8)

n→ ∞

cqd

>> 70 E[f’x] = p

e

σ2 [f’x] =σ

x

2

n

>> 71 [ ][ ]P ⏐ f’x - p ⏐ ≥ ε . σ f’

x = P ⏐ f’

x - p ⏐ ≥ ε . σ

x / n ≤ 1/ε2


11 O apêndice 12 especifica um método prático, por meio do aplicativo Excel, para a

estimativa de uma distribuição de probabilidade.

A Simulação Monte Carlo

A Lei dos Grandes Números é a base da metodologia de cálculo de risco

conhecida como metodologia da Simulação Monte Carlo, que será apresentada apartir do capítulo 11. Esta metodologia também é útil para precificar opções decompra e de venda, conforme veremos no capítulo 26.

Por meio da metodologia da Simulação Monte Carlo, simulam-se milhares

de possíveis valores para o patrimônio líquido de uma instituição (é necessário gerarum número grande de simulações para que a freqüência relativa represente a estima-tiva da probabilidade com grande confiabilidade), de acordo com parâmetros previ-

amente estabelecidos, com dois objetivos básicos:

• calcular o Value-at-Risk (risco de mercado) da instituição;

• estimar a distribuição de probabilidade do PL, que em geral é desconheci-da. Conforme vimos anteriormente, o PL é uma função (linear ou não linear) devariável aleatória n-dimensional. Portanto, em geral, mesmo que se conheça a distri-buição de probabilidade das variáveis aleatórias que influenciam um balanço, não épossível conhecer a distribuição de probabilidade do PL.

A estimativa da distribuição de probabilidade do PL por meio da metodologiada Simulação Monte Carlo decorre da Lei dos Grandes Números, conforme mostra-do no corolário a seguir.

Corolário da Lei dos Grandes Números

A distribuição de probabilidade dos números reais aleatóriosdecorrentes da realização de um experimento aleatório ao qual umavariável aleatória está associada converge para a distribuição deprobabilidade da variável aleatória, à medida que é aumentado o númerode repetições do experimento aleatório.

Portanto, quando a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória édesconhecida, ela pode ser estimada por meio da repetição de um número muitogrande de experimentos aleatórios. Para demonstrar esse corolário, de forma análo-ga à que utilizamos para demonstrar a Lei dos Grandes Números, bastaria conside-rar todos os resultados possíveis ou diversos intervalos de resultados possíveis11 .


Conforme será mostrado no apêndice 12, ao calcular a freqüência relativadas quantidades de simulações que têm valor em cada um dos cem intervalos declasse com amplitudes iguais à amplitude total (o valor máximo menos o valormínimo obtidos nas simulações) dividida por 100, a metodologia da Simulação

Monte Carlo estima a probabilidade de que o patrimônio líquido se situe nos inter-

valos de classe e, conseqüentemente, estima a distribuição de probabilidade do

patrimônio líquido.


E7 Amostras e Distribuições Amostrais

Quando temos a necessidade de tomar uma decisão que envolva determinadapopulação, o ideal é que tenhamos o conhecimento da distribuição de probabilidadeda população, pois, deste modo, a decisão será tomada com o conhecimento dosriscos envolvidos.

O conhecimento da distribuição de probabilidade da população possibilita aobtenção de todos os parâmetros da população, como, por exemplo, o valor espera-do, o desvio padrão, a assimetria e a curtose.

No outro extremo, se a decisão for tomada sem qualquer conhecimento dosparâmetros da população e sem que haja qualquer estimativa desses parâmetros, adecisão será tomada sem o conhecimento dos riscos envolvidos. Neste caso, diz-seque a decisão será tomada em condições de incerteza.

Embora a primeira situação seja a mais desejada para a tomada de deci-sões, na prática nem sempre ela se verifica, inclusive por uma questão de custos(é dispendioso manter o conhecimento permanente de toda a população).

Uma situação intermediária consiste na estimativa dos parâmetros da popula-ção por meio da obtenção dos valores correspondentes das amostras (estatísticas)representativas da população.

Em sentido mais amplo a Estatística cuida da coleta, organização,resumo, apresentação e análise de dados, e também da obtenção deconclusões que aumentem a probabilidade de acertos nos processos detomada de decisão.

A estatística pode ser dividida em estatística descritiva, que se preocupa emdescrever, calcular e analisar dados das amostras, sem tirar conclusões sobre aspopulações, e em inferência estatística que se utiliza de dados das amostras para quese possa realizar estimativas, previsões e conclusões sobre as populações.

Em sentido mais restrito o termo Estatística pode ser definido comoum valor obtido a partir dos dados da amostra, que serve de estimadordo valor correspondente da população, o qual é denominado parâmetro.

Em Finanças, os principais parâmetros que necessitamos conhecer são asesperanças de retorno, as volatilidades futuras e as correlações futuras dos diversosativos sobre os quais necessitamos decidir. Como se trata de parâmetros futuros que

variam com o tempo, geralmente é impossível conhecê-los a priori, o que torna


necessário que eles sejam estimados para que as decisões sejam tomadas com maio-

res probabilidades de acerto.Na prática, para estimar as volatilidades dos ativos, utilizam-se amostras das

volatilidades diárias de um período anterior ou as volatilidades implícitas nas op-ções de compra e de venda dos ativos12 .

Na seção E7.3, estudaremos as estimativas de parâmetros por intervalos, queestão intimamente ligadas ao cálculo do Value at Risk. Na seção E7.5, estudaremosos testes de hipóteses, que são úteis para avaliar se os modelos de cálculo dos Value

at Risk os estão calculando de forma satisfatória, ao longo do tempo. Esses testes sãoconhecidos como backtests.

E7.1 AMOSTRA ALEATÓRIA

O objetivo de utilizar amostras de uma população é obter estimativas dosparâmetros da população que permitam o seu conhecimento sem a necessidade deefetuar o censo da população.

Uma das técnicas de amostragem é por meio da realização de amostrasaleatórias13 .

E7.2 ESTIMATIVAS DOS RETORNOS, DAS VOLATILIDADES E DAS CORRELAÇÕES

FUTURAS DAS VARIÁVEIS

Para estimar os retornos, as volatilidades e as correlações futuras de diversosativos, o mais comum é basear-se nos retornos, nas volatilidades e nas correlaçõesdos ativos verificados no passado. A quantidade de dias escolhida representa o tama-nho da janela temporal a ser utilizada para estimar a volatilidade futura. Normal-mente utilizam-se os retornos, as volatilidades e as correlações diárias verificadosnos dias mais recentes (por exemplo, 20, 30, 40 ou 252 dias úteis mais recentes).Na seção 22.8.1, discutiremos a conveniência de utilizar janelas temporais maioresou menores e mencionaremos algumas das técnicas que se vêm destacando para aprevisão de parâmetros futuros, a partir dos dados passados.

Distribuição Amostral

É a distribuição de probabilidade de uma estatística de uma amostra. Porexemplo, as distribuições de probabilidade da média e do desvio padrão de umaamostra de uma população são distribuições amostrais.

13 Quando se trata de populações com tamanhos conhecidos, pode-se calcular a quanti-

dade de amostras possíveis de serem obtidas.

12 Na seção 22.8, efetuamos uma breve descrição de alguns dos métodos utilizados para

prever as volatilidades futuras a partir das volatilidades passadas e, na seção 22.9, avalia-

mos as volatilidades implícitas das opções.


E7.3 ESTIMAÇÃO POR PONTOS OU POR INTERVALOS

Estimação por Ponto

As estimativas por pontos são representadas por uma estatística (um valor)obtida a partir da amostra. O valor da estatística é considerado o melhor represen-tante para o parâmetro da população. Portanto a estimativa por ponto fornece, pormeio de um único valor, uma estimativa para o parâmetro da população.

Por exemplo, quando se diz que o retorno esperado de um patrimônio líqui-do é de 20% ao ano, está-se apresentando uma estimativa por ponto.

Estimação por Intervalo

Consiste em considerar um intervalo em torno do estimador por ponto. Esseintervalo terá uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro valor do parâmetroda população.

As estimativas por intervalos podem ser bilaterais ou unilaterais, conformedefinimos a seguir:

• intervalo bilateral – calculam-se limites bilaterais, que delimitam um inter-valo para o qual haja uma probabilidade (nível de confiança) de o parâmetro dapopulação pertencer ao intervalo;

• intervalo unilateral inferior – calcula-se um limite (ou ponto crítico) unilate-ral inferior, que delimita o intervalo para o qual haja uma probabilidade (nível deconfiança) de o parâmetro da população ser maior ou igual ao limite unilateral inferior;

• intervalo unilateral superior – calcula-se um ponto crítico unilateral superi-or, que delimita o intervalo para o qual haja uma probabilidade (nível de confiança) deo parâmetro da população ser menor ou igual ao ponto crítico unilateral superior.

Por exemplo, quando se afirma que o patrimônio líquido de uma instituiçãotem 95% de probabilidade de estar situado entre R$ 90 milhões e R$ 100 mi-

lhões, está sendo realizada uma estimativa por intervalo bilateral.Quando se afirma que o patrimônio líquido tem 95% de probabilidade de

ser maior ou igual a R$ 70 milhões (conseqüentemente, admite-se a hipótese deque haja 5% de probabilidade de o patrimônio líquido ser inferior a esse valor), estásendo realizada uma estimativa por intervalo unilateral inferior.

Quando se afirma que o patrimônio líquido tem 95% de probabilidade deser menor do que R$ 140 milhões (conseqüentemente, admite-se a hipótese de quehaja 5% de probabilidade de o patrimônio líquido ser igual ou superior a essevalor), há a estimativa por intervalo unilateral superior.


Para o cálculo do risco de mercado (Value at Risk) utiliza-se oconceito de estimativa por intervalo unilateral inferior, pois há apreocupação com o patrimônio líquido atingir valores muito baixos.

Como não há a preocupação com o patrimônio líquido atingir valores muitoelevados, não são utilizados os outros dois métodos de estimação por intervalosmencionados, para o cálculo do Value at Risk.

E7.3.1 EXEMPLOS DA ESTIMAÇÃO POR PONTO E DA ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

Como exemplos de estimadores por ponto, podemos mencionar os estimadoresda média e da variância da população:

• o melhor estimador da média da população é a média da amostra, namedida em que é não tendencioso, mais eficiente e consistente14 ;

• o melhor estimador da σ2 (variância da população) é s2 (variância da amos-tra), na medida em que é não tendencioso, mais eficiente e consistente.

Como exemplos de estimadores por intervalos, mencionaremos intervalos eprobabilidades que são freqüentemente utilizados.

Sejam μPL

e σPL

a média e o desvio padrão de uma distribuição de probabili-dade do PL após decorrido um período (PL

t+1).

Se for admitido que a fdp do PLt+1

é normal (nos capítulos 11 e 12 veremos quegeralmente a fdp do PL

t+1 tem formato desconhecido), pode-se esperar ou estar confiante

de encontrar-se o PL (PLt+1

) nos intervalos a seguir, com as respectivas probabilidades:

P (μPL - σ

PL ≤ PL ≤ μ

PL + σ

PL) = 68,27%

P (μPL - 1,96 . σ

PL ≤ PL ≤ μ

PL + 1,96 . σ

PL) = 95,00%

P (μPL - 2 . σ

PL ≤ PL ≤ μ

PL + 2 . σ

PL) = 95,45%

P (μPL - 2,58 . σ

PL ≤ PL ≤ μ

PL + 2,58 . σ

PL) = 99,00%

P (μPL - 3 . σ

PL ≤ PL ≤ μ

PL + 3 . σ

PL) = 99,73%

Pode-se falar, também, em limites unilaterais:

P (PL > μPL + 1,65 . σ

PL) = 5% (limite unilateral superior com ∝ = 5%)

P (PL < μPL - 1,65 . σ

PL) = 5% (limite unilateral inferior com ∝ = 5%)

P (PL > μPL + 2,33 . σ

PL) = 1% (limite unilateral superior com ∝ = 1%)

P (PL < μPL - 2,33 . σ

PL) = 1% (limite unilateral inferior com ∝ = 1%)

Se for admitido que a fdp do PL é lognormal, definindo σ como o desvio

14 Essas propriedades de um estimador serão estudadas na seção E7.4.


padrão de uma unidade monetária do PL (geralmente σ é calculada a partir dasvolatilidades e das correlações dos retornos logarítmicos passados das variáveis queinfluenciam o PL), pode-se esperar ou estar confiante de encontrar-se o PL (PL

t+1)

nos intervalos a seguir, com as respectivas probabilidades:

P (μPL - (1 - e - σ) . PL ≤ PL ≤ μ

PL + (e + σ -1) . PL) = 68,27%

P (μPL - (1 - e – 1,96 . σ) . PL ≤ PL ≤ μ

PL + (e + 1,96 . σ -1) . PL)

= 95,00%

P (μPL - (1 - e – 2 . σ) . PL ≤ PL ≤ μ

PL + (e + 2 . σ -1) . PL) = 95,45%

P (μPL - (1 - e – 2,58 . σ) . PL ≤ PL ≤ μ

PL + (e + 2,58 . σ -1) . PL)

= 99,00%

P (μPL - (1 - e – 3 . σ) . PL ≤ PL ≤ μ

PL + (e + 3 . σ -1) . PL) = 99,73%

Pode-se falar, também, em limites unilaterais:

P (PL > μPL + (e + 1,65 σ - 1) = 5% (limite unilateral superior com ∝ = 5%)

P (PL < μPL - (1 - e - 1,65 σ)= 5% (limite unilateral inferior com ∝ = 5%)

P (PL > μPL + (e + 2,33 σ - 1) = 1% (limite unilateral superior com ∝ = 1%)

P (PL < μPL – (1 - e - 2,33 σ)= 1% (limite unilateral inferior com ∝ = 1%)

Vale ressaltar que a média do PL após decorrido um período (μPL

) será igual ao PL

inicial multiplicado pela média de uma distribuição lognormal que é igual a eμ+σ2/2.

Estimação das Médias

Caso se queira estimar o intervalo de confiança da média da população μ(desconhecida) a partir da média da amostra X (conhecida), e tendo-se um σ (conhe-cido), deve-se utilizar a seguinte fórmula:

>> 75

onde:_X = média da amostra retirada da população;σ = desvio padrão da população;n = tamanho da amostra retirada (número de elementos da amostra);1-∝= nível de confiança do intervalo;∝ = nível de significância;Z∝/2

= valor da normal padronizada tal que P (Z > Z∝/2) = ∝/2.

Pode-se perceber que o intervalo de confiança da média é reduzido à medidaque se aumenta o tamanho da amostra (n).

( )P X - Z∝/2 . σ/ n . X ≤ μ ≤ X + Z∝/2

. σ/ n . X = 1-∝>> 75

_ _ _ _


15 Se a amostra fosse inferior a 30 deveria ser utilizada a distribuição “t” de Student. Os

estatísticos admitem que quando a amostra é grande (n ≥ 30) a distribuição t aproxima-se

muito da distribuição normal e, desse modo, pode ser substituída pela distribuição normal.

Estimação das Freqüências Relativas

Caso se queira estimar o intervalo da probabilidade (desconhecida) da ocor-rência de determinado resultado da população a partir das freqüências relativas (f’)de ocorrência verificadas na amostra (conhecida), e tendo-se um σ (conhecido),deve-se utilizar a seguinte fórmula:

>> 76

Também neste caso observa-se que o intervalo de confiança da probabilidadeda população é reduzido à medida que se aumenta o tamanho da amostra (n). Istoestá de acordo com a Lei dos Grandes Números, segundo a qual a freqüência relati-va f’ tende para a probabilidade da população p, à medida que o tamanho da amos-tra tenda a infinito.

Para calcular os intervalos de confiança para μ ou para p, se σ não forconhecido e se a amostra tiver n ≥ 30, pode-se utilizar as fórmulas anteriores,procedendo-se a substituição de σ por s (desvio padrão da amostra)15 .

E7.4 PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UM ESTIMADOR

É desejável que as estatísticas, que são as estimadoras dos parâmetros dapopulação, apresentem as propriedades de ser não tendenciosas, eficientes econsistentes.

Baseando-se nas definições a seguir, apresentaremos as três propriedades:

θ = uma estatística obtida em uma amostra de uma população;

θ = parâmetro da população, que deverá ser estimado a partir da estatísticada amostra.

Não Tendenciosidade

O estimador θ de θ será não tendencioso se:

E (θ) = θ

A diferença [E (θ) - θ] é a tendenciosidade do estimador.

P f’ - Z∝/2 . σ/ n ≤ p ≤ f’ + Z∝/2

. σ/ n = 1- ∝( )

^

^

^

^


Por exemplo, para efetuar uma simulação Monte Carlo, devem-se inserir nocomputador que efetuará a simulação, as verdadeiras esperanças de retorno dasvariáveis, pois, caso contrário, o resultado da simulação será tendencioso (ou viesado).

Eficiência

Um estimador será mais eficiente do que outro, se a sua variância for menor.

Portanto, se VAR (θ1) < VAR (θ

2), então θ

1 será mais eficiente do que θ2.

Vale lembrar que é bastante utilizada a análise por erro quadrático médio(EQM) para comparar dois estimadores. O EQM de um estimador é obtido pelafórmula seguinte:

E [θ - θ] 2 = VAR (θ) + [E (θ) - θ] 2 = variância de θ + tendenciosidade de θ

Com base nesta análise, um estimador θ1 será preferível a um estimador θ

2, se

EQM θ1 <

θ

2.

Por exemplo, ao efetuar uma mesma Simulação Monte Carlo por diversasvezes, é desejável que os resultados obtidos nas diversas simulações sejam bastantepróximos uns dos outros, pois, caso contrário, a simulação Monte Carlo seriaineficiente. Vale lembrar que, como é utilizado um número bastante grande desimulações aleatórias em cada Simulação Monte Carlo, segundo a Lei dos GrandesNúmeros esta metodologia tende a ser bastante eficiente. Conforme mencionamosno início do capítulo 12, há estudos a respeito de técnicas de redução de variânciaque visam tornar a metodologia da Simulação Monte Carlo ainda mais eficiente.

Consistência

Se a variância de um estimador diminui à medida que o tamanho da amostraé aumentado, o estimador será consistente:

lim E (θ) = θn → ∞

e

lim VAR (θ) = 0 (zero)n → ∞

^

^

^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^

^^

^ ^


Conforme vimos na seção E6.12, pela Lei dos Grandes Números, quando seaumenta o número de repetições aleatórias de um evento aleatório, a variância dafreqüência relativa de ocorrência do evento aleatório tende para zero. Portanto afreqüência relativa é um estimador consistente e não tendencioso (não viesado) daprobabilidade (desconhecida) de ocorrência do evento.

Na mesma seção E6.12, mostramos que a distribuição de probabilidade doPL (pode se visto como uma função de variável aleatória n-dimensional) obtida emuma Simulação Monte Carlo é um estimador consistente e não tendencioso (nãoviesado) da verdadeira distribuição de probabilidade do PL.

E7.5 TESTES DE HIPÓTESES

São testes que permitem aceitar ou rejeitar, com determinada probabilidadede acerto, uma hipótese a respeito do valor de um parâmetro populacional, tendopor base os valores obtidos na estatística correspondente da amostra.

Por exemplo, vamos considerar que uma instituição decida testar o seu mo-delo de avaliação do risco de mercado. O modelo que a instituição utiliza admite onível de significância de 5%, o que eqüivale a dizer que, em 5 dias, a cada 100 dias,a instituição deveria apresentar PLs menores do que os PLs críticos unilateraisinferiores previstos pelo modelo.

Se a instituição observar que, em um número muito pequeno de vezes, osPLs foram inferiores aos PLs críticos unilaterais inferiores previstos pelo modelo,este deverá ser rejeitado, pois está superestimando o risco de perdas.

Por outro lado, se a instituição observar que, em um número muito grande devezes, os PLs foram inferiores aos PLs críticos unilaterais inferiores previstos pelomodelo, este também deverá ser rejeitado, pois está subestimando o risco de perdas.

Para realizar os testes de hipóteses, devem-se admitir duas hipóteses iniciais arespeito do valor do modelo que estará sendo testado, conforme mostramos a seguir.

Hipótese Nula (H0)

É a que vai ser testada. Supõe que a eventual diferença entre o número devezes em que os PLs diários ficam inferiores aos PLs críticos unilaterais inferioresdiários previstos pelo modelo e o número de vezes previsto é devida ao acaso e,portanto, não é significativa.

Para que esta hipótese seja aceita, é necessário que não haja diferença signifi-cativa entre o número de vezes observado e o número de vezes esperado.


Se a diferença for significativa, H0 será rejeitada, e, conseqüentemente, não

será aceita a hipótese de que os PLs críticos unilaterais inferiores verdadeiros este-jam contidos na região de aceitação prevista pelo modelo que foi testado.

Hipótese Alternativa (H1)

É uma hipótese diferente de H0, ou seja, admite que os PLs críticos unilate-

rais inferiores verdadeiros estejam fora da região de aceitação da hipótese nula.Quando H

1 é testada e a diferença entre o número de vezes observado e o número devezes esperado pela hipótese alternativa não é significativa, H

1 será aceita. Quando

H1 é aceita, H

0 será rejeitada. Neste caso, a conclusão é que a diferença entre o

número de vezes observado e o número de vezes esperado pelo modelo da hipótesenula é significativa.

E7.5.1 ANÁLISE DAS HIPÓTESES

Em torno do valor do parâmetro assumido por H0 cria-se uma região de

aceitação. Se a estimativa do parâmetro populacional aceita por H0 estiver compre-

endida dentro dessa região, a hipótese nula será aceita. Se estiver fora da regiãodeterminada, H

0 será rejeitada.

Os limites da região de aceitação são conhecidos como pontos críticos. Nocaso de teste unilateral, haverá apenas um ponto crítico.

➢ Tipos de Erros

Ao se realizarem testes de hipóteses, há dois tipos de erros possíveis:

• erro Tipo I - é o que se comete quando se rejeita H0 , sendo ela verdadeira.

Tem probabilidade ∝ (nível de significância da hipótese nula H0);

• erro Tipo II - é o que se comete quando se aceita H0 , sendo ela falsa. Tem

probabilidade β (nível de significância da hipótese alternativa H1).

Em resumo, teremos:

H0 Verdadeira Decisão Correta Erro Tipo I

Probabilidade (1- ααααα) Probabilidade ααααα

H1 Verdadeira (H

0 Falsa) Erro Tipo II Decisão Correta

Probabilidade βββββ Probabilidade (1- βββββ)

Aceitar H0 Rejeitar H

0


As probabilidades de ocorrência dos dois tipos de erro podem ser vistas nosgráficos a seguir:

• hipótese de que o parâmetro populacional seja normalmente distribuído:

• hipótese de que o parâmetro populacional seja lognormalmente distribuído:

Exemplo E7.1 – Um banco utiliza modelo analítico de cálculo de risco(Value at Risk – VaR) diário, admitindo que o nível de significância seja de 5%. Aoperceber que, freqüentemente, a perda sofrida é superior ao VaR previsto pelo mo-delo, o banco resolve testá-lo, realizando um backtest. O banco decidiu realizar obacktest nos 100 dias úteis mais recentes e observou que, em 9 dias, a perda verificadafoi maior do que o VaR previsto pelo modelo.

Probabilidade de Erro do Tipo I

x Região de Aceitação de H

o

Probabilidade de Erro do Tipo II

Probabilidade de Erro do Tipo I

x Região de Aceitação de H

o

Probabilidade de Erro do Tipo II

Gráfico E7.1a Erros Tipo I e Tipo II, Admitindo Distribuições Normais

Gráfico E7.1b Erros Tipo I e Tipo II, Admitindo Distribuições Normais


O banco deveria aceitar ou rejeitar o modelo de cálculo de VaR, consideran-do um nível de confiança de 95%, admitindo que os percentuais são normalmentedistribuídos?

Comentários:

Há somente dois resultados possíveis quando se efetua um back-test, que são:a) perda superior ao VaR ou b) perda inferior ao VaR.

Caso se queira avaliar se a freqüência absoluta observada (igual a 9) deve seraceita ou não, deve-se aplicar a esperança e o desvio padrão de uma distribuição deprobabilidade Binomial considerando a probabilidade de sucesso igual a 5% e aprobabilidade de fracasso igual a 95% e o número de repetições igual a 100. Apli-cando as fórmulas de esperança e de desvio-padrão da distribuição binomial, obte-mos os seguintes resultados:

Esperança = n . p = 100 . 0,05 = 5

Desvio-padrão = n . P . (1-P) = 100 . 0,05 . 0,95 = 2,179

Alternativamente, pode-se avaliar se a freqüência relativa observada (igual a9%) deve ser aceita ou não. Neste caso deve-se aplicar a esperança e o desviopadrão de uma distribuição de probabilidade de Bernoulli (análoga a uma binomialcom n=1) considerando a probabilidade de sucesso igual a 5% e a probabilidadede fracasso igual a 95%. Aplicando as fórmulas de esperança e de desvio padrãoobtemos:

Esperança = p = 0,05

Desvio-padrão = P . (1-P) = 0,05 . 0,95 = 0,2179

Logicamente as regiões de aceitação serão equivalentes, sendo que na primei-ra alternativa, a região estará expressa em quantidades e, na segunda, estará expressaem percentual Utilizaremos a segunda alternativa para elaborarmos a resposta.

Resposta - Considerando que iremos avaliar a freqüência relativa, devemosefetuar o seguinte teste de hipóteses a respeito da probabilidade das perdas diáriasobservadas superarem o VaR que havia sido calculado:


H0 : p = 5% e o modelo é correto

H1 : p ≠ 5% e o modelo subestima ou superestima o VaR

Ao nível de significância de 5% (não confundir com o nível de significânciade 5% considerado para o cálculo do VaR) tem-se a seguinte região de aceitaçãopara o percentual de dias em que as perdas superam o VaR:

P (0,05 -1,96 . 0,2179 / 100 ≤ percentual ≤ 0,05 +1,96 . 0,2179 / 100) = 95%

P (0,05 - 0,0427 ≤ percentual ≤ 0,05 + 0,0427) = 95%

P (0,0073 ≤ percentual ≤ 0,0927) = 95%

ou

P (0,73% ≤ percentual ≤ 9,27%) = 95%

Conclusão: como o percentual observado de 9% está dentro da região deaceitação ao nível de significância de 5%, o modelo deveria ser aceito.

b) Se o backtest fosse realizado em 252 dias e o modelo tivesse falhado em22 dias (8,73%), o modelo deveria ser aceito ou rejeitado?

Resposta - Como o número de dias considerado é maior, a região de aceita-ção seria reduzida, conforme mostramos a seguir:

P (0,05 -1,96 x 0,2179 / 252 ≤ percentual ≤ 0,05 +1,96 x 0,2179 / 252) = 95%

P (0,05 - 0,0269 ≤ percentual ≤ 0,05 + 0,0269) = 95%

P (0,0231 ≤ percentual ≤ 0,0769) = 95%

ou

P (2,31% ≤ percentual ≤ 7,69%) = 95%

Conclusão: como o percentual observado de 8,73% está fora da região deaceitação ao nível de significância de 5%, o modelo deveria ser rejeitado. Portantoa conclusão é a de que o modelo está subestimando o risco, pois as perdas verificadastêm superado o nível de significância de 5% considerado para o cálculo do VaR emum nível significativo. Se o percentual observado estivesse abaixo de 2,31% o mode-lo estaria superestimando o risco, pois as perdas verificadas estariam inferior ao nívelde significância de 5% considerado para o cálculo do VaR em um nível significativo.


E8 Modelos Estatísticos Utilizados em Finanças

Nesta seção, mostraremos algumas das análises de risco de ativos e de cartei-ras (conjunto de posições em ativos) que são freqüentemente utilizadas em Finanças.Apresentaremos os modelos clássicos Capital Asset Pricing Model (CAPM) e deMarckowitz, que analisam a relação retorno esperado/risco16 . Conforme dissemosno início desta Revisão de Estatística, os interessados em se aprofundar nos tópicosapresentados deverão recorrer a literaturas especializadas nos temas abordados.

E8.1 ANÁLISES DA RELAÇÃO RETORNO ESPERADO/RISCO E

DA RELAÇÃO CUSTO ESPERADO/RISCO

Quando uma instituição ou uma empresa necessita decidir sobre qual alter-nativa adotar para aplicar recursos ou para captar recursos, ela deve comparar oretorno (ou custo) esperado com a volatilidade (risco) do retorno (ou do custo).

Admitindo que a instituição seja avessa ao risco, ela preferirá adotar as alter-nativas que tenham menores volatilidades, para um dado nível de retorno ou decusto esperado. Por outro lado, para um dado nível de volatilidade, ela preferirámaior retorno esperado e menor custo esperado.

Para avaliar e comparar as alternativas de aplicação disponíveis no mercado,apresentaremos, na seção a seguir, o modelo CAPM.

Na seção E8.3, apresentaremos o modelo de Marckowitz, que avalia a possi-bilidade de diversificar as aplicações e captações e que permite (em algumas situa-ções) a redução do risco, sem que haja necessariamente a redução do retorno. Omodelo de Marckowitz também avalia as escolhas das alternativas de aplicaçãodisponíveis mais adequadas aos perfis dos aplicadores.

E8.2 O CAPITAL ASSET PRICING MODEL

Este modelo parte do pressuposto de que os agentes econômicos sejam aves-sos ao risco. Conseqüentemente, deve-se esperar uma relação de mercado positivaentre retorno esperado e volatilidade dos ativos.

Ao plotar em um gráfico bidimensional que meça os riscos e os retornosesperados das alternativas de aplicação de recursos, ou de investimento de capital,disponíveis na economia, deve-se esperar, segundo o CAPM, que os pontos se situemde forma semelhante aos que se encontram no gráfico E8.1, a seguir.

16 No capítulo 1, comentamos a respeito da Teoria de Arbitragem de Preços

(Arbitrage Price Theory – APT).


Ao efetuar uma regressão linear17 entre a variável esperança de retorno dosativos e a variável volatilidade dos ativos, chega-se à seguinte equação de reta (cha-mada de linha característica de mercado, conforme mostrado no gráfico anterior),decorrente da regressão:

E[Ri] = α

i + θ . σ

i(E8.1a)

De acordo com o CAPM, o intercepto linear αi pode ser substituído pela taxa de

juro dos títulos de renda fixa. O coeficiente angular (inclinação) da reta é igual a θ, quepode ser vista como uma medida do grau de aversão ao risco de mercado, por parte dosagentes econômicos. Portanto o θ representa o quanto deve haver de acréscimo deretorno esperado, para cada unidade de aumento da volatilidade esperada do ativo:

E[Ri] = r

f + θ . σ

i(E8.1b)

onde:σi = volatilidade do ativo i.

Seja E[Rm] a esperança de retorno da carteira de mercado. Como o risco da

carteira de mercado (σm) é maior do que o risco de renda fixa (que é considerado

igual a zero), de acordo com o CAPM deve-se esperar que E[Rm] > r

f.

Na medida em que o modelo prevê uma relação linear entre o aumento dorisco e o aumento do retorno para os diversos ativos, o retorno da carteira de mer-

17 No capítulo 8, apresentamos de forma sucinta o conceito de regressão linear.

σ

E [R]

rf

0

Linha Característica

de Mercado

... .

. ..

.

.

Gráfico E8.1 Linha Característica de Mercado


cado (retorno médio) será igual à taxa de renda fixa mais o coeficiente angular dalinha característica de mercado (θ) multiplicada pelo risco da carteira de mercado(σ

m), conforme se pode observar na equação a seguir:

>> E82 (E8.2)

(E8.3)

Portanto, em equilíbrio, o retorno esperado de cada ativo individualmentedeve crescer linearmente com o risco do ativo, de acordo com o CAPM.

Os pontos que estivessem acima da linha característica de mercadorepresentariam oportunidades de investimento com relação retorno/risco acima da média, e os pontos que estivessem abaixo da linhacaracterística de mercado representariam oportunidades deinvestimento com relação retorno/risco abaixo da média.

E8.2.1 MODELO CAPM E ESPERANÇAS DE RETORNO DE ATIVOS PARA OS QUAIS

HÁ MERCADOS DERIVATIVOS DESENVOLVIDOS

O modelo CAPM não inclui em sua análise a possibilidade de reduzir oumesmo de eliminar os riscos de manter ativos em carteira, por meio da realizaçãode operações em mercados derivativos.

Como veremos ao longo do livro, é possível eliminar o risco de manter posi-ção em um ativo com alta volatilidade, realizando-se operações específicas (opera-ções de hedge) em mercados derivativos, como, por exemplo, a venda do ativo nomercado a termo ou no mercado futuro, conforme será estudado nos capítulos 4 e 6.

>> 82E[R

m] = r

f + θ . σ

m

Isolando-se o θ na equação anterior, chegamos a:

θ =

Substituindo o θ na equação (E8.1b), chega-se a:

E[Ri] = r

f +

ou

E[Ri] = r

f +

E[Rm] - r

f

σm

E[Rm] - r

f

σm

. σi

E[Rm- r

f]

σm

. σi


Também será visto na seção 6.5 que, em mercados nos quais não há interfe-rência governamental ou manipulação de preços, o preço à vista esperado para de-terminada data futura (E[PVV]) deverá ser igual ao preço futuro do ativo (Pfuturo)em situação de equilíbrio, de forma que, em equilíbrio, devemos observar a seguin-te esperança de retorno (efetivo) do ativo:

>> 83

Portanto, na medida em que é possível eliminar o risco de manter um ativofinanceiro em posição ativa, vendendo-o no mercado futuro, e que o preço futuro deequilíbrio reflete a variação esperada do preço do ativo, pode-se concluir que oretorno esperado desse ativo, em situação de equilíbrio, deve ser igual ao retornodos títulos de renda fixa (igual à taxa de juro), dado que ambos os conjuntos deposições têm risco zero18 . Nesta análise consideramos um ativo financeiro que nãotenha rendimentos extras como dividendos ou aluguel.

Portanto, segundo a análise anterior a relação tradicional (linearmente positi-va) entre retorno esperado e volatilidade do ativo deve ocorrer para os ativos quenão apresentam mercados derivativos desenvolvidos e com alta liquidez e tambémquando houver risco na execução de uma atividade. Por exemplo, a construção deuma fábrica deverá ter retorno esperado acima da taxa de juro, ainda que seja possí-vel vender a sua produção no mercado futuro, pois ainda permanecerá o riscooperacional referente à construção e à manutenção da produção da fábrica.

Conforme será visto nos capítulos 4 e 6, há diversas fórmulas para encontraros preços a termo e futuros de equilíbrio, dependendo das características do ativo.Por exemplo, se um ativo tem taxa de aluguel (i*) positiva, o seu preço futuro deequilíbrio é igual a (1+i)t/(1+i*)t . PV (onde (1+i)t é igual ao fator de juros previstoaté o vencimento do mercado futuro e (1+i*)t é igual ao fator de aluguel previsto atéo vencimento do mercado futuro.

Desse modo, admitindo que este tipo de ativo tenha um mercado futuro ou atermo bem desenvolvido e que seja possível a todos os seus detentores efetuar hedge,a variação de preço esperada do ativo deverá ser, em situação de equilíbrio, menordo que a taxa de juro, mesmo que o ativo tenha volatilidade elevada, na medida emque é possível eliminar o seu risco por meio dos mercados futuros ou a termo.Entretanto o rendimento com o aluguel do ativo deverá compensar o seu detentorpela baixa variação esperada no seu preço.

Se a taxa de aluguel for maior do que a taxa de juro, o preço futuro de

18 Conforme mostrado na seção 6.5, nos mercados futuros bem desenvolvidos verifica-se

uma relação mútua de causa e efeito entre o preço à vista e o preço futuro.

>> 83 E[PVV]

PV

Pfuturo

PV- 1 - 1=


equilíbrio torna-se inferior ao preço à vista e a esperança de variação de preçostorna-se negativa em situação de equilíbrio. Também neste caso, a taxa de aluguelelevada deverá compensar o detentor do ativo.

Como exemplos de esperanças de variação de preços negativas, menciona-mos, a seguir, duas situações para as quais teremos que precificar produtos derivati-vos ao longo do livro:

➢ produtos agropecuários no período da entressafra têm tendência de quedade preços até o período da safra.

Por exemplo, se a arroba do boi gordo custa R$ 40 em julho (mês deentressafra), o preço futuro da arroba para fevereiro (mês de safra) poderá ser deR$ 35. Neste caso, a taxa de dividendos equivalentes ao aumento de peso esperadoaté a época da safra, seria superior à taxa de juro, o que justifica a tendência dequeda de preços. Entretanto, o ganho esperado de peso do gado deverá levar oretorno esperado de volta ao equilíbrio, que, devido ao risco do desenvolvimento daatividade, deverá ser superior à taxa de juro.

➢ taxas de câmbio em relação ao dólar americano, de países que tenhamtaxa de inflação sistematicamente superior à dos Estados Unidos têm tendência dequeda, dado que a paridade do poder de compra das moedas não pode ser alteradaindefinidamente19 .

Por exemplo, se a taxa de câmbio de um país que tenha inflação elevada emrelação ao dólar americano estiver em US$ 0,50 para uma unidade monetária dopaís em determinado momento, o preço futuro da moeda para seis meses poderá serde US$ 0,40 para uma unidade monetária do país. Neste caso, a diferença entre astaxas de juros dos países deverá compensar a tendência de queda de valor da moeda.

Como possibilidades de esperanças de variação de preços acima das taxas dejuros, vamos citar dois exemplos:

➢ produtos agropecuários no período de safra:

Esses produtos têm tendência de aumento de preço a taxa superior à taxa dejuro até o período da entressafra. Por exemplo, se a arroba do boi gordo custa R$ 35

19 O conceito de taxas de câmbio ao qual estamos nos referindo é o da quantidade

de dólares necessária para adquirir uma unidade das moedas dos países. Este é o

conceito considerado no mercado futuro de real negociado nos Estados Unidos.


em fevereiro (mês de safra), o preço futuro da arroba para julho (mês de entressafra)poderia ser de R$ 42, ao passo que a taxa de juro efetiva no período poderia ser deapenas 8%. Entretanto, a perda de peso do gado deverá levar o retorno esperado devolta ao equilíbrio, que deverá ser superior à taxa de juro, devido ao risco de desen-volvimento da atividade.

➢ investimento na construção de uma fábrica

Devido aos riscos envolvidos, de acordo com o CAPM o retorno esperado doprojeto de construção e manutenção da fábrica deverá ser superior à taxa de juro,pois, caso contrário, o projeto não seria implementado (conforme vimos, o CAPM

admite que os agentes econômicos sejam avessos ao risco).Portanto, se uma empresa pretendesse realizar um contrato particular para

comprar uma opção de compra da fábrica a ser construída, que lhe desse o direito(mas não a obrigação) de adqüiri-la quando ela estivesse pronta20, de acordo comcondições previamente estabelecidas, a esperança de retorno da fábrica (superior àtaxa de juro) deveria ser considerada na determinação do preço justo da opção.Neste caso, o preço justo da opção seria maior do que o preço justo que seria obtido,caso a esperança de retorno da fábrica fosse igual à taxa de juro.

Na seção 6.5.2 mostraremos que, em mercados em que haja interferênciagovernamental (como ocorre, geralmente, nos mercados de câmbio, por exemplo)ou em que haja manipulação de preços, o preço futuro poderá não representar umbom estimador do preço à vista no vencimento.

Ao longo do livro teremos que precificar diversos derivativos de ativos quetenham, em situação de equilíbrio, esperanças de variação de preços iguais ou dife-rentes da taxa de juro, e, conforme veremos, os preços de equilíbrio dos derivativostambém são influenciados pelas variáveis que afetam a esperança de variação depreços dos ativos.

E8.3 REDUÇÃO DE RISCO GERADA PELA DIVERSIFICAÇÃO DAS APLICAÇÕES

De forma semelhante à análise das combinações de duas variáveis que vimosno exemplo E5.2, também é possível fazer uma análise gráfica do conjunto de balan-ços factíveis (balanços possíveis de serem montados) para um aplicador de recursos,na hipótese de haver mais de duas variáveis nas quais ele possa assumir posições,captando ou aplicando recursos.

20 Essas modalidades de opções são conhecidas como “opções reais” e há diversos

artigos e até livros sobre o tema, que tratam, inclusive, de modelos de precificação das

opções reais.


Quando há mais de duas variáveis, o conjunto das possíveis combinações deposições deixa de ser representado por uma linha e passa a ser representado por umaárea. Por exemplo, admitindo que haja quatro variáveis, A, B, C e D, o conjunto decombinações de posições possíveis passa a ser representado por um gráfico seme-lhante ao gráfico E8.2, a seguir:

Neste caso, a fronteira eficiente é representada pela linha de fronteira à direi-ta do balanço de mínima volatilidade.

A área que representa o conjunto de balanços factíveis está situada abaixo dalinha de fronteira eficiente. O formato da linha de fronteira eficiente dependerá darelação retorno/volatilidade de cada variável e das correlações entre as variáveis.

E8.3.1 FRONTEIRA EFICIENTE E A TEORIA DE ADMINISTRAÇÃO DE CARTEIRAS, DE

HARRY MARKOWITZ

A teoria de administração de carteiras (ou de diversificação de carteiras), deMarkowitz, visa à redução do risco de um balanço cujas posições não sejam perfei-tamente correlacionadas, sem que, necessariamente, seja sacrificado o retorno espe-rado. Markowitz partiu da hipótese de que os retornos dos ativos seguem distribui-ções normais. O grande atrativo dessa hipótese é que uma distribuição fica perfeita-mente conhecida apenas pelo conhecimento de sua média e de seu desvio padrão.

σ

E [Retorno]

. C

. D

FronteiraEficiente

Cmín

Conjunto de Possibilidades de Aplicação

(Conjunto de Balanços Factíveis)

. B

. A

Gráfico E8.2 Conjunto de Possibilidades de Aplicação e Fronteira Eficiente


Markowitz admitiu, também, as hipóteses de que os aplicadores preferemmaiores retornos esperados do que menores retornos esperados e de que ficam maissatisfeitos em estar expostos a menores riscos, em relação a maiores riscos. Portantoas curvas de indiferença (curvas que representam o conjunto de pontos que tornam oaplicador igualmente satisfeito) deveriam ser positivamente inclinadas no gráfico re-torno esperado/risco, conforme ilustrado no gráfico E8.2b. Neste gráfico a curva deindiferença U

3 representa um nível de satisfação maior do que o da curva de indiferen-

ça U2 que, por sua vez, representa um nível de satisfação maior do que o da curva U

1.

A Escolha da Composição de Posições

As posições deveriam ser combinadas de modo a se obter o balanço quemaximizasse a utilidade do aplicador. Este processo de maximização pode servisualizado no gráfico a seguir:

Há programas de computadores que calculam a fronteira eficiente a partir deum conjunto de variáveis.

E8.3.1.1 INCLUSÃO DE TÍTULOS COM VOLATILIDADE NULA

Conforme será estudado nos capítulos 9, 21 e 30, os títulos de renda fixa

prefixados têm risco, dado que suas cotações, antes das datas de seus vencimentos,

σ

E [Retorno]

. A

. C

. D

Cmín

rf

Combinação que Maximiza a

Utilidade do Aplicador

U3

U2

U1

FronteiraEficiente

. B

.


(Conjunto de Balanços Factíveis). A

Gráfico E8.2b Maximização da Utilidade do Aplicador


flutuam à medida que as taxas de juros previstas pelo mercado até essas datas flutu-

em. Entretanto, o risco será nulo se ele estiver sendo analisado para um períodoidêntico ao prazo até o vencimento do título.

Outra forma de tornar coerente com a realidade a hipótese admitida porMarkowitz de que um título de renda fixa prefixado apresenta risco nulo é admitirque o título seja intransferível, e que o seu emissor garanta a sua recompra pelascotações de sua curva. É necessário que o título seja intransferível, para que o seudetentor não possa revendê-lo, caso haja uma redução nas taxas de juros, o queacarretaria um aumento na cotação do título. Este seria o caso de uma empresa queaplicasse recursos sob a forma de um recibo de depósito bancário (RDB21 ) em umbanco que garantisse a recompra do RDB pela cotação da curva, a qualquer momento.

Considerando que existem títulos de renda fixa que seguem exatamente a traje-tória da curva, ou seja, títulos não intercambiáveis em que o emissor garante o resgateantecipado com a rentabilidade proporcional à taxa da emissão do título, o compra-dor do título não estará sujeito ao risco de obter uma taxa de rendimento menor doque a taxa inicial, caso necessite dos recursos antes do vencimento do título.

Ao introduzir a possibilidade de aplicar ou de captar recursos à taxa do títulode renda fixa, que, para Markowitz, seria um título do governo americano, a fron-teira eficiente passa a ser uma linha reta que tangencia a fronteira eficiente original,como pode ser observado no gráfico a seguir:

21 Os RDBs não são intercambiáveis (são intransferíveis) e os certificados de depó-

sitos bancários (CDBs) são intercambiáveis (são transferíveis).

σ

E [Retorno]

. A

. C

. D

Cmín

rf

Combinação que Maximiza a

Utilidade do Aplicador

U3

U2

U1

FronteiraEficiente

. B

.


(Conjunto de Balanços Factíveis)

. A

F

E.

Gráfico E8.3 Maximização da Utilidade do Aplicador Quando Há Título de Renda Fixa


Pelo gráfico anterior, pode-se perceber que a combinação que maximiza autilidade do aplicador é a representada pelo ponto F, que está fora do conjunto depares ordenados (E[R],σ) possíveis antes de considerarmos o título de renda fixa.Após a introdução da variável renda fixa, há um deslocamento da fronteira eficientepara a reta que tangencia o conjunto de combinações (E[R],σ) possíveis originalmen-te. Conseqüentemente, o conjunto de combinações (E[R] σ) possíveis amplia-se paraa área situada abaixo da reta de fronteira eficiente.

Para que o aplicador possa atingir o ponto F, é necessário que ele aplique ocapital inicial em renda variável, na combinação representada pelo balanço E (que éum ponto possível, mesmo quando não se considera a possibilidade de captar ouaplicar recursos no mercado de renda fixa) e capte no mercado de renda fixa (quepossui custo menor do que o retorno esperado do balanço E) a quantia necessáriapara complementar a aplicação na composição representada pelo balanço E (quepossui retorno esperado maior), levando à combinação representada pelo balanço F.

Qualquer combinação eficiente à direita do ponto E será composta de capta-ções em renda fixa para complementar a aplicação na composição E. As combina-ções sobre a fronteira eficiente à esquerda do ponto E serão compostas de aplicaçõesde parte do capital inicial em renda fixa.

Caso o aplicador aplique 100% de seu capital em renda fixa, o seu balançoserá representado por um ponto sobre o eixo das ordenadas.

E8.4 REDUÇÃO DE RISCO, DECORRENTE DO AUMENTO DO NÚMERO DE ATIVOS

E8.4.1 HIPÓTESE DE INDEPENDÊNCIA ENTRE OS ATIVOS

Vamos admitir que um aplicador divide as aplicações do seu patrimôniolíquido em n ativos, sendo o valor destinado a cada ativo igual a 1/n . PL. Se os nativos são independentes e possuem desvio padrão igual a σ, o desvio padrão dopatrimônio líquido será igual a:

>> 84

Portanto o desvio padrão de um capital alocado em n ativosindependentes entre si tende para zero, à medida que n tende parainfinito, considerando que cada ativo receba a alocação de 1/n docapital total e que possua o mesmo desvio padrão.

>> 84 σ PL = [n . ( 1/n )2 . σ2]1/2

= [1/n . σ2]1/2

= (1/n)1/2 . σ


A redução do risco do capital, em decorrência do aumento do número deativos, pode ser observada no gráfico E8.4 a seguir:

Este gráfico nos permite concluir que, à medida que n tende para infinito, orisco do capital a ser aplicado (PL) tende para zero.

E8.4.2 DIVERSIFICAÇÃO NO MERCADO DE AÇÕES

Na realidade de um mercado acionário, as ações individuais não são inde-pendentes entre si (geralmente as ações são positivamente correlacionadas), nãopossuem desvios padrão iguais, e o número máximo de ações que podem ser utiliza-das para a alocação de um capital não é infinito (é igual ao número de ações domercado).

Desse modo, a redução de risco ocasionada pela diversificação não reduz orisco a zero, mas, sim, ao risco da carteira de mercado, que é conhecido como risco

sistemático ou risco não-diversificável.O risco de cada ação individualmente pode ser eliminável pela diversificação

e é conhecido como risco único, risco não-sistemático ou, ainda, como risco

diversificável.

Os riscos mencionados podem ser observados no gráfico a seguir.

0 n

σ PL

σ 1 ativo

Gráfico E8.4 Redução do Risco do PL à Media que Aumenta o Número de Ativos


Pelo que vimos nos gráficos anteriores, é possível afirmar que a diversificação

reduz riscos (volatilidades).No capítulo 8 estudaremos o mercado futuro de Índice da Bolsa de Valores

de São Paulo (mercado futuro de IBOVESPA) e retornaremos a este assunto maisdetalhadamente. No referido capítulo veremos que o risco não-diversificável é

eliminável por meio do mercado futuro de índice da bolsa.

As Referências Bibliográficas encontram-se ao final do Volume 2.

0 n

σ PL

σ 1 ativo

R i s c o

T o t a l

risco não-sistemático ou diversificável

(eliminável por meio da diversificação)

risco sistemático ou não-diversificável

(eliminável por meio do mercado futuro de índice)

Gráfico E8.5 Redução do Risco Decorrente da Diversificação

de Aplicação em Diversas Ações

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