Rm II - Vigas Gerber Versao Final 26 Out 2011

RESISTNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Michel Sadalla Filho VIGAS GERBERFONTES: Universidade So Paulo Copyright 2001 LMC EPUSP. Disponvel em: http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/abdo/diagrama VG1.htm Acesso em 17/10/2011.CASCO FERREIRA DE ALMEIDA, Maria. Estruturas Isostticas. Editora Oficina de Textos. So Paulo, 2009.

Prof. Flvio Barbosa de Lima

VIGAS GERBER - ConceitosAs VIGAS GERBER recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemo Heinrich Gerber (18/11/1832 03/01/1912, Bavaria).VIGAS GERBER surgiram por duas razes: 1) Estruturais: permitir deformaes, evitando o surgimento de esforos internos devidos a recalques diferenciais nos apoios. 2) Construtivas: permitir o lanamento de vigas pr-moldadas em vos sobre leitos de rios ou de difcil acesso. (Casco, 2011)

VIGAS GERBER so vigas formadas pela associao de vigas simples isostticas vigas em balano, vigas simplesmente apoiadas e vigas simplesmente apoiadas com balanos algumas delas apoiadas em outras que lhes do apoio. As ligaes entre as partes se d por articulaes (fixas ou mveis)

VIGAS GERBER

As vigas Gerber tm lugar de importncia na engenharia estrutural, e a tendncia de cada vez mais serem utilizadas, tendo em vista o desenvolvimento das tcnicas de prfabricao e montagem de estruturas.

VIGAS GERBER - Exemplo

VIGAS GERBER - ConceitosA figura abaixo formada pela associao de uma viga simplesmente apoiada e uma viga em balano.

Os dentes Gerber so rtulas (Mrot = 0) convenientemente introduzidas na estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torn-la isosttica. As associaes de vigas simples apresentam dois tipos de vigas: a) As vigas com estabilidade prpria (CEP) b) As vigas sem estabilidade prpria (SEP) importante ressaltar que estas vigas so tambm estveis, sendo a sua estabilidade dependente da estabilidade das vigas sobre as quais elas se apiam.

DEFORMAES DAS VIGAS GERBERFora aplicada no trecho esquerdoNesta situao, toda a viga se encurva, ou seja, toda a viga sofre flexo. Fora aplicada no trecho direito Com a fora aplicada no trecho direito da viga Gerber, vemos que apenas direita da carga tem-se encurvamento da viga, ou seja, apenas este trecho sofre flexo. O trecho direita da carga apresenta apenas movimento de corpo rgido, no se deformando.

DEFORMAES VIGA GERBER

DECOMPOSIO DE UMA VIGA GERBER (1)As vigas Gerber so formadas pela associao de vigas simples ligadas entre si por articulaes. Assim, para decomp-las, devese isolar os seus vrios trechos, separando-os pelas articulaes internas. Vejamos o primeiro exemplo abaixo.

A decomposio desta viga Gerber nos indica: - Viga simplesmente apoiada AB: se apia na articulao fixa A e na viga em balano BC por meio da articulao mvel B. - Viga em balano BC: d apoio para a viga AB e se apia apenas no esgastamento C.

DECOMPOSIO DE UMA VIGA GERBER (2)Analisaremos agora um segundo tipo de viga Gerber:

Nesta situao temos trs trechos da viga: AB; BC; CD

A aplicao de uma fora concentrada em cada um deles separadamente implica na deformao da estrutura, a seguir.

DEFORMAO NA VIGA GERBER (2)

Analisando as foras aplicadas verificamos: a) Fora na seo AB: toda a viga ficou fletida b)Fora na seo BC: todo o trecho esquerda da fora aplicada no sofreu flexo, apresentando apenas movimento de corpo rgido. c) Fora aplicada na seo CD: somente o trecho direita sofreu flexo, os outros apresentam apenas movimento de corpo rgido.

DECOMPOSIO DE UMA VIGA GERBER (2)

A viga acima pode ser descrita da seguinte forma: Viga simplesmente apoiada AB: apoiada no apoio mvel A e na extremidade do balano da viga BCD.

Viga simplesmente apoiada em balano BCD. Observe que a articulao B um apoio fixo da viga AB e no um apoio para a viga BCD. Este um fato fundamental: as articulaes internas das vigas Gerber so vnculos de apoio para as vigas que so apoiadas e no so vnculos para as vigas de apoio.

DECOMPOSIO DE UMA VIGA GERBER (3)Seja a viga Gerber abaixo:

Viga SEP Viga CEP Viga CEP

Fazemos a decomposio da viga em trs trechos, observando que: -Os trechos ABC e DEF : vigas simplesmente apoiada com balano possuem dois apoios externos e no precisam de outro apoio para ficar em equilbrio ambas tm estabilidade prpria (CEP)-Trecho CD: precisa se apoiar nos dois outros para ficar em equilbrio, no possui estabilidade prpria (SEP)

DECOMPOSIO DE UMA VIGA GERBER (4)Seja a viga Gerber abaixo:

Fazemos a decomposio desta viga Gerber em trs trechos:

Observamos que o trecho AB, constitudo por uma viga em balano o nico que possui apoios externos suficientes para se equilibrar; ele fornece apoio para a viga BCD, que por sua vez fornece apoio para a viga DE.

ESTRUTURAS HIPERESTTICAS X ESTRUTURAS ISOSTTICASA viga contnua de trs vos representada abaixo, uma estrutura hiperesttica, pois o nmero de equaes (3) menor do que o nmero de reaes de apoio, ou incgnitas, que igual a 5.Viga contnua com trs vos: estrutura hiperesttica

A introduo das rtulas 1 e 2 (ou dentes Gerber) permite a obteno de mais duas equaes para resolver a estrutura transformando-a de hiperesttica para isosttica Viga Gerber: estrutura isosttica

DIAGRAMAS DE FORA CORTANTE E MOMENTE FLETOR EM UMA VIGA GERBERPara construo dos diagramas de esforos solicitantes (Fora Cortante e Momento Fletor), procedemos da seguinte maneira: 1. Decompomos a viga Gerber nas vigas isostticas que a formam, as apoiadas, ou seja, sem equilbrio prprio (SEP) e as que do apoio, ou seja, com equilbrio prprio (CEP); 2. Calculamos as reaes de apoio e traamos os diagramas de Fora Cortante (Qy,)* e Momento Fletor (Mf) para cada uma das vigas apoiadas (SEP); (*) Alguns autores denominam a fora cortante de V. 3. Transferimos os esforos reativos calculados nas vigas SEP para as vigas CEP; 4. Calculamos as reaes de apoio nas vigas de sustentao, as CEP e construmos os diagramas de Fora Cortante e Momento Fletor destas vigas. Os exemplos a seguir nos permitem o entendimento do procedimento.

VIGA GERBER Exemplo 1

1 passo: decompor a viga Gerber

O resultado desta composio uma viga simplesmente apoiada CDE apoiada em uma viga em balano ABC

..... VIGA GERBER Exemplo 12 passo: Clculo das Reaes de Apoio da viga CDE e construo dos diagramas de Qy (ou V) e Mf .

3 passo: Transferimos a reao de apoio FC = 10 calculada em na viga CDE para a viga ABC

..... VIGAS GERBER Exemplo 14 passo: Clculo das reaes de apoio da viga ABC e os diagramas de Qy e Mf.

A seguir, ainda dentro do 4 passo, construmos os diagramas de Qy e Mf para a viga ABC, apresentando a viga como um todo

...... VIGAS GERBER Exemplo 1

Construmos os diagramas da viga Gerber por partes, analisando inicialmente as estruturas apoiadas (SEP) e depois as estruturas de apoio (CEP)4010

100

20 30

VIGAS GERBER Exemplo 2

Decomposio da viga: vigas isostticas de apoio (CEP) e apoiadas (SEP)

Viga CDE: simplesmente apoiada est apoiada nas vigas ABC e EFG que so vigas simplesmente apoiadas em balano

Viga EFG: est apoiada na viga em balano GH.

.... VIGAS GERBER Exemplo 2Construo dos diagramas Qy e Mf para a viga CDE.

Observar a simetria na viga CDE

Qy (KN)30 30

Mf (KN.m)

60

... VIGAS GERBER Exemplo 2Diagramas viga ABC esta viga sustenta CDE Diagramas viga EFG notar que esta viga que sustenta a viga CDE e sustentada pela viga GH

30

15

4560 30

Observar: a) os esforos reativos em C, so transmitidos para a viga ABC. Analogamente, b) os esforos reativos em E, so transmitidos para a viga EFG

... VIGAS GERBER Exemplo 2Diagrama final de Qy e Mf com todos trechos da estrutura

VIGAS GERBER Exemplo 3B A C D EF

G

E

F

G

C

DB

E

A

C

A decomposio da viga fornece trs trechos: - Viga EFG: simplesmente balano, viga CEP - Viga CDE: simplesmente balano, viga SEP - Viga ABC: simplesmente balano, viga SEP

Gerber nosapoiada em

apoiada em apoiada em

... VIGAS GERBER Exemplo 3Observar que nestes diagramas, os trechos individuais no esto desenhados com fechamento no zero


Decompor a viga Gerber, encontrar as reaes nos apoios e traar os diagramas Qy e Mf. Decomposio: Trecho ABCDE simplesmente apoiada com balano: viga CEP, d suporte para o trecho EFG Trecho EFG: simplesmente apoiada com balano: viga SEP Viga GH: viga apoiada, SEP Viga HI viga engastada CEP: suporta a viga em balano GH


As reaes nos apoios esto desenhadas. Calcule-as. Seqncia: GH HI GH EFG ABCDE

...Exemplo 4

By=60Dy=0

Fy=180

Gy=120

VIGAS GERBER Exemplo 5Decompor a viga Gerber abaixo e construir os diagramas de fora cortante e momento fletor.

...

VIGAS GERBER - Exemplo 5

... VIGAS GERBER - Exemplo 5

.... VIGAS GERBER Exemplo 5Diagramas de Corpo Livre:

... VIGAS GERBER Exemplo 5

Diagrama de Fora Cortante Qy (KN)

Diagrama de Momento Fletor Mf (KN.m)

VIGAS GERBER - EXERCCIOSEx. 1Decomponha as seguintes estruturas em vigas Gerber

Ex. 2

Ex. 3Soluo na prxima pgina. (pense um pouco antes...)

DECOMPOSIO VIGAS GERBER RESPOSTAS EXERCCIOSEx. 1 Ex. 2 Ex. 3

VIGAS GERBER Exerccios (4)Determinar para a viga Gerber abaixo: a) A decomposio de cada trecho (CEP) e (SEP) b) As reaes de apoio c) Os diagramas de Fora Cortante e Momento Fletor

Respostas: Ay = 3,75 ( ); By = 48,75 tf ( ); Cy = 22,5 tf ( ) ; Dy=7,5tf ( )

VIGAS GERBER - EXERCCIOS (5)Determinar para a viga Gerber abaixo: a) A decomposio de cada trecho (CEP) e (SEP) b) As reaes de apoio c) Os diagramas de Fora Cortante e Momento Fletor

A

B

C

D

E

F

G

Respostas Reaes nos apoios (KN) Ay = 20 ( ); By = 60 ( ); C y = 40 ( ); Dy = 70 ( ); Ey = 30 ( ); Fy = 50 ( )


Respostas Reaes nos apoios (KN) By = 15 ( Fy = 45 ( ); ); C y = 15 ( Gy = 25 ( ); ); Dy = 35 ( Hy = 25 ( ); ) Ey = 20 ( );


(m)Respostas Reaes nos apoios (KN) Ay = 50 ( Fy = 50 ( ); By = 50 ( ); C y = 250 ( ); Gy = 200 ( ); Iy = 200 ( ); Dy = 0 ( ); Ey = 50 ( ) Jy = 50 ( ); Ky = 50 ( ); )


Respostas Reaes nos apoios (KN) Ay= 60 ( ); By = 200 ( ); C y= 60 ( ); Dy= 60 ( ); Ey = 200 ( ); Fy= 60 ( )

VIGAS GERBER - Exerccio (9)Determinar para a viga Gerber abaixo: a) A decomposio de cada trecho (CEP) e (SEP) b) As reaes de apoio c) Os diagramas de Fora Cortante e Momento Fletor

A

B

C

Respostas Reaes nos apoios (KN) Ay = 200 ( ); MA = 750 KN.m

By = 100 ( ); C y = 100 ( );

DICAS RESOLUO EXERCCIOSEX. 4 - viga GH (SEP); viga AEBG (CEP); viga HCFD (CEP) EX. 5 - viga EFG (SEP); viga CDE (SEP); viga ABC (CEP) EX. 6 - viga ABC (SEP); viga CDE (SEP); viga EFG (SEP); viga GH (CEP) Obs. Momento no ponto E est na seo EFG e no em CDE. EX. 7 - viga AB (SEP); viga BCD (SEP); viga EF (SEP); viga JK (SEP) viga GHIJ (CEP) EX. 8 - viga CD (SEP); viga ABC (CEP); viga DEF (CEP) EX. 9 - viga BC (SEP); viga AB (CEP)

Fontes dos exerccioshttp://www.pet.ufal.br/petcivil/downloads/segundoano/exercicios_gerber_2.pdf http://www.pet.ufal.br/petcivil/downloads/segundoano/exercicio%20gerber_1.pdf http://www.pet.ufal.br/petcivil/downloads/segundoano/TeoriaEstrut1_20091_aula1 0%20[Modo%20de%20Compatibilidade].pdf www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/abdo/diagramaVG1.htm www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/abdo/diagramaVG2.htmhttp://www.pet.ufal.br/petcivil/downloads/segundoano/exercicios_gerber_2.pdf

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