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SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
LUIZA DEL CASTANHEL
UNIDADE DIDÁTICA:
O ENSINO DA GEOMETRIA APOIADA NA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
CURITIBA
2011
LUIZA DEL CASTANHEL
UNIDADE DIDÁTICA:
O ENSINO DA GEOMETRIA APOIADA NA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Unidade Didática apresentada como parte
complementar do Programa de
Desenvolvimento educacional - PDE da
Secretaria Estadual de Educação - SEED,
em parceria com a Universidade Tecnológica
Federal do Paraná – Departamento de
Matemática.
Orientador: Profº Ms. Antônio Amílcar
Levandoski
Curitiba
2011
SUMÁRIO
Introdução ....................................................................................................... 4
Fundamentação Teórica ................................................................................. 4
Atividade 01 .................................................................................................... 8
Atividade 02. ................................................................................................. 11
Atividade 03. ................................................................................................. 13
Atividade 04 .................................................................................................. 16
Atividade 05. ................................................................................................. 19
Atividade 06 .................................................................................................. 21
Atividade 07. ................................................................................................. 24
Atividade 08. ................................................................................................. 26
Orientações para o professor (a). ................................................................. 29
Referências................................................................................................... 30
4
Introdução
Este trabalho refere-se a um material didático pedagógico apresentado em
formato de Unidade Didática, onde é desenvolvido oito atividades sobre áreas,
perímetro e algumas noções sobre volume.
A proposta desta produção é promover a aprendizagem da geometria
apoiada na história da matemática. Utilizando a História da Matemática como
recurso didático, pretendemos contribuir para o aprimoramento e a valorização do
aprendizado dessa disciplina. Resgatando fatos e processos históricos tornando a
história como fonte motivadora para o processo ensino-aprendizagem.
As atividades estão elaboradas de forma que o aluno possa entender que a
matemática não é um conhecimento pronto e acabado, mas construído, muitas
vezes, de situações concretas e necessidades reais.
Essas atividades destinam-se aos alunos da 8ª série (9º ano) do ensino
fundamental.
Fundamentação Teórica
Desde os tempos primitivos, a geometria foi sendo construída pelo homem.
Derivaram de resultados empíricos, relacionados com as medições de terras,
construções arquitetônicas, determinações de áreas, volumes etc. Foi extremamente
lenta sua transformação de uma ciência empírica numa ciência matemática.
Euclides foi quem organizou a geometria numa obra chamada “Os
Elementos”, em torno de 300 a. C. Os Elementos consistiam de treze livros ou
capítulos que continha todo o conhecimento matemático acumulado em sua época.
É o texto mais influente de todos os tempos. Euclides, a quem se supõe ter
observado que “não existe uma estrada real para a geometria”, é considerado o seu
maior organizador e sistematizador.
Somente no final do século XVIII e início do século XIX que surgiram as
geometrias não Euclidianas. O primeiro a desafiar abertamente o pensamento de
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dois milênios e construir a geometria não Euclidiana foi o russo Nicolai Lobachevsky.
Com a publicação de suas idéias demonstrou que a Geometria Euclidiana não
representava a verdade absoluta que muitos acreditavam.
Esta “nova geometria” permaneceu por várias décadas à margem da
comunidade científica, até ser incorporada ao pensamento acadêmico por obra das
idéias de Georg Riemann.
Com grande domínio da geometria, Georg Riemann, possibilitou a
classificação de todas as formas existentes da geometria e também permitiu a
criação de um grande número de novos tipos de espaços que vieram a ser muito
úteis.
Félix Klein (1849 -1925) mostrou como podia ser aplicado o conceito de
grupo como um meio conveniente para caracterizar as várias geometrias que haviam
surgido durante aquele século. No início do século XX, Klein comandou um
movimento direcionado para a modernização do ensino da matemática nas escolas
secundárias.
No Brasil, a criação da disciplina de matemática é proposta pelo diretor do
Colégio Dom Pedro II, em 1929, baseando-se nas idéias de Félix Klein. Antes disso,
aritmética, álgebra e geometria eram ministradas separadamente.
Em 1960 o Movimento da Matemática Moderna é liderado por Osvaldo
Sangiorgi que se distanciava das questões práticas comprometendo o aprendizado,
pois tinha preocupações excessivas com abstrações matemáticas.
Com o Movimento da Matemática Moderna, a álgebra era mais enfatizada
levando ao abandono do ensino da geometria. Nos cursos de formação, a geometria
é pouco explorada e nos currículos escolares ela é apresentada fragmentada e
separada da álgebra e da aritmética.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997) propõe para o ensino
da geometria, que o aluno desenvolva a compreensão do mundo em que vive,
aprendendo a descrevê-lo, representá-lo e a se localizar nele, estimulando ainda a
criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, a identificar regularidades,
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compreender conceitos métricos e permitir o estabelecimento de conexões entre a
matemática e outras áreas de conhecimento.
Um dos objetivos da escola é “propiciar o desenvolvimento das
potencialidades do educando”. Mas podemos perceber que a prática pedagógica
reserva ao aluno um papel passivo onde cabe a ele ouvir, registrar, efetuar
exercícios semelhantes, memorizar regras e responder corretamente questões
propostas. Não o induz a pensar e nem o prepara para o exercício da cidadania
inibindo a sua criatividade.
Segundo Ausubel (1980, p.32), a aprendizagem escolar preocupa-se
primeiramente com a aquisição, retenção e utilização de um amplo campo de
informações potencialmente significativas. A aprendizagem significativa processa-se
quando o material novo, idéias e informações que apresentam uma estrutura lógica,
interage com conceitos relevantes e inclusivos, claros e disponíveis na estrutura
cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo para sua diferenciação,
elaboração e estabilidade.
Jerome Bruner (1968) prioriza o papel da estrutura da disciplina na
aprendizagem e defende o método da descoberta de um conceito pelo próprio aluno.
A aprendizagem de um tópico deve permitir que o aluno aplique facilmente ou
generalize o que aprendeu, e que a aprendizagem poderá ser útil para o futuro
quando o indivíduo deparar com tarefas semelhantes às que já aprendeu ou quando
o aluno aprendeu uma idéia geral que posteriormente será utilizada em casos mais
específicos.
A geometria propicia ao aluno diversas situações em que possa construir
sua criatividade interagindo com as propriedades dos objetos. Manipulando e
construindo figuras ou objetos, comparando-os, observando suas características e
associando-os de diferentes modos através da composição e/ou decomposição de
figuras. Métodos que favorecem o desenvolvimento mental são os que desafiam os
alunos, levando-os a pensar e fazendo-os ir mais além.
Vygotsky sustenta que a atividade criativa é fruto da atividade do sujeito e
que todos a têm. Manifestam-se onde quer que a imaginação humana combine,
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mude e crie algo novo. Pressupõem que ela surge de experiências prévias já
existentes no cérebro. Ressalta que a atividade criativa da imaginação depende
primeiramente de experiências prévias que a pessoa armazenou no seu cérebro
sendo uma função vitalmente necessária
Esta atividade criativa nunca deve ser limitada, mas sim enriquecida, pois é
passível de desenvolvimento, através de experiências e conhecimentos previamente
adquiridos pelos sujeitos. Além disso, é importante trabalhar o sentido e o significado
dos conceitos.
Bicudo e Borba (2004, p.29) em Educação Matemática, concluem que a
Educação Matemática e a História da Matemática vêm sendo praticadas como mera
transmissão de técnicas e de nomes, fatos e datas respectivamente. Mas que
tendências mais recentes da educação, dá ênfase a criatividade, que é responsável
pela emergência de idéias novas, e a análise crítica da evolução do conhecimento
matemático ao longo da história. Sem essa análise crítica do processo histórico, a
criação de novas teorias e práticas, respondendo à complexidade do mundo
moderno, pode ser pouco eficiente e, sobretudo, conduzir a equívocos.
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Atividade 01
Conteúdo.
Áreas
Objetivo:
Apresentar aspectos históricos ligados à evolução dos padrões de medidas.
Noção de área de polígonos associado à área do retângulo utilizando a
história da matemática como apoio à aprendizagem.
Recursos:
Lápis de escrever
Lápis de cor
Borracha
Malha quadriculada
Organização do trabalho:
Individual
Procedimentos:
Distribuir para os alunos uma folha quadriculada (modelo no final da
atividade 01) com desenhos de figuras planas. Pedir para os alunos pintarem estas
figuras para depois introduzir o conceito de área (medida de superfície). A finalidade
desta pintura é para os alunos diferenciarem o conceito de área e de perímetro que
será abordado posteriormente. Depois, pedir para os alunos verificarem quantos
quadradinhos caberão na figura, pois o quadradinho será a medida padrão utilizada
para a resolução desta atividade. No caso de figuras formadas por paralelogramos,
triângulos, e trapézios que façam recortes e observem o que ocorre.
Lembrar que o objetivo desta parte é retomar a noção de área de polígonos
associado à área do retângulo utilizando a história da matemática como apoio à
aprendizagem.
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Para desenvolver o hábito de leitura e mostrar para os alunos que a
matemática surgiu muitas vezes de atividades práticas do cotidiano explore a história
como fonte de conhecimento. Cada atividade terá um pequeno trecho da história da
matemática para auxiliar. Muitas estão baseadas no antigo Egito. Isso não quer dizer
que o professor (a) pode enriquecer com outros tópicos.
Avaliação:
Através da correção dos exercícios da malha acima, verificar se os alunos
compreenderam a noção de área.
Recolher estas malhas para montar um caderno com todas as atividades
feitas pelos alunos.
Unidades de medidas:
A necessidade de medir é muito antiga. No entanto, os seres humanos primitivos faziam comparações de volumes, áreas e pesos, mas não sabiam medir. O primeiro sinal do uso de medidas deu-se no Egito, por volta de 4000 a.C. As primeiras medidas que surgiram tinham como referência o corpo humano: O côvado ou cúbito, a polegada, o palmo, a passada etc. O cúbito egípcio era uma medida de comprimento que consistia na distância do cotovelo à ponta do dedo médio, estando o braço e o antebraço em ângulo reto e a mão esticada. Recebeu esse nome porque o cúbito era a denominação de um dos ossos do antebraço, hoje denominado ulna. Como o cúbito variava de pessoa para pessoa, os egípcios resolveram fixar essa medida em barras de pedra de mesmo comprimento. Assim surgiu o cúbito padrão. Como essas barras eram pesadas, eles passaram a usar a madeira, facilitando o seu transporte pelos comerciantes. Mais tarde, gravaram comprimentos equivalentes ao cúbito nas paredes dos principais templos. Segundo Heródoto, o pai da História, o rei Sesostris do Egito repartiu as terras às margens do rio Nilo em formas retangulares e as deu a seu povo para que cultivassem. Em troca, os proprietários deveriam medir grandes extensões de terras com bastões de comprimento igual ao cúbito. Os agrimensores do faraó usavam cordas, que eram divididas em espaços iguais por meio de nós. O intervalo entre dois nós podia corresponder mais ou menos cinco cúbitos. Assim, medir distâncias tornou-se mais fácil, pois era só esticar as cordas. As trenas usadas hoje em dia tiveram sua origem nessas cordas. Com o crescimento demográfico e o surgimento das cidades houve desenvolvimento do comércio, ainda baseado no sistema de trocas. Isso levou o ser humano a sentir a necessidade de fixar unidades de medida que permitissem uma comparação mais precisa entre dois objetos ou mercadoria. Assim começou a se desenvolver a noção de medir. Com o tempo as civilizações foram definindo seus padrões e fixando suas próprias unidades de medidas, às vezes até mais de uma para a mesma grandeza. (MORI e ONAGA, 2005, p. 56).
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Orientação para o professor (a):
Antes de passar para a resolução de exercícios utilizando as fórmulas
aprendidas seria interessante se repassasse para os alunos o conceito de área. Isto
pode ser feito no caderno ou fazer uma pasta com os conceitos aprendidos, os
textos sugeridos e as atividades resolvidas. No final do conteúdo estudado sugere-
se que todas essas atividades sejam encadernadas e no final avaliada. Com este
material pode-se fazer uma exposição na escola para todos conhecerem o trabalho
feito pelos alunos.
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Atividade 02.
Conteúdo:
Medidas de comprimento.
Objetivo:
Compreender a necessidade de padronização das unidades de comprimento
Registrar medidas de comprimento usando unidades de medidas
padronizadas.
Compreender as vantagens do uso de unidades de medidas padronizadas.
Fazer conversões entre as principais unidades de medida do sistema métrico
decimal.
Recursos:
Régua
Fita métrica
Trena
Barbante
Tesoura
Folha de papel sulfite
Procedimentos:
Distribuir uma folha de papel sulfite para cada aluno
Pedir que meçam o comprimento da sua palma da mão utilizando a folha de
papel sulfite e marcando um ponto entre o dedo mindinho e o polegar
Traçar um segmento de reta entre estes dois pontos
Medir este segmento com um barbante
Comparar com o segmento formado pelo colega
Verificar se são do mesmo tamanho ou não
Através desta pequena experiência é possível mostrar que medidas utilizando
o próprio corpo geram tamanhos diferentes.
Mostrar a necessidade de haver uma unidade padrão.
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Além de apresentar o metro, mostrar a necessidade de mudança de unidades
e o uso de múltiplos e submúltiplos.
Apresentar aspectos históricos ligados à evolução dos padrões de medidas.
Orientação para o professor (a):
Mesmo que os alunos aprenderam este conteúdo em séries anteriores é
muito importante revisá-lo pois, eles precisam pensar, explorar e aplicar conceitos
sobre medidas. Não se atenha somente nas medidas padrões mas também em
medidas que advém do corpo humano, como o pé, o polegar, a mão, etc. Os alunos
poderão fazer uma pesquisa sobre outras unidades padronizadas criadas ao longo
do tempo e ainda usadas atualmente.
A história da criação do metro:
Em 1799, a França tomou a iniciativa de estabelecer um sistema de medidas com padrões invariáveis. Para unidade de comprimento, foi definido o metro, palavra derivada do grego métron, que significa “medida”. Para que o metro fosse válido em qualquer lugar do mundo, ele não podia depender de um padrão substituível (como as medidas do rei). Assim, a Academia de Ciência francesa usou, para estabelecer o metro, a quarta parte do comprimento do meridiano terrestre, dividida por 10 milhões. Fez-se uma barra de platina com esse tamanho, que foi guardada para servir de modelo. Como a platina é um metal que apresenta elevado ponto de fusão, não sofre variações de comprimento em temperatura ambiente. Aos poucos, várias nações foram adotando esse padrão. Em 1975, dezenove países, entre eles o Brasil, assinaram a Convenção do Metro, no Bureau Internacional de Pesos e Medidas,em Paris. Cada um levou uma cópia da barra original, passando a adotar esse padrão em todas as medições de comprimento utilizadas nas transações dentro de seu território e com os países signatários da convenção.A partir de 1960, a definição do metro deixou de se apoiar na medida do meridiano (que não pode ser feita diretamente), passando a se caracterizar como um múltiplo do comprimento de onda do criptônio – gás nobre presente na atmosfera em proporções muito pequena. Esse comprimento de onda pode ser obtido em qualquer país e é perfeitamente fixo. A 17ª Conferência Geral de pesos e medidas substituiu, em 1983, essa última definição pelo seguinte: “O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/ 299 792 548 segundo.” (TOLEDO,M.B.A.;TOLEDO,M.A.2009, p. 295)
Exercícios:
02) Qual medida é maior: 10 km ou 10 000 cm?
03) O tamanho de um televisor é medido em polegadas, indicando a medida da
diagonal da tela. Dê o valor em centímetros dessa diagonal, de um televisor de 29
polegadas. (Use 1 pol = 2,5 cm).
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Atividade 03.
Conteúdos.
Área do retângulo e do quadrado.
Objetivo:
Introduzir o cálculo de área utilizando a história da geometria como apoio para
a aprendizagem.
Calcular a área do retângulo e do quadrado.
Recursos:
Texto sobre a História da Geometria.
Lápis
Caneta
Borracha
Organização do trabalho:
Em grupos
Procedimentos:
Antes de ensinar a área do retângulo, ler com os alunos o texto sobre a área
do retângulo.
Após a leitura do texto sobre a área do retângulo é possível partir para a
resolução de alguns exercícios, identificando a base e a altura e calculando a sua
área.
Área do retângulo.
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastavam contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura. (Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural apud http://www.somatematica.com.br/geometria.php ).
A= b.h Onde A é a área, b é a base e h é a altura
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Exemplo:
01) calcule a área dos seguintes retângulos:
a) b) c)
Orientação para o professor (a)
Para verificar se os alunos compreenderam o cálculo de área do retângulo,
tente fazer com que os alunos façam o caminho inverso. Peça para os alunos
fazerem um retângulo de 24 unidades de área. Se os alunos perceberem que não é
necessário desenhar usando quadradinhos, mas sim, descobrir o comprimento e a
largura do retângulo ocorreu uma apreensão do sentido e significado de área.
Cálculo da área do quadrado.
Com o cálculo da área do retângulo já assimilada, é muito fácil de
demonstrar a área do quadrado. Só devemos chamar a atenção do aluno que no
quadrado o comprimento é igual à largura. Se chamarmos o lado do quadrado de l
podemos concluir que
A = l.l
A=l²
Onde A é a área e l é o lado
Exercícios:
01) Qual é a área dos seguintes quadrados?
2,5 cm
4.75cm
3
cm
1
,5 cm
2,5 cm
1,5 cm 3,2cm
3 cm
2,3 cm 1,8 cm
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02) O piso de uma cozinha de forma retangular tem 4m de comprimento por 3,5m de
largura. Deseja-se azulejar com peças quadradas de 30 cm de lado. Calcular:
a) Qual é a área deste piso?
b) Determine a quantidade mínima de azulejos necessários.
03) O chão do quarto de dormir de Suzana é um retângulo de 2,80m por 5m. Ela
quer forrá-lo com carpete que custa R$ 50,00 por metro quadrado. Quanto ela vai
gastar?
04) Eduardo comprou um terreno retangular de 20 m por 30m de fundo e nele
deseja construir uma casa. A casa terá 12 m de largura por 20 m de comprimento.
a) Qual é a área da casa?
b) Qual é a área do terreno?
c) Quanto sobra do terreno para formar um jardim e construir uma piscina?
05) A figura mostra a planta da casa da Alice. O quarto e o quintal são quadrados.
Qual é a área da cozinha?
06 ) Seu Joaquim comprou um sítio com uma área de 0,4 Km². Se o sítio tivesse a
forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre:
a) 200m e 221m
b) 632 m e 633 m
c) 220m e 221m
d) 802 m e 803 m
e) 401m e 402 m
Q
uintal
4m²
Quarto 16 m²
Sala 28 m²
Quintal 9 m² Cozinha
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Atividade 04
Conteúdos
Perímetro
Objetivo:
Introduzir o cálculo de perímetro.
Recursos:
Lápis
Caneta
Borracha
Trena
Fita métrica
Organização:
Em grupos
Procedimentos:
Para o aluno diferenciar a área do perímetro, pedir para eles medirem o
comprimento e a largura da sala de aula.
Usar estas medidas para calcular a sua área.
Após este cálculo, pedir para medir o rodapé.
Questionar os alunos se para medir o rodapé usa-se o mesmo procedimento
utilizado para calcular a sua área.
Para fixar o conceito de perímetro, faça com que os alunos calculem o
perímetro da sala, da sua carteira da porta, etc.
A seguir resolver exercícios que envolvam o cálculo de perímetro.
Orientação para o professor (a):
A grande maioria dos alunos imagina que perímetro e área são grandezas
diretamente proporcionais. Que aumentando sua área, seu perímetro também
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aumentará na mesma proporção. Isso não é verdade porque a área está relacionada
ao produto das medidas dos lados e o perímetro está relacionado à soma dessas
medidas. Por isso é importante a resolução de exercícios que relacionam área e
perímetro.
Exemplo:
01) Francisco pretende fazer um canteiro de flores em um terreno. Esse canteiro terá
64m² de área, mas deve apresentar o menor perímetro possível, pois Francisco quer
cercá-lo e está com pouco dinheiro para comprar tela para a cerca. Que forma ele
deverá dar ao canteiro para conseguir o que deseja?
Medida do lado A Medida do lado B Área Perímetro
1m 64m 64m² 130m
2m 32m 64m² 68m
4m 16m 64m² 40m
8m* 8m 64m² 32m
* Esse exercício faça por tentativa preenchendo a tabela. Lembrar aos alunos que
todo quadrado pode ser considerado um retângulo por apresentar todas as
propriedades dessa figura.
Exercícios:
01) Seu João quer cercar uma parte de seu terreno com tela para colocar as suas
galinhas. O terreno tem a forma de um retângulo de 1,5m de frente por 3,0m de
fundo. Quanto de tela o Seu João precisará comprar? Se o preço da tela custa R$
50,00 o m² quanto ele gastará?
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02) Quantos metros de arame serão necessários para cercar o terreno indicado na
figura abaixo, sabendo que vai ser feita uma cerca de 4 fios?
03) Quantos quadradinhos foram retirados do tabuleiro 9 x 18? Se o lado de cada
quadradinho mede 1cm, qual é a área e o perímetro do que foi retirado?
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Atividade 05.
Conteúdo.
Área do triângulo retângulo
Objetivo.
Calcular a área do triângulo utilizando a História da matemática
Utilizar a decomposição de retângulo e quadrado para demonstrar a área do
triângulo.
Recursos
Papel sulfite A4
Lápis
Borracha
Organização
Em grupos
Procedimentos
Distribuir para cada aluno pedaços de malha quadriculada onde tenha o
desenho de um quadrado de lado 3 quadradinhos e um retângulo 4
quadradinhos de comprimento e 3 quadradinhos de largura
Ler o texto sobre a área do triângulo.
Peça para os alunos fazerem o cálculo da área do quadrado e do retângulo.
Depois pintar somente o triângulo retângulo e fazer o cálculo da sua área
Demonstrar a fórmula do cálculo da área do triângulo, partindo da fórmula da
área do retângulo.
A fórmula do cálculo da área do triângulo.
Para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais do Egito Antigo seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividi - lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado e o retângulo em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área original. (Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural apud http://www.somatematica.com.br/geometria.php).
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, onde A é a área, b é a base e h é a altura
Orientação para o professor (a):
Demonstre para os alunos que esta fórmula pode ser aplicada para um
triângulo qualquer. Explique que no triângulo retângulo os dois lados menores são
chamados de catetos preparando-os para estudar o teorema de Pitágoras, que será
a próxima atividade.
Exercícios:
01) Calcular a área dos seguintes triângulos:
a) b)
02) As raízes da equação x² - 14x + 18 = 0, expressam, em cm, as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a sua área.
03) As raízes da equação x² - 21x + 108 = 0 representam, em centímetros, as
medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a sua
área.
04) As raízes da equação x² - 7x + 12 = 0 , expressam em centímetros, as medidas
dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a sua área.
6 cm
3 cm
4,5cm
2cm
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Atividade 06
Conteúdo
Teorema de Pitágoras.
Objetivo:
Demonstrar o teorema de Pitágoras
Recursos:
Malha quadriculada
Lápis de cor
Régua
Borracha
Organização do trabalho:
Em duplas
Procedimentos:
Distribuir malhas quadriculadas com o desenho de um triângulo retângulo de
catetos 3 e 4 e hipotenusa 5.
Pedir para os alunos desenharem um quadrado ao lado de cada cateto
(ver desenho ao final da atividade)
Pedir para eles calcularem o valor de cada cateto elevado ao quadrado,
registrando estes valores ao lado do desenho para uma melhor interpretação.
Calcular o valor da hipotenusa ao quadrado e compare com a soma dos
quadrados do cateto.
Demonstrar no desenho que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa.
Orientação para o professor (a):
Na atividade anterior foi calculado somente os catetos do triângulo retângulo.
Nesta atividade depois de demonstrar o teorema de Pitágoras será possível calcular
a hipotenusa e acrescentar mais atividades nos exercícios propostos.
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Orientação para o professor (a):
Procure fazer com que os alunos façam a demonstração do teorema de
Pitágoras. Explicar que os egípcios já o conheciam bem antes da demonstração de
Pitágoras. Que este teorema tem inúmeras maneiras de ser demonstrado. Aqui foi
usado somente uma, para facilitar a compreensão de área. Mas que eles podem
procurar outras maneiras de demonstrar na internet, em livros, etc.
Teorema de Pitágoras
No Egito Antigo o rio Nilo transbordava fazendo desaparecer os marcos que
delimitavam os campos. Mas quem cultivava estes campos pagavam um imposto ao
faraó baseado na altura da enchente do ano e na área de superfície das
propriedades. Com isso, surgiram os “puxadores de cordas”, que demarcavam
novamente os limites desses terrenos baseando-se no conhecimento de que o
triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo. Eles usavam cordas que tinham comprimento
equivalentes a 3, 4 e 5 unidades. Com os dois lados menores formavam um ângulo
4² = 16
3² = 9
5²= 25 5² = 4² + 3² 25 = 16 + 9 25 = 25
5² =25
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reto construindo um triângulo retângulo. A relação que existe entre as medidas dos
lados desse triângulo é chamada de teorema de Pitágoras.
A prova de que ela vale para todo triângulo retângulo foi apresentada pela
primeira vez por Pitágoras e seus seguidores. Pitágoras nasceu em Samos na
Grécia, por volta do ano de 580 a. C. Viajou pelo Egito e Babilônia estabelecendo-se
em Crotona, onde fundou uma sociedade secreta que se dedicava aos estudos
filosóficos, matemáticos, astronômicos e musicais. Nesta sociedade, as experiências
práticas cotidianas não eram importantes, pois o interesse era intelectual e filosófico.
Exercícios:
01) Aplicando o teorema de Pitágoras, determine a medida da hipotenusa em cada
um dos seguintes triângulos retângulos.
a) b)
02) A área de um quadrado pode ser calculada por l² quando a medida do lado
desse quadrado é expressa por l unidades. Um quadrado tem 256 cm² de área.
Quanto mede a sua diagonal? Dê a resposta na forma decimal, usando
03) A altura de um triângulo eqüilátero de 60 cm de perímetro é:
a) b) c) d) 5cm e) 10 cm
04) As raízes da equação x² - 21x + 108 = 0 representam, em centímetros, as
medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições determine a
medida da hipotenusa, da área e do perímetro desse triângulo retângulo.
05) Para ir de sua escola ao ponto de ônibus, um estudante andava 120m em linha
reta até a esquina e dobrava à esquerda formando um ângulo de 90º, onde andava
mais 160m. Mas com a construção de uma praça, ao lado da escola, ele começou a
atravessá-la e fazer o trajeto em linha reta. Nessas condições, quantos metros esse
aluno passou a andar? Quantos metros ele andava a mais quando fazia o antigo
trajeto?
12 cm
5 cm
24
Atividade 07.
Conteúdo.
Área do círculo.
Objetivo.
Calcular a área do círculo utilizando a História da matemática.
Recursos
Folha de papel sulfite
Compasso
Lápis
Borracha
Lápis de cor
Organização do trabalho
Em duplas
Procedimento:
Ler o texto sobre a descoberta da área do círculo
Explicar que a maneira que calculamos a área do círculo é semelhante ao que
Ahmes deduziu.
História do cálculo da área do círculo.
A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência. (Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural apud http://www.somatematica.com.br/geometria.php).
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Orientação para o professor (a):
Mostre que a fórmula do cálculo da área do círculo que usamos atualmente
é equivalente ao que Ahmes deduziu. A notação utilizada para a área do círculo é
.
O valor do é 3,14 multiplicado pelo raio ao quadrado. Os egípcios usavam 3,16
aproximadamente para o valor do , muito próximo do que é usado atualmente.
Exemplo:
01) Calcular a área de um jardim circular de 3m de raio.
A=
r = 3m
= 3,14
Exercícios:
01) Se o diâmetro de um círculo mede 3 cm, calcule a sua área.
02) Se a área de um círculo mede 50,24 cm² calcule o seu diâmetro.
03) Um círculo tem 9 cm² de área. Seu raio vale:
a) 5cm b) 4cm c) 3cm d) 2cm e) 1cm
04) A quantidade mínima de ladrilhos para pavimentar uma superfície circular de 5m
de raio com ladrilhos de 5 cm de lado, assentados de maneira a não deixar folga
entre eles, é, aproximadamente:
a) 3 200 b) 320 000 c) 32 000 d) 35 000 d) nda
05) A figura nos mostra um círculo inscrito em um quadrado, cujo perímetro é 60 cm.
Determine a sua área.
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Atividade 08.
Conteúdo:
Noções de volume
Objetivo:
Introduzir noções de volume de algumas figuras espaciais
Recursos
Figuras espaciais
Lápis
Caneta
Borracha
Cola
Procedimento:
Para melhor compreensão de volume, é possível construir um cubo de 10 cm
de aresta (1dm), sem a tampa e depois despejar um litro de areia. Esta
experiência é para mostrar que a capacidade de um cubo de aresta 1 dm
equivale a 1 litro. Portanto 1dm³ = 1 L
Mostrar que para calcular o volume do cubo é necessário multiplicar o
comprimento, largura e altura. Como todas as arestas possuem a mesma
medida, o volume pode ser representado por:
Para calcularmos medida de superfície usamos a superfície de quadrados
como padrão e para medir volumes usamos o volume do cubo. Se quisermos
calcular o volume de blocos retangulares podemos utilizar o mesmo processo usado
para calcular o volume do cubo. Multiplicamos o comprimento, a largura e a altura.
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Exemplo:
01) As dimensões de um bloco retangular medem 40 cm, 30 cm e 20cm. Calcular o
seu volume.
02) Pretende-se encher a caixa do modelo anterior com cubinhos de 1 cm³ .
Quantos cubinhos de 1cm³ cabem na caixa? Lembrando que 1000cm³ = 1L, calcule
em L, a capacidade da caixa desenhada na figura anterior.
cubinhos cm³
1 1
X 24000
x = 24 000 cubinhos
Orientação para o professor (a).
O conceito de volume pode ser dado através do empilhamento de cubos,
observando as suas regularidades para depois deduzir a sua fórmula. Procure
mostrar algum exemplo e depois generalize. Mostre que para exemplos menores é
possível fazer por empilhamento, mas quando as dimensões da figura for maior é
mais fácil calcular o volume através da fórmula.
Exercícios:
01) Observe as dimensões dessas caixas cheias de um mesmo produto:
A primeira custa 64 reais e a segunda 54 reais. Qual embalagem é mais econômica?
V = a.b.c
V = 40 cm.30 cm.20 cm
V = 24 000 cm³
*Nos primeiros exercícios procure
colocar as grandezas para o aluno
entender o porque do cm³.
40 cm
20 cm
30 cm
1 cm
2 cm
3 cm 8cm
cm³ litros
1 000 1
24 000 x
x = 24 litros
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02) Sabendo que o volume de um cilindro se obtém multiplicando a área da base
pela altura, calcule a capacidade (volume) do cilindro planificado abaixo. Após
calcular o volume calcule a área total do cilindro a partir de sua planificação. (Não
esquecer que será necessário calcular o raio, utilizando o comprimento da circunferência C= 2r,
antes de calcular o seu volume).
03) Para calcular o volume de um prisma quadrangular usa-se o mesmo
procedimento acima. Multiplicamos a área da base pela altura. Só devemos cuidar
que a base é formada por um quadrado. Calcule o volume deste prisma e sua área
total a partir de sua planificação.
04) Se fossemos criar embalagens com estes modelos acima qual seria mais
econômica? Em forma de cilindro ou em forma de prisma? Por quê? ( Sugestão:
Calcule o gasto de matéria- prima de cada sólido comparando as áreas totais,verificando quantos por
cento a mais que a área do cilindro é maior que a do prisma e faça o mesmo procedimento com os
seus respectivos volumes ).
18 cm
18 cm
36 cm
9 cm 9 cm 9 cm 9 cm
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Volume:
“Havia no Egito antigo um dispositivo admirável para a época, chamado nilômetro, que permitia conhecer com boa exatidão o crescimento das águas do Nilo e prognosticar o volume da futura colheita. De acordo com essas informações, que eram mantidas em segredo, os sacerdotes aconselhava os lavradores. As classes inferiores recebiam desse modo em excelente serviço, que a própria ignorância em que viviam provocada por um trabalho ininterrupto, impossibilitava que realizassem. Essas informações... emprestavam ao soberano a ascendência das divindades: no momento oportuno o Faraó lançava no rio as suas ordens escritas e então – só então – a águas obedientes começavam a subir...” (PONCE, 1986, p. 34).
Orientações para o professor (a).
Leia com os seus alunos o texto acima. Procure demonstrar que no Egito
Antigo o acesso ao conhecimento era para poucos, tornando-se uma estratégia
deliberada de dominação. Mostre para os seus alunos que o Egito Antigo fazia parte
do continente africano, atendendo a lei 10 639 de 09/01/2003. Lei que salienta a
necessidade de desmitificar algumas visões equivocadas sobre o negro e o
continente africano apresentado como um continente primitivo.
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Referências
BICUDO, M. A. V.; BORBA, M de C. Educação matemática: pesquisa em
movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São
Paulo: Edgar Bücher, 1974.
BRUNNER, Jerome S. O Processo da Educação. São Paulo: Companhia Editora
Nacional, 1968.
GERDES, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba:
Editora da UFPR, 1992.
LINDQUIST, Mary & SHULTE, Albert. Aprendendo e Ensinando Geometria.
Guarulhos: Editora Atual. 1998.
MIGUEL. A et al. O ensino da matemática no primeiro grau. Projeto magistério.
São Paulo: Atual, 1986.
MOREIRA. M. A.; MASINI. E. F. S. Aprendizagem significativa: A teoria de David
Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982.
MORI, Iracema; ONAGA,Dulce Satiko. Matemática: Idéias e Desafios, 5ª série,
São Paulo, Saraiva, 2005, p. 56.
MOYSÉS, Lúcia. Aplicações de Vygotsky à educação matemática. Campinas.
SP: Papirus, 1997.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da Educação
Básica. 2008.
PONCE, Aníbal. Educação e luta de classes. Cortez e Autores Associados, São
Paulo, 1986, p.34.
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TOLEDO, Marília B. de Almeida; TOLEDO, Mauro de Almeida. Teoria e Prática de
Matemática: Como dois e dois. São Paulo, FTD, 2009.
<http://www.somatematica.com.br/geometria.php> acesso em 09/07/2011.
