1Departamento de Matemtica - ICEx - UFMG

Segunda prova de Clculo III - 26/11/2012

Nome:

1. Decida se as seguintes armaes so verdadeiras ou falsas. Respostas

sem justicadas no sero consideradas.

(a) O campo vetorial F(x, y) = (x y)i + (x 2)j conservativo.(Exemplo 2, pg. 996)

(b) O conjunto {(x, y)|1 x2 + y2 4} simplesmente conexo.(c) Se f for uma funo de duas variveis, ento divf = fx +

fy .

2. Calcule a integral C

ydx+ xdyx2 + y2

se C for uma curva plana,simples, fechada, lisa por partes, orientadapositivamente de modo que

(a) C no envolva a origem; (exerccio da lista)

(b) C envolva a origem. (exemplo 5, pg. 1005)

3. (a) Seja C uma curva cuja parametrizao dada por r(t) = (cos(t), sen(t), t)com 0 t 2pi. Se F(x, y, z) = xi+ yj+ zk, calcule

CF.dr.

(Feito em sala)

(b) Seja C o arco da parbola y = x2 do ponto (0, 0) ao ponto (1, 1).Calcule

C2xds.

(Exemplo 2, pg. 983)

(c) Calcule

C x

4dx+xydy, onde C o tringulo com vrtices (0, 0), (1, 0)e (0, 1) e orientado no sentido positivo. (Exemplo 1, pg. 1002)

4. (a) Mostre que F(x, y, z) = (y2z3, 2xyz3, 3xy2z2) um campo con-servativo.

(b) Determine uma funo potencial para campo F.

(c) Seja C uma curva dada por r(t) = (et2, 3t, ln(t + 1)), 0 t 1.Calcule

CF.dr.

(Exemplo 3, pg. 1009)