Roteiro Mathematica

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Roteiros de Laboratrio

Traduzido e adaptado de Experiments in Undergraduate Mathematics - A Mathematica Based Approach de P. Kent, P. Ramsden, J. Wood, Imperial College Press, 1996.

Preliminares sobre o primeiro encontro:

Este primeiro encontro tem como objetivo:

iniciar voc na utilizao de um programa chamado Mathematica;

dar uma idia do que o programa Mathematica e das possibilidades de sua utilizao no nosso trabalho.

No h nenhum conhecimento especial de matemtica sendo requerido neste primeiro encontro; mas gostaramos que voc buscasse:

entender as afirmativas na linguagem do Mathematica, e

tentar expressar suas prprias idias usando a linguagem do Mathematica, ao invs de simplesmente reproduzir o que lhe estar sendo ensinado.

Se voc no estiver habituado com o uso de computadores, ou de programas do tipo do Microsoft Windows, procure os monitores do Laboratrio de Recursos Computacionais, ou tambm procure trabalhar em grupos, com colegas j familiarizados com o uso de computadores.

O que o Mathematica:

O Mathematica um programa de computador produzido por Wolfram Research Inc. e um tipo de sistema conhecido como sistema de manipulao algbrica ou sistema matemtico computacional. Tais sistemas so muito teis na resoluo fcil e precisa de uma diversidade de problemas em matemtica. Nos dias de hoje, estes programas tm se mostrado instrumentos poderosos para o trabalho de cientistas, engenheiros e matemticos. interessante vocs se familiarizarem com eles.

O Mathematica constituido de duas partes: o Kernel e o Front End.

O Kernel a parte principal do sistema, que aceita os comandos do Mathematica, processando-os e devolvendo os resultados. Todo este processo referido como efetuando o comando que foi dado.

O Front End a parte do sistema que manipula os comandos virtualmente na tela de trabalho do programa, imprime os resultados e cria documentos no Mathematica.

Os documentos no Mathematica so chamados Cadernos. Um Caderno parecido com um documento em Word; voc poder usar comandos para digitar e editar, envi-los ao Kernel para serem analisados e processados, torn-los visveis na tela de trabalho do programa e salvar o trabalho. No Laboratrio de Recursos Computacionais voc s ter permisso para salvar seu trabalho em disquete. portanto aconselhvel trazer sempre um disquete consigo para as aulas e outros trabalhos no laboratrio.

Voc envia os comandos digitados em linguagem do Mathematica mantendo pressionada a tecla shift durante o tempo a seguir em que pressionar a tecla return (que poder estar designada por enter ou

em alguns teclados).

Quando voc inicia o Mathematica, voc na verdade inicia o Front End; o Kernel s ativado quando necessrio. No h problemas em trabalhar com mais de um Caderno aberto simultaneamente, mas no se deve iniciar mais de uma cpia do Mathematica.

No nosso primeiro encontro, voc ir trabalhar num Caderno explorando algumas possibilidades do Mathematica.

Utilizao dos CadernosUm Caderno do Mathematica, como j foi dito, semelhante a um documento em Word; voc ter um espao para trabalhar, escrever e editar o que lhe convier, utilizando o mouse da maneira usual. Mas os Cadernos do Mathematica tm certas caractersticas especiais que os diferenciam de outros tipos de documentos.

Clulas (Cells)

Um Caderno pode conter diversos tipos de coisas: os comandos do Mathematica, respostas aos comandos dados, mensagens de erro e textos comuns. O Mathematica requer, bem como voc, o conhecimento do que o qu. O Mathematica armazena tipos diferentes de coisas em diferentes compartimentos. O Caderno dividido em clulas, e estas so identificadas por colchetes localizados a direita na tela de trabalho do programa (muitas vezes chamada de janela).

O Mathematica deixa explcita a relao entre o envio (input) de informao para o Kernel e sua devoluo (output) ao Caderno atravs de agrupamento de cells. Isto mostrado abaixo, na cpia de uma tela de trabalho do programa: o output grfico e algbrico so apresentados agrupados com o comando dado (input) num colchete extra a direita; neste caso todo o bloco foi selecionado. Voc pode usar grupos para organizar seu prprio Caderno.

Comandos em grupos inteiros de cells podem ser dados: suficiente que sejam combinados com uma seleo prvia dos colchetes, usando o mouse, seguida ento pelo comando da operao desejada. Voc tambm pode, como na grande maioria dos aplicativos desenhados para Windows, cortar (cut), copiar (copy) e colar (paste) cells inteiras, e selees de textos entre cells: isto evita que voc tenha que re-digitar comandos inteiros, que eventualmente podem ser longos. Voc pode ainda re-efetuar comandos previamente dados, em quaisquer cells de input, pressionando o boto do mouse com seta dentro da cell, ou selecionado o colchete da cell e pressionando shift-return para comandar seu processamento.

Utilizando outputs

Cada output do Mathematica recebe um nmero. Se voc quiser usar o resultado, por exemplo, do output nmero 35, voc pode inclu-lo num comando Mathematica usando %35. O smbolo % sozinho num comando significa o output mais recente.

A sintaxe do Mathematica

O Mathematica uma linguagem de programao com uma gramtica e regras de ortografia prprias. Este conjunto de regras, para formar frases e palavras em Mathematica, chamado de sintaxe da linguagem. O Kernel necessariamente estrito e rigoroso com estas regras; e voc precisa ter cuidados com elas. Voc vai aprender muitas destas regras ao decorrer do nosso trabalho, mas aqui vo algumas essenciais:

Os comandos em Mathematica so sempre iniciados com letras MAISCULAS, por exemplo, Sin[x]. Se o comando corresponde a vrias palavras (em ingls), ento cada uma delas comea com letra maiscula, mas WithNoSpaceInBetween. Letras maisculas ou minsculas so importantes: a palavra Fun diferente da palavra fun que diferente da palavra fuN.

O Mathematica faz uso de montes de colchetes e parnteses, ({[ ]}). O tipo de tais parnteses ou colchetes que sero digitados num comando vai fazer diferena:

A maioria das funes em Mathematica faz uso de argumentos e estes devem ser colocados entre colchetes [...]. Por exemplo, Sin[x]. Dois ou mais argumentos ou informaes (inputs) so separados por vrgulas. Por exemplo:

Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi}, Frame

True]

As chaves, {...}, so usadas para construir uma lista. Normalmente so usadas para permitir que vrios objetos sejam tratados como um s.

Parnteses, (...), so usados para agrupar os termos como fazemos em lgebra: uma boa idia us-los em expresses complicadas para deixarmos o seu significado bem claro.

Operaes Aritmticas:As operaes aritmticas usuais so comandadas usando os smbolos:

+, -, *, /, e ^ (para potncias).

Multiplicao pode tambm ser subentendida deixando um espao (ou espaos). Por exemplo, 3 x significa o mesmo de 3*x. Na maior parte do tempo, espaos no tero significado, exceto tornar mais legveis os comandos. Por exemplo, comum que se coloque um espao aps as vrgulas (como foi feito acima) mas no usual que se escreva, digamos, Sin [ x ], embora voc possa faz-lo, se quiser. Algumas vezes melhor voc indicar todas as multiplicaes num comando complicado com *s de modo a no se confundir com o eventual duplo significado dos espaos deixados.

Nomeando Variveis:O nome das variveis em Mathematica pode ser longo, mas ele nunca comear com um nmero: o Mathematica interpreta, digamos, 2dimension como 2*dimension. No entanto, nomes de variveis podem terminar com nmeros: x1 uma maneira til de escrever em Mathematica uma varivel indexada, como

. Esteja atento tambm para o fato de que combinaes de letras sem espao entre elas so interpretadas como novas variveis: ax no tem o mesmo significado de a*x.

Procurando Ajuda

Certamente voc vai ficar muitas vezes sem saber o que fazer, e todos ns sabemos que computadores muitas vezes falham. Seguem aqui algumas maneiras para obtermos ajuda:

Use o sistema Help, que especificamente til em se tratando de especificar as funes do Mathematica. V ao menu Help e escolha a opo Help novamente. Digite ento algumas letras do nome do comando sobre o qual necessita ajuda. Quando o nome do comando desejado aparecer no extremo direito da lista de comandos, clique no boto Go To ou clique no prprio nome do comando na lista. Aparecer ento um pequeno texto sobre o comando, quase sempre com alguns exemplos e sempre com links sobre outros comandos relacionados

Consulte outras pessoas, outros estudantes, os monitores.

Se um comando no est respondendo com eficincia, confira as mensagens de erro (normalmente em azul ou vermelho).

Se seu input simplesmente est sendo enviado de volta sem alteraes, sem nenhuma mensagem de erro para ajudar, verifique se a ortografia, a sintaxe e o nmero de inputs no comando esto corretos, se voc no se esqueceu de nenhuma vrgula e se os tipos de inputs foram apropriados (por exemplo, voc pode ter digitado um nmero quando uma lista est sendo requerida).

Se o Mathematica aparentemente parece ter sido congelado, possvel que voc lhe tenha pedido um clculo muito longo, ou mesmo impossvel, e que ele esteja ainda pensando na resposta. Neste caso, aparecer a mensagem Running na barra de ttulos e ser provavelmente necessrio suspender os clculos ou, em alguns casos, abandon-los. Para suspender os clculos, v ao menu Kernel e escolha Abort Evaluation.

s vezes mesmo o procedimento anterior no funciona e o Mathematica continua parado. Neste caso, ou em outros quando tudo est dando errado, feche o Mathematica, usando o menu File, opo Exit, e comece de novo. Aprenda a salvar seu trabalho (use o Save no menu File) de tal modo que voc possa recuper-lo em situaes como as discutidas acima. O conselho dado acima de trazer consigo um disquete particularmente importante nestes casos.

Imprimindo, Salvando e abrindo Cadernos

Um Caderno do Mathematica pode ser impresso e guardado na memria do Mathematica usando os comandos apropriados no File menu. Se voc quiser guardar um Caderno em um outro local, como por exemplo num disquete, use o comando Save As do menu File. Use Open no menu File para abrir um Caderno guardado num disquete.

tambm til usar Print Selection no menu File para imprimir somente as clulas em que estamos interessados num determinado momento. Para isto, selecione estas clulas segurando a tecla CTRL enquanto clica sobre os colchetes das clulas que se quer imprimir com o boto esquerdo do mouse.

Roteiro do Primeiro Dia

Instrues para comear

Vamos nos referir a boto para indicar, a princpio, o boto esquerdo do mouse. Caso contrrio, deixaremos indicao explcita nas instrues. A palavra tecla ser usada para indicar posies no teclado.

Para dar incio ao trabalho voc deve proceder como a seguir:

Segure as teclas Ctrl e Alt e, com estas seguras, aperte a tecla Delete. No quadro que aparecer na tela digite na posio usurio a palavra aluno. Na posio senha digite tambm aluno. Estes comandos do a voc o acesso rede qual o computador est conectado e aos programas nele instalados.

V com a seta do mouse at a posio Iniciar, no canto inferior esquerdo da tela. Caso a posio Iniciar no esteja visvel, dirija assim mesmo a seta do mouse para o canto inferior esquerdo e o smbolo marcado como Iniciar dever aparecer.

Clique o boto do mouse sobre Iniciar. Escolha ento as opes Programas

Mathematica.

Clique com o boto do mouse sobre o smbolo marcado como Mathematica para abrir o programa.

Voc ver ento uma janela vazia, que o espao para voc criar o seu caderno (notebook). Caso no se veja uma outra janela com vrios smbolos matemticos tipo

,

, letras gregas, etc, leve a seta do mouse ao menu File e escolha a opo Palettes

BASICINPUT. Clique o boto do mouse sobre BASICINPUT. Esta janela nos ser til nos experimentos a seguir e iremos nos referir a ela simplesmente como paleta.

Comandos bsicos do Mathematica

Vamos listar os comandos bsicos do Mathematica que usaremos no nosso primeiro dia de Laboratrio. A sintaxe da maioria das funes do Mathematica faz uso de colchetes para incluir os argumentos; por exemplo,

.

Se voc quiser alguma informao sobre, por exemplo, Plot, digite:

EMBED "Equation" "Word Object9" \* mergeformat

E se voc quiser a lista de todos os comandos comeando com a combinao das quatro letras Plot, voc poder digitar:


Atividade 1: Aritmtica

1) Digite em seu caderno (Notebook):

Este ser a sua primeira afirmativa em Mathematica, mas ela ficar como est agora at que voc decida envi-la para ser efetuada.

2) Com a tecla Shift mantida pressionada no teclado, pressione a seguir a tecla Return (que em alguns teclados poder estar indicada por Enter ou

).

O Kernel comear a trabalhar sob seu comando, embora com um pequeno atraso neste incio. Observe que voc ter uma clula correspondente ao output obtido, indicada por:

3) Faa agora um teste para verificar como os operadores aritmticos funcionam, digitando:


Voc agora obter sua resposta mais rpida, porque desta vez o Kernel j foi iniciado. Observe que o Caderno (Notebook) separa os diversos inputs e outputs em clulas e como a seta muda de forma quando se desloca entre elas.

Observe o espao entre 3 e 5. Como o Mathematica interpreta isto?

4) O smbolo ^, (shift 6 na maioria dos teclados) o comando para a exponenciao. Pea ao Mathematica para calcular primeiro e depois . Como voc faz para ele entender exatamente o que voc quer? Agora digite:

2 ^ 2 ^ 2

e pressione o shift-return no teclado para efetuar esta nova operao. Como que o Mathematica interpreta este comando?

Uma maneira alternativa de escrever o 2 ^ 2 ^ 2 de forma mais bonita para os olhos de um matemtico utilizar o mouse e a paleta com smbolos a que nos referimos mais atrs. Tente usar a paleta neste exemplo e nos demais a seguir. Usualmente, embora mais feia, a forma obtida com o teclado mais rpida de digitar.

5) Calcule agora 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2. Se seus nmeros ficaram muito grandes para serem lidos, tente usar:


O smbolo % a maneira de se referir ao ltimo output, quando se est usando o Mathematica (%n significa enviar o output numerado como n).

um comando em Mathematica que aproxima valores exatos por nmeros dados na forma decimal.

Cuidado: No ceda tentao de ver quanto seria 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2. Voc pode ter que reiniciar o Mathematica e perder seus resultados anteriores.6) Se voc quiser salvar o Caderno (Notebook) no qual voc comeou a trabalhar para us-lo mais tarde, ou por segurana, use a opo Save As ... (no menu File) e d-lhe um nome adequado. No laboratrio de recursos computacionais do departamento de Matemtica, o usurio aluno s tem permisso para salvar seus arquivos na unidade de disquete a:. uma boa idia trazer sempre consigo disquetes para salvar o que voc fizer nestas aulas prticas.

Atividade 2: Nmeros

1) O Mathematica procura guardar e trabalhar com os nmeros em sua forma mais exata possvel. Tente os seguintes comandos, e reflita sobre os resultados obtidos:


A funo raiz quadrada est dando a melhor resposta possvel sem perder a preciso. Observe que o smbolo de raiz quadrada encontra-se tambm na paleta.

2) Use a funo

para obter estas razes quadradas em aproximao decimal. Voc pode usar

como a seguir;


Descreva o que acontece se voc eleva suas respostas ao quadrado, depois de ter usado o comando

.

importante, se possvel, utilizar o comando

apenas ao final de todos os clculos. Isto se torna necessrio para que nenhuma preciso se perca desnecessariamente a medida que os clculos estiverem sendo efetuados.

3) O Mathematica define smbolos especiais para algumas constantes normalmente usadas na matemtica. Por exemplo, o (

Se voc tentar efetuar Pi, nada vai acontecer, porque este o modo mais preciso de se representar o nmero (. No entanto, voc pode fazer aproximaes numricas de ( usando o comando

, digitando:


ou


No segundo comando, o argumento extra para

indica o nmero de dgitos que devem ser calculados.

Quantos dgitos para ( o Mathematica ser capaz de calcular? Ateno: o programa Mathematica extremamente poderoso, porm calcular um bilho de algarismos de ( tarefa para os maiores computadores do mundo (o recorde em nmero de algarismos de ( estava em 1997 na ordem de 6 bilhes e s obtido em super computador aps clculos extremamente laboriosos). Seja portanto razovel ao pedir ao Mathematica para fazer certos clculos para que voc depois no tenha que descongel-lo. Comece com um pedido de digamos 100 algarismos de (, que j muito mais que suficiente para qualquer fim prtico e mais do que a sua calculadora pode dar, e experimente ir aumentando o pedido suavemente. O smbolo usual tambm encontrado na paleta.

4) Da mesma forma, existe um smbolo especial para a constante

: a letra maiscula E. Quantos dgitos para

o Mathematica capaz de calcular?

5) O Mathematica simplifica fraes tanto quanto possvel. Tente efetuar as seguintes operaes:


Voc poder usar o comando

para obter as respostas na forma decimal. Voc pode tambm digitar as fraes usando a paleta.

6) Um outro exemplo que mostra como o Mathematica busca garantir ao mximo a preciso dos clculos no trabalho com as funes trigonomtricas. Lembre-se que a medida dos ngulos est sendo considerada em radianos. Efetue:


Voc tem alguma explicao para o valor que se obtm para

? Voc pode agora usar o comando

aqui tambm para obter sua resposta na forma decimal experimente! O que acontece se voc determina o valor destas funes usando a medida do ngulo escrita na forma decimal? Por exemplo:


7) Experimente efetuar

.

Voc pode explicar este resultado?

Atividade 3: lgebra

1) O Mathematica trabalha com expresses simblicas. Experimente:


Observe que no acontece muita coisa. O Mathematica simplesmente reordena tais expresses, mas precisa ser orientado sobre o que fazer alm disto.

2) Experimente expandir e fatorar expresses:


Experimente novamente ambos os comandos com expresses algbricas de sua escolha.

3) Expresses algbricas podem envolver mais de uma incgnita. Experimente:


Observe aqui que a multiplicao dos fatores

implicitamente entendida. Isto est de acordo com a conveno normalmente utilizada em Matemtica.

4) Eleve a expresso do item anterior potncia 3, e em seguida fatore. Escreva um observao sobre como os fatores de uma expresso nos ajudam a encontrar os fatores de quaisquer potncias daquela expresso.

5) Ns podemos atribuir valores a smbolos usando o smbolo =. Por exemplo,

z=7Isto significa que de agora em diante onde o smbolo z estiver sendo usado, o valor 7 ser substitudo.

Para desfazer tal atribuio, digite:


Voc pode dar um valor numrico para a varivel z de modo que


valha zero? H mais de um valor tal que isto acontea?

Atividade 4: Equaes

1) Efetue


Observe que devemos repetir o sinal de igualdade. Um nico = em linguagem do Mathematica usado para atribuir valores a variveis, como na atividade 3: o comando

significa faa com que x seja igual a 3. O sinal == usado para dar equaes.

O que aconteceu? Nada?

2) Para resolver a equao acima experimente


O segundo argumento do comando Solve diz ao Mathematica qual a varivel com relao qual queremos resolver a equao dada; neste caso, x.

3) Use o Mathematica para resolver as seguintes equaes:

A ltima equao resulta em uma mensagem de advertncia. Por qu?

4) Para algumas destas equaes, principalmente a qurtica, a resposta analtica um tanto complicada. Voc poder preferir usar o comando

para obter uma aproximao decimal. Efetue:


Um outro comando do Mathematica, o

, resolve numericamente as equaes. Ele essencial quando no temos solues exatas para uma equao.

Experimente usar os comandos

e

para resolver a quntica

5) O que ser que acontece quando uma equao envolve duas incgnitas? Experimente:


Resolva de novo a mesma equao, mas em y.

6) Sistemas de mais de uma equao podem ser resolvidos. Por exemplo, para resolver as equaes simultneas:

digite:


Observe o uso das chaves para agrupar as duas equaes como se fossem um nico objeto tais objetos assim agrupados so chamados de lista.

7) Escreva uma equao qurtica, na varivel w, que tenha as solues:


e

Confira sua resposta, usando o Mathematica.

Da mesma forma, escreva duas equaes simultneas em x e y que tenham soluo:


,

8) Voc j deve ter ouvido falar que existem relaes entre os coeficientes de uma equao polinomial e suas razes. Por exemplo, na equao de segundo grau a x2 + b x + c = 0, a soma das razes ser igual a b/a e o produto delas ser igual a c/a. Este tipo de relaes entre os coeficientes do polinmio e suas razes pode ser generalizada a equaes de grau maior que 2. A idia aqui voc usar o Mathematica para descobrir qual a relao.

Por exemplo, se e so as razes da equao a x3 + b x2 + c x + d = 0, ento necessrio que seja igual a a x3 + b x2+ c x + d. Explique porqu.

Digite e efetue

Expand[a (x-x1)(x-x2)(x-x3)]

Em seguida, digite e efetue

Collect[%, x]

Compare os coeficientes de x2, x e do termo independente de x na resposta com b, c e d, respectivamente. Voc percebe qual a relao entre os coeficientes de uma equao polinomial e suas razes? Escreva uma observao a respeito. Escreva tambm sobre a ao do comando Collect.

Teste a sua concluso com equaes de graus 4 e 5. Sua concluso continua vlida? Ser que ela vale para equaes polinomiais de grau maior que 5?

Atividade 5: Esboando Grficos

1) Para esboar o grfico da funo

, para entre 5 e 4, digite o seguinte:

O primeiro input do comando Plot a prpria funo e o segundo o domnio da varivel x sobre o qual valores sero calculados e plotados.

Experimente diferentes domnios e observe as variaes no resultado.

2) No h nada de especial sobre a varivel x. Faa esta experincia, lembrando que as funes trigonomtricas so sempre definidas para medidas em radianos:

Plot[Sin[(], {(, -4( , 4( }]

Os smbolos para ( e ( voc ir encontrar na paleta.

3) Opes podem ser adicionadas ao Plot para alterar o grfico obtido. Experimente:


Alguns comandos do Mathematica, por exemplo Plot, possuem argumentos opcionais. Estes so adicionadas sempre aps os argumentos obrigatrios, separadas destes por vrgula.

Aqui h algumas possibilidades para experimentar outras opes de Plot: para especificar que os eixos coordenados se interceptam em algum ponto (a,b) que no seja a origem, inclua a opo AxesOrigin->{a,b}; para colocar um ttulo no grfico, comande

.

Digitando:


voc ter a lista completa de todas as possibilidades do comando e seus valores padro (default, no ingls computacional). Experimente modificar alguns deles, se voc quiser.

4) Onde que o seu grfico corta o eixo x? Com que preciso voc pode resolver a equao

por inspeo? Ajustando os domnios de variao da varivel independente, voc pode dar um zoom no grfico, conseguindo s vezes boas solues aproximadas.

5) Os grficos em trs dimenses, grficos de superfcies, devem ser menos familiares a vocs, pois eles so em geral difceis de traar mo. Mas com o auxlio do Mathematica eles so obtidos muito facilmente. Experimente:


6) Alternativamente, experimente:


Este comando nos d as linhas de contorno, como num mapa de altitudes, chamadas curvas de nvel da funo. Para diferentes valores da constante na equao

as curvas de nvel so, neste caso, crculos concntricos.

Experimente esboar outras superfcies a sua escolha, usando o Plot3D e o ContourPlot.

Atividade 6: Algumas funes disponveis

Funes so fundamentais em matemtica. Uma funo atua em um objeto matemtico transformando-o num nico novo objeto. Provavelmente voc est mais familiarizado com funes que atuam em um nmero, nos devolvendo um outro nmero. Aqui esto algumas funes disponveis no Mathematica:


1) Obtenha ajuda no menu Help para saber o que faz alguma destas funes que voc porventura no conhea. Para cada uma delas, responda as seguintes questes:

Qual o valor da funo em 0, em 1, em -1, para um nmero positivo muito grande, para um nmero negativo muito grande?

Voc pode aplicar a funo a qualquer nmero? Voc pode obter qualquer nmero que voc quiser como valor da funo? Se no, quais so os nmeros possveis?

2) Faa um esboo do grfico de cada uma das funes acima. O primeiro caso ser:


Ajuste o domnio a que se est restringindo a funo de modo a resultar no melhor grfico.

3) Algumas regras que so possveis de serem definidas como funes devem ser definidas com cuidado. Por exemplo, considere as razes quadradas; ns sabemos que:


Assim, a funo que chamamos quadrado associa dois nmeros diferentes (4 e -4) a um mesmo valor (16), ou seja, a funo quadrado no injetora. Est legal, mas isto significa que para definirmos uma regra a ser classificada como funo que coincida com a raiz quadrada de 16, teremos que fazer alguma opo, restringindo a nossa resposta. E neste caso, a opo que feita restringe a resposta aos valores positivos.

Experimente:


O Mathematica nos apresenta apenas valores positivos, de modo a

se comportar como uma funo.

Faa um esboo do grfico de

para entre 3 e 3. O que ser que querem dizer as mensagens que o Mathematica lhe d junto com o grfico? Repare como somente a raiz positiva est esboada no seu grfico.

Experimente ainda:

Se voc j ouviu falar de nmeros complexos, saiba que o Mathematica tambm sabe bastante a respeito deles.

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