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Universidade de Aveiro 2013
Departamento de Educao
Sandra Vanessa da
Silva de Jesus
Os nmeros figurados e a sequncia de Fibonacci no EB
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Universidade de Aveiro 2013
Departamento de Educao
Sandra Vanessa da
Silva de Jesus
Relatrio final de Estgio apresentado Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessrios obteno do grau de Mestre em Ensino do 1. e 2. Ciclo do Ensino Bsico, realizado sob a orientao cientfica da Doutora Maria Teresa Bixiro Neto, Professora Auxiliar do Departamento de Educao da Universidade de Aveiro.
Os nmeros figurados e a sequncia de Fibonacci no EB
3
Dedico este trabalho minha me
4
o jri
presidente Doutor Rui Marques Vieira Professor auxiliar da Universidade de Aveiro
Doutora Ftima Regina Duarte Gouveia Fernandes Jorge
Professora adjunta do Instituto Politcnico de Castelo Branco
Doutora Maria Teresa Bixiro Neto
Professora auxiliar da Universidade de Aveiro
5
Agradecimentos
minha me, pelo constante incentivo em continuar at ao fim.
Aos meus amigos, por todo o apoio e por ter vivido com vocs
grandes momentos.
minha orientadora, Professora Doutora Maria Teresa Bixiro
Neto, pela disponibilidade, motivao, ajuda e ideias que partilhou
comigo.
s minhas companheiras, Dulce Jesus e Rita Mendes, por esta
fabulosa jornada.
Aos professores cooperantes e alunos que participaram neste
estudo, pois foram elementos essenciais para a concretizao deste
trabalho.
direo da escola, por ter permitido a realizao deste estudo.
A todas as pessoas que de certa forma, contriburam para a
concretizao desta maravilhosa etapa.
6
Este estudo foi desenvolvido na unidade curricular Pratica Pedaggica
Supervisionada B2, que faz parte do curso de Mestrado em Ensino do 1. e
do 2. Ciclo do Ensino Bsico e teve como objetivo analisar o pensamento
algbrico dos alunos do 5. ano tendo, tambm, como finalidade realar as
relaes entre a Matemtica e a Natureza, fomentando a
interdisciplinaridade entre a Matemtica e as Cincias Naturais, bem
como, entre a Histria da Matemtica, a Lngua Portuguesa e a Educao
Tecnolgica. Para tal, pretendo dar resposta a duas questes de
investigao: (I) Quais so as estratgias que os alunos do 5. ano utilizam
para descobrir os termos de uma sequncia? (II) Que dificuldades
apresentam os alunos do 5. ano durante a realizao de tarefas com
sequncias e regularidades?
Para isso, foi planificada e implementada uma unidade de ensino sobre o
tema Sequncias e Regularidades. Esta unidade envolve os nmeros
figurados e a sequncia de Fibonacci e composta por sete tarefas. A
investigao desenvolveu-se num contexto de investigao-ao. As
tcnicas e instrumentos de recolha de dados foram a observao
participante, os registos fotogrficos, a anlise documental e as notas de
campo. O estudo foi concretizado no ano letivo 2012/2013, numa escola
bsica da regio de Aveiro. Os resultados apontam que as atividades
desenvolvidas contriburam para o desenvolvimento do Pensamento
Algbrico destes alunos.
Palavras-chave
Pensamento algbrico, nmeros figurados, sequncia de Fibonacci.
resumo
7
This study was developed in the subject Supervised Pedagogical
Practice B2, which is part in course of Primary School Teacher
Education (6 to 12 years) and has as objective to analyse the algebraic
thinking of students in grade 5 and too aimed to emphasizing the
connections between Mathematic and the Nature, promoting the
connections between the Mathematic and the Natural Sciences, as
well as between Mathematic History, Portuguese Language, and
Technological Education. For that, I want to answer two questions: (I)
What strategies students in grade 5 use to discover the terms of a
sequence? (II) What difficulties reveal the students in grade 5 about
the activities with sequences and regularities?
For that, was planned and implemented one unity of education about
the theme Sequences and Regularities. This unity is about figurate
numbers and Fibonaccis sequence and it is compound by seven
tasks. The investigation developed in a context of action research.
The techniques and tool for data collection were the participant
observation, the photographic record, the documental analyses and
the field notes. This study was realized in the 2012/2013 school year,
in a basic school of Aveiro. The results indicate that the developed
activities contribute for the development of algebraic thinking of
these students.
Key words
Algebraic thinking, Figurate numbers, Fibonaccis sequence.
Abstract
8
"H um enigma que desde sempre tem perturbado as mentes. Como pode a
Matemtica, ao fim e ao cabo um produto do pensamento humano independente da
experincia, ser to admiravelmente apropriada aos objetos da realidade?"
Albert Einstein
9
ndice
Introduo ..18
Pertinncia da investigao e motivaes ...18
Problemtica e questes de investigao ........19
Organizao da investigao ...20
Captulo 1 Enquadramento terico ..21
1.1. Definies dos conceitos de sequncia e regularidade.21
1.2. Pensamento algbrico, Sequncias e Regularidades no Programa de Matemtica do
Ensino Bsico e nos Princpios e Normas para a Matemtica Escolar....24
1.3. A importncia das sequncias e regularidades 30
1.4. lgebra: algumas definies e sua relao com as regularidades ...........33
1.5. Algumas dificuldades geralmente sentidas pelos alunos no processo de ensino-
aprendizagem da lgebra .35
1.6. As regularidades e o pensamento algbrico .....36
1.7. O ensino e a aprendizagem das regularidades ..............41
1.8. Os nmeros figurados....46
1.9. A sequncia de Fibonacci..................56
1.10. Adequao didtica das tarefas...68
Captulo 2 Metodologia de investigao ...72
2.1. Opes metodolgicas..............72
2.2. Recolha de dados .75
2.3. Caracterizao do contexto pedaggico e participantes no estudo.......80
Captulo 3 Unidade de Ensino ...............86
3.1. Planificao das tarefas ....86
Captulo 4 Anlise dos dados ..........103
Nmeros figurados ...........103
Tarefa Nmeros triangulares .....103
Tarefa Nmeros quadrados ...........106
Tarefa Nmeros pentagonais .............109
Tarefa Nmeros hexagonais ..114
Sequncia de Fibonacci .....................114
10
Tarefa Herbrio de Fibonacci ....115
Tarefa Herbrio de Fibonacci em verso ....116
Tarefa Vamos construir a espiral de Fibonacci..117
Captulo 5 Concluses.......121
Referncias bibliogrficas .....129
Apndices...................137
Anexo ........168
11
ndice das figuras
Lista de figuras:
Figura 1 Os nmeros triangulares ...50
Figura 2 Os nmeros triangulares ...50
Figura 3 Os nmeros quadrados .51
Figura 4 O nmero quadrado 16 como juno de dois triangulares ...51
Figura 5 Os nmeros quadrados como juno de nmeros mpares
consecutivos51
Figura 6 Os nmeros pentagonais e uma das maneiras de os formar .52
Figura 7 Os nmeros pentagonais ...........52
Figura 8 Os nmeros hexagonais 53
Figura 9 Os hexanmeros.53
Figura 10 Os quadrados centrados ..54
Figura 11 Os nmeros retangulares .54
Figura 12 Os nmeros retangulares como o dobro dos nmeros triangulares e a adio de
nmeros pares consecutivos.....54
Figura 13 Os nmeros cubos ....55
Figura 14 Os nmeros tetradricos...55
Figura 15 Os nmeros piramidais quadrados...................55
Figura 16 Os nmeros octadricos................56
Figura 17 A sequncia de Fibonacci que forma o nmero de ouro e os quadrados
construdos a partir da mesma..58
Figura 18 As espirais formadas a partir da sequncia de Fibonacci.....58
Figura 19 Estrelas pentagonais..59
Figura 20 Processo de construo do retngulo de ouro..............60
Figura 21 Segmentos de reta.....60
Figura 22 Tringulo de Pascal...60
Figura 23 A forma como podemos ver a sequncia de Fibonacci no Tringulo de
Pascal................60
12
Figura 24 Esquema retirado do livro: O diabo dos nmeros de Hans Magnus
Enzensberger........................62
Figura 25 - Concha do Nautilus ......63
Figura 26 - Rabo do camaleo .....63
Figura 27 As pirmides de Khops e desenho da sua construo.....63
Figura 28 - Igreja de Notre Dame....64
Figura 29 - Templo Parthenon e esboo..64
Figura 30 Universidade de Moscovo....64
Figura 31 Arco Septmio Severo...64
Figura 32 Arco de Triunfo....64
Figura 33 Castelo de Buda...64
Figura 34 Museu das Belas Artes.............64
Figura 35 Parlamento Alemo..64
Figura 36 Leonardo da Vinci Homem Vitruviano.........65
Figura 37 Leonardo da Vinci Mona Lisa...............65
Figura 38 Leonardo da Vinci S. Jernimo.66
Figura 39 Leonardo da Vinci A anunciao..............66
Figura 40 George Seurat Os banhistas..66
Figura 41 Salvador Dali A ltima Ceia.....66
Figura 42 Painel de Almada Negreiros, O nmero..67
Figura 43 Presena da proporo urea n
