Sakurai(Cap3) Fnt12

Captulo 3

Teoria do Momento AngularModern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)

3.1 Rotaes e Relaes de Comutao do Momento AngularRotaes Infinitesimais versus Rotaes FinitasNotao: Rx - rotao de um ngulo em torno do eixo x.

Fsica clssica

Rotaes em torno de um mesmo eixo comutam.

Exemplo. Rz/6 Rx/3 Rx/3 Rz/6 Rx/2. Rotaes em torno de eixos diferentes no comutam.

Exemplo. Rz/2 Rx/2 Rx/2 Rz/2.

Rz(/2) Rx(/2)

Rx(/2) Rz(/2)

x

z z z

z z z

xx x

xx

Observe na figura que os resultados so diferentes.

Por que rotaes em torno de eixos diferentes no comutam?

Representao matricial. No espao euclidiano, as rotaes so representadas por matrizes ortogonais. Sejao vetor V, cujas componentes so Vx,Vy,Vz. Efetuando-se uma rotao neste vetor, suas novas componentesVx ,Vy ,Vz esto relacionadas com as antigas, atravs da matriz ortogonal R

Vx

Vy

Vz R

VxVyVz

RRT RTR 1onde T significa transposta de uma matriz. Para transformaes ortogonais vale a propriedade

Vx2 Vy2 Vz2 Vx2 Vy2 Vz2 .

Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 1

Conveno: as rotaes afetam um sistema fsico, mantendo-se os eixos coordenados inalterados.

Rotao em torno do eixo z. Seja Rz uma rotao em torno do eixo z por um ngulo no sentido positivo(regra da mo direita).

Rz cos sen 0sen cos 0

0 0 1.

Rotaes infinitesimais. Seja Rz onde um ngulo infinitesimal. Expandindo Rz at segunda ordem edesprezandos os termos de ordens mais elevadas, encontramos

Rz 1 22 0

1 22 00 0 1

.

De maneira similar:

Rx 1 0 0

0 1 22 0 1 22

e

Ry 1 22 0

0 1 0

0 1 22Relao de comutao entre rotaes. Sejam os produtos

RxRy 1 22 0 2 1 22 1 2

e

RyRx 1 22

2 0 1 22 1 2

Ento

Captulo 3 Teoria do Momento Angular 2

RxRy RyRx

1 22 1

22 0

2 2 0 1 22 1

22

1 2 1 2

0 2 02 0 00 0 0

Rz2 1

onde todos os termos de ordem mais elevada que 2 foram ignorados. Por exemplo, o termo em Rz do tipo1 x22 para x

2 nos daria 1 42 1.Como podemos representar

1 Rqq0onde Rqq0 significa uma rotao de 0 em torno de qualquer eixo, ento

RxRy RyRx Rz2 Rqq0.

Mecnica Quntica

Rotaes infinitesimais. Aplicando uma rotao no sistema fsico, espera-se que o estado ketcorrespondente ao sistema girado seja diferente em relao ao sistema original.

DR operador rotao associado a uma rotao R caracterizada por uma matriz ortogonal 3 3. Esteoperador depende da dimensionalidade N do espao ket em questo. Para N 2, DR representado poruma matriz 2 2.Voltando ao argumento inicial, podemos escrever:

|R DR |Analogia com translao e evoluo temporal. Para ambos os casos, os operadores infinitesimais foramescritos na forma

U 1 iGonde G um operador hermitiano, G G. Especificamente(a) Translao dx na direo x

G px , dx.

(b) Evoluo temporal para dt

G H , dt.

(c) Rotao infinitesimal ?

Na clssica, o momento angular gerador de rotaes.

Jk projeo do momento angular no eixo k.Rotao infinitesimal em torno do eixo k por um ngulo d ser:


G Jk , d

Caso geral: rotao em torno de um eixo caracterizado por um vetor unitrio n por um ngulo infinitesimal d.Dn,d 1 i J n .

Esta equao define momento angular.

Rotao finita. Uma rotao finita pode ser obtida, compondo-se sucessivamente rotaes infinitesimais emtorno do mesmo eixo. Por exemplo, rotao de um ngulo em torno do eixo z

Dz limN 1 iJz

N

N

exp iJz 1 iJz

Jz2222

Relaes de comutao do momento angular. Vamos supor que DR tenha as mesmas propriedades degrupo que R

Identidade: R 1 R DR 1 DRFechamento: R1R2 R3 DR1DR2 DR3Inversos: RR1 1 DRD1R 1

R1R 1 D1RDR 1Associatividade: R1R2R3 DR1DR2DR3

R1R2R3 DR1DR2DR3 R1R2R3 DR1DR2DR3.

Comutao para R:RxRy RyRx Rz2 1

Comutao para DR:DxDy DyDx Dz2 1

Mas:

Dx exp iJx 1 iJx

Jx2222

Dy exp iJy 1 iJy

Jy2222

Dz2 exp iJz2

1 iJz2

Logo,

DxDy DyDx 1 iJz2

1 iJz

2

Tambm, podemos reescreverDxDy DyDx em termos de J


1 iJx Jx2222 1

iJy

Jy2222

1 iJy Jy2222 1

iJx

Jx2222

1 iJy Jy2

22 2 iJx

JxJy2

2 Jx222

2

1 iJx Jx2

22 2 iJy

JyJx2

2 Jy2

22 2

JxJy2 2 JyJx2

2

JxJy JyJx 22Igualando ambos os membros

JxJy JyJx 22 iJz

2

encontramos,

JxJy JyJx iJz.Isto representa o comutador de Jx com Jy

Jx,Jy iJz.Repetindo os mesmos argumentos para rotaes em torno dos demais eixos, obtm-se

Ji,Jj iijkJkconhecidas como relaes de comutao fundamentais do momento angular.

Resumo dos argumentos usados:

Jk o gerador de rotaes em torno do eixo k.

Rotaes em torno de eixos diferentes no comutam.

3.2 Sistemas de Spin e Rotaes FinitasJ vimos que os Sk tambm satisfazem as relaes de comutao do momento angular.

Agora considere uma rotao por um ngulo finito em torno do eixo z de um sistema de spin 1/2 que, antesda rotao estava num estado |. Aps a rotao,

|R Dz|com

Dz exp iSz .

Valor esperado de Sx aps a rotao. Sob uma rotao o valor esperado muda de acordo com

Sx R | Sx | R |Dz Sx Dz | Devemos ento calcular:

Dz Sx Dz exp iSz Sx expiSz .

Mtodo 1 - Forma especfica de Sx

Usando para Sk a representao na base |,Prof. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 5

Sx 2 || || ,Sy 2i || || .Sz 2 || || .

encontramos:

exp iSz Sx expiSz

2 expiSz || ||exp

iSz

2 ei/2||ei/2 ei/2||ei/2

2 ei || ei||

2 ||cos i sen ||cos i sen 2 || || cos i || || sen

22 Sx cos i

2i Sx sen

Sx cos Sx senMtodo 2 - Relaes de comutao

Usando (2.3.47), encontramos

exp iSz Sx expiSz

Sx iiSy

Sz,Sx 12!i

2

2Sx

Sz,iSy

Sz,Sx

13!i

3

i3Sy

Sz,

2Sx

Sz, Sz,Sx

As potncias pares do Sx enquanto que as mpares, Sy. Colecionando esses termos, encontra-se

exp iSz Sx expiSz

Sx 1 2

2! Sy 33!

Sx cos Sy sen.Voltando equao do valor esperado, encontra-se

Sx R R | Sx | R |Dz Sx Dz | Sx cos Sy sen

onde Sk o valor esperado no estado ket original.Da mesma forma, podemos mostrar que:

Sy R Sy cos Sx senCaptulo 3 Teoria do Momento Angular 6

Para Sz, enconta-se

Sz R Sz Ou seja, o valor esperado de Sz no muda, uma vez que este operador comuta comDz.Observao: Estes resultados mostram que, quando aplicamos o operador rotaoDz no estado ket, o valoresperado de S sofre uma rotao em torno do eixo z por um ngulo . Em outras palavras, o valor esperado dooperador spin comporta-se como se fosse um vetor clssico sob rotao:

Sk R l

Rkl Sl

Momento angular. Do mtodo 2, fica claro que esta propriedade tambm vale para o momento angular J. Emgeral

Jk R l

Rkl Jl

At aqui tudo como esperado. Vamos examinar com mais detalhe o efeito do operador rotao sobre um ketgeral

| a

|a a | || ||

Vemos que

exp iSz | expiSz || exp

iSz ||

ei/2|| ei/2||.A presena do arco metade /2 tem uma consequncia extremamente interessante.Rotao por 2. Neste caso,

|Rz2 ei2/2|| ei2/2|| || || |

Assim, um ket girado de 360 difere do ket original pelo sinal negativo. Precisamos de uma rotao de 720( 4) para obtermos o mesmo ket com o sinal positivo.Valor esperado. Este sinal negativo no aparece no valor esperado de S porque S fica de sanduiche entre |e |, ambos dos quais mudam de sinal.Este sinal negativo sempre observado?

Precesso de Spin RevisitadaHamiltoniano bsico do problema. Vamos analisar novamente este problema de um outro ponto de vista:

H emec S B Szonde

|e|Bmec .

Operador evoluo temporal. Baseado neste Hamiltoniano, o operador evoluo temporal dado por

Ut, 0 exp iHt expiSzt

.

Comparao de Ut, 0 comDz. Comparando Ut, 0 comDz dado por


Dz exp iSzvemos que o operador evoluo temporal precisamente o mesmo que o operador rotao com substitudopor t.Por que o spin precessa? Desta maneira vemos imediatamente porque este Hamiltoniano causa precessodo spin. Usando os resultados da rotao, obtm-se

Sx t Sx t0 cost Sy t0 sentSy t Sy t0 cost Sx t0 sentSz t Sz t0

Depois de t 2/, o spin retorna sua direo original.Evoluo temporal do estado ket. Vamos olhar para a evoluo temporal do prprio estado ket que, em t 0, dado por | || ||. Ento, aps o tempo t teremos

|, t0 0; t eit/2|| eit/2||Vemos que, para t 2/,

|, t0 0; t 2/ ei2/2|| ei2/2|| ei|| ei|| |.

Assim, devemos aguardar at t 4/ para obter o estado ket original com o mesmo sinal.Em resumo o perodo para o estado ket duas vezes maior que o perodo para a precesso de spin

precesso 2estado ket 4

Exp. de Interferometria de Nutrons para Estudar RotaesComo detectar o sinal negativo no ket sujeito a uma rotao de 2?J sabemos que, se todos os estados kets no universo fossem multiplicados por um sinal negativo, no haverianenhuma maneira de detect-lo. A nica maneira de detectar o predito sinal negativo, seria atravs de umacomparao entre um estado que sofreu uma rotao e um outro que no foi submetido rotao.

Como na interferncia quntica induzida por gravidade, discutida na Se. 2.6, contamos com as qualidades dainterferometria de nutrons para verificar esta extraordinria predio da mecnica quntica.

A experincia. Um feixe de nutrons termalizados dividido em duas partes A e B (ver. figura abaixo).


lA

BB

A

B

Regio deinterferncia

Trajeto A - o feixe atravessa uma regio sem campo magntico.

Trajeto B - o feixe atravessa uma pequena regio de comprimento l onde est presente um campo magnticoesttico.

Estado ket via trajeto B. O estado ket via trajeto B sofre uma variao de fase eiT/2, onde T tempo gastopara atravessar a regio de comprimento l onde existe um campo magntico B 0 e a frequncia deprecesso de spin,

gneBmpc , gn 1,91

para o nutron com momento magntico gne2mpc .

Regio de interferncia. Quando os trajetos A e B se encontram novamente na regio de interferncia aamplitude do nutron chegar via trajeto B

c2 c2B 0eiT/2enquanto que a amplitude do nutron chegar via A c1, independente de B.

Interferncia. Assim, a intensidade observvel na regio de interferncia deve exibir uma variao senoidal

cos T2 onde a diferena de fase entre c1 e c2B 0.Ajustes no experimento. Na prtica, o tempo T uma quantidade fixa, mas a frequncia pode ser variada,de acordo com o valor do campo B. A diferena de fase, em funo do campo B, dada por

egnBlconde l o comprimento da pequena regio que contm o campo. Ento, o valor de B necessrio para umaprecesso de 4 (perodo completo)

B 4cegnlVemos ento que de 4 a rotao necessria para que o ket retorne com o mesmo sinal, como requeridopelo formalismo.


Formalismo de Pauli de Duas ComponentesManipulaes com os kets de estado do spn 1/2 podem ser convenientemente conduzidas, usando-se oformalismo de spinor introduzido por Pauli (1926). J sabemos:

Ket. Pode ser representado por uma matriz coluna.

Bra. Pode ser representado por uma matriz linha.

Revendo a Se. 1.3. Os coeficientes de expanso de um estado arbitrrio | em relao a uma base |a podem ser escritos na forma matricial. Ou seja,

| a1|a2|

, | |a1 , |a2

Para | |a1 , isto , quando for um dos estados de base, encontra-se

|a1 a1|a1 a2|a1

10

o mesmo raciocnio valendo para aj |.Aplicao para os kets spin 1/2. Neste caso, para os kets de base encontra-se

| 10

| 01

| 1, 0 | 0, 1

Estado arbitrrio. Para um estado arbitrrio | ou | obtm-se

| || || ||| || || |, |


Spinor. Matriz coluna do tipo|| chamada de spinor de duas componentes e escrito como

|| cc

c c

onde c e c so, em geral, nmeros complexos. Para tem-se |, | c, c c c .

Matrizes de Pauli. Os elementos de matriz | Sk | e | Sk | , exceto pelo fator /2, so iguais aoselementos de matriz da matriz k 2 2, conhecidas como matrizes de Pauli. Ou seja,

| Sk | 2 k,, | Sk | 2 k,.

Valor esperado em termos de e k. Vamos escrever o valor esperado Sk em termos de e kSk | Sk |

a

a | a a | Sk |a a | 2

k

onde usamos a regra usual da multiplicao de matrizes.

Demonstrao. Seja

a

a | a a | Sk |a a |

| | Sk | | | | Sk | | | | Sk | | | | Sk | |

2 | k, | | k, | | k, | | k, |

2 |, |, ,, ,

||

2 k.

Matrizes de Pauli. Explicitamente, de (3.2.1) juntamente com (3.2.30), vemos que

x 0 11 0

, y 0 ii 0

, z 1 01 1 .

Propriedades das matrizes de Pauli. Algumas propriedades das matrizes de Pauli so:

(1) i, j 2ij i2 1

i j j i 0,para i j.(2) i, j 2iijkk.

(3) 12 21 012 21 2i312 21 i3 etc

(4) i i.


(5) det i 1(6) Tr i 0.

(7) a az ax iayax iay az

. Seja a um vetor tridimensional. Ento

a k

akk

ax 0 11 0

ay 0 ii 0

az 1 01 1

0 axax 0

0 iayiay 0

az 01 az

az ax iayax iay az

(8) a b a b i a b. Seja a b

j

jajk

kbk jk jkajbk

jk

12 j,k

12 j,k ajbk

jkjk ijkl lajbk

j

ajbj ijk

jkl l ajbk

a b i a b(9) a2 |a|2 (a um vetor real). Seja

a2 a a a a i a a a a |a|2.

(10) nn 1, (n par) n (n mpar) . De fato, como consequncia da propriedade anterior,

nn |n|21

a a a a 1, (n par) n (n mpar)

Rotaes no Formalismo de Duas ComponentesRepresentao matricial 2 2 do operador rotaoDn,. Como

S 2 encontra-se

exp iS n expi n

2

Usando a propriedade (10), encontra-se


exp i n2 1 i n2

i2 n22!

2

2

1 n2

2!2

2 n

4

4!2

4

i n 2 n3

3!2

3

1 12!2

2 14!

2

4

i n 2 13!

2

3

1cos 2 i n sen2 .

onde

1 1 00 1

Forma explcita de exp i n2 como matriz 2 2. Usando o resultado

i n nz inx nyinx ny nzencontramos

exp i n2 cos 2 i nz sen

2 inx ny sen

2

inx ny sen 2 cos2 i nz sen

2

(3.2.4

que a forma da matriz de rotao.

Rotao de spinor. Assim como o operador exp iS n atua sobre o ket |, a matriz 2 2

exp i n2 atua sobre o spinor de duas componentes . Sob rotao, o spinor transforma-se da seguintemaneira:

exp i n2 .

invariante por rotao. Os k permanecem inalterados sob rotaes. no um vetor. Embora possa parecer, no um vetor. Na verdade, que obedece aspropriedades de transformao de um vetor. Ou seja,

k l

Rkl l

Demonstrao: Seja uma rotao de 1 em torno do eixo z por um ngulo


exp iz2 x expiz

2

cos 2 i sen

2 0

0 cos 2 i sen2

0 11 0

cos 2 i sen

2 0

0 cos 2 i sen2

0 cos i sencos i sen 0

A matriz

0 cos i sencos i sen 0

pode ser reescrita combinao das seguintes matrizes:

0 cos i sencos i sen 0 cos

0 11 0

sen 0 ii 0 x cos y sen.

Ou seja,

exp iz2 x expiz

2 x cos y sen,

que o anlogo matricial de (3.2.6).

Novamente rotao por 2. Usando o formalismo dos kets, vimos que um ket | de spin 1/2, sob rotao de2, resulta em |. O anlogo 2 2 desta afirmao :

exp i n2 2 1cos2 i n sen

2 2

1,

para qualquer n.

Aplicao da matriz de rotao

Construo de um autospinor. Como aplicao da matriz de rotao, vamos construir um autospinor de ncom autovalor 1, onde n um vetor unitrio numa direo especificada. Seja a equao

n .Esta equao a representao matricial da equao de autovalores para o ket |S n; definida por

S n |S n; 2 |S n;.De fato, isto pode ser considerado como um problema autovalores, mas aqui apresentamos um mtodoalternativo baseado na matriz de rotao.

Procedimento. Sejam e os ngulos azimutal e polar, respectivamente, que caracterizam n.


Vamos iniciar com o spinor10

, que representa o estado de spin para cima.

Em seguida, aplicamos uma rotao por um ngulo em torno do eixo y. Sequencialmente, aplicamos outra rotao por um ngulo em torno do eixo z.Dessa forma, o estado de spin desejado ento obtido (ver figura abaixo).

Segundarotao

Primeirarotao

Procedimento na linguagem de spinor de Pauli. Na linguagem do spinor, esta sequncia de operaes equivalente a:

10

exp iy210

exp iz2 expiy

210

Desta forma,

exp iz2 expiy

210

exp iz2

cos 2 sen2

sen 2 cos2

10

cos 2 i sen

2 0

0 cos 2 i sen2

cos 2sen 2

cos 2 i sen

2 cos

2

cos 2 i sen2 sen

2

Ou,


cos 2 e

i/2

sen 2 ei/2

em concordncia com o Problema 9 do Captulo 1. De fato,

cos 2 ei/2 1

0 sen 2 e

i/2 01

ei/2 cos 2 sen2 e

ia diferena ficando por conta de uma fase global sem significado fsico.

3.3 SO(3), SU(2) e Rotaes de EulerConceito de GrupoTeoria de Grupo. As simetrias so tratadas apropriadamente num ramo da matemtica conhecido comoteoria de grupo.

O que um grupo? Um conjunto de objetos, a,b,c , forma um grupo se pudermos definir um processo quenos permita combinar quaisquer dois desses objetos, tais como a e b, para formar um objeto ab, e se asseguintes condies forem satisfeitas:

(1) Todos os resultados da combinao so membros do grupo.

(2) O grupo contm a identidade ou membro unitrio 1, que tem a propriedade a 1 1 a a, onde a qualquermembro do grupo.

(3) Cada membro a tem um inverso a1, tambm no grupo, tal que aa1 a1a 1.(4) Combinao de grupo associativa, tal que abc abc

Observaes:

(a) os membros de um grupo so chamados de elementos.

(b) o termo multiplicao no significa multiplicao usual.

Grupo OrtogonalSeja a rotao de um vetor. Os vetores antes e depois da rotao, V e V, respectivamente, so conectadospor uma matriz 3 3 real e ortogonal:

V R V


VV

Todas as matrizes de rotao formam um grupo:

1. A combinao (produto) de duas matrizes R1 e R2 uma nova matriz R1R2.

2. A lei associativa vlida:

R1R2R3 R1R2 R3

3. A matriz identidade 1 que corresponde fisicamente a nenhuma rotao definida por

R1 1R R um membro da classe de todas as matrizes ortogonais.

4. A matriz inversa R1 que corresponde fisicamente a uma rotao no sentido oposto definida por

RR1 R1R 1 tambm um membro.

Este grupo denominado SO3, onde as iniciais significam:S especial (special, em ingls); O ortogonal; 3 trs dimenses.

Grupo Unitrio UnimodularSeja a rotao do spin 1/2 discutida anteriormente. Aqui, as matrizes de rotao so 2 2, atuando sobre umspinor de duas componentes. De (3.2.45) encontramos

Eq. (3.2.45) cos 2 i nz sen

2 inx ny sen

2

inx ny sen 2 cos2 i nz sen

2

Esta matriz unimodular. Isto significa que seu determinante 1.

Matriz unitria unimodular. De uma maneira geral, uma matriz unimodular pode ser escrita como

Ua,b a bb a (3.3.7

onde a e b so nmeros complexos que satisfazem a condio unimodular:


|a|2 |b|2 1 (3.3.8Propriedade unitria. Seja

Ua,bUa,b a b

b aa bb a |a|

2 |b|2 1

Comparando (3.2.45) com (3.3.7), identificamos

Rea cos 2 , Ima nz sen 2 ,Reb ny sen 2 , Imb nx sen 2 ,

de onde obtm-se imediatamente a propriedade unimodular de (3.3.8).

Propriedades de grupo das operaes de multiplicao. As operaes de multiplicao com matrizesunitrias unimodulares satisfazem as seguintes propriedades:

1. Fechamento

Ua1, b1 Ua2, b2

a1 b1b1 a1a2 b2b2 a2

a1a2 b1b2 a1b2 a2b1

a1b2 a2b1 a1a2 b1b2 U a1a2 b1b2, a1b2 a2b1

onde a condio unimodular para a matriz produto

|a1a2 b1b2 |2 |a1b2 a2b1 |2 1.

2. Inversa

U1a, b a bb a1

a b

b a Ua,b

3. Identidade

U1, 0 1 00 1

4. Associativa

Ua, b exp i n2

Este grupo denominado SU2: Especial, Unitrio e Bidimensional.Os grupos SU2 e SO3 tm correspondncia dois-para-um: Considere uma rotao por 2 e outra por 4. Na linguagem SO3, as matrizes representando essas rotaes so ambas matrizes identidades 3 3. Mais

geralmente, Ua, b e Ua,b correspondem a uma nica matriz 3 3 nesta linguagem. Na linguagem SU2, as matrizes so 1 vezes a matriz identidade 2 2 e a matriz identidade, respectivamente.

Rotaes de EulerRotao arbitria de um corpo rgido pode ser descrita em trs passos, conhecidas como ngulos de Euler.


Trs passos:

1 Rz y y 2 Ry z z 3 Rz y y

Em termos de matrizes ortogonais 3 3, o produto dessas trs operaes pode ser escrito comoR,, RzRy Rz

Aqui aparecem dois tipos de rotao: em torno dos eixos do corpo e dos eixos fixos no espao. Isto inconveniente. Vamos expressar as rotaes em torno dos eixo do corpo, Ry e Rz, em termo de rotaesem torno dos eixo fixos no espao.

Ry RzRyRz1

Rz Ry RzRy 1Assim.

R,, RzRy Rz Ry RzRy 1Ry Rz

Ry RzRz RzRyRz1RzRz RzRyRz1

comutam

RzRz

RzRyRzPortanto

R,, RzRyRzonde todas as matrizes do lado direito referem-se a rotaes em torno de eixos fixos.

Aplicao a sistemas de spin O produto de operadores de rotao no espao ket corresponde ao produto de matrizes ortogonais:

D,, DzDyDz


A representao matricial deste produto

exp iz2 expiy

2 expiz

2

ei/2 00 ei/2

cos/2 sen/2sen/2 cos/2

ei/2 00 ei/2

ei/2 cos/2 ei/2 sen/2

ei/2 sen/2 ei/2 cos/2onde usamos (3.2.44). Esta matriz claramente da forma unimodular unitria. Inversamente, a forma maisgeral da matriz unimodular unitria 2 2 pode ser escrita nesta forma dos ngulos de Euler.

3.4 Operadores de Densidade e Ensembles Puros e Mistos Leia esta seo.

3.5 Autovalores e Autoestados do Momento AngularRelaes de Comutao e Operador EscadaAs relaes de comutao entre as trs componentes de J j foram derivadas

Jx,Jy iJzJy,Jz iJxJz,Jx iJy

Estas relaes podem ser escritas numa forma mais compacta

J J iJNovo conjunto de operadores. Para estudarmos os autovalores e autovetores do momento angular, vamosintroduzir um novo conjunto de operadores

1 J2 Jx2 Jy2 Jz2

2 J Jx iJy

O operador J2 comuta com todos os Jk:

J2,Jk 0, k x,y, zComutador J2,Jz 0. Para demonstrar esta relao fazemos

J2,Jz Jx2 Jy2 Jz2,Jz JxJx,Jz Jx,Jz Jx JyJy,Jz Jy,Jz Jy JxiJy iJyJx JyiJx iJxJy iJxJy iJyJx iJyJx iJxJy 0

Como Jx,Jy e Jz no comutam entre si, no podemos diagonalizar Jx,Jy e Jz simultaneamente. Porm, podemosescolher um dos Jk para ser diagonalizado simultaneamente com J2. Por conveno, a escolha recai sobre Jz.Vamos denotar os autovalores de J2 e Jz por a e b, respectimente:


J2 |a,b a |a,b

Jz |a,b b |a,bPara determinar os valores de a e b conveniente trabalhar com os operador escada, J. As relaes decomutao so

J,J 2Jz,

Jz,J J,

J2,J 0.Qual o significado fsico de J. Vamos examinar como Jz age sobre J |a,b:

Jz J |a,b Jz,J JJz |a,b J |a,b JJz |a,b J |a,b bJ |a,b b J |a,b

Ou seja: O ket J |a,b ainda um autoket de Jz, exceto que agora o autovalor e aumentado ou abaixado por uma unidade de . Assim, vemos por que J, que sobe ou desce degrau a degrau a escada dosautovalores de Jz, so conhecidos como operadores escadas.

J e os autovalores de J2. Embora J mudem os autovalores de Jz por uma unidade de , eles no mudamos autovalores de J2:

J2 J |a,b JJ2 |a,b a J |a,b

Resumo. Os kets J |a,b so simultaneamente autokets de J2 e Jz com autovalores a e b h. Podemosento escrever

J |a,b c |a,b onde as constantes c sero determinadas mais adiante a partir da condio de normalizao dos autokets domomento angular.

Autovalores de J2 e JzImagine que apliquemos J n vezes sobre o autoket de J2 e Jz :

n vezes

JJJ |a,b |a,b n

Mas existe um limite superior para b. De fato, para um dado a (autovalor de J2a b2. (3.5.

Demonstrao. Vamos escrever J2 em termos de J e Jz

J2 Jz2 12 JJ JJ 12 JJ

J J.O valor esperado deste operador

a,b| J2 Jz2 |a,b 12 a,b| JJ |a,b 12 a,b| J

J |a,bComo o bra de J |a,b soProf. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 21

J |a,b CD a,b| J , J |a,b CD a,b| JOu seja,

J |a,b c |a,b CD a,b| J a,b | cJ |a,b c |a,b CD a,b| J a,b | c

Logo,

a,b| JJ |a,b a,b| J J |a,b a,b | cc |a,b |c |2 0

Da mesma forma

a,b| J J |a,b 0.Portanto,

a,b| J2 Jz2 |a,b 0Deve existir um b bmax tal que

J |a,bmax 0Ou seja: o autovalor de b no pode aumentar alm de bmax. Disto obtm-se

JJ |a,bmax 0Mas,

JJ Jx2 Jy2 iJyJx JxJy J2 Jz2 Jz.

Assim,

J2 Jz2 Jz |a,bmax a bmax2 bmax |a,bmax 0Como |a,bmax no um ket nulo, conclui-se que

a bmax2 bmax 0ou

a bmaxbmax . (3.5.2Da mesma forma, deve existir um bmin tal que

J |a,bmin 0Escrevendo

JJ J2 Jz2 Jzencontramos que

JJ|a,bmin 0ou

J2 Jz2 Jz |a,bmin a bmin2 bmin |a,bmin 0ou


a bminbmin (3.2.2Comparando (3.2.25) com (3.2.22), ou seja,

a bmaxbmax bminbmin conclui-se que

bmax bmin (3.2.2Com bmax 0, podemos inferir que os valores de b esto no intervalo

bmax b bmax. (3.2.2Obteno de |a,bmax a partir de |a,bmin . Aplicando-se sucessivamente, um nmero de vezes finito, ooperador J ao ket |a,bmin , podemos obter o ket |a,bmax . Seja por exemplo,

|a,bmax n vezes

JJJ |a,bmin |a,bmin n

Logo,

bmax bmin n, (3.2.2onde n um nmero inteiro. Como resultado, obtm-se

bmax bmax nou

bmax n2 . (3.2.2

Conveno. Por conveno, vamos utilizar j ao invs de bmax, da seguinte forma

bmax jOu seja,

j n2 .Assim, o valor mximo do autovalor de Jz agora j, onde j qualquer inteiro ou semi-inteiro. A Eq. (3.5.22)torna-se

a 2jj 1.Vamos tambm definir m tal que

b m.Assim,

j m jou

j m j.Ou seja, se j um inteiro, todos os valores de m sero inteiros; se j for semi-inteiro, todos os valores de msero semi-inteiros. Os valores permitidos de m para um dado j so

m 2j1 estados

j, j 1, , j 1, j (3.5.3

Usando esta conveno, fazemos a substituio


J |j,m j mj m 1 |j,m 1Finalmente, os elementos de matriz de J so:

j ,m | J |j,m j mj m 1 jjm ,m1 (3.5.4

Elementos de Matriz do Operador RotaoPara uma rotao R especificada por n e , os elementos de matriz do operador rotao so

Dm mj R j,m | exp J n |j,m (3.5.4

Estes elementos de matriz so conhecidos como funes de Wigner. Observe que os elementos de matriz deDR entre estados com js diferentes se anulam: DR |j,m ainda um autoestado de J2 com o mesmoautovalor jj 12. De fato,

J2DR|j,m DRJ2|j,m jj 12DR|j,m

uma vez que J2,DR 0 como consequncia de J2,Jk 0 e, portanto, J2,FJk 0, onde FJk significaqualquer funo de Jk.

Rotaes no mudam o valor j, o que um resultado absolutamente lgico.

Representao irredutvel. s vezes, a matriz de dimensoes 2j 1 2j 1 formada pelos elementosDm m

j R referida na literatura como representao irredutvel 2j 1-dimensional do operador rotaoDR.A matriz que corresponde a um operador rotao arbitrria no espao ket no necessariamente caracterizadopor um nico valor j pode, com uma escolha apropriada da base, ser colocado na forma bloco-diagonal:

(3.5.4

onde cada quadrado sombreado uma matriz quadrada 2j 1 2j 1 formada pelos elementos Dm mj Rcom qualquer valor definido de j. Alm disto, cada matriz quadrada no pode ser quebrada em blocos menores


2j+1

k

k

2j+1-k

2j+

1-k

(3.5.4

para qualquer escolha da base.

Grupo das matrizes de rotao. As matrizes de rotao para um dado j formam um grupo:

Identidade. um elemento do grupo, um vez que a matriz de rotao correspondedo a nenhuma rotao 0 a matriz identidade 2j 1 2j 1.Inversa. Tambm um elemento do grupo, correspondendo inverso do ngulo de rotao ,mantendo o eixo de rotao n.

Fechamento. As matrizes possuem esta propriedade, uma vez que o produto de qualquer duas delas tambm um elemento do grupo. Explicitamente, temos

m Dm m

j R1Dm mj R2 Dm mj R1R2 (3.5.4

onde o produto R1R2 representa uma nica rotao.

Unitariedade. A matriz de rotao unitria, uma vez que o correspondente operador unitrio.Explicitamente, temos

Dm mj R1 Dmm j R

Significa fsico da matriz de rotaoSeja o estado |j,m; sob rotao encontramos

|j,m DR |j,m.Embora a rotao no mude o j, geralmente obtm-se estados com valores m diferentes do valor original.

Amplitude de probabilidade para |j,m . Para determinar a amplitude de probabilidade de encontrar o estadoem |j,m , vamos expandir o estado final como segue:

DR |j,m m

|j,m j,m |DR |j,m

m

|j,m Dm mj R (3.5.4

ngulos de Euler e a matriz DComo j sabemos, os ngulos de Euler, ,,, podem ser usados para caracterizar a rotao mais geral.Assim, para um j arbitrrio


Dm mj ,, j,m | exp Jz exp

Jy exp

Jz |j,m

eim mj,m | exp Jy |j,m

A rotao central, de um ngulo em torno do eixo y, mistura diferentes valores de m. convenientedefinirmos uma nova matriz dj como

dm mj j,m | exp Jy |j,m (3.5.5

Logo,

Dm mj ,, eim mdm mj

ExemplosCaso j 1/2. Neste caso, os valores de m so

m 12 ,12 .

Escrevendo Jy 2 y e usando (3.2.44)

exp y2 cos/2 iy sen/2

A matriz d1/2 torna-sedm mj j,m | exp y2 |j,m

j,m | 1cos/2 iy sen/2 |j,m cos/2 m m i sen/2j,m |y|j,m

Como

y 0 ii 0

encontra-se

dj cos/2 1 00 1

i sen/2 0 ii 0

cos/2 00 cos/2

0 sen/2sen/2 0

ou

dj

m 1/2 m 1/2

cos 2 sen2

sen 2 cos2

Caso j 1. Agora os valores de m som 1,0,1

o que deve resultar numa matriz 3 3. Neste caso no contamos mais com as propriedades das matrizes deProf. Abraham Moyss Cohen Mecnica Quntica A 27

Pauli. Mas, como

Jy J J2ipodemos usar (3.5.41), para j j , ou seja,

j,m | J |j,m j mj m 1 m ,m1Assim, a matriz Jy pode ser obtida a partir da relao

j,m | Jy |j,m 12i j,m | J |j,m 12i j,m

| J |j,mMas,

m 1| J |m 1 m2 m m 1| J |m 1 m2 m 1| J |0 2 , 0| J |1 2 0| J |1 2 1| J |0 2

sendo nulos os demais elementos. Logo,

m 1 m 0 m 1

12i J

j1 20 2 i 00 0 2 i0 0 0

m 1m 0

m 1

e

m 1 m 0 m 1

12i Jj1 2

0 0 02 i 0 00 2 i 0

m 1m 0

m 1

Portanto,

m 1 m 0 m 1

Jyj1 20 2 i 02 i 0 2 i0 2 i 0

m 1m 0

m 1

Como j conhecemos a representao matricial de Jyj1, agora podemos obter a expanso de Taylor deexpiJy/. Seja a expresso

exp iJy 1 iJy

12!

2 Jy

2 13! i

3 Jy

3

Pode-se mostrar que


Jy

n

Jy

2n par

Jy , n mpar

Assim,

exp iJy 1 iJy

12!

2 Jy

2 13! i

3 Jy

3

1 Jy2

1 cos

1 2

2! iJy

33!

1 Jy2cos 1 i Jy sen

ou

exp iJy 1 Jy

21 cos i Jy sen

Logo,

dm mj1 j,m | exp Jy |j,m

j,m | 1 Jy21 cos i Jy sen |j,m

m m 1 cos j,m | Jy2

|j,m i sen j,m | Jy |j,m

Como

iJyj1

12

0 2 0 2 0 2

0 2 0e

Jyj1

2

122

0 2 i 02 i 0 2 i0 2 i 0

2

121 0 10 2 01 0 1

ento

d1 1 0 00 1 00 0 1

121 0 10 2 01 0 1

1 cos

120 2 0

2 0 20 2 0

sen

ou


d1 1 0 00 1 00 0 1

12 1 cos 0

12 1 cos

0 1 cos 0 12 1 cos 0

12 1 cos

0 12

sen 0

12

sen 0 12

sen

0 12

sen 0

sen

Finalmente, agrupando os termos obtm-se

d1

12 1 cos

12

sen 12 1 cos

12

sen cos 12

sen

12 1 cos

12

sen 12 1 cos

Evidentemente este mtodo torna-se cada vez mais trabalhoso medida que o j aumenta. Na Se. 3.8estudaremos um mtodo muito mais fcil de obter dm m

j para qualquer j.

3.6 Momento Angular OrbitalO momento angular foi definido como sendo o gerador de rotaes infinitesimais. Existe uma outra maneira deestudar o assunto, quando o momento angular de spin nulo ou pode ser desprezado. O momento angular Jpara uma partcula ento o mesmo que o momento angular orbital L, definido como

L r p. (3.6.

Momento Angular Orbital como Gerador de RotaesComo foi definido em (3.6.1), o momento angular L satisfaz as relaes de comutao para momento angular:

Li,Lj iijkLk (3.6.2em virtude das relaes de comutao entre as componentes de r e p. Isto pode ser facilmente demonstrado:Seja

Lx ypz zpyLy zpx xpz

ento


Lx,Ly ypz zpy, zpx xpz ypz, zpx zpy,xpz ypzzpx zpxypz zpyxpz xpzzpy ypxpz, z pyxz,pz ixpy ypx iLz.

e assim por diante.

Agora considere o operador

1 i Lz 1 i xpy ypx

atuando sobre um autoket arbitrrio da posio |x ,y , z para examinarmos se ele pode ser interpretado comoo operador de rotaes infinitesimais em torno do eixo z por um ngulo . Como o momento linear umgerador de translaes [v. Eq. (1.6.32)], isto ,

Tdx 1 ip dx ou seja,

Tdx |x 1 i p dx |x |x dx

encontra-se

1 i Lz |x,y , z 1 i x

py y px |x ,y , z

1 i py x i px y

|x ,y , z 1 i py x

i px y |x ,y , z

x y , y x , z

Isto corresponde a uma rotao infinitesimal de um ngulo em torno do eixo z. De fato, numa rotao emtorno do eixo z, as coordenadas x,y, z transormam-se de acordo com

x xcos y seny x sen ycos

Para um ngulo infinitesimal , valem as aproximaescos 1sen

Assim, para as coordenadas transformadas, obtm-se

x x y y y x z z

que o resultado obtido.

Funo de onda. Suponha agora que a funo de onda para um estado arbitrrio seja dada por x ,y , z |.Aps uma rotao por um ngulo em torno do eixo z, a funo de onda do estado transformado ser


x ,y , z | 1 i Lz | x y ,y x , z | (3.6.6

Coordenadas esfricas. Mudando a base para coordenadas esfricas, isto

x ,y , z | r,,|o estado tranformado torna-se, de acordo com (3.6.6)

r,,| 1 i Lz | r,, |

r,,| r,,|

Como r,,| um autoklet arbitrrio da posio, podemos identificarx |Lz| i x

| (3.6.9

que um resultado bem conhecido da mecnica ondulatria.

Rotao em torno do eixo x. Vamos agora considerar uma rotao em torno do eixo x por um ngulo x.Em analogia com (3.6.6) podemos escrever

x ,y , z | 1 i x Lx | x,y z x, z y x | (3.6.

Expressando x , y e z em coordenadas esfricas, podemos mostrar que

x |Lx| i sen cotgcos x

| (3.6.

De maneira similar,

x |Ly| i cos cotg sen x

| (3.6.

Usando essas duas relaes e as definies de L, encontramos

x |L| iei i cotg x

| (3.6.

Finalmente, usando

L2 Lz2 12 LL LL (3.6.juntamente com (3.6.9) e (3.6.13), encontramos

x |L2| 2 1sen2

22

1sen

sen

x

| (3.6.

Exceto pelo fator 1/r2, esta a expresso para a parte angular do operador Laplaciano em coordenadasesfricas.

Relao entre L2 e a parte angular de 2. Uma outra maneira de se obter esta relao trabalhardiretamente com o operador energia cintica.

Vamos primeiro considerar uma importante identidade de operadores:

L2 x2p2 x p2 i x ponde x2 x x e p2 p p.Demonstrao. O operador L2 pode ser escrito na forma


L2 k

LkLk

Mas

Lk ij

ijkxipj

ento

L2 k

ij

ijkxipj lm

lmkxlpm

ijlmk

ijkxipjlmkxlpm

ijlm

xipjxlpmk

ijklmk

Como

k

ijklmk iljm imjl

encontra-se

L2 ijlmiljm imjlxipjxlpm

ijlm

iljm xipjxlpm imjl xipjxlpm

ijlm

iljm xixlpj ijlpm imjl xipj pmxl ilm

ijlm

iljm xixlpj ijlpm ijlm

imjl xipj pmxl ilm

Cada termo pode ser reescrito como


ijlm

iljm xixlpj ijlpm

ijlm

iljm xixlpjpm iijlm

iljmjl xipm

il

ilxixljm

jmpjpm iim

jl

iljmjl xipm

i

xixij

pjpj iijm

l

iljl jmxipm

x2p2 iijm

ij jmxipm

x2p2 iim

j

ij jm xipm

x2p2 iim

im xipm

x2p2 im

i

im xi pm

x2p2 im

xmpm

x2p2 ix pe

ijlm

imjl xipj pmxl ilm

ijlm

imjl xipjpmxl iijlm

imjl xipjlm

ijlm

imjl xipmpj xl iijlm imjl lmxipj

ijlm

imjl xipmxlpj ijl iijlm

imjl lmxipj

ijlm

imjl xipmxlpj iijlm

imjl jl xipm iijlm

imjl lmxipj

im

imxipmjl

jl xlpj ii

xipijl

jl jl ilm

lmxmpl

i

xipij

xjpj ii

xipi

3

j

1 il

xlpl

x p2 3ix p ix p x p2 2ix p

Substituindo estes resultados na equao para L2, encontra-se

L2 x2p2 ix p x p2 2ix pouCaptulo 3 Teoria do Momento Angular 34

L2 x2p2 x p2 ix pElementos de matriz de cada termo de L2. Tomando-se os elementos de matriz de cada termo de L2,encontramos

x | x p | x ix | ir r x

|Da mesma forma,

x | x p2 | x | x px p | x ix |x p| ix x |x p| ir r x

|x p| ir r x

ix | 2r r r

r x

|

2 r2 2r2 x | r r x

|Ento,

x |L2 | x |x2p2| x |x p2| ix |x p|Como x2 x x r2, obtm-se

x |L2 | r2x |p2| 2 r2 2r2 x | r r x

| 2r r x |

ou

x |p2| 2 2r2 x | 2r r x

| 1r2 x |L2 |

Energia Cintica. Em termos da energia cintica p2/2m, temos

12m x

|p2| 22m 2x |

22mparte radial do Laplaciano

2r2 x

| 2r r x |

parte angular

12r2 x

|L2 |

em concordncia com (3.6.15).

Harmnicos EsfricosPartcula num potencial com simetria esfrica. Vamos considerar uma partcula sem spin sujeita a umpotencial com simetria esfrica. Sabe-se que a equao de onda em coordenadas esfricas admite separaode variveis e as autofunes da energia pode ser escrita como

x |n, l,m RnlrYlm, (3.6.2Um Hamiltoniano esfericamente simtrico comuta com Lz e L2 e seus autoestados so tambm autoestados deL2 e Lz. Como Lk satisfazem as relaes de comutao do momento angular, as equaes de autovalores paraL2 e Lz sero:


dn l ,m |nn|l,m llm mou

d n Ylm ,Ylm, 02

d 0

d sen Ylm ,Ylm,

0

2d

1dcos Ylm ,Ylm,

llm m (3.6.3onde usamos a completeza para os autokets da direo,

d n |nn| 1 (3.6.3Clculo de Yll. Para obtermos os Ylm vamos partir com o caso m l. Aplicando o operador levantamento Lao ket |l, l devemos obter um ket nulo, ou seja,

L|l, l 0,uma vez que a ao de L sobre o valor de m aumentar por uma unidade um valor que j o mximo.Multiplicando pela esquerda pelo bra de |n e usando o resultado dado em (3.6.13), obtm-se

iei i cotg n| l, l 0

Lembrando que a dependncia em dada por eim eil, e fazendon| l, l eiln| l

encontra-se

i ilcotg n| l 0ou seja

dd n| l lcotgn| l

n| l clel cotgd clel12 ln22 cos2 cl 2 2 cos2 l

cl 2 21 sin2 sin2 l cl 4 sin2 l

cl sen londe o fator 2 foi englobado na constante cl. Logo,

n| l, l Yll, cl eil sen l (3.6.3A constante cl determinada pela condio de normalizao (3.6.30), obtendo-se

cl 1l

2 ll!2l 12l!

4 (3.6.3

Clculo dos demais Ylm. Partindo de (3.6.34) e aplicando sucessivamente o operador abaixamento L, podemosobter todos os Ylm. De uma maneira geral, podemos escrever

n|l,m 1 n| L |l,ml ml m 1 uma vez que


L |l,m l ml m 1 |l,m 1dado na Eq. (3.5.40). Usando novamente (3.6.13), encontra-se

n|l,m 1 1l ml m 1 iei i cotg

n| l,m

1l ml m 1 ei

icotg n| l,m (3.6.3

Fazendo-se m l, l 1, , obtm-se sucessivamente Yll,Yll1, ,Yl0,Yll. O resultado geral, para m 0

Ylm, 1l

2 ll!2l 1

4l m!l m! e

im 1senm

dlmdcoslm sen

2l (3.6.3

e definimos Ylm atravs da relao

Ylm, 1mYlm, (3.6.3Dependncia em . Independente de m ser positivo ou negativo, a dependncia em de Ylm, sen |m|vezes um polinmio em cos, com a maior potncia valendo l |m|. Para m 0, obtm-se

Yl0, 2l 14 Plcos (3.6.3

Podemos mostrar que os valores de l devem ser inteiros. Leia os argumentos no final da seo.Harmnicos Esfricos como Matrizes de RotaoHE sob o ponto de vista das MR. Neste contexto, vamos construir o autoket |n a partir de |z, aplicandooperadores de rotao apropriadoDR, tal que

|n DR|z (3.6.4Isto pode ser obtido, usando-se a mesma tcnica para a construo do autospinor de n na Se. 3.2 (vejafigura abaixo):

(1) rotao em torno do eixo y; (2) rotao em torno do eixo z.

Segundarotao

Primeirarotao

|n|z

x

y

z

Em termos dos ngulos de Euler, , e , temosD , , 0.


com m m 0, encontramosD00

j , , 0 d00jLogo,

d00j 42l 1 Yl

0,

42l 12l 1

4 Plcos

ou seja,

d00j Plcos. (3.6.5

3.7 Adio de Momentos AngularesAplicaes em todas as reas da fsica moderna alm de oferecer uma excelente oportunidade para ilustrar osconceitos de mudana de base discutiva no Captulo 1.

Exemplos Simples de Adio de Momento AngularExemplo (1): Adio de momento angular orbital e de spin. Neste exemplo vamos estudar sistemas de spin12 sem ignorar os outros graus de liberdade, como fizemos at agora. Uma descrio realstica de uma

partcula com spin deve levar em conta tanto os graus de liberdade espaciais quanto os graus de liberdadeinternos.

Base ket para uma partcula de spin 12 . A base ket para uma partcula de spin12 pode ser visualizada como

sendo o espao produto-direto do espao ket infinito dimensional dos autokets da posio |x e o espaobidimensional do spin, | e |. Explicitamente, para a base ket, temos

|x , |x | (3.7.onde qualquer operador no espao descrito por |x comuta com qualquer operador no espao descrito por|.Operador rotao. Neste espao, o operador rotao tem ainda a forma expiJ n/, mas J, o gerador derotaes, agora possui duas partes:

J L S (3.7.2Forma mais evidente:

J L 1S 1x S (3.7.3onde 1S o operador indentidade no espao do spin e 1x o operado identidade no espao de dimensoinfinita dos autokets da posio.

Uma vez que L e S comutam, podemos escrever

DR D orb R D spin R exp iJ n exp

iS n (3.7.4

Funo de onda. A funo de onda para uma partcula com spin escrita como

x ,| x (3.7.5


As duas componentes s vezes so dispostas na forma de matriz coluna

x x

onde |x |2 representa a densidade de probabilidade de encontrar a partcula na posio x com spin paracima e para baixo .Base alternativas

Base formada pelos autokets de L2, Lz, S2 e Sz. Ao invs da base |x para a parte espacial, podemos usar|n, l,m que so autokets de L2 e Lz, ou seja,

L2 |n, l,m ll 12 |n, l,mLz |n, l,m m |n, l,m

e para a parte de spin |, que so autokets de S2 e Sz, ou seja,S2 | 12

12 1

2| 34 2|

Sz | 12 |.

Base formada pelos autokets de J2,Jz,L2 e S2. Como veremos mais adiante, podemos tambm usar umabase formada pelos autokets de J2,Jz,L2 e S2.

Em outras palavras, podemos expandir um estado ket de uma partcula com spin em termos dos autoketssimultneos de L2, Lz, S2 e Sz ou em termos dos autokets simultneos de J2,Jz,L2 e S2.

Exemplo (2): Adio de dois momentos angulares de spin. Neste exemplo, vamos estudar duas partculas despin 12 digamos, dois eltrons com o grau de liberdade orbital ignorado.

O operador spin total geralmente escrito como

S S1 S2 (3.7.7que deve ser entendido como

S S1 12 11 S2 (3.7.8onde 11 representa o operador identidade no espao de spin do eltron 1, e 12, no espao de spin do eltron 2.

Como sabemos,

S1x,S2y 0, (3.7.9Dentro do prprio espao, temos as relaes de comutao usuais:

S1x,S1y iS1z, S2x,S2y iS2z, (3.7.Como consequncia das anteriores, as relaes de comutao para o operador spin total so

Sx,Sy iSz, (3.7.Autovalores dos operadores spins. Os autovalores para os vrios operadores de spin so listados abaixo


Operador AutovalorS2 S1 S22 ss 12Sz S1z S2z mS1z m1S2z m2

Expanso de um estado de spin arbitrrio. Podemos expandir um estado de spin arbitrrio em termos dosautokes de S2 e Sz ou em termos dos autokets de S1z e S2z. As duas possibilidades so:

1. A representao m1, m2 baseada nos autoketes de S1z e S2z:|m1, m2 |,, |, |, e |,

2. A representao s, m (representao singleto-tripleto) baseada nos autokets de S2 e Sz:|s, m |s 1, m 1, |s 1, m 0, |s 1, m 1,

|s 0, m 0.onde s 1 s 0 tripleto de spin (singleto de spin).

Observe que em cada conjunto existem quatro kets de base. A relao entre os dois conjuntos :

|s 1,m 1 |, a|s 1,m 0 1

2|, |, b

|s 1,m 1 |, c|s 0,m 0 1

2|, |, d

(3.7.

Demonstrao. O lado direito de a nos diz que temos ambos os eltrons com spin para cima; esta situaos pode corresponder a s 1 e m 1. A b pode ser obtida de a, aplicando-se o operador abaixamento

S S1 S2 S1x iS1y S2x iS2y (3.7.a ambos os lados de a. Ou seja,

S |s 1,m 1 S1 S2 |, (3.7.onde S1 S2 afeta apenas a primeira (segunda) entrada de |,. Lembrando que

J |j,m j mj m 1 |j,m 1encontramos para este caso:

1 11 1 1 |s 1,m 0 12 12

12

12 1 |,

12 12

12

12 1 |,

ou

2 |s 1,m 0 |, |, |s 1,m 0 1

2|, |,


Da mesma forma, podemos obter c:

S |s 1,m 0 12 S1 S2 |, |,

ou

1 01 0 1 |s 1,m 1

12

S1 |, S1|, S2 |, S2|,

12

0 S1|, S2 |, 0

12

12

12

12

12 1 |,

12 12

12

12 1 |,

ou

2 |s 1,m 1 2 |, |s 1,m 1 |,.Finalmente, a d pode ser obtida, exigindo que este seja ortogonal aos outros trs kets, em particular ao b.Coeficientes de Clebsch-Gordan. Os coeficientes que aparecem do lado direito de (3.7.15) so o exemplomais simples dos coeficientes de Clebsch-Gordan, que sero discutidos mais adiante. Eles representamsimplesmente os elementos da matriz de transformao que conecta a base m1,m2 base s,m.Outra forma de obter os coeficientes. Uma outra maneira de se obter esses coeficiente escrever arepresentao matricial do operador

S2 S1 S22 S12 S22 2S1 S2 S12 S22 2S1zS2z S1S2 S1S2 (3.7.

na base m1,m2. Ou seja

m1,m2 | ,| ,| ,| ,|

|m1,m2

S2 22 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2

|,|,|,|,

Como se pode observar, esta matriz quadrada no diagonal, devido aos operadores S1 e S2 que conectamestados |m1,m2 com |m1 1,m2 1. Mas podemos mostrar que esta matriz diagonalizado por uma matrizunitria do tipo


U

1 0 0 0

0 12

12

0

0 12

12

0

0 0 0 1

uma vez que

U1S2U

1 0 0 0

0 12

12

0

0 12

12

0

0 0 0 1

2 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2

1 0 0 0

0 12

12

0

0 12

12

0

0 0 0 1

2 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 2

Os elementos da matriz U que diagonaliza S2 so os coeficientes de Clebsch-Gordan para este problema.

Teoria Formal da Adio de Momento AngularConsidere dois operadores momentos angulares J1 e J2. Suas componentes satisfazem as relaes decomutao usuais para momento angular:

J1i,J1,j iijkJ1k (3.7.2e

J2i,J2,j iijkJ2k (3.7.2Porm,

J1k,J2j 0 (3.7.2entre os pares de operadores de diferentes subespaos.

Operador rotao infinitesimal. O operador rotao infinitesimal que afeta ambos os subespaos, 1 e 2, escrito como

1 iJ1 n 1 iJ2 n

1 iJ1 12 11 J2 n

(3.7.2

O momento angular total definido por

J J1 12 11 J2 (3.7.2que mais comumente escrito como

J J1 J2 (3.7.2Rotao finita. A verso de ngulo finito de (3.7.22)

D1R D2R exp iJ1 n expiJ2 n

(3.7.2


Relao de comutao do momento total. Devido a (3.7.20) e (3.7.21), o momento angular total satisafaz asrelaes de comutao

Ji,Jj iijkJk (3.7.2Escolha da base. Temos duas opes para a escolha da base:

Opo A - Base formada pelos autokets simultneos de J12,J22, J1z e J2z, denotado por |j1j2;m1m2 . Esses operadorescomutam entre si. As equaes de autovalores para esses operadores so

J12|j1j2;m1m2 j1j1 12|j1j2;m1m2 J1z|j1j2;m1m2 m1|j1j2;m1m2 J22|j1j2;m1m2 j2j2 12|j1j2;m1m2 J2z|j1j2;m1m2 m2|j1j2;m1m2

Opo B - Base formada pelos autokets simultneos de J2,J12,J22, e Jz. Esses operadores comutam entre si. Denotamos

esta base por |j1j2; jm. As equaes de autovalores para esses operadores soJ12|j1j2; jm j1j1 12|j1j2; jmJ22|j1j2; jm j2j2 12|j1j2; jmJ2|j1j2; jm jj 12|j1j2; jmJz|j1j2; jm m|j1j2; jm

Embora se tenha

J2,Jz 0, (3.7.3esta relaao no vale para as componentes z de J1 e J2, ou seja,

J2,J1z 0 e J2,J2z 0 (3.7.3como pode se demonstrado, escrevendo-se

J2 J12 J22 2J1zJ2z J1J2 J1J2.Mudana de base. Vamos considerar a transformao unitria que conecta as duas bases:

|j1j2; jm m1

m2

|j1j2;m1m2 j1j2;m1m2 |j1j2; jm (3.7.3

onde usamos

m1

m2

|j1j2;m1m2 j1j2;m1m2 | 1 (3.7.3

Os elementos de matriz j1j2;m1m2 |j1j2; jm desta transformao so os coeficientes de Clebsch-Gordan, Cjmm1m2 .Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan

1. Os coeficientes Cjmm1m2 so nulos, exceto para

m m1 m2.

Demonstrao: Seja Jz J1z J2z. EntoJz |j1j2; jm J1z J2z |j1j2; jm m m1 m2.

2. Os coeficientes Cjmm1m2 so nulos, exceto para


|j1 j2 | j j1 j2. (3.7.3

Demonstrao: Esta a verso quntica do modelo vetorial da adio de dois momentos angulares, ondevisualisamos J como a soma vetorial de J1 e J2. Porm, importante verific-la, mostrando que, se (3.7.38) vlida, ento a dimensionalidade do espao definido por |j1j2;m1m2 a mesma de |j1j2; jm. No primeirocaso, a dimenso vale

N 2j1 1 2j2 1 (3.7.3Para o segundo caso, considerando j1 j2, vemos que, para cada valor de j, existem 2j 1 estados e, deacordo com (3.7.38) j pode variar desde j1 j2 at j1 j2. Assim,

N jj1j2

j1j22j 1

2j1 j2 1 2j1 j2 12j2 12 2j1 1 2j2 1Uma vez que ambas as contagem do o mesmo valor de N, vemos que (3.7.38) consistente (veja prova noApndice B).

Os coeficientes de Clebsch-Gordan forma uma matriz unitria. Alm disso, os elementos de matriz, porconveno, so tomados como sendo reais. Uma consequncia imediata disto, que

j1j2;m1m2 |j1j2; jm j1j2; jm|j1j2;m1m2ou seja, os inversos so iguais aos prprios coeficientes. Uma matriz unitria real ortogonal. Assim,

jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1 m2 |j1j2; jm m1m1 m2m2 (3.7.4

ou seja,

jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1 m2 |j1j2; jm

jmj1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2; jm|j1j2;m1 m2

j1j2;m1m2 |j1j2;m1 m2 m1m1 m2m2devido ortogonalidade dos estados |j1j2;m1m2, juntamente com a condio de que os coeficientes so reais.Da mesma forma,

m1,m2

j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; j m jjmm (3.7.4

ou seja,

m1,m2

j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; j m

m1,m2

j1j2; jm|j1j2;m1m2j1j2;m1m2 |j1j2; j m

j1j2; jm|j1j2; j m jjmm onde usamos argumentos similares.

Normalizao de |j1j2; jm. Como caso especial deste ltimo, faamos j j, m m m1 m2. Obtm-se


m1,m2

j1j2;m1m2 |j1j2; jmj1j2;m1m2 |j1j2; jm

m1,m2

|j1j2;m1m2 |j1j2; jm|2 1

que justamente a condio de normalizao para |j1j2; jm.Smbolo 3j de Wigner. Os coeficientes de Clebsch-Gordan podem tambm ser escritos em termos dossmbolos 3j de Wigner:

j1j2;m1m2 |j1j2; jm 1j1j2m 2j 1 j1j2jm1m2 m

(3.7.4

Relaes de Recorrncia para os Coeficientes de Clebsch-GordanFixando-se j1, j2 e j, os coeficientes com diferentes valores de m1 e m2 esto relacionados entre si atravs derelaes de recorrncia. Partindo com

J|j1j2; jm J1 J2 m1m2

|j1j2;m1 m2

e usando (3.5.39) e (3.5.40) obtemos

j mj m 1 |j1j2; j,m 1

m1m2

j1 m1 j1 m1 1 |j1j2;m1 1,m2

j2 m2 j2 m2 1 |j1j2;m ,m2 1 j1j2;m1 m2 |j1j2; jm

Multiplicando agora o resultado por j1j2;m1m2 | e usando a ortogonalidade, que significa contribuies nonulas para o lado direito apenas se

m1 m1 1, m2 m2 , primeiro termom1 m1 , m2 m2 1, segundo termo.

Desta forma, obtm-se as relaes de recorrncia desejadas:

j mj m 1 j1j2;m1m2|j1j2; j,m 1 j1 m1j1 m1 1 j1j2;m1 1,m2|j1j2; jm

j2 m2j2 m2 1 j1j2;m1,m2 1|j1j2; jm (3.7.4

Suprimindo a j1j2 da notao, isto ,

|j1j2; jm |jm e |j1j2;m1m2 |m1m2podemos escrever

j mj m 1 m1m2|j,m 1 j1 m1j1 m1 1 m1 1,m2|jm

j2 m2j2 m2 1 m1,m2 1|jm (3.7.4

Visualizao das relaes de recorrncia. Representando os valores dos m s no plano m1m2, as relaes derecorrncia para J diz-nos que os coeficientes para m1,m2 esto relacionados aos coeficientes para


m1 1,m2 e m1,m2 1. Da mesma forma, para J, a relao de recorrncia relaciona os trs coeficientescujos valores de m1 e m2 so dados na figura da direita.

(m1-1,m2)

(m1,m2-1)

(lado direito)

J+

J-

(lado direito)

(m1,m2)(lado esquerdo)

(m1,m2)(lado esquerdo)

(m1,m2+1)(lado direito)

(m1+1,m2)(lado direito)

Os coeficientes de Clebsch-Gordan e as relaes de recorrncia. Considere o plano m1m2 com j1, j2 e j fixos.Na parte (a) da figura abaixo, plotamos o contorno da regio permitida determinado por

|m1 | j1, |m2 | j2, j m m1 m2 j.

A

m1 + m2 = j

m2 = j2

m2 = - j2

m1 = - j1 m1 = j1

AD

E

F C

B x

proibido!J+

J+

J-

J-

(a) (b)

J-

m1 + m2 = - j

Partimos com o canto direito superior representado por A.

Aplicamos a relao de recorrncia para J (sinal inferior) com m1, m2 1 correspondendo a A. Observe que estarelao s conecta A com B, porque o stio correspondendo a m1 1, m2 proibido por m1 j1. Como resultado,obtemos os coeficientes de C-G de B em termos dos coeficientes de A.

Em seguida, forma-se o tringulo J com A, B e D. Isto permite encontrar o coeficientte de D, uma vez que ocoeficiente de A seja especificado.

Conhecendo-se B e D, podemos obter E.

Conhecendo-se B e E podemos obter C e assim por diante.

Adio de j1 l e j2 s 12Considere o seguinte exemplo de adio do momento angular orbital com o momento angular de spin 1/2:


j1 l, inteiro , m1 mlj2 s 12 , m2 ms

(3.7.5

Valores de j permitidos . Neste caso, os valores de j permitidos so

j l 12 , l 0.j 12 , l 0.

(3.7.5

Assim, para cada l, existem dois valores permitidos para j

j l 12 e l 12 .

Por exemplo, para l 1 (estado p), os valores permitidos de j so: j 32 e12 . Na notao espectroscpica,

p3/2 e p1/2 onde o subscrito refere-se a j.

Plano m1m2. O plano m1m2, ou melhor, o plano mlms deste problema particularmente simples: os stiospermitidos formam apenas duas linhas. A linha superior, para ms 12 , e a inferior, para ms

12 .

Caso j l 12 . Vamos estudar o caso especfico j l 12 . Uma vez que ms no pode ser maior que

12 ,

podemos usar a recorrncia de J de maneira que sempre estaremos na linha superior m2 ms 12 ,enquanto que o valor de ml varia por uma unidade, cada vez que consideramos um novo tringulo J. De(3.7.49) (sinal inferior), para m1 ml m 12 e m2 ms

12 , ou seja,

j mj m 1 mlms|j,m 1 j1 m1j1 m1 1 ml 1,ms|jm

j2 m2j2 m2 1 ml,ms 1|jmencontramos fazendo m m 1:

l 12 m 1 l 12 m m

12 ,

12 |l

12 ,m

l m 12 l m 12 m

12 ,

12 l

12 ,m 1

Logo,

m 12 ,12 |l

12 ,m

l m 12 l m 12

l 12 m 1 l 12 m

m 12 ,12 l

12 ,m 1

ou

m 12 ,12 l

12 ,m

l m 12l m 32

m 12 ,12 l

12 ,m 1

Fazendo m m 1, sucessivamente, nesta equao, at que m l, encontramos


m 12 ,12 l

12 ,m 1

l m 32l m 52

m 32 ,12 l

12 ,m 2

m 32 ,12 l

12 ,m 2

l m 52l m 72

m 52 ,12 l

12 ,m 3

m 52 ,12 l

12 ,m 2

l m 72l m 92

m 72 ,12 l

12 ,m 4

l 1, 12 l

12 , l 1

12

2l2l 1 l,

12 l

12 , l

12

e, portanto,

m 12 ,12 l

12 ,m

l m 12l m 32

l m 12l m 32

l m 32l m 52

2l2l 1 l,12 l

12 , l

12

l m 12

2l 1 l,12 l

12 , l

12 . (3.7.5

ms

ml

J- J- J-

x x x

Configurao de valores mximos: m1 l e m2 12 . Neste caso, o valor total m m1 m2 vale m l 12 ,

que s ser possvel para j l 12 e no para j l 12 . Assim:

ml l,ms 12 j l 12 ,m l

12

onde um fator de fase. Tomando este fator de fase real e positivo, igual unidade, por conveno,encontramos

ml l,ms 12 j l 12 ,m l

12 l,

12 l

12 , l

12 1 (3.7.5

Assim, de (3.7.57)


m 12 ,12 l

12 ,m

l m 122l 1 (3.7.5

Estados j l 12 ,m e j l 12 ,m . Como m ml ms, os valores de ml e ms podem ser, para ambos os

estados: a ml m 12 e ms 12 e b ml m

12 e ms

12 . Assim, esses estados conectam ambos.

Logo,

j l 12 ,m a ml m 12 ,ms

12 b ml m

12 ,ms

12

j l 12 ,m c ml m 12 ,ms

12 d ml m

12 ,ms

12

O parmetro a pode ser facilmente obtido de (3.7.59), sendo dado por a l m 12

2l 1 . Portanto,

j l 12 ,m l m 12

2l 1 ml m 12 ,ms

12

b ml m 12 ,ms 12 .

j l 12 ,m c ml m 12 ,ms

12

d ml m 12 ,ms 12

Isto pode ser escrito na forma matricial

j l 12 ,mj l 12 ,m

a bc d

m 12 ,12

m 12 ,12

Devido ortogonalidade, espera-se que a matriz de transformao seja da forma,

a bc d

cos sen sen cos

Como cos a l m 12

2l 1 , podemos encontrar

sen b 1 cos2 1 l m 12

2l 1 2l 1 l m 12

2l 1

l m 12

2l 1Portanto, a matriz de transformao ser:

l m 122l 1

l m 122l 1

l m 12

2l 1l m 12

2l 1


3.8 Modelo de Oscilador de Schwinger do Momento AngularExiste uma conexo entre a lgebra do momento angular e a lgebra de dois osciladores desacoplados.Vamos considerar dois tipos de oscilador: oscilador tipo mais e oscilador tipo menos. Os operadores de criaoe destruio so denotados por a e a . Os operadores nmeros so definidos por

N aa (3.8.Relaes de comutao. Admitimos que as relaes de comutao para a, a e N so do mesmo tipo quedos osciladores. Ou seja,

a,a 1, a,a 1,N,a a, N,a a,N,a a , N,a a .

(3.8.2

Para osciladores diferentes (desacoplados),

a,a 0, (3.8.3Como N e N comutam, podemos definir autoestados simultneos desses operadores, |n,n ,ou seja,

N|n,n n|n,n , N|n,n n|n,n (3.8.4Ao dos operadores a e a. Em analogia com o problema do oscilador, segue que

a |n,n n 1 |n 1,n , a |n,n n 1 |n,n 1,a|n,n n |n 1,n , a|n,n n |n,n 1.

(3.8.5

Ket |n,n a partir do vcuo |0, 0. Para obter o ket |n,n basta aplicar sucessivamente a e a ao vcuo|0, 0. Isto

aa |0, 0 |1, 1 |1, 1 aa |0, 0aa |1, 1 2 2 |2,2 |2, 2 a

2a

2|1,1 a

22

a 22

|0, 0

aa |2, 2 3 3 |3,3 |3, 3 a

3a

3|2,2 a

33 2

a 33 2 |0,0

onde

a |0, 0 0 (3.8.6De uma maneira geral

|n,n a na nn! n!

|0, 0 (3.8.7

Agora definimos

J aa, J aa

Jz 2 aa aa 2 N N

(3.8.8

(3.8.8

Estes operadores satisfazem as relaes de comutao de momento angular:


Jz,J J, J,J 2Jz (3.8.9Definindo o operador nmero total, N, como

N N N aa aa,podemos mostrar que

J2 Jz2 12 JJ JJ 22 N

N2 1 .

Demonstrao. Como J2 Jx2 Jy2 Jz2 e escrevendo J Jx iJy, obtm-se Jx 12 J J eJy 12i J J, ento

J2 Jx2 Jy2 Jz2 Jz2 14 J J

2 12 J J2

Jz2 14 JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ Jz2 14 2JJ 2JJ Jz2 12 JJ JJ

Como J aa e J aa, a,a 1 e a,a 0 encontramosJJ 2 aaaa 2 a 1 aaa

2 aa1 aa 2N1 N

Da mesma forma

JJ 2 aaaa 2 a 1 aaa 2 aa1 aa 2N1 N

assim como,

Jz2 24 N N2 24 N

2 N2 2NN onde usamos N,N 0. Logo,

J2 Jz2 12 JJ JJ 24 N

2 N2 2NN 22 N1 N N1 N

22N2 N2 2NN

2 N NN N NN

22N2 N2 2NN 2N N 4NN

2

22N2 2N

2

22 NN2 1

como foi antecipado. Interpretao Fsica1) interpretao 1


spin para cima uma unidade quntica do oscilador tipo mais. spin para baixo uma unidade quntica do oscilador tipo menos.2) interpretao 2

uma partcula de spin 1/2 com spin para cima cada uma unidade quntica do oscilador tipo mais. uma partcula de spin 1/2 com spin para baixo cada uma unidade quntica do oscilador tipo menos.Os autovalores n representam o nmero de spins para cima e para baixo . J a a destri uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento angular /2 e cria uma

unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2: a componente z do momento angularaumenta uma unidade de .

J a a destri uma unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2 e cria uma unidadede spin para baixo, com componente z do momento angular /2: a componente z do momento angular diminui umaunidade de .

Jz N N /2 calcula o produto de /2 pela diferena de n e n, exatamente a componente z do momentoangular total.

Ao de J e Jz sobre |n,n . Estes operadores atuam sobre |n,n da seguinte maneira:J |n,n aa|n,n n n 1 |n 1,n 1

nn 1 |n 1,n 1,J |n,n aa|n,n n n 1 |n 1,n 1

nn 1 |n 1,n 1,Jz|n,n 2 N N|n,n

12 n n |n,n

(3.8.

(3.8.

(3.8.

Note que em todas essas operaes, a soma n n, que corresponde ao nmero total de de partculas despin 1/2, permanece constante.

Essas expresses podem ser reduzidas s formas familiares de momento angular, fazendo-se

n j m, n j m (3.8.Assim,

nn 1 j mj m 1 ,nn 1 j mj m 1 , (3.8.

Tambm, os autovalores de J2, definido em (3.8.12) ser

J2|n,n 22 NN2 1 |n,n

22 n nn n

2 1 |n,n Assim, como n n j m j m 2j

22 n n

n n2 1

22 2j

2j2 1

2 jj 1

Relao entre os elementos de matriz do oscilador e do momento angularDe (3.8.14), podemos usar


j 12 n n, m 12 n n,

no lugar de n e n, para caracterizar autokets simultneos de J2 e Jz. Ou seja,

|n,n |j,m.Ao de J sobre |j,m. Como vimos, o operador J atuando sobre |n,n muda n para n 1 e n paran 1, ou seja,

J |n,n nn 1 |n 1,n 1Usando , isto ser

J |n,n J j n n2 ,m n n

2 j mj m 1

j n 1 n 12 ,m n 1 n 12

j mj m 1 j n n2 ,m n n2 1

onde j j j e m m m 1:J |j,m j mj m 1 |j,m 1.

De forma similar para J. A Eq. (3.8.7), ou seja,

|n,n a na nn! n!

|0, 0

pode ser escrita agora para o autoket mais geral de N,N

|j,m a jma jm

j m!j m! |0 (3.8.

Caso de interesse. Seja m j, que fisicamente significa que o autovalor de Jz o maior possvel para umdado j. Logo,

|j, j a 2j2j! |0 (3.8.

Podemos imaginar este estado como sendo o estado de 2j partculas de spin 1/2 com todos os spinsapontando na direo positiva do eixo z.

Observao (1) Em geral, notamos que objetos complicados com valores altos de j podem ser visualizados como sendoconstitudos de partculas de spin 1/2, das quais j m com spins para cima e j m com spins para baixo.Observao (2) Embora nem sempre se possa considerar literalmente um objeto de momento angular j como umsistema composto de partculas de spin 1/2, sempre possvel afirmar que, enquanto estamos considerando aspropriedades de transformao sob rotaes, podemos visualizar qualquer objeto de momento angular j como um sistemacomposto de 2j partculas de spin 1/2 formado da maneira indicada pela Eq. (3.8.18).

Leia o restante da seo.Frmula Explcita para Matrizes de RotaoO esquema de Schwinger pode ser usado para obter, de uma maneira bastante simples, uma frmula fechadapara as matrizes de rotao.

Vamos aplicar o operador DR a |j,m. Na notao dos ngulos de Euler, a nica rotao no trivial aquelaem torno do eixo y


DR D,,|0 expiJy

Assim,

DR |j,m DR a jma jm

j m!j m! |0

DRaD1RjmDRaD1Rjm

j m!j m! (3.8.2

Como

DR|0 exp iJy |0

1 i Jy 12!

i

2Jy2 |0

e com Jy 12i J J 2i a

a aa,

Jy|0 2i aa aa|0

0devido a (3.8.6). Assim,

DR|0 |0.Logo,

DRaD1R exp iJy a exp iJy (3.8.2

Usando o lema de Baker-Hausdorff com

A a , G Jy , Calculando os diversos comutadores do tipo G,A, G, G,A, encontramos

Jy ,a

12i aa aa,a

12i aa,a aa,a

12i a a,a a ,a a a a,a a ,a a

12i a 0 0 a a a,a 0 a

12i a a,a

12i a

Jy ,

Jy ,a

Jy ,12i a

12iJy ,a

14 a

Assim


exp iJy a exp iJy

a i Jy ,a i2!

2 Jy ,

Jy ,a

i3!3 Jy

,Jy ,

Jy ,a

ou

exp iJy a exp iJy a

i 12i a i2!

2 14 a

Finalmente,

exp iJy a exp iJy a

2 a i2!

2 14 a

a 1 i2!2

22 a 2 a

a cos 2 a sen 2 .

ou seja,

exp iJy a exp iJy a

cos 2 a sen 2 (3.8.2

Da mesma forma

exp iJy a exp iJy a

cos 2 a sen 2 (3.8.2

Substituindo estas duas ltimas expresses em (3.8.21), encontra-se

DR |j,m DRa

D1RjmDRaD1Rjmj m!j m! |0

a cos

2 a

sen 2jm

a cos2 a

sen 2jm

j m!j m! |0

Recorrenco ao teorema binomial,

x yN k

N!N k! k! x

Nkyk (3.8.2

encontramos

a cos2 a

sen 2jm

k

j m!j m k! k! a

cos 2jmk

a sen2

k

e

a cos2 a

sen 2jm

l

j m!j m l! l! a

sen 2jml

a cos2

l.


Logo,

D 0,, 0 |j,m 1j m!j m! k l

j m!j m k! k! a

cos 2jmk

a sen2

k

j m!j m l! l! a sen 2

jmla cos

2

l|0

Ou,

D 0,, 0 |j,m

k

l

j m!j m!j m k! k!j m l! l!

1 jlma 2jkla kl cos 2jmkl

sen 2jklm

|0 (3.8.2

Outra maneira de expressar este resultado usar (3.5.49), (3.5.5.1) e (3.8.18) , isto ,

D 0,, 0 |j,m m

|j,m dmm j

m

dmm j a

jm a jm j m !j m ! |

0 (3.8.3

Comparando as duas expresses, podemos obter uma forma explcita para dmm j , atravs da igualdade dos

coeficientes das potncias de a . Especificamente,

a 2jkl a jm

o que nos fornece

2j k l j m l j k m (3.8.3Para m constante, esta relao nos diz que as somas em k e l no so independentes. Eliminando l de acordocom (3.8.31),

a kl a jm

fica automaticamente satisfeita. Os expoentes do sen/2, cos/2 e 1 ficam, com esta substiuio

cos 2jmkl

cos 2jmkjkm

cos 22j2kmm

sen 2jklm

sen 2jkjkm m

sen 22kmm

1 jlm 1kmm

Portanto, (3.8.29), aps eliminarmos a soma em l, torna-se

D 0,, 0 |j,m

k

a jm a jm j m !j m !

j m!j m! j m !j m !j m k! k!j m l! l!

1kmm cos 22j2kmm

sen 22kmm

|0

Comparando com (3.8.30) para um m fixo, encontramos


dm mj

k1kmm j m!j m! j m

!j m !j m k! k!j m l! l!

cos 22j2kmm

sen 22kmm

(3.8.3

que a frmula de Wigner para dm mj .

3.9 Medida de Correlao de Spin e Desigualdade de BellCorrelaes em Estados Singletos de SpinSistema de dois eltrons num estado singleto. Considere dois eltrons com spin total zero. O estado ket podeser escrito como

singleto 12

|z ; z |z ; z (3.91

Medida da componente de spin de um dos eltrons. Existe uma chance de 50% de se obter (numa medida)qualquer uma das componentes do spin para cada um dos eltrons, uma vez que o sistema composto podeestar em |z ; z ou |z ; z com igual probabilidade.Conhecendo a componente do spin de um dos eltrons. Suponha que um dos eltrons esteja, com certeza,no estado de spin para cima, o outro eltron est necessariamente no estado de spin para baixo.

Medida. Quando a componente do spin do eltron 1 est para cima, o aparelho de medida seleciona oprimeiro termo, |z ; z , de (3.9.1); uma medida subseqente da componente do spin do eltron 2 deveconfirmar que o estado ket do sistema composto dado por |z ; z .Correlao. Este tipo de correo pode persistir mesmo quando as duas partculas esto muito separadas ej interagem uma com a outra. A exigncia que medidas que elas se afastem no exista nenhumamudana em seus estados de spin.

Visualizao. Considere a figura que representa um sistema de duas partculas de spins , movendo-se emdirees opostas.

Partcula 2B APartcula 1

Observadores. O observador A mede Sz da partcula 1 (indo para a direita), enquanto que o observadormede o Sz da partcula 2 (esquerda).

O observador A realiza medida. Se A encontrar Sz , ento mesmo antes de B realizar sua medida, A podepredizer com certeza que o resultado de B ser Sz para a partcula 2.O observador A no realiza medida. Sem realizar sua medida, A pode apenas afirmar que o resultado de Btem 50% de chance para encontrar Sz ou Sz .Este resultado parece no ser to estranho. Podemos dizer: parecido com o caso de uma caixa quecontm uma bola preta e uma branca. Quando, sem olhar, retiramos uma delas, existe uma chance de 50% detirarmos a bola preta ou a branca. Mas se a primeira for a bola preta, ento podemos dizer com certeza que asegunda bola ser a branca.


A situao quntica mais complexa. De fato, os observadores podem querer medir Sx ao invs de Sz. Emtermos da analogia com a caixa, como se o mesmo par de bolas qunticas pudesse ser analizado emtermos de preto e branco ou em termos de azul e vermelho.

Sx em termos de Sz. Para um nico spin, sabemos que

|x, 12

|z |z |z, 12

|x |x (3.9.3

Logo, para nosso sistema composto,

singleto 12

|x ; x |x ; x (3.9.4

Observador A. Pode medir tanto Sz como Sx da partcula 1, bastando apenas mudar a orientao doanalizador de spin.

Observador B. S pode medir Sx para a partcula 2.

O observador A realiza uma medida de Sz. Se A obtm Sz para a partcula 1, a medida de B pode resultarnuma das duas Sx ou Sx , com igual chance. Mesmo conhecendo-se o Sz da partcula 2, sua componente Sx completamente indeterminada.

O observador A realiza uma medida de Sx. Se A tambm obtm Sx para a partcula 1, ento com certeza oobservador encontrar Sx para a partcula 2.O observador A no realiza medida. Neste caso, B ter uma chance de 50% para obter Sx ou Sx .Resumo:

1. Se A mede Sz e B mede Sx, existe uma correlao completamente aleatria entre as duas medidas.

2. Se A e B medem Sx, existe 100% de correlao de sinais opostos entre as duas medidas.

3. Se A no realiza medida, as medidas de B apresentam resultados aleatrios.

Os observadores A e B podem medir Sx ou Sz. Neste caso, todos os resultados possveis dessas medidas decorrelao de spin so mostradas na tabela abaixo:

Medida de A Resultado de A Medida de B Resultado de Bz z z x x z x z z x x x z x x x z z z x x z x z


Leia o restante da seo.

3.10 Operadores TensoriaisLeia esta seo.


Sakurai(Cap3) Fnt12

Documents

Transcript of Sakurai(Cap3) Fnt12