7/25/2019 RPM 48 - As Pirmides Do Egito e a Razo urea

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Jos Cloves Verde Saraiva

Dizemos que um ponto Bdivide um segmentoACem mdia e extrema razo quando

.

Seja um retngulo de lados a e b (b< a) talque o retngulo de lados b e sejasemelhante ao retngulo .

chamado retngulo ureo.

A diviso de um segmento em mdia e extrema razo j aparece no Livro VI deEuclides e

retngulos ureos so encontrados com freqncia nas esculturas e obras arquitetnicas daGrcia antiga ([1]). Por esse motivo a razo urea normalmente atribuda aos gregos. Aoque parece, ela j estava presente nas pirmides do antigo Egito!

A relao mostra que um tringulo de lados 1, e um tringulo retngulocom hipotenusa e catetos e .

Definio 1. Um tringulo um tringulo ureoquando ele semelhante ao tringuloretngulo com hipotenusa e catetos 1 e .

fcil demonstrar o seguinte:

Proposio 1. Um tringulo retngulo com hipotenusa a e catetos b e c ( ) ureo

se

Definio 2. Seja uma pirmide reta de altura hcom base quadrada de lado a e seja H a altura desuas faces. Dizemos que uma pirmide ureaquando o

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O historiador gregoHerdoto(cerca de 500 a.C.) relata que aprendeu comos sacerdotes que as grandes pirmides do Egito (construdas em torno de 2500 a.C.)satisfazem a seguinte propriedade (P) ([2]):(P): A rea de cada face triangular igual rea de um quadrado cujo lado a altura dapirmide.

Com a notao da definio 2, uma pirmide reta de base quadrada satisfaz a

Proposio 2. Uma pirmide reta com base quadrada satisfaz a propriedade (P) se esomente se ela for uma pirmide urea.

Demonstrao:Suponhamos em primeiro lugar que a pirmide urea, isto , que o

Temos:

isto , a pirmide satisfaz a propriedade (P).

Reciprocamente, suponhamos que a pirmide satisfaa a propriedade (P). Das relaes

Em [3] encontram-se as seguintes dimenses (em metros) para as pirmides de Quops(base quadrada), Qufren(base quadrada) e Miquerinos (base retangular):

Quops Qufren Miquerinos

Altura dapirmide

146,59 143,50 65,00

Dimenses dabase

230,33 230,33

215,20 215,20

102,20 104,60

Para Quopstemos

uma pirmide urea.

Miquerinos tambm no (sua base no sequer quadrada).A histria conta que Tales de Mileto (624-548 a.C.), com a sombra de um basto,determinou a altura das pirmides do Egito e, talvez, quem sabe?, tenha verificado que apirmide de Quops satisfaz (P)!

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Como curiosidade, o leitor pode calcular, usando as dimenses dadas, os volumes daspirmides e verificar que o volume de Quops maior do que a soma dos volumes deQufren e de Miquerinos. O leitor tambm pode verificar que, se as trs pirmidestivessem bases quadradas e fossem ureas (o que quase acontece), ento, os lados dasbases, e , e as alturas, e , satisfariam:

Referncias bibliogrficas

[1] VILA, Geraldo. Retngulo ureo, diviso urea e seqncia de Fibonacci, RPM06 (1985), pgs.9-14.

[2] EVES Howard. Tpicos de Histria da Matemtica - Geometria, So Paulo: Editora Saber Atual, 1994,pgs. 42-45.

[3] LEHNER, Mark. The complete pyramids. London: Editora Thames and Hudson, 1997.

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