SEJA profissional – Nome da área: Matemática e suas Tecnologias

Disciplina: Matemática

Professor: Raphael Alcaires

Pirâmides e cones

Para início de conversa...

A cidade de Gizé, também conhecida como Guizé ou Guiza, está localizada

no Egito, na margem oeste do rio Nilo, distante cerca de 20 km a sudoeste da

cidade de Cairo, capital do país. Gizé é famosa por abrigar um impressionante

complexo monumental que remonta ao antigo Egito, atraindo turistas do mundo

inteiro. Em seu território localizam-se as três grandes pirâmides e a esfinge,

além de 80 pirâmides menores e vários templos.

Ilustração: caminho original: http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=787442

Desen Funda

 

Font

Figu

ao fu

A es

reais

discu

com

num

Emb

colo

A m

cons

mate

2000

tetos

de 5

de u

solo

Início

Com

princ

das

outro

na In

No

cons

- um

de c

que

um i

acon

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

te: http://sx

ura 1 – Tur

undo, uma

sfinge é um

s objetivos

ussões na

o objetivo

ma vida apó

balsamava

cados no t

maior de to

strução e

emática qu

0000 de bl

s de certas

54 tonelada

uma pedrei

.

o boxe Sa

mo trazer d

cípio, huma

pirâmides

o planeta.

nglaterra.

entanto, o

seguido co

m monume

concreto co

investiga

interessan

nteceu? Pa

strucional

/ Consórcio CE

xc.hu

ristas visita

a pirâmide.

ma enorm

s de sua

a comunida

o de abrig

ós a morte

m-se os

túmulo par

das as pirâ

nvolveu p

uanto da en

ocos de pe

s estrutura

as, medind

ira situada

iba Mais

de tão lon

anamente

do Egito f

A mesma

o mestre

onstruir soz

nto análog

om o peso

fenômenos

te vídeo p

ara descob

EDERJ

ando o pla

me escultur

construçã

ade arque

gar os túm

e essa vid

corpos, e

ra uso apó

âmides é a

processos

ngenharia.

edra, cada

as internas

do 8,2 m d

a a 960 qui

ge e eleva

impossíve

foi feita po

argumenta

de obras

zinho – e u

go ao de S

o na casa

s pretensa

pondo à pr

brir, acesse

| 2 

analto de G

ra com co

ão continua

eológica. J

mulos dos

da depend

e os objet

s a morte.

a grande p

muito d

. Sua estru

a um com c

s da pirâm

e comprim

lômetros d

ar pedras

el, existem

or - e seria

ação se ap

s america

usando ap

Stonehenge

das tonela

amente pa

rova a dec

e o link aba

Gizé. Em p

rpo de leã

am geran

Já as pirâm

reis, pois

dia da cons

tos e valo

pirâmide de

desafiadore

utura, por e

cerca de 2

ide são fe

mento por 1

de distânci

tão grand

várias teo

a prova da

plica aos m

ano Wally

penas mad

e, desloca

adas. O pr

ranormais

claração de

aixo.

primeiro pl

ão e rosto

do muitas

mides fora

os egípcio

servação d

ores do d

e Gizé (2.6

es, tanto

exemplo, c

,5 tonelada

itos de blo

1,2 m de la

a e coloca

des e pesa

orias de qu

existência

monólitos d

Wallingto

deira, pedra

ando e leva

rograma “F

e extrater

e Wally. O

ano, a esf

humano,

s e acalor

am constru

os acredita

do corpo m

dia-a-dia e

600 a. C.),

na área

contém ma

as de peso

ocos de gr

argura, traz

ados a 60

adas parec

ue a constr

a de - sere

de Stonehe

on afirmou

as e alava

antando bl

Fact or Fa

rrestres gr

O que será

finge,

e os

radas

uídas

avam

morto.

eram

cuja

a da

ais de

o. Os

ranito

zidos

m do

ce, a

rução

es de

enge,

u ter

ancas

locos

ked”,

ravou

á que

Desen Funda

 

http:

1869

Fim

Poré

arqu

que

área

esta

Obje

1

2

3

4

Seçã

Mate

segm

perte

segm

perte

Espe

Vam

está

elem

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

//www.syfy

92994

boxe Saib

ém, o inte

uitetônico: e

é uma pir

a e o volum

s pergunta

etivos de a

1. Identific

2. Calcula

3. Identific

4. Calcula

ão 1 – O q

ematicame

mentos em

ence a u

mentos VA

encentes a

era aí, para

mos fazer a

escrito na

mentos indi

strucional

/ Consórcio CE

y.com/vide

a Mais

eresse do

era també

râmide? Q

me de uma

as.

prendizage

car os princ

r área e vo

car os princ

r área e vo

que são pi

ente faland

m que uma

m ponto

A, VB, VC,

ao polígono

a tudo ! ! !

assim: dê u

as linhas a

icados. Co

EDERJ

eos/Fact%2

s egípcios

m matemá

Quais são s

a pirâmide

em

cipais elem

olume de u

cipais elem

olume de u

râmides ?

do, uma pir

a das extre

V exterior

VD, VE, V

o e V o po

Complexo

uma olhad

anteriores,

ombinado?

| 3 

20or%20F

s pelas p

ático. Mas

seus elem

e? Nas pró

mentos de

uma pirâmi

mentos de

um cone

?

râmide é u

emidades

r ao políg

VF,... em q

nto que nã

o demais ?

da na figura

, procuran

aked%20P

pirâmides

afinal, mat

mentos prin

óximas seç

uma pirâm

ide

um cone

um sólido f

pertence a

gono. Ou

que A, B,

ão pertence

? OK, conco

a seguinte

do identifi

Paranorma

não apen

tematicam

ncipais? Co

ções iremo

mide

formado pe

a um políg

seja, é a

C, D, E, F

e ao polígo

ordamos!

e e leia nov

car nas fig

al%20Files

nas religios

ente falan

omo calcu

os respond

elo conjunt

gono e a o

a reunião

F,... são po

ono ABCD

vamente o

guras todo

/vid:

so e

do, o

ular a

der a

to de

outra

dos

ontos

DEF...

o que

os os

Desen Funda

 

Ilustbase

Figu

direi

Entã

pirâm

ABC

ele é

pirâm

na p

Assi

tamb

um d

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração refes das pir

ura 2 – Pi

ta)

ão, primei

mide da es

CDE. E o

é o ponto

mide de ba

pirâmide d

m, os seg

bém perten

detalhame

strucional

/ Consórcio CE

fazer figurrâmides

irâmides d

ramente,

squerda el

ponto que

V, para o

ase quadra

e base pe

gmentos q

ncem à pir

nto dos pr

EDERJ

ra a partir

de base q

conseguira

le é o qua

é exterior

nde conve

ada, da dir

entagonal,

ue vão de

râmide. Vir

incipais ele

| 4 

da figura

quadrangu

am identif

drilátero A

r ao polígo

ergem os s

reita – e os

da esque

e pontos in

ram lá? Mu

ementos d

dada. Us

lar (à esq

ficar os p

ABCD e, na

ono, achara

segmentos

s segmento

erda. A pir

nteriores a

uito bem. I

e uma pirâ

ar cor par

querda) e

polígonos

a da direita

am? Nas d

s VA, VB,

os VA, VB

âmide é s

ao polígono

Isto posto,

âmide.

ra destaca

pentagon

de base?

a, o pentá

duas pirâm

VC e VD

, VC, VD e

sólida, inte

o até o vé

passarem

ar as

al (à

? Na

gono

mides

– na

e VE,

eiriça.

értice

mos a

Desen Funda

 

1.1 -

Ilust

Figu

Para

iden

será

•

•

•

•

•

As p

poss

tetra

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

- Os eleme

tração – fa

ura 3 – Pirâ

a simplific

tificar e no

á chamado

O polígo

Os lado

arestas

Os seg

polígono

Os triân

consecu

são as

uma fac

A distân

pirâmides

suir 3 lado

aedro), se p

strucional

/ Consórcio CE

entos de u

azer figura

âmide de b

car nosso

omear algu

de vértice

ono ABCD

os desse p

da base

gmentos q

o (neste ex

ngulos for

utivos da

faces late

ce da pirâm

ncia de V a

podem se

os teremo

possuir 4 l

EDERJ

uma pirâm

a a partir d

base penta

trabalho

uns de seu

e da pirâmi

DE será cha

olígono (n

ue têm co

xemplo: VA

rmados pe

base (nes

erais. Impo

mide.

ao plano da

r classifica

s uma pir

ados terem

| 5 

mide

da figura d

gonal com

na hora

s elemento

de.

amado de

este exem

omo uma

A, VB, VC,

elo vértice

ste exempl

ortante: a

a base é a

adas em r

râmide tria

mos uma p

dada

m a altura d

de falar

os. O pont

base da p

mplo: AB, B

das extre

, VD e VE)

e da pirâm

lo: VAB, V

base é c

a altura h d

relação à s

angular (c

pirâmide qu

destacada

das pirâ

o externo a

irâmide

BC, CD, DE

emidades

) são as ar

mide e po

VBC, VCD

considerad

a pirâmide

sua base.

onhecida

uadrangula

.

âmides, va

ao polígon

E e EA) sã

os vértice

restas later

r dois vér

D, VDE e V

a como s

e

Se o polí

também c

ar, se poss

amos

no, V,

ão as

es do

rais

rtices

VEA)

endo

gono

como

suir 5

Desen Funda

 

lado

que

Ei-lo

poss

que

c) qu

a) Q

Deve

núm

núm

b) C

a na

O nú

figur

ares

é um

c) Q

Com

imag

repre

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

s teremos

tal fazerm

o: a única

sui 6 faces

ela possu

uantas are

Quantas fac

emos nota

mero de fac

mero de fac

omo pode

atureza des

úmero de

ras anterio

sta da base

ma pirâmid

uantas are

mo já sabe

ginar esta

esenta est

strucional

/ Consórcio CE

s uma pirâ

os um pro

informação

s. A partir

i, b) como

stas latera

ces laterais

ar que tod

ces laterais

ces laterais

mos class

sta pirâmid

faces late

ores), pois

e como um

e pentago

estas latera

emos que

pirâmide e

ta pirâmide

EDERJ

âmide pent

blema junt

o que tem

deste dad

podemos

ais possui?

s possui?

da pirâmid

s é sempre

s desta pirâ

ificar esta

de?)

erais é igu

as faces

m lado. Log

nal.

ais possui?

é uma p

e contar o

e está mos

| 6 

tagonal e

tos?

os de uma

o encontre

classificar

? d) quanta

de tem um

e o número

âmide é igu

pirâmide e

ual ao núm

laterais sã

go, a base

?

pirâmide p

número d

strada a se

assim por

a determin

e a) a qua

r essa pirâ

as arestas

ma base e

o de faces

ual a 6 – 1

em relação

mero de a

ão triângulo

é um políg

pentagonal

de arestas

eguir.

r diante. Is

nada pirâm

antidade de

âmide em r

da base po

faces lat

menos 1 (

= 5.

o à base? (

arestas da

os que tem

gono de 5

l podemos

laterais. U

sto tudo p

mide é que

e faces lat

relação à b

ossui?

erais. Ass

(base). Log

(ou seja, q

base (vej

m sempre

lados, ou

s desenha

Uma figura

posto,

esta

terais

base,

sim o

go, o

ual é

ja as

uma

seja,

ar ou

a que

Desen Funda

 

Ilust

Figu

As a

É im

núm

uma

d) Q

As a

ares

Será

e sim

Ativ

A ún8 fac

a) Q

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração – fa

ura 4 – Pirâ

arestas late

mportante p

mero de lad

a aresta lat

Quantas are

arestas da

stas da bas

á que você

m fazer o d

vidade 1

nica informces. A part

Quantas fac

strucional

/ Consórcio CE

azer figura

âmide de b

erais são V

perceberm

dos do pol

eral.

estas da ba

a base (ve

se..

ê consegue

desenho e

ação que ttir deste da

ces laterais

EDERJ

a a partir d

base penta

VA, VB, VC

os que o n

ígono da

ase possu

er figura) s

e fazer um

tirar suas

temos de uado respon

s possui?

| 7 

da figura d

gonal.

C, VD e VE

número de

base, pois

i?

são AB, B

problema

conclusõe

uma determnda:

dada

E, portanto

e arestas la

s de cada

BC, CD, D

parecido?

es.

minada pir

são 5 ares

aterais é s

vértice do

DE e EA, o

? Tente não

râmide é q

stas latera

empre igu

o polígono

ou seja, s

o gravar re

ue esta po

is.

al ao

“sai”

são 5

egras

ossui

Desen Funda

 

b) Ca na

c) Q

d) Q

Fim

E escons

Ativ

A únn fac

a) Q

b) Q

c) Q

Fim

1.2 –

Reto

pirâm

entre

lado

pirâm

do p

que

exat

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

omo podeatureza des

uantas are

Quantas are

da Ativida

ssa agora?seguir!

vidade 2

nica informces. A part

Quantas fac

Quantas are

uantas are

da ativida

– Pirâmide

omando o a

mide cuja b

e si. Políg

s e todos

mides regu

polígono qu

faz um ân

tamente pe

strucional

/ Consórcio CE

mos classsta pirâmid

estas latera

estas da ba

ade 1

? É um pou

ação que ttir deste da

ces laterais

estas latera

estas da ba

ade 2

es regular

assunto, v

base é um

gono regul

s os ângu

ulares é qu

ue forma a

ngulo de 90

elo centro d

EDERJ

ificar esta de?

ais possui?

ase possu

uco mais a

temos de uado respon

s possui?

ais possui?

ase possui

res

vamos falar

m polígono

ar, não cu

los iguais

ue, se a vir

a sua bas

0º com o p

deste políg

| 8 

pirâmide e

?

i?

bstrata, ma

uma determnda:

?

i?

r da pirâm

regular e a

usta lembr

. Uma ca

rmos de ci

e. Resulta

plano em q

gono. Veja

em relação

as tenho c

minada pir

ide regular

as arestas

rar, é aque

aracterística

ma, o seu

a disso que

que está o

a na figura

o à base - o

certeza de

râmide é q

r. Pirâmide

laterais sã

ele que po

a bem int

vértice fic

e a altura

polígono d

ou seja, qu

que você v

ue esta po

e regular é

ão congrue

ossui todo

teressante

ca bem no

h da pirâm

da base, p

ual é

vai

ossui

uma

entes

os os

das

meio

mide,

passa

Desen Funda

 

Ilust

Figu

de f

quad

E ag

regu

quan

cuja

Muit

altur

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: fa

ura 5 – Pirâ

frente (à d

drado e tod

gora, vamo

ular é uma

nto as late

aresta me

to bem, a

ra. Vejam n

strucional

/ Consórcio CE

azer figura

âmide regu

direita). Co

das as are

os fazer u

a pirâmide

erais) são

ede 1 cm?

primeira

na figura

EDERJ

a a partir d

ular de bas

omo a pirâ

stas latera

um problem

triangular

congruent

providênci

| 9 

da figura d

se quadran

âmide é r

ais são con

ma juntos?

em que to

tes. Qual é

ia é dese

dada

ngular vista

regular, o

ngruentes.

? Muito be

odas as a

é a altura

nhar este

a por cima

polígono

em! Lá vai

restas (tan

de um tet

tetraedro

(à esquerd

da base é

: Um tetra

nto as da

traedro re

e marcar

da) e

é um

aedro

base

gular

r sua

Formatado:pt

: Fonte: (Padrãoo) Arial, 12

Desen Funda

 

Ilust

Figu

Acom

igua

face

Ótim

da b

no c

geom

pont

vérti

geom

aplic

figur

quer

ares

calcu

de O

E qu

Ativ

Vilm

uma

que

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: faz

ura 6 – Tetr

mpanhe, e

is entre si

s do tetra

mo. Estão v

base é equ

centro do

metria pla

to de enco

ce vale 2

metria plan

, onde l

car um teo

ra? Então,

remos calc

stas tem c

ular o valo

OB é justam

. Aí t

ue tal uma

vidade 3

ma resolveu

a tábua de

x = 80 cm

strucional

/ Consórcio CE

zer figura

raedro reg

então: temo

i e de tam

aedro seja

vendo o po

uilátero e a

triângulo

na, verem

ontro entre

2/3 do va

na, encont

l é o lado

rema de P

, em frent

cular, ou se

comprimen

or de OB. A

mente 2/3

teremos

atividade p

u construir

e madeira

e y = 50 c

EDERJ

a partir d

ular

os que as

manho 1, c

am triângu

onto O, no

a pirâmide

o equiláter

mos que o

e as altura

lor da alt

tramos que

do triângu

Pitágoras n

te:

eja, o valo

nto 1. Tere

A partir do

da altura, q

por conta p

uma pirâm

com o for

cm, calcule

| 10 

a figura d

arestas VA

confere? M

los equilá

o triângulo

é regular,

ro, o tal

centro de

as dos 3 l

ura. Revir

e a altura

ulo. Com

no triângulo

r de h, e V

emos ass

que resga

que vale

,

própria ago

mide regul

rmato da f

e a altura d

ada

A, VB, VC

Muito bem

teros, e ta

da base?

a altura H

ponto O.

e um triân

ados. A d

rando mai

de um triâ

tudo isto e

o VOB. En

. V

VB é 1, jus

im que

atamos da

. Assim

,

ora?

lar de mad

figura mos

da pirâmide

, AB, AC e

! Isso faz

ambém de

Então, co

H toca o pla

E, relem

ngulo equi

distância d

is um pou

ângulo eq

em mãos,

ncontraram

VO é just

tamente p

geometria

m,

,

deira. Para

strada a se

e formada.

e BC são t

com que

e lado 1,

omo o triân

ano justam

mbrando n

ilátero est

esse pont

uco o baú

uilátero é

partimos

m o dito cuj

tamente o

orque toda

. Fa

a plana, o

. Como

,

a tal, ela co

eguir. Sab

todas

as 4

OK?

ngulo

mente

nossa

tá no

to ao

ú da

igual

para

jo na

que

as as

ltaria

valor

o l=1,

.

ortou

endo

Desen Funda

 

Ilustângu

Fim

Exis

Cha

triân

a ele

Cha

equi

políg

ortog

A fig

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: faulo reto n

da ativida

te, nas pir

mamos de

ngulos que

e a letra g.

mamos de

vale à me

gono da ba

gonal do v

gura seguin

strucional

/ Consórcio CE

azer figurao local em

ade 3

râmides re

e apótema

compõem

e apótema

enor distân

ase, ou se

értice sobr

nte nos mo

EDERJ

a a partir dm que o se

gulares, u

de uma p

m as faces

a da base

ncia do ce

eja, a meno

re a base)

ostra esses

| 11 

da figura egmento y

m element

pirâmide re

laterais d

de uma pi

entro da b

or distânci

e a aresta

s elemento

dada. Favy encontra

to bastante

egular a al

a pirâmide

irâmide reg

base até a

a entre o c

a da base.

os.

vor inserira o quadra

e importan

tura de qu

e. Geralme

gular o se

a cada um

centro da

r marcaçãado.

nte: o apót

ualquer um

ente atribu

egmento m

m dos lado

base (proj

ão de

ema.

m dos

ímos

m que

os do

eção

Desen Funda

 

Ilust

Figudest

Obs

hipo

tirar

Ou

quad

Seçã

Ilusthttp

Font

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: faz

ura 7 – Tettacados

erve que

tenusa g.

a seguinte

seja, o qu

drado da a

ão 2: Com

tração: ://www.sx

te: http://sx

strucional

/ Consórcio CE

zer figura

traedro reg

o triângulo

Com algu

e relação: g

uadrado d

altura com

mo calcula

xc.hu/brow

xc.hu

EDERJ

a partir d

gular com

o VOM é

uma contri

g² = h² + m

do apótem

o quadrad

ar área e v

wse.phtml

| 12 

a figura d

apótema

um triâng

ibuição do

m²

ma da pirâ

o do apóte

olume de

caminho?f=downl

ada

da base (

ulo retâng

o Teorema

âmide regu

ema da bas

pirâmides

o oad&id=1

m) e apót

gulo de ca

a de Pitágo

ular é igu

se.

s?

114076

ema latera

atetos h e

oras, pode

ual a som

orig

al (g)

m e

emos

a do

ginal:

Desen Funda

 

FiguBarr

Um

mon

decid

resp

- e d

metr

imag

Muit

sign

entre

Ilust

Figu

apót

Na f

base

face

later

regu

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ura 8 – Acracas de

grupo de a

ntada tinha

diu medir

pectivamen

daquilo qu

ros quadra

ginado, é s

to bem, a p

ifica que a

e si. Vejam

tração: faz

ura 9 – Pir

tema da fa

figura, h é a

e e a é o la

. A área to

ral. Para ca

ular de la

strucional

/ Consórcio CE

ampamentacampam

amigos foi

a um form

a aresta d

nte. A barra

ue já traba

ados de lo

sim! Vamos

primeira co

as arestas

mos a figura

zer figura

râmide de

ace g desta

altura da p

ado do hex

otal da bar

alcular a á

ado a. Co

EDERJ

to nos moento pode

acampar

mato de pi

a base e a

aca també

alhamos n

ona possui

s às conta

oisa import

s da base

a

a partir d

base hex

acados.

pirâmide, g

xágono – q

rraca seria

rea da bas

omo as

| 13 

ontes Pirinem ter o

e levou um

râmide re

a altura ch

ém cobre o

nesta aula

esta barr

s?

tante a no

são iguai

a figura d

agonal co

g é o apóte

que també

, então, a

se precisar

faces late

eus, entreformato

ma barraca

gular hexa

hegando ao

o chão. A p

– seria p

raca? A re

tar é que a

s e as are

ada

m altura h

ema da pirâ

ém serve d

soma da á

remos calc

erais são

e a Françade sólido

a de lona

agonal. U

os valores

partir desta

possível ca

esposta, vo

a pirâmide

estas later

h, apótema

âmide, m é

de base ao

área da ba

cular a áre

6 triâng

a e a Espaos geomét

que, depo

m dos am

de 2 m e

as informa

alcular qua

ocê já dev

e é regular

rais são ig

a da base

é o apótem

os triângulo

ase com a

a do hexá

ulos isósc

anha. tricos

is de

migos

3 m,

ações

antos

ve ter

. Isto

guais

m e

ma da

os da

área

gono

celes

Desen Funda

 

cong

das

pela

Para

figur

a áre

Falta

VOM

vam

Ilust

Figu

dest

Note

entã

subs

Subs

Com

forne

Para

pará

com

igua

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

gruentes, a

faces. Aco

área later

a calcular

ra! Sua áre

ea lateral

a agora ca

M, temos g

os destaca

tração: faz

ura 10 – He

tacados.

emos que

ão m é a a

stituindo a

stituindo (*

mo a área q

ece 20,4 m

a calcular a

ágrafo ant

posto de s

l à metade

strucional

/ Consórcio CE

a área late

ompanhara

ral.

a área de

ea é base

é igual a

alcular o va

g² = h² + m

ar a base d

zer figura

exágono q

o hexágo

altura de

por 2, te

**) e (***)

que quere

m² aproxim

a área da

erior: o h

seis triângu

e do produ

EDERJ

ral será se

am? Muito

e um triân

vezes altu

aga

⋅=⋅

32

6

alor de g.

m² (*). Para

da pirâmid

a partir d

ue serve d

no regular

um triângu

emos =m

em (*), te

mos calcu

adamente

base, vam

hexágono

ulos equilá

uto da bas

| 14 

eis vezes o

o bem! En

ngulo, tom

ura sobre d

g⋅ como a

Usando o

a calcular

e ABCDEF

a figura d

de base à

r é decom

ulo equilát

3 (**). S

emos: g² =

ular é Al =

de lona.

mos aprove

regular q

áteros de l

e pela altu

o valor da á

tão vamos

maremos o

dois, ou se

a = 2, sub

teorema d

g precisam

F, veja a fig

ada

pirâmide,

posto em

tero de lad

abemos ta

= 3² + ( 3

6g então

eitar as co

ue serve

ado a. Co

ura – que,

área do tri

s por parte

triângulo

eja, 2ga⋅

, co

stituindo te

de Pitágor

mos calcul

gura a seg

com lado a

6 triângul

do a , ou

ambém qu

)23 , isto é

Al = 312

onsideraçõe

de base

mo a área

no parágr

ângulo de

es, começ

VED, vej

onfere? As

emos: Al =

as no triân

ar m. Para

guir

a e apótem

os equilát

seja, m =

ue h = 3

, 12 ==g

m². O que

es e conta

à pirâmid

a do triâng

rafo anterio

uma

ando

a na

ssim,

= 6g.

ngulo

a isto

ma m

eros,

23a

,

(***).

32 .

e nos

as do

de é

ulo é

or, já

Desen Funda

 

vimo

com

m2 e

base

apro

seria

Vam

mais

A á

hexá

A ár

pirâm

corre

das

A ár

Cons

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

os ser igua

põem o

e equivalia

e, por se

oximadame

a, então, d

mos agora

s precisos

área da ba

ágono.

rea lateral

mide. Ass

espondent

áreas do s

ea total At

seguiram a

strucional

/ Consórcio CE

al a

hexágono

a a, aproxi

er igual

ente, 10,2

e 20,4 + 1

formalizar

aos eleme

ase Ab é a

Al é a ár

sim a ár

tes à faces

seis triângu

é a soma

associar?

EDERJ

– teremo

é

. Se

madamen

a

m2 de lo

0,2 = 30,6

r um pouc

entos que v

a área do

rea da sup

rea latera

s laterais.

ulos.

da área da

Ótimo! Vam

| 15 

os que a á

e lembramo

te, 20,4 m

(metade

ona. A qua

m². Acom

co mais, d

vocês acab

o polígono

perfície lat

al é a s

No caso

a base com

mos em fre

área de um

. Multip

os que a á

m² de lona,

da área

antidade t

panharam

ando os n

baram de c

da base

teral (uniã

soma das

que abord

m a área la

ente

m dos seis

plicado po

área lateral

, teremos

lateral),

otal de lo

m tudo? Exc

nomes ma

conhecer:

– no nos

ão das fac

s áreas d

damos, era

ateral. At =

triângulos

or 6, tere

era de

que a áre

equivalerá

ona na bar

celente!

atematicam

so exemp

ces laterais

dos triâng

a igual à s

= Ab + Al

s que

emos

ea da

á a,

rraca

mente

plo, o

s) da

gulos

soma

Desen Funda

 

IlustRem“moum r

Figu

serv

O fa

mort

Egito

de M

seu

o pro

um t

sólid

plan

Apes

que

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: famover letrontanha” drecipiente

ura 11 – U

vir como es

ato é que o

tos. Em 18

o. O papiro

Moscou, co

estado de

oblema 14

tronco de p

do que obt

o paralela

sar de não

só seria c

strucional

/ Consórcio CE

azer ilustras do sóde grãos e) como n

Um tronco

strutura pa

os egípcios

893, o egip

o, escrito

ontém 25

degradaçã

4, completa

pirâmide...

temos qua

mente a su

o apresent

criada 3.30

EDERJ

tração a ólido em dentro de

na figura c

de pirâm

ra armaze

s não usav

ptólogo rus

por volta d

problemas

ão, era im

amente leg

usado par

ando “corta

ua base - v

tarem uma

00 anos de

| 16 

partir dacinza e

ele (usandcolorida.

ide que, s

namento d

vam as pir

so V. S. G

de 1850 a

s resolvido

possível in

gível, dizia

ra armazen

amos” o to

veja na figu

a fórmula a

epois – o p

as figurainserir c

do o sólid

se invertid

de líquidos

râmides ap

Golenishche

. C. e hoje

os de Mat

nterpretar m

a respeito

nar grãos!

opo de uma

ura anterio

analítica pa

problema n

s dadas, cano des

do cinza c

do como n

e grãos.

penas para

ev compro

e conhecid

temática, m

muitos dele

ao cálculo

O tronco d

a pirâmide

or.

ara o volu

no papiro d

juntandospejando como se fo

na figura,

a enterrar

u um papir

do como p

mas devid

es. No ent

o do volum

de pirâmide

e passando

me do sól

deixa claro

o-as. uma osse

pode

seus

ro no

apiro

do ao

anto,

me de

e é o

o um

ido –

o que

Desen Funda

 

os e

tronc

Abor

pirâm

inev

ao p

do v

área

fórm

Iníci

A de

prism

avan

do

http:

de.h

Já a

víde

http:

Fim

Que

chuv

regu

pequ

de á

Bom

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

egípcios se

co de pirâm

rdar as de

mide seria

itavelment

presente a

volume do

a da base

mula do vol

io do boxe

emonstraç

ma de me

nçada. Um

Rio

//www2.m

html

a fórmula d

o “A maldi

//m3.ime.u

do boxe s

tal agora

va é reco

ular. Sabe

uena pirâm

água tem n

m, o primeir

strucional

/ Consórcio CE

e interessa

mide de ba

monstraçõ

a muito int

te seu rum

ssunto, int

prisma de

e h é a al

ume do tro

e saiba ma

ão de que

esma base

ma saída be

G

at.ufrgs.br

do volume

ção da pir

unicamp.br

saiba mais

a fazermos

olhida em

ndo que

mide de 15

esse recip

ro passo é

EDERJ

avam e sa

ase quadra

ões das fór

teressante

o. Assim, c

teressará o

mesma ba

tura da pir

onco de pir

ais

e o volume

e e altura

em engenh

rande

r/edumatec

de um tro

âmide” da

r/recursos/

s

s uma ativ

um recip

a água a

cm de are

piente. (dic

fazer a fig

| 17 

biam calcu

ada.

rmulas do

– mas fa

combinam

o fato de o

ase e altur

râmide. A

râmide est

e de uma

pode ser

hosa está n

do

c/atividade

nco de pir

coleção M

/1132

vidade jun

piente em

lcança um

esta lateral

a: 1 dm³ =

gura

ular corret

volume da

aria com q

os da segu

o volume

a, ou seja,

demonstra

arão nos li

pirâmide

r feita sem

neste link,

Sul,

s_diversas

râmide é o

Matemática

ntos? Entã

forma de

ma altura

l, queremo

1l)

amente o

a pirâmide

ue nossa

uinte mane

de uma pi

, AV b ⋅=

31

ação dess

inks do box

é 1/3 do

m recorrer

da Univer

a

s/ativ_wing

o assunto d

a Multimidia

ão vamos

e pirâmide

de 9 cm

os saber qu

volume de

e do tronc

aula perd

eira: no qu

irâmide se

h, onde A

a fórmula

x seguinte

volume de

à matem

rsidade Fe

UFR

geo2/volpir

do interess

a, da Unic

lá: a águ

e quadran

e forma

uantos mili

e um

co da

desse

ue diz

er 1/3

b é a

e da

e.

e um

mática

deral

RGS.

rami

sante

amp:

a da

gular

uma

ilitros

Desen Funda

 

Ilust

Figu

pirâm

form

Dese

de u

Viram

da á

área

igua

bast

com

duas

lado

de 1

meta

na s

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: faz

ura 12 – R

mide quad

ma uma pirâ

enhada a f

uma pirâm

m? Muito

área da ba

a da base,

l ao quadr

tará elevar

o faremos

s coisas: a

s conhecid

5 cm. A se

ade da dia

eguinte, e

strucional

/ Consórcio CE

zer figura

Recipiente

drangular r

âmide de a

figura, pod

mide inverti

bem! Com

ase pela al

no caso, o

rado do va

r este valo

para acha

a primeira

dos – OV é

egunda co

agonal do q

veja se co

EDERJ

a partir d

para arma

regular. Á

aresta later

demos per

da, cuja a

mo o volum

tura – e já

o quadrad

alor do lad

or ao quad

ar o lado d

a é que ex

é a altura d

oisa a perc

quadrado

onsegue en

| 18 

a figura d

azenament

Água armaz

ral igual a

rceber que

altura tem

me de uma

á temos a

o EFGH. A

do. Assim,

drado para

este quadr

xiste um t

da pirâmid

ceber é que

da base. D

nxergar iss

ada.

to de água

zenada at

15 cm.

a água ar

9 cm e a

a pirâmide

altura – fi

A área do

se acharm

a acharmo

rado? Bom

triângulo r

e, de 9 cm

e o terceir

Dê uma ol

so.

a da chuva

tinge a alt

rmazenada

aresta later

é igual a

ca faltando

quadrado

mos o tam

os o valor

m, a idéia a

retângulo E

m, e EV é a

o lado, OE

hada na fi

a em form

tura de 9c

a toma a fo

ral tem 15

1/3 do pro

o só calcu

, lembrem

manho do

r da área.

aqui é perc

EOV com

a aresta lat

E, é justam

gura anter

ma de

cm e

orma

5 cm.

oduto

ular a

os, é

lado,

Mas

ceber

dois

teral,

mente

rior e

Desen Funda

 

Ilust

Figu

água

figur

Assi

do s

quad

base

Cora

figur

O se

cate

cent

baix

no m

paro

área

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: faz

ura 13 – Qu

a da chuva

ra 12), está

m, faremo

segmento

drado da b

e. Depois

agem, entã

ra 12 -

.

egmento O

tos iguais

tro do qua

adas do po

meio - daí

ou? Parou

a de um qu

strucional

/ Consórcio CE

zer figura

uadrado E

a no recipi

á destacad

os primeira

OE. Depo

base da p

é só multi

ão! O teor

fica

Sabendo

OE é a hi

a l/2 – vej

adrado, o

onto O a c

o l/2. Vir

por quê? P

uadrado de

EDERJ

a partir d

FGH, de la

ente. O se

do.

mente um

ois, a par

pirâmide -

plicar essa

rema de P

o tamanho

potenusa

ja lá na fig

ponto E

cada um do

am? Aqui,

Paramos j

e lado l é ig

| 19 

a figura d

ado l, que

egmento O

teorema d

rtir de OE

e, a partir

a área pel

Pitágoras p

o de OE, v

de um triâ

gura 13! M

é um do

os lados va

, o teorem

ustamente

gual ao qu

ada.

é a base d

OE, do triân

de Pitágora

E, acharem

r do lado,

a altura e

para o triâ

vamos à se

ângulo ret

as por que

os vértice

ai dividir es

ma de Pitá

– e aqu

e porque le

uadrado do

da pirâmid

ngulo retân

as para ac

mos o val

calcularem

dividir por

ângulo VO

egunda par

tângulo qu

e? Porque

s e as p

sses lados

ágoras fica

ui paramos

embramos

o valor do s

e formada

ngulo VOE

char o tam

or do lad

mos a áre

r 3. Vamo

OE - veja l

rte.

ue tem os

e o ponto O

perpendicu

s, de taman

a assim:

s! Mas por

que o valo

seu lado, l

pela

E (ver

anho

o do

ea da

s lá?

lá na

dois

O é o

lares

nho l,

r que

or da

l2 – e

Desen Funda

 

que

isso,

elev

inter

Assi

pirâm

Bom

Assi

cm3

Sol.

Que

Ativ

Um regu

2,60

Fim

E qu

Ativ

João

quad

base

vend

João

de p

Fim

Muit

tenh

apro

tenta

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

é exatame

, em vez

ar ao quad

ressa!

m, fecham

mide –

m, aqui lem

m temos q

= 864 ml.

Raph = 96

tal agora f

vidade 4

peso macular cuja a

0 g/cm³, qu

da ativida

ue tal mais

vidade 5

o vende e

drangular c

e medem 1

deu 100 e

o precisou

papel)

da Ativida

to bem, p

ham aprend

oveitado a

amos fazê

strucional

/ Consórcio CE

ente esse o

de tirar a

drado para

mos o cá

mbramos q

que 1000c

66

fazerem u

ciço para presta med

al é a mas

ade 4

essa?

em sua lo

cujas ares

18 cm e 32

nfeites de

para emb

ade 5

pessoal, fe

dido a calc

o máximo

-lo o mais

EDERJ

o valor que

raiz quad

a achar a á

álculo rele

- e entran

. Muito

que 1dm3=

cm3=1000m

ma ativida

papel é fee 6 cm. S

ssa desse

oja enfeite

stas latera

2 cm. A alt

ste. Quan

brulhar todo

echamos

cular a áre

o o percur

s agradáve

| 20 

e encontra

drada para

área, vamo

embrando

ndo com o

o bem – m

=1000cm3

ml e, por c

de por con

ito de vidrSabendo q

peso de pa

es que po

is são con

ura da pirâ

tos metros

os os 100

mais uma

a e volume

rso que e

el e interes

amos na úl

a encontra

os direto c

a express

os valores:

mas e os ta

e que o m

conseguint

nta própria

ro e tem aue a dens

apel? (use

ossuem fo

ngruentes

âmide é de

s quadrad

enfeites?

a seção !

e de uma

escolhemo

ssante pos

tima etapa

ar o lado e

om o l2, qu

são para

:

ais mililitros

mesmo 1d

te, 1cm3=1

?

a forma desidade do

e 4,12 = )

rmato de

entre si e

e 12 cm. E

o de pape

(desconsid

Esperam

pirâmide –

s. Tenham

ssível. Ant

a, vejam lá

e, em seg

ue é o que

o volume

s, como fic

m3=1l=100

1ml. Logo,

e um tetravidro é igu

uma pirâ

as aresta

Em um dia

el de emb

dere as pe

mos que v

– e que ten

m certeza

es de con

á. Por

uida,

e nos

e da

cam?

00ml.

, 864

aedro ual a

mide

as da

João

rulho

erdas

vocês

nham

que

vidá-

Desen Funda

 

los

segu

Iníci

A ar

Abase

O vo

Fim

Vammelh

Exemesta

a) Q

Devenúmnúm

b) Ca na

O núfiguraresé um

c) Q

Comimagrepre

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

a conhec

uinte os pr

io Boxe Im

rea total do

e + Alateral

olume total

boxe imp

mos tentar fhor maneir

mplo1: A ú possui 6 f

Quantas fac

emos notamero de facmero de fac

omo podeatureza des

úmero de fras anteriosta da basema pirâmid

uantas are

mo já sabemginar esta esenta est

strucional

/ Consórcio CE

cer os co

incipais co

mportante

o cone é ig

l do cone é

portante

fixar estes ra de fazer

única informfaces. A pa

ces laterais

ar que todaces lateraisces laterais

mos classsta pirâmid

faces laterares), pois ae como ume pentago

estas latera

mos que épirâmide eta pirâmide

EDERJ

nes, noss

onceitos de

gual à som

é igual a 1/

vários elermos isto é

mação queartir deste

s possui?

a pirâmide s é sempres desta pirâ

ificar esta de?)

ais é igual as faces la

m lado. Lognal.

ais possui?

uma pirâme contar o ne está mos

| 21 

so próximo

esta seção

ma da área

/3 do prod

mentos qué através d

e temos dedado resp

tem uma be o númeroâmide é igu

pirâmide e

ao númeroaterais sãogo, a base

?

mide pentanúmero destrada a se

o assunto

.

da base c

uto da áre

ue acabame exercício

e uma deteonda:

base e faceo de faces ual a 6 – 1

em relação

o de arestao triângulosé um políg

agonal pode arestas laeguir.

o, destaca

com a área

a da base

mos de apreos, então m

erminada p

es lateraismenos 1 ( = 5.

o à base? (

as da bases que tem sgono de 5 l

emos deseaterais. Um

amos no

a lateral: A

pela altura

esentar. A mãos à obr

pirâmide é q

. Assim o base). Log

(ou seja, q

e (veja as sempre umlados, ou s

enhar ou ma figura q

boxe

Atotal =

a: V=

ra.

que

go, o

ual é

ma seja,

ue

Desen Funda

 

As a

É imnúmuma

d) Q

As aaresfaze

Ativiesta

a) Q

b) Ca na

c) Q

d) Q

Ativiesta

a) Q

b) Q

c) Q

Exemregu

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

arestas late

mportante pmero de lada aresta lat

Quantas are

arestas da stas da basr o desenh

dade 1: A possui 8 f

Quantas fac

omo podeatureza des

uantas are

Quantas are

dade 2: A possui n f

Quantas fac

Quantas are

uantas are

mplo 2: Rular para p

strucional

/ Consórcio CE

erais são V

percebermoos do polígeral.

estas da ba

base (ver se. Agora ého e tirar s

única inforfaces. A pa

ces laterais

mos classsta pirâmid

estas latera

estas da ba

única inforfaces. A pa

ces laterais

estas latera

estas da ba

Renato quarticipar de

EDERJ

VA, VB, VC

os que o ngono da ba

ase possu

figura) sãoé sua vez duas conclu

rmação quartir deste

s possui?

ificar esta de?)

ais possui?

ase possu

rmação quartir deste

s possui?

ais possui?

ase possui

er construe um conc

| 22 

C, VD e VE

número de ase, pois d

i?

o AB, BC, Cde treinar, usões.

ue temos ddado resp

pirâmide e

?

i?

ue temos ddado resp

?

i?

uir uma ecurso. Ele

E, portanto

arestas latde cada vé

CD, DE e Etente não

de uma detonda:

em relação

de uma detonda:

escultura edeseja faz

são 5 ares

terais é seértice do po

EA, ou sejgravar reg

terminada

o à base? (

terminada

em formatzer uma es

stas latera

empre iguaolígono “sa

a, são 5 gras e sim

pirâmide é

(ou seja, q

pirâmide é

o de pirâscultura gr

is.

al ao ai”

é que

ual é

é que

mide ande

Formatado:pt

Formatado:

: Fonte: (Padrão

: Justificado

o) Arial, 12

Desen Funda

 

e satenhtriandevepirâmcomRen

Primisto (comcomisóscbase

Dest

Pelo

Dest

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

abe que temha 6m de angular. Come escolher mide não 5 m de cato está ce

meiro devequer dize

mprimento 5 m de cceles de be ao meio

tacando o

o triângulo

tacando o

strucional

/ Consórcio CE

m espaço aresta da mo o conco tamanhoultrapasse

comprimenerto? Qual

mos entener que to6 m) e tod

comprimenbase igual (M é o pon

triângulo V

VMC temo

triângulo A

EDERJ

suficiente base. Alé

curso limito das arese o permitinto pois im será a altu

nder o queodas as tdas as arento). Temo

6 e isto into médio d

VBC, temo

os que g =

ABC, temo

| 23 

para trabaém disso, da a altura

stas lateraisido. Renat

magina queura da pirâ

e significatrês arestaestas lateras então quimplica qude BC, ver

os a figura:

4 (triângu

os a figura:

alhar em udeseja faz

das escus com cuidto decide e a altura âmide usan

a pirâmidas da baais são conue as facee a altura r figura).

lo 3,4 e 5)

uma pirâmizer uma piulturas em dado para fazer as anão chega

ndo estas

de triangulase são igngruentes es laterais

deste triâ

.

ide regularirâmide re3,5 m Re

que a alturarestas latará aos 3,medidas?

lar ser regguais entrentre si (tsão triâng

ângulo divi

r que gular

enato ra da terais ,5 m.

gular, re si todas gulos ide a

Formatado:pt

Formatado:pt

: Fonte: (Padrão

: Fonte: (Padrão

o) Arial, 12

o) Arial, 12

Desen Funda

 

Comcomtemo

altur

que

Já teteore

Tem.

Port

Pode

Usan

altur

de P

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

mo o triângo O é o poos da geom

ra H de um

236

31

=m

emos os vema de Pit

mos que ²g

anto, Rena

emos reso

ndo o mes

ra do triâng

Pitágoras n

strucional

/ Consórcio CE

gulo ABC onto de enmetria plan

m triângulo

, isto é, m

valores detágoras no

²² hm += , s

ato está er

olver esta q

smo racioc

gulo ABC e

no triângulo

EDERJ

é equilátencontro dasna que OM

equilátero

3= .

e g e m po triângulo

substituindo

rrado. Sua

questão de

cínio anter

e portanto

o VOB, tem

| 24 

ero então as mediana

M é um terç

o de lado L

para deterVOM.

o os valore

escultura

e outra form

ior, temos

236

32

=n

mos:

a altura Aas (neste cço de AM.

L é dado po

rminarmos

es, ( 3²4 =

terá mais d

ma:

que n é d

, ou seja,

M é mediacaso das a

Sabemos

or 23L

H =

o valor d

) ²2

h+ . Log

de 3,5 m.

dois terços

32=n . U

ana tambélturas tambtambém q

. Assim, te

de h usare

go 13 ≅=h

s da medid

sando teor

ém e bém) que a

emos

emos

61,3≅

da da

rema

Formatado:pt

Formatado:pt

: Fonte: (Padrão

: Fonte: (Padrão

o) Arial, 12

o) Arial, 12

Desen Funda

 

h² + O m

Cheg

Ativparamos

Sabeform

Seçã

Imag

políg

Veja

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

n² = 5², suesmo valo

gou a hora

vidade 4: Va tal ela strada a se

endo quemada.

ão 3: O qu

gine agora

gono da b

a a figura a

strucional

/ Consórcio CE

ubstituindoor encontra

a de treina

Vilma rescortou u

eguir.

e x = 80

ue é um co

a que a g

base por u

a seguir

EDERJ

o o valor deado na prim

r um pouco

solveu conuma tábua

cm e y =

one?

ente vai fa

um círculo.

| 25 

e n, temosmeira soluç

o mais.

nstruir uma de mad

= 50 cm,

azer uma

. Você con

s: h² = 25 –ção.

ma pirâmideira com

determine

pirâmide

nsegue vis

– 12. Logo

de regulam o form

e a altura

diferente,

sualizar co

o, 13 ≅=h

ar de madato da fi

a da pirâm

substituin

omo ela s

61,3≅ .

deira, gura

mide

ndo o

eria?

Formatado:pt, Negrito, C

: Fonte: (PadrãoCor da fonte: Pre

o) Arial, 12eto

Desen Funda

 

Ilustmespolígseta

Figu

Cons

círcu

3.1 -

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: fazsma alturagono da b

a do meio

ura 14 – Su

seguiram?

ulo, o sólid

- Elemento

strucional

/ Consórcio CE

zer figuraa. Figura dbase (fig. se achare

ubstituição

? Muito bem

o que obte

os do con

EDERJ

a partir ddeve sugeesquerda

em apropr

da base d

m! Então,

emos é cha

e

| 26 

das figuraerir, o máa) pelo círriado.

da pirâmide

quando tro

amado de

s dadas. Máximo posrculo (fig.

e: sai o pol

ocamos a

cone.

Manter bassível a su

Direita).

lígono, ent

base da p

ase planaubstituiçãPodem tir

tra um círc

irâmide po

e na o do rar a

culo.

or um

Desen Funda

 

Ilust

Figu

Da m

•

•

•

•

Um

é aq

form

que

Veja

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração – fa

ura 15 – Co

mesma form

O ponto

O círcul

Cada s

circunfe

VA, VB

geratriz

A distân

Na figu

centro O

com o p

cone pode

quele em q

ma um ângu

contém o

a na figura

strucional

/ Consórcio CE

azer figura

one.

ma que fiz

o V que est

lo de centr

segmento

erência (nã

B, VC, VD

es.

ncia do vér

ra, ela é

O do círcu

plano em q

e ser class

que quando

ulo reto co

vértice e

seguinte.

EDERJ

a a partir d

zemos com

tá fora do

ro O é a ba

cujas ex

ão confund

D e VE sã

rtice ao pla

representa

lo que ser

que se enc

sificado co

o a reta qu

om a base.

o centro d

| 27 

da figura d

m as pirâmi

plano da b

ase do con

xtremidade

dir com o

ão geratriz

ano da bas

ada pelo s

rve de bas

ontra este

mo cone o

ue contém

. Cone reto

do círculo f

dada. Faze

des,

base é cha

ne

es são o

círculo) é

zes. VF, V

se é cham

segmento

se ao cone

círculo.

oblíquo ou

o vértice e

o é aquele

forma um

er as linha

mado de v

vértice e

uma gera

VG, VH e

mada de alt

VO. Ela

e e faz um

cone reto

e o centro

e em que a

ângulo ret

as VA e V

vértice.

e o ponto

triz g do c

e VO não

tura h do c

incide sob

ângulo de

o. Cone ob

do círculo

a quando a

to com a b

B

o da

cone.

são

cone.

bre o

e 90º

líquo

o não

a reta

base.

Desen Funda

 

Ilustmescone

Figu

Seçã

Para

Pron

extre

cons

altur

sua

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração: fazsma alturae da direit

ura 16 – Um

ão 4: Com

a trabalhar

ntos! Então

emamente

sistia basic

ra, embrulh

base, simu

strucional

/ Consórcio CE

zer figuraa. Inserir sta toca o c

m cone obl

mo calcula

r estes co

o vamos l

popular e

camente n

hado num

ulando o ca

EDERJ

a partir dsímbolo dcentro do

líquo (à es

ar a área e

nceitos, tra

á. Durante

entre as cri

um cone d

papel colo

abo do gua

| 28 

das figurae ângulo círculo

squerda) e

o volume

aremos, n

e as décad

ianças: o g

de chocola

orido e com

arda chuva

s dadas. Mreto no lo

um cone r

e do cone?

ovamente

das de 19

guarda chu

ate de apro

m uma peq

a.

Manter baocal em q

reto (à dire

?

, um prob

980 e 1990

uva de cho

oximadam

uena alça

ase plana ue a altur

eita).

lema conc

0, um doc

ocolate ! !

mente 10 cm

de plástic

e na ra do

creto.

ce foi

! Ele

m de

o em

Desen Funda

 

Ilustmas

Figu

Um

o pr

faze

pape

das

sabe

quan

choc

conv

área

do c

conh

unid

2,5c

Pens

supe

conh

later

Veja

Ilust

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração – fas ilustrar/c

ura 17 – Gu

empresári

roduto, tan

ndo mode

el ecologic

embalage

er os cus

ntidade de

colate nec

verte em c

a conhecer

cone – e,

hecer o c

ade. O co

cm.

sando na

erfície late

hecemos:

ral, como fa

am na figur

tração – fa

strucional

/ Consórcio CE

azer figuracolorir/esta

uarda chuv

o deseja fa

nto em ter

los com lic

camente a

ns origina

stos de p

e papel nec

cessária p

conhecer a

r o gasto p

a partir do

usto da q

one que se

área, o pa

eral, certo?

aremos?

ra seguinte

azer figura

EDERJ

a a partir dampar cor

va de choc

azer uma

rmos de g

cor, etc – q

migável, m

is. Como e

produção.

cessária p

para fazer

a área do

para emba

o custo po

quantidade

erá produz

apel dever

? Bom, a

e

a a partir d

| 29 

da figura drpo do gu

colate

versão atu

gosto – alt

quanto em

mas que a

em todo b

Mais pre

ara embal

r uma uni

cone – e

alar uma u

or unidade

e de choc

zido tem a

rá cobrir ta

base do

da figura d

dada. Manarda chuv

ualizada de

terando os

termos de

ainda mant

om plano

cisamente

ar uma un

idade. Ma

, a partir d

nidade – e

e de volum

colate nec

altura de 6

anto a bas

cone é u

. Ma

dada

nter caráteva.

estes doce

s sabores

e embalage

tenha as c

de negóci

e, ele pre

nidade e a

atematicam

do custo p

e em conh

me, geralm

essária pa

6,5cm e ra

se do cone

um círculo

as e a áre

er geomét

es, sofistic

do choco

em, usand

cores vibra

os, ele pre

ecisa conh

quantidad

mente, isso

por unidad

hecer o vo

mente em l

ara fazer

aio da bas

e quanto a

o, cuja áre

a da supe

trico

ando

olate,

o um

antes

ecisa

hecer

de de

o se

de de

olume

itros,

uma

se de

a sua

ea já

rfície

Desen Funda

 

Figu

A idé

no c

supe

ante

com

perím

o co

Outr

gera

ante

com

olha

círcu

– qu

Área

g²

Al

Assi

Assi

conh

valo

da b

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ura 18 – Co

éia é faze

cone que

erfície late

erior. Nele,

primento

metro do c

mprimento

ro ponto a

atriz g do c

eriores até

preensão

ndo pro s

e o r

ulo comple

. Já no

ue é justam

a do setor -

-

-

m, teremo

m, para ca

hecemos:

r de g, apl

base, r, e a

strucional

/ Consórcio CE

one e supe

r um corte

está à e

ral terá o

, é importa

do arco s

círculo que

o do arco é

a perceber

cone. Vira

é visualiza

deste co

etor circul

raio desse

eto de raio

osso setor

mente o que

- Comprim

2 g

2 r

os

alcular a á

2,5 cm –

licaremos

a altura do

EDERJ

erfície later

e no cone

esquerda

formato d

ante obse

subentend

e serve de

é de

r é que o

am? Ótimo

ar esta re

onceito. Pr

ar: o com

e setor é g

g subente

r circular te

e nós quer

mento do ar

área latera

e o valor

um teorem

cone, h. V

| 30 

ral do cone

seguindo j

da figura

o setor cir

rvar duas

ido por es

base ao co

. Acomp

raio deste

o! Não vira

elação. Ela

ronto? Mu

primento d

g. Isto pos

nde um ar

em compri

remos sab

rco

al, precisar

de g, ain

ma de Pitág

Veja na fig

e. Geratriz

justamente

anterior.

rcular, mos

coisas. A

ste setor

one. Como

panhem lá

e setor cir

am? Voltem

a é impo

uito bom!

do arco su

sto, farem

rco de com

mento

er. Vejam

remos con

nda descon

goras envo

gura:

g e raio r d

e a geratri

Depois d

strado à d

A primeira

circular é

o esse cír

figura ante

rcular form

m lá e rel

rtante par

Então, re

ubentendid

mos uma re

mprimento

e te

só

hecer o va

nhecido. P

olvendo a

destacado

z g, desta

desse cort

direita da f

delas é q

é justamen

rculo tem ra

erior.

mado é igu

eiam as li

ra avança

ecapituland

do pelo se

egra de 3

e

erá uma áre

alor r, – qu

Para calcu

geratriz, o

s.

cada

te, a

figura

ue o

nte o

aio r,

ual á

nhas

ar na

do e

etor é

3: um

área

ea Al

ue já

ular o

o raio

Desen Funda

 

Ilustretâ

Figualtur

O te

área

prob

e a

later

terem

e do

custo

Find

de c

Aqui

1/3

cons

cone

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração – fangulo.

ura 19 – Cora destacad

eorema fica

a do setor

blema, em

área latera

ral, acabam

mos uma á

o custo po

o da emba

da esta par

cada um do

i, poderíam

do volum

siderando

e também

strucional

/ Consórcio CE

azer figura

one do guados.

a assim:

circular –

cada guar

al. A área

mos de ca

área total d

r centímet

alagem de

rte do prob

os guarda c

mos fazer

e do prism

um cone c

será 1/3 d

, onde

EDERJ

a a partir d

arda chuva

– que, para

rda chuva

da base,

lcular, é

de aproxim

ro quadrad

cada guar

blema, vam

chuvas de

uma analo

ma que te

como uma

do volume

Abase é a á

| 31 

da figura d

a de choco

, confere

a lembrar,

. E, resga

de chocol

já calcula

madamente

do de pap

rda chuva d

mos para a

chocolate

ogia: como

em a mes

pirâmide d

e do prism

área da ba

dada. Des

late, com g

? Substitu

é área la

atando o q

ate a emb

amos, é

. As

. S

e 70,65 cm

pel, o empr

de chocola

a parte seg

e.

o i) o volum

sma base

de base cir

ma de mes

ase e h é a

stacar triân

geratriz, ra

indo os va

. Voltando

ateral do c

ue dissem

balagem irá

ssim, a áre

e consider

m2 . De pos

resário pod

ate.

guinte: cal

me da pirâ

e e altura

rcular, entã

sma base

altura.

ngulo

aio da base

alores, tere

o à fórmul

cone - tere

mos no iníc

á cobrir a

. A

ea total ser

ramos

sse desse

derá calcu

cular o vo

âmide é ig

e ii) esta

ão o volum

e altura. L

e e

emos

la da

emos

io do

base

área

rá de

valor

ular o

olume

ual a

amos

me do

Logo,

Desen Funda

 

No e

racio

caso

justa

apar

errad

repe

nos

inter

indic

Iníci

Uma

difer

esta

sem

cole

http:

Fim

Isto

volu

sabe

vale

de u

que

choc

Muit

com

•

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

entanto, é

ocínio: por

o, até dê r

amente p

rentemente

das. Assim

etimos aqu

faria per

ressados n

camos no b

io boxe sa

a maneira

rencial e

belecendo

i-esfera e

ção Mate

//m3.ime.u

do boxe s

posto, a

me do con

emos, é d

um cone d

um centím

colate, pod

to bem? Ó

que acaba

A area dr².

strucional

/ Consórcio CE

muito imp

r mais que

resultados

pela quan

e verdadei

m, matem

i o que dis

rder o rum

nos detalh

boxe a seg

aiba mais

de chega

integral,

o uma inte

do cone, q

emática M

unicamp.br

saiba mais

solução d

ne do guard

, onde

e 6 cm. A

.

de chocola

metro cúbic

deremos ca

timo! Vam

amos de tr

da base Ab

EDERJ

portante fa

uma anal

certos – e

ntidade d

iras mas q

maticament

ssemos an

mo, ficam

hes da de

guir.

ar à fórmu

recurso

eressante

que remon

Multimidia,

r/recursos/

s

da segund

da chuva d

e Abase é a

A área da

Assim, o

. Se con

ate é de a

co é igual

alcular o cu

os agora e

rabalhar

b de um co

| 32 

azer uma r

ogia como

ela não é

de vezes

que, ao fim

te, valem

nteriorment

mos com a

monstraçã

ula do volu

matemá

proporção

nta ao séc

da Unic

/1040

a parte do

de chocola

a área da

base tam

volume d

sideramos

proximada

a um mili

usto de um

então form

one é a áre

ressalva m

o essas pa

um métod

que no

m e ao cab

mesmo

te: como t

a fórmula

ão que dê

ume do c

tico ensi

o entre os

ulo III ante

camp, es

o problem

ate – fica b

base e h

bém foi ca

do cone de

s

amente 39

litro e tive

m cone.

malizar um

ea do círcu

matemática

areça certa

do conside

os leva

bo, estão c

as demon

ratar das d

e recom

em uma o

one é usa

no super

volumes

es de Crist

stá dispon

ma – a sab

bem tranqu

h é a altur

alculada a

e chocolat

, teremos

,25 cm3. S

rmos o cu

pouco ma

ulo de raio

a este tip

a - e, como

erado confi

a conclu

completam

nstrações

demonstra

mendamos

olhada no

ando o cá

rior. Outr

do cilindro

to. O vídeo

nível no

ber, calcu

uila. Temos

ra. A altur

anteriormen

te é de

que o vo

Se lembra

sto por litr

ais os conc

r. Logo Ab

po de

o é o

iável,

usões

mente

– e

ações

aos

que

álculo

ra é

o, da

o, da

link:

lar o

s que

ra, já

nte e

olume

rmos

ro de

ceitos

=

Desen Funda

 

•

•

••

E qu

Ativ

Con

que

conf

Sab

a) A

b) A

c) A

d) o

Fim

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

Área lata geratrcírculo.

Para cade três

Área do

g²

Al

A área t O volum

pirâmide

ue tal uma

vidade 6

e equiláter

passa pe

forme mos

bendo que

área da b

área later

área total

volume do

da ativida

strucional

/ Consórcio CE

teral Al de riz g do con

alcularmos

o setor - Co

-

-

total At é a me V do co

e. AV b=31

atividade?

ro é um co

elo vértice

tra a figura

o raio des

ase do con

ral do cone

do cone

o cone

ade 6

EDERJ

um cone éne e o com

a área da

ompriment

2 g

2 r

soma dasone é calcu

h⋅ , onde A

?

one reto cu

e pelo ce

a a seguir.

ste cone é

ne,

e

| 33 

é a área demprimento

superfície

o do arco

s áreas da ulado da m

Ab é a área

uja seção m

entro do c

de 1 cm de

e um setordo arco é

e lateral do

base e latemesma form

a da base e

meridiana

círculo) é

etermine:

r circular cu2 r, onde

cone usar

eral, ou sema que o v

e h é a altu

(plano que

um triâng

ujo raio é ir é o raio d

remos a re

eja, At = Ab

olume da

ura do cone

e contém a

gulo equilá

gual do

egra

+ Al

e.

a reta

átero,

Desen Funda

 

Muit

sobr

assu

antig

Resu

• U

u

p

• O

d

• A

la

• A

d

• O

• U

e

e

• O

p

• A

• A

• A

O

•

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

to bem, ge

re os princ

unto que te

ga – e olha

umindo

Uma pirâm

uma das e

ponto V ext

O polígono

da pirâmide

A área de

ateral:

A área da

dos triângu

O volume d

Um cone é

extremidad

exterior ao

O círculo é

pirâmide

A área de

A área da b

A área late

Área do

g²

Al

Onde g é a

O volum

strucional

/ Consórcio CE

ente! Finali

cipais elem

em interes

a que isso

mide é um

extremidad

terior ao po

o é chamad

e

uma pirâm

base é a

ulos que se

de uma pirâ

um sólido

des perten

círculo

é chamado

um cone é

base é a á

ral é calcu

o setor - Co

-

-

a geratriz d

me de um c

EDERJ

zamos ma

mentos, as

ssado à hu

faz tempo

sólido for

es pertenc

olígono

do de base

mide é da

área do po

e formam c

âmide é da

o formado p

ce a um

o de base

é dada pel

rea do círc

lada via re

ompriment

2 g

2 r

o cone

cone é dad

| 34 

ais uma au

s áreas e o

umanidade

!

rmado pelo

ce a um p

e da pirâm

da pela so

olígono e

conectando

ado pela fó

pelo conju

círculo e

do cone

la soma da

culo de raio

egra de trê

o do arco

do pela fór

ula. Desta

os volume

e desde o

o conjunto

polígono e

mide e o po

oma da ár

a área late

o cada lado

órmula

nto de seg

a outra

e o ponto

a área da

o r :

s:

mula

vez, conv

es de cone

Egito antig

o de segm

a outra

onto extern

rea da bas

eral é a so

o do polígo

gmentos em

pertence

externo V

base com

ersamos s

es e pirâm

go e da G

mentos em

pertence a

no V de vé

se com a

oma das á

ono ao vér

m que uma

a um pon

V de vértic

m a área lat

sobre

mides,

récia

m que

a um

értice

área

áreas

rtice.

a das

nto V

ce da

teral:

Desen Funda

 

Veja

Para

Em

repro

entre

visita

E em

Tele

A au

Bibl

Iezzciên

Histó

Intro

Res

Ativi

Ativi

Ativi

O se

Você

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

a Ainda

a saciar su

http://www

odução do

e o volume

a

m http://w

ecurso 200

ula 65 é ex

iografia c

i, G., Dolcecia e aplica

ória da Ma

odução a h

posta das

dades 1: a

dade 2: a)

dade 3:

egredo aq

ês conseg

strucional

/ Consórcio CE

a curiosida

w.ime.usp.

o argumen

e do cilindr

www.telecu

0 - podem

xatamente

onsultada

e, O., Degeações, vol

atemática, C

istória da m

s atividade

a) 7 b) pirâ

) n – 1 b) n

ui está em

uiram? Es

EDERJ

ade indicam

br/~pleite/

nto origina

ro, o do co

rso.org.br/

mos encont

sobre o vo

a

enszajn, D.1, Ed Sara

Carl B. Bo

matemátic

es

mide hepa

n – 1 c) n

m montar e

peramos q

| 35 

mos os se

/pub/artigo

al de Arqu

ne e o da

/matematic

rar as aula

olume de p

D., Périgo, aiva.

yer, Ed. Ed

ca, Howard

atagonal c

– 1

e visualiza

que sim! Ve

guintes en

s/avila/rpm

uimedes p

esfera. É m

ca/?Ypage

as de mate

pirâmides,

R., de Alm

dgard Blüc

d Eves. Edi

c) 7 d) 7

ar a pirâmi

ejam aí:

ndereços:

m10.pdf po

ara mostra

muito intere

=2 - no

emática do

esferas e c

meida, N., M

cher.

itora Unica

ide a parti

odemos v

ar as rela

essante, v

site oficia

o ensino m

cones.

Matemática

amp.

r do esqu

ver a

ações

vale a

al do

édio.

a

ema.

Desen Funda

 

Ilust

Com

cent

do q

do la

do s

é jus

lado

Pitág

Ativi

Lem

as a

dada

volu

Calc

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração, faz

mo a pirâm

tro ii) a altu

quadrado e

ado AB (po

segmento V

stamente x

do quad

goras e c

,

dade 4

mbrando qu

arestas (ta

a a densid

me, lembra

culemos en

strucional

/ Consórcio CE

zer figura

mide é reg

ura h da pi

e iii) a altu

onto E). S

VE é justam

x/2, ou sej

drado da b

calculamos

ue um tetra

anto as da

dade para

ando que

ntão o volu

EDERJ

a partir da

gular, i) o

râmide (se

ra y do triâ

egue daí q

mente o va

ja, 40 cm

base, que

s:

;

aedro regu

base qua

determina

vm

d =, ond

ume do tetr

| 36 

a figura da

polígono A

egmento V

ângulo VA

que o triân

alor y, 50 c

(EOFB é

e vale x).

;

ular é uma

anto as lat

armos a m

de d é a de

raedro V =

ada.

ABCD é u

VO) passa j

AB (segme

ngulo VOE

cm. Já o ta

um quadra

Assim, a

;

.

a pirâmide

terais) são

massa prec

ensidade, m

hAb ⋅31

(*),

um quadra

justamente

nto VE) pa

E é retângu

amanho do

ado e BE

aplicamos

triangular

o congruen

cisamos sa

m a massa

vejamos a

ado e O é

e pelo cent

assa pelo

ulo. O tam

o segmento

é a metad

o teorema

;

r em que t

ntes. Com

aber o valo

a e v o vol

a figura

é seu

tro O

meio

anho

o OE

de do

a de

todas

mo foi

or do

ume.

Desen Funda

 

Ilust

Aqui

qual

outro

exem

inter

Ilust

A di

med

med

altur

Com

altur

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

tração, faz

i, para o c

quer triâng

o no ponto

mplo, seja

rseção des

tração, faz

istância d

dianas e a

dianas. No

ras também

mo o triâng

ra de um tr

strucional

/ Consórcio CE

zer figura

cálculo de

gulo as me

o médio d

ABC um t

stas media

zer figura

e G aos

distância d

o caso par

m.

ulo ABC é

riângulo eq

EDERJ

a partir da

n, uma p

edianas (se

do lado op

triângulo q

nas.

a partir da

pontos m

de G aos v

rticular do

equilátero

quilátero

| 37 

a figura da

equena le

egmento c

posto) cort

ualquer e A

a figura da

médios é s

vértices é s

triângulo

o, já vimos

ada.

embrança d

com um ex

tam-se na

AD, BF e C

ada.

sempre um

sempre do

equilátero

que 32

n =

da Geome

tremo em

razão de

CE suas m

m terço d

ois terços d

o as media

33

23 aa=

etria Plana

um vértice

1 para 2

medianas e

as respec

das respec

anas serã

(dois terço

a: em

e e o

. Por

e G a

ctivas

ctivas

ão as

os da

Formatado:

Formatado:pt, Cor da fon

Formatado:

Formatado:

: Cor da fonte: V

: Fonte: (Padrãonte: Vermelho

: Cor da fonte: V

: Cor da fonte: V

Vermelho

o) Arial, 12

Vermelho

Vermelho

Desen Funda

 

Usan

subs

² =a

é a

entã

lado

Subs

subs

dete

m =

Ativi

Com

Ilust

Sabe

A ár

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ndo o teo

stituindo o

33

² ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ah

fórmula d

ão 62=h c

a, então

stituindo (

stituindo

erminarmos

2,60·25,2

dade 5

meçamos c

tração, faz

emos que

rea da bas

strucional

/ Consórcio CE

orema de

valor de n

2

, ou seja

a altura d

cm (**). A

43²a

Ab =

(**) e (***

4,12 = ,

s a massa

. Logo, m

com a figur

zer figura

a área tota

se é justam

EDERJ

Pitágoras

temos:

, 3²²

aah −=

e um tetra

área da b

, substitui

*) em (*),

chegamos

a devemos

= 65,62 g.

ra

a partir da

al da pirâm

mente o a

. Como a

| 38 

s no triâng

3²a

. Assim

aedro regu

base é a á

ndo o valo

temos: V

s ao re

s multiplica

a figura da

mide é

área de u

a base é r

gulo VOB

3²2

²a

h =, is

ular de are

área de um

or de a, te

23931

⋅⋅=V

sultado V

ar a densid

ada.

um retângu

retangular,

B, temos:

sto é, a

h =

esta a). Co

m triângulo

emos: =bA

62, ou s

V = 25,

dade pelo

ulo de 18

, a área la

a² = h² +

36

(aliás,

omo a = 6

o equiláter

39= cm²

seja, 1=V

2 cm³.

volume, a

cm por 32

ateral é a s

+ n²,

esta

6 cm

ro de

(***).

218 ,

Para

assim

2 cm:

soma

Desen Funda

 

das

triân

têm

da s

prec

aplic

VOE

pirâm

o se

OE e

AD)

VOE

escr

Assi

o triâ

coisa

2 x 1

m2.

Sol R

Ativi

a) A

Com=bA

b) A

Usan

Área

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

áreas de

ngulos VAB

base 18 e

sua base

cisamos a

caremos o

E tem com

mide, 12 c

egmento VO

e OF têm,

e AB (id

E o teorem

reve

m, o triâng

ângulo VD

a para o tr

180 = 480

Raph:22,5

dade 6

área da b

mo a base écm² π=

área later

ndo a regr

a do setor

strucional

/ Consórcio CE

dos triâng

B e VCD t

e altura h2.

pela sua

gora conh

teorema

o hipotenu

m, e o seg

O incide ju

respectiv

êntico a C

ma de Pitág

gulo VAB t

DC. Já o tr

riângulo VA

+ 360 = 8

. Multipli

6 m2

ase do con

é um círcu

ral do cone

a de três, s

Comprim

EDERJ

gulos VAB

têm base

. Como a

altura e já

hecer os

de Pitágor

usa h1 - c

gmento OE

ustamente

amente, m

CD). Assim

goras se e

. Já par

tem área d

riângulo VB

AD. Soman

840. Como

icado pelo

ne

lo, sua áre

e

sabendo q

mento do ar

| 39 

B, VBC, V

32 e altura

área de um

á conhece

valores d

ras nos tri

confira na f

E. Como a

sobre o ce

metade do

m OE= 9 e

screve

ra o triângu

de ½ x 32 x

BC tem ár

ndo os qua

s 100 enfe

ea é Ab = π

que g = 2 1

rco

VCD, VDA

a h1. Já o

m triângulo

emos os v

das altura

iângulos V

figura – e

s arestas l

entro do re

tamanho d

e OF = 16.

ulo VOF o

x 15 = 240

rea de ½ x

atro, terem

eites, terem

²r⋅π , ou sej

=2 cm, tem

, iguais do

s triângulo

o é a meta

alor de to

as, h1 e h

VOE e VO

como cate

laterais sã

etângulo, e

dos lados

. Assim, p

teorema d

0 cm2. Mes

x 18 x 20

os que Ala

, teremos

mos 14160

ja, ⋅= πbA

mos:

ois a dois

os VBC e

ade do pro

odas as ba

h2. Para

F. O triân

etos a altur

o congrue

e os segme

BC (idênt

para o triân

de Pitágora

sma coisa

= 180. Me

ateral = 2 x 2

00 cm2 = 1

²1 . Portant

s. Os

VDA

oduto

ases,

isso,

ngulo

ra da

ntes,

entos

ico a

ngulo

as se

.

para

esma

240 +

14,16

to,

Desen Funda

 

Ass

c) A

A ár

d) o

O vo

temoo teo

valo

volu

Anex

O qu

1(Unregulaterum â

(Dica

I) O

II) Q0° e

a) 60

b) 45

Soluapót

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

2²

Al

sim Al = π4

área total

ea total é A

volume do

olume é ca

os que calcorema de P

res: h² = 2

me do con

xo

ue pergunt

nirio – RJ) ular, onde ral mede 6ângulo α, t

as:

ângulo α é

Quando aum90°) semp

0° < α < 90

5° < α < 60

ução: O ântema da ba

strucional

/ Consórcio CE

2

2

πππ

42⋅ , logo

do cone

At = Ab + A

o cone

alculado pe

cular h, ouPitágoras n

² – 1 , ou s

ne é 3

π=V

tam por aí?

Um engencada ares

6 m. A incltal que:

é o ângulo

mentos ospre aumen

0°

0°

gulo α é o ase, destac

EDERJ

2 2

2 1

o Al = 2 c

Al , ou seja

ela fórmula

seja, a altno triângul

seja, 3=h

cm³ 33 .

?

nheiro estásta da balinação en

entre o ap

s valores dta.)

c) 30° <

d) 15° <

ângulo forcamos ass

| 40 

cm²

a, At = +

a hAV b ⋅=31

tura do cono VOB, tem

cm 3 . Temo

á construinase quadrantre cada f

pótema da

de um âng

α < 45°

α < 30°

rmado pelosim o triâng

2 . Logo, A

h . A área d

ne. Como omos: h² = g

os o volum

ndo um obeangular mface latera

base e o a

ulo a tang

e)

o apótemagulo que co

At = 3 cm

da base já

o cone é reg² – r². Sub

me: 31

⋅= πV

elisco de fede 4 m l e a base

apótema d

gente deste

) 0° < α < 1

da pirâmidontém este

m².

foi calcula

eto, aplicabstituindo o

3 . Logo o

forma pirame cada a

e do obelis

da pirâmide

e ângulo (e

15°

de com o e ângulo.

ada,

ndo os

o

midal resta

sco é

e)

entre

Desen Funda

 

Calc

=αtg

aum

2) (quadumamedhouvpape

a) 20

Solu100 sobr10%

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

culando h o

7272==

menta e com

Cesgranriodrado de 2

a pirâmide dindo 5 cmve desperdel correspo

0% b

ução: Usancm² e a ár

rou portant%, alternativ

strucional

/ Consórcio CE

obtemos, h

, como a t

mo 60 =°tg

o – RJ) U20 cm de la

quadrang. Após ter dício de ponde a:

b) 16%

ndo a fórmurea lateral to 40 cm² dva e. 

EDERJ

72=h , o a

angente de

3 então α

Uma folhaado, será uular regulaconcluídoapel, a fra

c) 15%

ula g² = h² é 260 cm² de papel o

| 41 

apótema d

e um ângu

α> 60°, alte

a de papeusada paraar com alt essa tare

ação perce

d) 12

+ m², obteassim temque corre

da base é m

ulo que est

ernativa a.

el coloridoa cobrir todtura de 12fa, e levanentual que

2% e)

emos g = 1mos que a sponde a 4

m = 2, entã

tá entre 0°

.

o, com a das as fac cm e apó

ndo-se em e sobrará d

) 10%

13 cm. A áárea total é40/400, ou

ão

e 90° sem

forma deces e a basótema da conta que

dessa folh

rea da basé de 360 c

u seja 10/1

mpre

e um se de base

e não ha de

se é cm², 00,