ROBÓTICA (ROB74) – AULA 5

CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE MANIPULADORES SERIAIS

PROF.: Leo Schirmer

PROGRAMA

• CINEMÁTICA DIFERENCIAL DE MANIPULADORES SERIAIS– Problemática da Cinemática Diferencial– Jacobiano Direto– Jacobiano Inverso– Exemplos– Singularidades

Problemática• Qual a relação existente entre as derivadas

(velocidades, aceleração, jerk) dos eixos de juntas em relação as derivadas das coordenadas do efetuador final?

• Se a extremidade da mão deve descrever um certo deslocamento (incremento) no espaço a seis coordenadas durante um dado intervalo de tempo, que deslocamentos (incrementos) devem ter as diversas juntas?

Caminho e Trajetória• No controle de robôs é mais simples definir

“caminhos” do que “trajetórias”!!!

• CAMINHO: Conjunto de pontos no espaço (operacional ou das juntas) que deve ser percorrido em uma determinada ordem;

• TRAJETÓRIA: Define um caminho levando em conta restrições temporais, ou seja, são definidos intervalos de tempo para a evolução entre duas configurações sucessivas;

Jacobiano• Relaciona as velocidades no espaço das juntas

com velocidades no espaço cartesiano

Jacobiano• EX: cinemática direta robô 6DOF – denominada h

Jacobiano

OBS: não é uma função constante, é

função de q!!!!

Jacobiano• Na cinemática direta

Jacobiano – EX: two links planar

Jacobiano - Interpretação

• Contribuição individual da velocidade de cada junta para a velocidade no efetuador final

Jacobiano - Interpretação• A matriz jacobiana pode ser decomposta da

seguinte forma:

• JPi(3x1) representa a parcela de contribuição de cada junta qi na velocidade linear;

• JOi(3x1) representa a parcela de contribuição de cada junta qi na velocidade angular

Jacobiano• Também pode ser obtido geometricamente

por:

• Sendo:– zi-1 é a terceira coluna de 0Ri-1

– p é o vetor posição da matriz 0Tn

– pi-1 é o vetor posição da matriz 0Ti-1

Jacobiano – EX: two links planar

Jacobiano• Resolvendo os produtos vetoriais, tem-se:

• E o Jacobiano será:

Jacobiano Inverso• Simplesmente a matriz inversa do Jacobiano?– OBS: nem sempre é verdade, porque o jacobiano

pode não ser quadrado (muito comum)!!!• Três Alternativas:– Diferenciação da cinemática inversa– Inversa Comum:

– Pseudo-Inversa:

Jacobiano Inverso – EX: RR planar e RR 3D• Pela Inversa (RR planar):

• Diferenciação Cin. Inversa (RR 3D):

Singularidades• O Jacobiano inverso mesmo quando identificado por

uma expressão analítica, pode nem sempre ficar definido para todos os valores das variáveis de junto (configurações do manipulador)!!!

• EX:

Singularidades• Exemplos:

Singularidades• Fisicamente: é uma situação (configuração do

robô) na qual seria necessário impor velocidades infinitamente altas numa ou mais juntas para manter determinadas velocidades no espaço operacional.

• Se o Jacobiano Inverso não tem definição numérica então o Jacobiano Direto é singular (terá determinante nulo)!!!

Singularidades• As singularidade apresentadas para o caso RR

planar e RR 3D dizem respeito a situações limites do espaço de trabalho, porém ...

• OBS: para manipuladores com mais graus de liberdade é possível encontrar singularidades no interior do espaço de trabalho – normalmente dizem respeito a alinhamento de elos interiores, como cotovelos, por exemplo.

ESTAS SINGULARIDADES REPRESENTAM SÉRIOS PROBLEMAS NO CONTROLE DE MANIPULADORES!!!!